資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.4.3余弦定理、正弦定理（一）
余弦定理
班級 姓名
學習目標
1．掌握余弦定理及其推論．
2．掌握余弦定理的綜合應用．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 引例：已知的兩邊長請用已知的表示出第三邊，完成下列解答過程. 解：設，，，則= (用表示)所以 同理 ； 余弦定理：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有語言敘述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍公式表達 ； ； .推論 cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .解三角形：一般地，把三角形的三個內角和它們的對邊叫做三角形的 ，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.【即時訓練】(1)在△ABC中，已知b＝60，c＝60，A＝，則a＝________(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，則角B等于
已知兩邊與一角解三角形(SAS) 例1、在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解這個三角形.
已知兩邊與一角解三角形(SSA) 例2、在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和邊a.變式1、在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，則b＝
已知三邊解三角形 例3、在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．變式2、(1)在△ABC中,已知a＝3,b＝5,c＝,則最大角與最小角的和為 ;(2)如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為 .
課后作業
一、基礎訓練題
1．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　)
A．　　 　　 B．　 　　　
C．2　　　 　 D．3
2．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，則A＋C＝(　　)
A．90°　　　　　　　　　　 B．120°
C．135° D．150°
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cos B等于(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，則A等于(　　)
A．90°　 B．60°
C．120° D．150°
5．(多選題)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.則下列結論正確的是(　　)
A．若a＝5，b＝7，c＝8，則B＝30°
B．若a∶b∶c＝2∶3∶4，則△ABC最大角的余弦值為－
C．若b＝3，c＝1，a＝2bcos B，則a＝2
D．若c2＝a2＋b2－ab，則C＝
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，則b＝________.
7．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________．
8．已知在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求邊c的值．
9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，2cos (A＋B)＝1.
(1)求角C的度數；
(2)求AB的長．
二、綜合訓練題
10．在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值為(　　)
A． B．
C．或 D．或
11．若△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則·的值為(　　)
A．19 B．14
C．－18 D．－19
12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，則bccos A＋accos B＋abcos C的值是________．
三、能力提升題
13．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos B的值；
(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．
6.4.3余弦定理、正弦定理（一）
余弦定理參考答案
1、【答案】D
【解析】∵a＝，c＝2，cos A＝，∴由余弦定理，可得cos A＝＝＝，
整理可得3b2－8b－3＝0，∴b＝3或b＝－(舍去)，故選D．
2、【答案】B
【解析】cos B＝＝＝.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
3、【答案】B
【解析】∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos B＝＝＝.
4、【答案】B
【解析】因為(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.
因為A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
5、【答案】BCD
【解析】由a＝5，b＝7，c＝8，代入余弦定理公式得cos B＝＝＝，
又b所以邊c所對角最大，設a＝2k，b＝3k，c＝4k，由余弦定理得cos C＝＝－，B正確；已知b＝3，c＝1，a＝2bcos B，由余弦定理可得a＝2b·，
整理得a2＝12，解得a＝2，C正確；
由c2＝a2＋b2－2abcos C，對比c2＝a2＋b2－ab，得cos C＝，又C∈(0，π)，則C＝，D正確．
6、【答案】4
【解析】因為b＋c＝7，所以c＝7－b.由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.
7、【答案】0
【解析】∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0．
8、[解] (1)由已知可得cosA＝＝＝－，∵0(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，將a＝2，b＝2，cosA＝－代入可得12＝4＋c2－4c·，
即c2＋2c－8＝0，∴c＝－4(舍去)或c＝2，∴邊c的值為2.
9、[解](1)∵cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.
10、【答案】D
【解析】∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，∴·tan B＝，
即cos B·tan B＝sin B＝.∵0＜B＜π，∴角B的值為或.
11、【答案】D
【解析】設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，依題意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19，∴·＝－19.
12、【答案】
【解析】bccos A＋accos B＋abcos C＝＋＋＝.
因為a＝3，b＝4，c＝6，所以bccos A＋accos B＋abcos C＝×(32＋42＋62)＝.
13、[解] (1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac.所以＝，即cos B＝.
(2)因為b＝，cos B＝，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，
又a＋c＝2b＝2，所以13＝52－ac，解得ac＝12.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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