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第七單元第3節(jié)萬(wàn)有引力理論的成就：求中心天體密度
中心天體密度的計(jì)算方法
（1）利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R
由 得
（2）利用天體的衛(wèi)星的周期T、軌道半徑r和天體半徑R
由 得
當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)
總結(jié)：
某宇航宇踏上一半徑為R的球狀星體，該宇航員在該星體上能否用常規(guī)方法測(cè)量出該星球的密度？
【例1】如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球相對(duì)飛行器的角度為θ，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br/>A．軌道半徑越大，周期越長(zhǎng)
B．軌道半徑越大，速度越長(zhǎng)
C．若測(cè)得周期和張角，可得到星球的平均密度
D．若測(cè)得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度
【例2】已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，萬(wàn)有引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．試求地球平均密度的ρ表達(dá)式．
【例3】某星球可視為球體，其繞過(guò)兩極的轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)的周期為T，若在它的兩極處用彈簧秤測(cè)得某物體的重力為F，在赤道上用彈簧秤測(cè)得同一物體的重力為0.9F，已知萬(wàn)有引力常量為G，則此星球的平均密度是多少？
1．由于行星自轉(zhuǎn)的影響，行星表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同。宇航員在某行星的北極處從高h(yuǎn)處自由釋放一重物，測(cè)得經(jīng)過(guò)時(shí)間t1重物下落到行星的表面，而在該行星赤道處從高h(yuǎn)處自由釋放一重物，測(cè)得經(jīng)過(guò)時(shí)間t2重物下落到行星的表面，已知行星的半徑為R，引力常量為G，則這個(gè)行星的平均密度是（　　）
A．ρ B．ρ
C．ρ D．ρ
2．1789年英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許測(cè)出引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。若已知引力常量為G，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間為T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時(shí)間為T2（地球公轉(zhuǎn)周期），地球中心到月球中心的距離為L(zhǎng)1，地球中心到太陽(yáng)中心的距離為L(zhǎng)2．下列說(shuō)法不正確的是（　?。?br/>A．地球的質(zhì)量
B．太陽(yáng)的質(zhì)量m太
C．月球的質(zhì)量m月
D．由題中數(shù)據(jù)求不出月球的密度
3．“神舟”六號(hào)飛船發(fā)射成功后，進(jìn)入圓形軌道穩(wěn)定運(yùn)行，運(yùn)轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為T，地球的半徑為R，表面重力加速度為g，萬(wàn)有引力常量為G，試求：
（1）地球的質(zhì)量和密度；
（2）“神舟”六號(hào)飛船軌道距離地面的高度．
4．若知道太陽(yáng)的某一顆行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑為r，周期為T，引力常量為G，則可求得（　?。?br/>A．該行星的質(zhì)量 B．太陽(yáng)的質(zhì)量 C．該行星的密度 D．太陽(yáng)的平均密度
5．據(jù)報(bào)道，天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的a倍，質(zhì)量是地球的b倍．已知近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期約為T，引力常量為G．則該行星的平均密度為（　?。?br/>A． B． C． D．
6．神舟十二號(hào)載人飛船于2021年6月17日采用自主快速交會(huì)對(duì)接模式成功與天和核心艙對(duì)接。已知天和核心艙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道離地約400km、周期約為93min，地球半徑為6370km，萬(wàn)有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，下列不能大致確定的是（　　）
A．地球近地衛(wèi)星的周期 B．地表的重力加速度
C．地球的平均密度 D．天和核心艙的質(zhì)量
7．2021年2月，我國(guó)“天問(wèn)一號(hào)”火星探測(cè)器實(shí)現(xiàn)了對(duì)火星的環(huán)繞。若該探測(cè)器在近火星圓軌道運(yùn)行的線速度為v，火星表面的重力加速度大小為g，引力常量為G，不考慮火星的自轉(zhuǎn)，則火星的平均密度為（　?。?br/>A． B． C． D．
8．在2020年4月24日第五個(gè)中國(guó)航天日上，備受矚目的中國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)命名揭曉?！疤靻?wèn)一號(hào)”火星探測(cè)任務(wù)要一次性完成“繞、落、巡”三大任務(wù)?；鹦枪D(zhuǎn)軌道半徑是地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的，火星的半徑約為地球半徑的，火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，火星探測(cè)器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（探測(cè)器可視為火星的近地衛(wèi)星），探測(cè)器繞火星運(yùn)行周期為T，已知火星和地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道都可近似為圓軌道，地球和火星可看作均勻球體，則（　?。?br/>A．火星的公轉(zhuǎn)周期和地球的公轉(zhuǎn)周期之比為
B．探測(cè)器在火星表面所受火星引力與在地球表面所受地球引力之比為
C．探測(cè)器環(huán)繞火星表面運(yùn)行速度與環(huán)繞地球表面運(yùn)行速度之比為
D．可知火星的平均密度為
9．某星球（可看成質(zhì)量均勻分布的球體）自轉(zhuǎn)周期為T，在它的兩極處用彈簧秤稱得某物重W，在赤道上稱得該物重Q，已知萬(wàn)有引力常量為G，求該星球的平均密度ρ。
10．2022年，中國(guó)空間站將完成在軌建造任務(wù)。若空間站環(huán)繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T。已知重力加速度為g，萬(wàn)有引力常量為G，地球半徑為R。求：
（1）地球的質(zhì)量M；
（2）空間站做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r。

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