資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
平面向量綜合復習
班級 姓名
知識歸納
一、平面向量的基本概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
3、單位向量：長度等于1個單位的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定：0與任一向量平行．
5、相等向量：長度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：長度相等且方向相反的向量．
二、向量的線性運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 求實數λ與向量a的積的運算 |λa|＝|λ||a|，當λ > 0時，λa與a的方向相同；當λ < 0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
三、向量的共線定理
向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa.
四、平面向量的數量積
1、向量的夾角
已知非零向量a,b,作＝a,＝b,則∠AOB叫做a與b的夾角，a與b的夾角的取值范圍是[0,π].
當a與b同向時,它們的夾角為0；當a與b反向時,它們的夾角為π；
當夾角為90°時,我們說a與b垂直,記作a⊥b.
2、平面向量的數量積的定義
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數量|a||b|·cos θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
3、投影向量
設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，這種變換為向量a向向量b投影，
叫做向量a在向量b上的投影向量．
a在b上的投影向量為：；b在a上的投影向量為：．
五、平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
六、平面向量的坐標運算
1、向量加法、減法、數乘及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
2、向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3、已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
結論 幾何表示 坐標表示
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
4、平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線 x1y2－x2y1＝0.
七、“爪”子定理
形式1：在△ABC中，D是BC上的點，如果|BD|＝m，|DC|＝n，則＝＋，其中，，知二可求一．特別地，若D為線段BC的中點，則＝(＋)．
　　　　　
形式2：在△ABC中，D是BC上的點，且＝λ，則＝λ＋(1－λ)，其中，，知二可求一．特別地，若D為線段BC的中點，則＝(＋)．
八、極化恒等式
1、三角形模型
在中，D為BC的中點：
2、平行四邊形模型
在平行四邊形ABCD中：
九、平面向量與三角形的四心
1、關于四心的概念及性質：
(1)重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點．
性質：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1．
②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．
③在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數．即G為△ABC的重心，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則G．
④重心到三角形3個頂點距離的平方和最小．
(2)垂心：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點．
性質：銳角三角形 ( http: / / baike. / view / 9094.htm )的垂心在三角形內，直角三角形 ( http: / / baike. / view / 8935.htm )的垂心在直角頂點上，鈍角三角形 ( http: / / baike. / view / 9110.htm )的垂心在三角形外．
(3)內心：三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點(或內切圓的圓心)．
性質：①三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r．
②，特別地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．
(4)外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心)．
性質：外心到三角形各頂點的距離相等．
2、三角形四心的向量式
設O為△ABC所在平面上一點，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則
(1)G為△ABC的重心 ＋＋＝0．
(2)O為△ABC的外心 ||＝||＝||＝ sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0．
(3)O為△ABC的內心 a＋b＋c＝0 sin A·＋sin B·＋sin C·＝0．
(4)H為△ABC的垂心 ·＝·＝·或2＋2＝2＋2＝2＋2
tan A·＋tan B·＋tan C·＝0．
典例分析
題型一、平面向量的線性運算
例1-1、如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，且CD＝2DB，點E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量，表示與，則= ； .
A．＋　　　　 　B．－　　　　　
C．＋　　　　 　D．－
例1-2、如圖，在直角梯形中，，為邊上一點，，為的中點，則＝（ ）
A． B．
C． D．
例1-3、在平行四邊形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為a，b，則＝(　　)
A．a－b　　　　　B．a＋b　　　　　C．－a＋b　　　　　D．－a－b
題型二、平面向量數量積的運算
例2-1、(1)||＝5，||＝4，與的夾角θ＝120°，則向量在向量方向上的投影向量為________．
(2)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影向量為________．
例2-2、已知非零向量，的夾角為，，，則______．
例2-3、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，則·＝ .
例2-4、如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點，P為線段OC的中點，則·＝ .
題型三、平面向量的平行與垂直問題
例3-1、(1)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)．若(a＋kb)∥c，則實數k的值為
(2)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝
例3-2、設a，b是不共線的兩個非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A，B，C三點共線；
(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數k的值；
(3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三點共線，求k的值．
題型四、向量的夾角問題
例4-1、已知e1，e2是單位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2，若m⊥n，則e1與e2的夾角為________．
例4-2、已知正方形ABCD，點E在邊BC上，且滿足2＝，設向量，的夾角為θ，則cos θ＝________．
例4-3、若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為________．
例4-4、已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC為銳角，則實數m的取值范圍是________．
題型五、向量的長度(模)與距離的問題
例5-1、若||＝||＝|－|＝2，則|＋|＝________．
例5-2、設向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，則|2a＋b|＝______．
例5-3、已知向量、、滿足，，，則______．
題型六、極化恒等式的應用
例6-1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則·＋·＝________．
例6-2、如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，則實數λ的值為________，若M，N是線段BC上的動點，且||＝1，則·的最小值為________．
題型七、三角形四心的判斷
例7-1、已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足
＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的________．
例7-2、在△ABC中，設2－2＝2·，那么動點M的軌跡必經過△ABC的(　　)
A．垂心　　　　　　B．內心　　　　　　C．外心　　　　　　　D．重心
例7-3、下列敘述正確的是________．
①為的重心．
②為的垂心．
③為的外心．
④為的內心．
課后作業
一、基礎訓練題
1．已知平面向量a，b的夾角為，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，則|b|等于(　　)
A． B．2
C．3 D．4
2．已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC的中點，則||等于(　　)
A．2　　　　 B．4
C．6　　　　 D．8
3．已知平面向量，不共線，，，，則（ ）
A．，，三點共線 B．，，三點共線
C．，，三點共線 D．，，三點共線
4．已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
5．在等邊中，O為重心，D是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
6．已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　)
A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　
C．　　　　　　　　 D．
8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，則向量a與b的夾角為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不對
9．已知點在所在平面內，滿，，則點依次是的（ ）
A．重心，外心 B．內心，外心
C．重心，內心 D．垂心，外心
10．已知是平面內一點，，，是平面內不共線的三點，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心
C．垂心 D．內心
11．(多選題)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結論正確的是(　　)
A．|b|＝2　　　　 B．a⊥b　　　　
C．a·b＝－1　　　　 D．(4a＋b)⊥
12．(多選題)如圖，在4×6的方格紙(小正方形的邊長為1)中有一個向量(以圖中的格點O為起點，格點A為終點)，則(　　)
A．分別以圖中的格點為起點和終點的有向線段表示的向量中，與是相反向量的共有11個
B．滿足|－|＝的格點B共有3個
C．存在格點B，C，使得＝＋
D．滿足·＝1的格點B共有4個
13．(多選題)已知單位向量的夾角為,則以下說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．與可以作為平面內的一組基底
14．(多選題)設，非零向量，，則（ ）.
A．若，則 B．若，則
C．存在，使 D．若，則
15．已知向量a，b的夾角為，|a|＝，|b|＝2，則a·(a－2b)＝________．
16．已知非零向量a，b滿足|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，則a－b與b夾角的大小為________．
17．已知平面向量滿足，則_______．
18．已知平面向量a，b滿足|a|＝1，b＝(1，1)，且a∥b，則向量a的坐標是__________．
19．已知非零向量a＝(t，0)，b＝(－1，)，若a＋2b與a的夾角等于a＋2b與b的夾角，則t＝________．
20．已知向量，且，則__________，在方向上的投影向量的坐標為__________.
21．已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，e1與e2的夾角為.m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2.
(1)求證：(2e1－e2)⊥e2；
(2)若|m|＝|n|，求λ的值；
(3)若m⊥n，求λ的值；
(4)若m與n的夾角為，求λ的值．
22．如圖，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥．
(1)求y與x的關系式；
(2)若⊥，求x與y的值及四邊形ABCD的面積．
二、綜合訓練題
23．如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點，M，N是直徑AB上關于點O對稱的兩點，且
AB＝6，MN＝4，則·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
24．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝2，＝，AC與BD相交于點O，E是BD的中點，若·＝8，則·＝(　　)
A．－9　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－10　　　　　　　　D．－
25．如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　)
A. B.
C. D.2
三、能力提升題
26．已知非零向量，滿足，且，則為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
27．(多選題)如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉化，互相涉透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現代哲學中的矛盾對立統一規律，其平面圖形記為圖乙中的正八邊形，其中，則（ ）
A． B．
C． D．
28．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則·的最小值為________．
平面向量綜合復習參考答案
典例分析
題型一、平面向量的線性運算
例1-1、如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，且CD＝2DB，點E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量，表示與，則= ； .
A．＋　　　　　B．－　　　　　C．＋　　　　　D．－
【答案】＝＋ ＝－
【解析】＝＋ ; ＝－＝－＝(＋)－
＝－＝－．
例1-2、如圖，在直角梯形中，，為邊上一點，，為的中點，則＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
例1-3、在平行四邊形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為a，b，則＝(　　)
A．a－b　　　　　B．a＋b　　　　　C．－a＋b　　　　　D．－a－b
【答案】B　
【解析】設＝λ，＝μ．而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，
＝μ＝μ．因此，μ＝－b＋λ．由于a，b不共線，
因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝．故＝λ＝λ＝a＋b．
另解：如圖，過點F作BC的平行線交DE于G，則G是DE的中點，且＝＝，∴＝，易知△AHD∽△FHG，從而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b，故選B．
題型二、平面向量數量積的運算
例2-1、(1)||＝5，||＝4，與的夾角θ＝120°，則向量在向量方向上的投影向量為________．
(2)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影向量為________．
【答案】(1)；(2)
例2-2、已知非零向量，的夾角為，，，則______．
【答案】9
【解析】由及，夾角為可知，
又，解得，則，故
例2-3、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，則·＝ .
【答案】
【解析】因為·＝·＝－2－·＝－3，所以·＝.
例2-4、如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點，P為線段OC的中點，則·＝ .
【答案】B　
【解析】法一：因為△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點，
所以＝＋，所以＝＝(＋)，則＝－＝－，
所以·＝(－3 )·(＋)＝(2－32)＝．
法二：以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向建立平面直角坐標系(如圖)，則A(0，1)，B(2，0)，C，P，所以＝，＝，故·＝×－×＝．
題型三、平面向量的平行與垂直問題
例3-1、(1)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)．若(a＋kb)∥c，則實數k的值為
【答案】
【解析】由題意知，a＋kb＝(2，－1)＋k(1，1)＝(k＋2，k－1)，由(a＋kb)∥c，得－5(k－1)＝k＋2，
解得k＝，故選B.
(2)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝
【答案】－3
【解析】因為m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
例3-2、設a，b是不共線的兩個非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A，B，C三點共線；
(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數k的值；
(3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三點共線，求k的值．
解：(1)證明：因為＝－＝a＋2b，＝－＝－a－2b，
所以＝－.又因為A為公共點，所以A，B，C三點共線．
(2)設8a＋kb＝λ(ka＋2b)，λ∈R，則解得或
所以實數k的值為±4.
(3)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因為A，C，D三點共線，所以與共線．
從而存在實數μ使＝μ，即3a－2b＝μ(2a－kb)，
所以解得所以k＝.
題型四、向量的夾角問題
例4-1、已知e1，e2是單位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2，若m⊥n，則e1與e2的夾角為________．
【答案】　
【解析】因為m⊥n，|e1|＝|e2|＝1，所以m·n＝(e1＋2e2)·(5e1－4e2)＝5e＋6e1·e2－8e＝－3＋6e1·e2＝0.
所以e1·e2＝.設e1與e2的夾角為θ，則cos θ＝＝.因為θ∈[0，π]，所以θ＝.
例4-2、已知正方形ABCD，點E在邊BC上，且滿足2＝，設向量，的夾角為θ，則cos θ＝________．
【答案】－　
【解析】因為2＝，所以E為BC中點．設正方形的邊長為2，則||＝，||＝2，
·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，
所以cosθ＝＝＝－．
優解：因為2＝，所以E為BC中點．
設正方形的邊長為2，建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，
則點A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，
所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝＝＝－．
例4-3、若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為________．
【答案】　
【解析】設|b|＝1，則|a＋b|＝|a－b|＝2．由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，
故以a、b為鄰邊的平行四邊形是矩形，且|a|＝，設向量a＋b與a的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝．
例4-4、已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC為銳角，則實數m的取值范圍是________．
【答案】(－，)∪(，＋∞)　
【解析】由已知得＝－＝(3，1)，＝－＝(2－m，1－m)．
若∥，則有3(1－m)＝2－m，解得m＝．由題設知，＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)．
∵∠ABC為銳角，∴·＝3＋3m＋m>0，可得m>－．由題意知，當m＝時，∥．
故當∠ABC為銳角時，實數m的取值范圍是(－，)∪(，＋∞)．
題型五、向量的長度(模)與距離的問題
例5-1、若||＝||＝|－|＝2，則|＋|＝________．
【答案】2　
【解析】∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是邊長為2的正三角形，
∴|＋|為△ABC的邊BC上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sin＝2．
例5-2、設向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，則|2a＋b|＝______．
【答案】2　
【解析】由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，
即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4．所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2．
例5-3、已知向量、、滿足，，，則______．
【答案】
【解析】由已知可得，則，
即，
因為，則，所以，，，
因此，，故.
題型六、極化恒等式的應用
例6-1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則·＋·＝________．
【答案】　
【解析】連結EG，FH，交于點O，則·＝·＝2－2＝1－＝，
·＝·＝2－2＝1－＝，因此·＋·＝．
例6-2、如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，則實
數λ的值為________，若M，N是線段BC上的動點，且||＝1，則·的最小值為________．
【答案】　　
【解析】第1空　因為＝λ，所以AD∥BC，則∠BAD＝120°，
所以·＝||·||·cos 120°＝－，解得||＝1．
因為，同向，且BC＝6，所以＝，即λ＝．
第2空　通法　在四邊形ABCD中，作AO⊥BC于點O，則BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝．以O為坐標原點，以BC和AO所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系．如圖，設M(a，0)，不妨設點N在點M右側，
則N(a＋1，0)，且－≤a≤．又D，所以＝，＝，所以·＝a2－a＋＝2＋．所以當a＝時，·取得最小值．
極化恒等式法　如圖，取MN的中點P，連接PD，則·＝2－2＝2－，當⊥時，||2取最小值，所以·的最小值為．
題型七、三角形四心的判斷
例7-1、已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足
＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的________．
【答案】內心　
【解析】由條件，得－＝λ，
即＝λ，而和分別表示平行于，的單位向量，
故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以點P的軌跡必過△ABC的內心．
例7-2、在△ABC中，設2－2＝2·，那么動點M的軌跡必經過△ABC的(　　)
A．垂心　　　　　　　　B．內心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．重心
【答案】C　
【解析】設BC邊中點為D，∵2－2＝2 ·，∴(＋)·(－)＝2 ·，即·＝·，∴·＝0，則⊥，即MD⊥BC，∴MD為BC的垂直平分線，∴動點M的軌跡必經過△ABC的外心，故選C．
例7-3、下列敘述正確的是________．
①為的重心．
②為的垂心．
③為的外心．
④為的內心．
【答案】①②　
【解析】①為的重心，
①正確；
②由，同理，，
②正確；
③
．，
與角的平分線平行，必然落在角的角平分線上，③錯誤；
④為的外心，④錯誤．正確的敘述是①②．故答案為：①②．
課后作業
一、基礎訓練題
1．已知平面向量a，b的夾角為，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，則|b|等于(　　)
A． B．2
C．3 D．4
1、【答案】D
【解析】因為a·(a－b)＝8,所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.
2．已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC的中點，則||等于(　　)
A．2　　　　 B．4
C．6　　　　 D．8
2、【答案】A
【解析】因為＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，則||＝2.
3．已知平面向量，不共線，，，，則（ ）
A．，，三點共線 B．，，三點共線
C．，，三點共線 D．，，三點共線
3、【答案】D
【解析】平面向量，不共線，，，，
對于A，，與不共線，A不正確；
對于B，因，，則與不共線，B不正確；
對于C，因，，則與不共線，C不正確；
對于D，，即，
又線段與有公共點，則，，三點共線，D正確.
4．已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4、【答案】A
【解析】，因為，所以，
所以在方向上的投影向量為.
5．在等邊中，O為重心，D是的中點，則（ ）
A． B． C． D．
5、【答案】D
【解析】O為的重心，延長AO交BC于E，如圖，
E為BC中點，則有，而D是的中點，
所以.
6．已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
6、【答案】C
【解析】因為平面向量，的夾角為，且，，
所以在方向上的投影向量為 ，故選：C
7．已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7、【答案】B　
【解析】方法一　設a與b的夾角為θ，因為(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因為|a|＝2|b|，所以2|b|2cos θ－|b|2＝0，
即cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故選B．
方法二　如圖，令＝a，＝b，則＝－＝a－b．
因為(a－b)⊥b，所以∠OBA＝，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即a與b的夾角為，故選B．
8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，則向量a與b的夾角為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不對
8、【答案】C
【解析】設向量a與b的夾角為θ，因為a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)，所以c2＝(a＋b)2，
即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，所以19＝4＋9＋12cosθ，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以a與b的夾角為60°.
9．已知點在所在平面內，滿，，則點依次是的（ ）
A．重心，外心 B．內心，外心 C．重心，內心 D．垂心，外心
9、【答案】A
【解析】設中點為，因為，
所以，即，
因為有公共點，所以，三點共線，即在的中線，
同理可得在的三條中線上，即為的重心；
因為，所以，點為的外接圓圓心，即為的外心
綜上，點依次是的重心，外心.
10．已知是平面內一點，，，是平面內不共線的三點，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
10、【答案】C
【解析】由題意知，中，，則，
即，所以，即，同理，，；
所以是的垂心.
11．(多選題)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結論正確的是(　　)
A．|b|＝2　　　　B．a⊥b　　　　C．a·b＝－1　　　　D．(4a＋b)⊥
11、【答案】ACD　
【解析】在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A錯誤．
又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，B錯誤，C正確．
所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正確，故選D．
12．(多選題)如圖，在4×6的方格紙(小正方形的邊長為1)中有一個向量(以圖中的格點O為起點，格點A為終點)，則(　　)
A．分別以圖中的格點為起點和終點的有向線段表示的向量中，與是相反向量的共有11個
B．滿足|－|＝的格點B共有3個
C．存在格點B，C，使得＝＋
D．滿足·＝1的格點B共有4個
12、【答案】BCD
【解析】分別以圖中的格點為起點和終點的有向線段表示的向量中，
與是相反向量的共有18個，故A錯誤．
以O為原點建立平面直角坐標系，則A(1，2)，設B(m，n)，若|－|＝，
則＝.由－3≤m≤3，－2≤n≤2，且m∈Z，n∈Z，
得B(0，－1)，(2，－1)，(－2，1)，共3個，故B正確．
當B點坐標為(1，0)，C點坐標為(0，2)時，＝＋，故C正確．
設B(a，b)，若·＝1，則a＋2b＝1，由－3≤a≤3，－2≤b≤2，且a∈Z，b∈Z，
得B(1，0)，(3，－1)，(－1，1)，(－3，2)，共4個，故D正確．故選BCD.
13．(多選題)已知單位向量的夾角為,則以下說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．與可以作為平面內的一組基底
13、【答案】ABD
【解析】據題意
因為所以,所以對
因為,所以,所以對.
因為
所以,所以錯
因為與不共線,所以可以作為平面內的一組基底,所以正確故選：ABD
14．(多選題)設，非零向量，，則（ ）.
A．若，則 B．若，則
C．存在，使 D．若，則
14、【答案】ABD
【解析】A選項，，則，故A正確；
B選項，，則，
故，故B正確；
C選項，假設存在，使，則，，則可得，故可得，則假設不成立，故C錯誤；
D選項，因，則，又由題可得，則
，故D正確.
15．已知向量a，b的夾角為，|a|＝，|b|＝2，則a·(a－2b)＝________．
15、【答案】6
【解析】a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2××2×＝6.
16．已知非零向量a，b滿足|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，則a－b與b夾角的大小為________．
16、【答案】135°
解析：因為非零向量a，b滿足a·(a－b)＝0，所以a2＝a·b，由|a－b|＝|a|可得a2－2a·b＋b2＝a2，
解得|b|＝|a|，設a－b與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝＝－，
又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
17．已知平面向量滿足，則_______．
17、【答案】
【解析】由可得，兩邊同時平方得，
，，解得.故答案為：.
18．已知平面向量a，b滿足|a|＝1，b＝(1，1)，且a∥b，則向量a的坐標是__________．
18、【答案】或　
【解析】a＝(x，y)，因為平面向量a，b滿足|a|＝1，b＝(1，1)，
且a∥b，所以＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±．所以a＝或．
19．已知非零向量a＝(t，0)，b＝(－1，)，若a＋2b與a的夾角等于a＋2b與b的夾角，則t＝________．
19、【答案】4或－4
【解析】由題設得＝，所以|b|(|a|2＋2b·a)＝|a|(a·b＋2|b|2)，
將a＝(t，0)，b＝(－1，)代入整理得2t2＋t·|t|＝8|t|＋4t，當t>0時，3t2＝12t，所以t＝4；
當t<0時，t2＝－4t，所以t＝－4.綜上，t的值為4或－4.
20．已知向量，且，則__________，在方向上的投影向量的坐標為__________.
20、【答案】
【解析】①已知，，由于，所以，解得；
②由①知：，，得，
則，，
故在方向上的投影為，
得在方向上的投影向量為.
故答案為：；
21．已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，e1與e2的夾角為.m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2.
(1)求證：(2e1－e2)⊥e2；
(2)若|m|＝|n|，求λ的值；
(3)若m⊥n，求λ的值；
(4)若m與n的夾角為，求λ的值．
21、解析：(1)證明：因為|e1|＝|e2|＝1，e1與e2的夾角為，
所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－e＝2|e1||e2|cos－|e2|2＝2×1×1×－12＝0，所以(2e1－e2)⊥e2.
(2)由|m|＝|n|得(λe1＋e2)2＝(3e1－2e2)2，即(λ2－9)e＋(2λ＋12)e1·e2－3e＝0.
因為|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以e＝e＝1，e1·e2＝1×1×cos＝，
所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×－3×1＝0，即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.
(3)由m⊥n知m·n＝0，即(λe1＋e2)·(3e1－2e2)＝0，即3λe＋(3－2λ)e1·e2－2e＝0.
因為|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以e＝e＝1，e1·e2＝1×1×cos＝，
所以3λ＋(3－2λ)×－2＝0.所以λ＝.
(4)由前面解答知e＝e＝1，e1·e2＝，|n|＝.
而|m|2＝(λe1＋e2)2＝λ2e＋2λe1·e2＋e＝λ2＋λ＋1，所以|m|＝.
m·n＝(λe1＋e2)·(3e1－2e2)＝3λe＋(3－2λ)e1·e2－2e＝3λ＋(3－2λ)×－2＝2λ－.
因為〈m，n〉＝，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉得2λ－＝·×，
化簡得3λ2－5λ－2＝0，所以λ＝2或λ＝－.經檢驗知λ＝－不成立，故λ＝2.
22．如圖，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥．
(1)求y與x的關系式；
(2)若⊥，求x與y的值及四邊形ABCD的面積．
22、[解]　(1)∵＝＋＋＝(4＋x，y－2)，
∴由∥，得x(y－2)＝y(4＋x)，即y＝－x．
(2)由題易得，＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．
由⊥可得·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
又∵y＝－x，
∴或
∴＝(8,0)，＝(0，－4)或＝(0,4)，＝(－8,0)，
又∵⊥，
∴四邊形ABCD的面積為·||||＝×8×4＝16．
二、綜合訓練題
23．如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點，M，N是直徑AB上關于點O對稱的兩點，且
AB＝6，MN＝4，則·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
23、【答案】C　
【解析】連接AP，BP，則＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．
24．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝2，＝，AC與BD相交于點O，E是BD的中點，若·＝8，則·＝(　　)
A．－9　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－10　　　　　　　　D．－
24、【答案】D
【解析】由＝，可得DC∥AB，且DC＝2，則△AOB∽△COD，
＝＝ (＋)＝＋，又E是BD的中點，所以＝＋，
則·＝(＋)(＋)＝＋＋·＝＋＋·＝8，
則·＝4，則·＝(＋)·(－)＝－－·＝4－×36－×4＝－．
25．如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　)
A. B.
C. D.2
25、【答案】B
【解析】因為＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ(＋)＋μ(－＋)
＝(λ－μ)＋，且＝＋，所以得所以λ＋μ＝，故選B.
三、能力提升題
26．已知非零向量，滿足，且，則為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
26、【答案】D
【解析】，，，
，為等腰三角形，又，，
，又，所以，為等邊三角形，
27．(多選題)如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉化，互相涉透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現代哲學中的矛盾對立統一規律，其平面圖形記為圖乙中的正八邊形，其中，則（ ）
A． B．
C． D．
27、【答案】ABC
【解析】由題意，分別以所在的直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
因為正八邊形，所以
，作，則，
因為，所以，所以，
同理可得其余各點坐標，，，，，
對于A中，，故A正確；
對于B中，，故B正確；
對于C中，，，，
所以，故C正確；
對于D中，，，，
，故D不正確.
28．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則·的最小值為________．
28、【答案】－　
【解析】取OB的中點D，連接PD，則·＝||2－||2＝||2－，于是只要求求
PD的最小值即可，由圖可知，當PD⊥AB，時，PD＝，即所求最小值為－．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理
班級 姓名 6.4.3余弦定理、正弦定理（四）
正弦定理
班級 姓名
學習目標
1．掌握正弦定理的變形式及運用．
2．會利用正弦定理邊角互化．
3．掌握判斷三角形的形狀的基本方法．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
正弦定理的變形式與運用 1．正弦定理： ＝ ＝ ＝ 2．正弦定理的變形若R為△ABC外接圓的半徑，則(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R．【即時訓練1】在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，則a∶b∶c等于 【即時訓練2】在△ABC中，若eq \r(3)a＝2bsin A，則B＝
知識拓展 3．三角形內的誘導公式在△ABC中，A＋B＋C＝π，則C＝π－(A＋B)，eq \f(C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A＋B,2)sin(A＋B)＝ ；cos(A＋B)＝ ；tan(A＋B)＝ ；＝ ；＝ ．【即時訓練3】在△ABC中，a＝4，b＝eq \f(5,2)，5cos(B＋C)＋3＝0，則B的大小為 4．射影定理在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，則：a＝ ，b＝ ，c＝ .
三角形形狀的判斷 例1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀． 變式1、在△ABC中，若3b＝2eq \r(3)asin B，cos A＝cos C，試判斷△ABC的形狀．
正弦定理與余弦定理的綜合運用 例2、設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．變式2、如圖,在△ABC中,∠B＝eq \f(π,3),AB＝8,點D在BC邊上,CD＝2,cos∠ADC＝eq \f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．
課后作業
一、基礎訓練題
1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq \f(b,\r(3)cos B)＝eq \f(a,sin A)，則cos B等于(　　)
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)
2．已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acos B＝bcos A，則△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形　　　 B．等邊三角形
C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形
3．已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C所對的邊，滿足eq \f(a,cos A)＝eq \f(b,cos B)＝eq \f(c,cos C)，則△ABC的形狀是(　　)
A．等腰三角形　　 B．直角三角形
C．等邊三角形　　 D．等腰直角三角形
4．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長等于________．
6．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，則eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝________.
7．如圖，在△ABC中，D是AC邊上的點，且AB＝AD＝eq \f(\r(3),2)BD，
BC＝2BD，則sin C的值是________．
8．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin A＋csin C－eq \r(2)asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
9．已知△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos C＋eq \f(\r(3),2)c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝eq \r(3)，求c的值．
二、綜合訓練題
10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀是(　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos C＋eq \r(3)bsin C－a－c＝0，則角B＝_____．
12．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，B＝eq \f(2π,3)，若a2＋c2＝4ac，則eq \f(sin（A＋C）,sin Asin C)＝____
三、能力提升題
13．(多選題)在△ABC中，A>B，則下列不等式中一定正確的是(　　)
A．sin A>sin B B．cos AC．sin 2A>sin 2B D．cos 2A14．(多選題)下列命題中，正確的是(　　)
A．在△ABC中，若A>B，則sin A>sin B
B．在銳角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，則△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形
6.4.3余弦定理、正弦定理（四）
正弦定理參考答案
1、【答案】B　
【解析】由正弦定理知eq \f(sin B,\r(3)cos B)＝eq \f(sin A,sin A)＝1，即tan B＝eq \r(3)，
由B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3)，所以cos B＝cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
2、【答案】A
【解析】由正弦定理得：acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，
故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形．
3、【答案】C
【解析】由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，又eq \f(a,cos A)＝eq \f(b,cos B)＝eq \f(c,cos C)，得eq \f(sin A,cos A)＝eq \f(sin B,cos B)＝eq \f(sin C,cos C)，
即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC為等邊三角形．
4、【答案】B　
【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC為直角三角形．
5、【答案】eq \f(\r(6),3)　
【解析】由三角形內角和定理知：A＝75°，由邊角關系知B所對的邊b為最小邊，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．
6、【答案】2
【解析】∵A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(1,sin 30°)＝2，∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，
∴eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝2.
7、【答案】eq \f(\r(6),6)
【解析】設AB＝x，則AD＝x，BD＝eq \f(2\r(3),3)x，BC＝eq \f(4\r(3),3)x.在△ABD中，
由余弦定理，得cos A＝eq \f(x2＋x2－\f(4,3)x2,2x2)＝eq \f(1,3)，則sin A＝eq \f(2\r(2),3).
在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(x,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝eq \f(\f(4\r(3),3)x,\f(2\r(2),3))，解得sin C＝eq \f(\r(6),6).
8、[解]　(1)由正弦定理得a2＋c2－eq \r(2)ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.故cos B＝eq \f(\r(2),2)，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
故由正弦定理得a＝b·eq \f(sin A,sin B)＝1＋eq \r(3).
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·eq \f(sin C,sin B)＝2×eq \f(sin 60°,sin 45°)＝eq \r(6).
9、[解] (1)由acos C＋eq \f(\r(3),2)c＝b，得sin Acos C＋eq \f(\r(3),2)sin C＝sin B.
因為sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以eq \f(\r(3),2)sin C＝cos Asin C.
因為sin C≠0，所以cos A＝eq \f(\r(3),2).因為0(2)由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2).所以B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
①當B＝eq \f(π,3)時，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,2)，所以c＝2；
②當B＝eq \f(2π,3)時，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,6)，所以c＝a＝1.
綜上可得c＝1或2.
10、【答案】D
【解析】已知c－acos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化簡得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，則A＝90°或A＝B，故△ABC為等腰三角形或直角三角形．
11、【答案】
【解析】由正弦定理知，sin Bcos C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin A－sin C＝0.(*)
因為sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入(*)式得eq \r(3)sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0.
因為sin C＞0，所以eq \r(3)sin B－cos B－1＝0，
所以2sin＝1，即sin＝eq \f(1,2).因為B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
12、【答案】
【解析】因為eq \f(a2＋c2,ac)＝eq \f(b2＋2accos B,ac)＝4，B＝eq \f(2π,3)，所以b2＝5ac.
由正弦定理得sin2B＝5sin Asin C＝eq \f(3,4)，所以sin Asin C＝eq \f(3,20)，所以eq \f(sin（A＋C）,sin Asin C)＝eq \f(sin B,sin Asin C)＝eq \f(10\r(3),3).
13、【答案】ABD　
【解析】A>B a>b sin A>sin B，A正確．
由于在(0，π)上，y＝cos x單調遞減，∴cos Acos 2α＝1－2sin2α．∵sin A>sin B>0，∴sin2 A>sin2 B，∴cos 2A14、【答案】ABD　
【解析】對于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B a>b A>B，故A正確；對于B，在銳角△ABC中，A，B∈，且A＋B>eq \f(π,2)，則eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，
所以sin A>sin＝cos B，故B正確；
對于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，
得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，
所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等邊三角形，故D正確．
學習目標
1．通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明．
2．能運用正弦定理解決簡單的解三角形問題．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1、正弦定理條件在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c結論 ＝ ＝ 文字敘述在一個三角形中，各邊和它所對角的 的比相等2、正弦定理的證明方法一：利用面積相等 方法二：利用外接圓【即時訓練】在△ABC中，若a＝3，cos A＝－eq \f(1,2)，則△ABC的外接圓的半徑為________．
已知兩角一邊解三角形(AAS或ASA) 例1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．變式1、在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝eq \r(2)，a＝2，則c＝________．
已知兩邊和其中一邊的對角解三角形 例2、解下列三角形ABC：(1)a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，求C； (2)A＝60°，a＝eq \r(2)，b＝eq \f(2\r(3),3)，求B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.
三角形解的個數 已知兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理解三角形，可能有兩解、一解或無解．在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角圖形關系式a2　　　　　　　　 B．x<2C．2課后作業
一、基礎訓練題
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為(　　)
A．eq \r(3)＋1　　　　　 B．2eq \r(3)＋1
C．2eq \r(6) D．2＋2eq \r(3)
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，則B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不對
3．(多選題)在△ABC中，下列式子與 eq \f(sin A,a) 的值相等的有(　　)
A． eq \f(b,c) B． eq \f(sin B,sin A)
C． eq \f(sin C,c) D． eq \f(1,2R) (R為△ABC的外接圓半徑)
4．(多選題)的內角A，B，C的對邊分別為，已知，，若解該三角形有且只有一解，則b的可能值為（ ）
A．5 B．
C． D．6
5．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，則b＝________．
6．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cos B,b)，則B的度數為________．
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長等于________．
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求角A，角C和邊a.
9．如圖所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的長．
10．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
二、綜合訓練題
11．(多選題)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列各組條件中使得△ABC有兩個解的是(　　)
A．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，A＝ eq \f(π,6)
B．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，cos A＝ eq \f(3,5)
C．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，C＝ eq \f(π,6)
D．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，B＝ eq \f(π,6)
12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝eq \f(\r(6),3)，則b＝________．
13．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，a＝1，則b＝ .
6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理參考答案
1、【答案】C　
【解析】由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6)．
2、【答案】C　
【解析】∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，∴B＝45°或135°．
∵a＞b，∴當B＝135°時，不符合題意，∴B＝45°．
3．【答案】CD
【解析】對A，取a＝3，b＝5，c＝4，顯然 eq \f(sin A,a) ≠ eq \f(b,c) ，故A錯誤；
對B，取a＝3，b＝5，c＝4， eq \f(sin B,sin A) ＝ eq \f(b,a) ≠ eq \f(sin A,a) ，故B錯誤；
對C，D，∵ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝2R，∴ eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(sin C,c) ＝ eq \f(1,2R) ，故C，D正確．故選CD.
4、【答案】CD
【解析】①，三角形有兩解；②當時，三角形有一解；
③當時，三角形為等腰直角三角形，有一解；④當時，三角形無解．
5、【答案】1　
【解析】在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2,3)π．∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1．
6、【答案】45°
【解析】根據正弦定理知，eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，結合已知條件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
7、【答案】eq \f(\r(6),3)　
【解析】由三角形內角和定理知：A＝75°，由邊角關系知B所對的邊b為最小邊，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．
8、[解]　方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cos 30°∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
當a＝3時，A＝30°，∴C＝120°.
當a＝6時，由正弦定理，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(1,2),3)＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由bcsin 30°＝3eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3),2)，知本題有兩解．
由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq \f(\r(3),2).∴C＝60°或120°.
當C＝60°時，A＝90°，由勾股定理，得a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(32＋（3\r(3)）2)＝6.
當C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，∴a＝3.
9、[解] 在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，eq \f(33,sin 60°)＝eq \f(BC,sin 45°)，
可得BC＝11eq \r(6)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11eq \r(6)×tan 30°＝11eq \r(2).
10、[解] 由正弦定理可知 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，
∴a＝ eq \f(c,sin C) ·sin A＝ eq \f(10,\f(1,2)) × eq \f(\r(2),2) ＝10 eq \r(2) ，
因為A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－45°－30°＝105°，
sin B＝sin (A＋C)＝sin (30°＋45°)＝ eq \f(1,4) ( eq \r(6) ＋ eq \r(2) )， eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(b,sin B) ，
所以b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(10sin 105°,sin 30°) ＝5( eq \r(2) ＋ eq \r(6) ).
11．【答案】AB
【解析】A選項，b sin A＝4×sin eq \f(π,6) ＝2，b sin AB選項，a0，A為銳角，sin A＝ eq \r(1－cos 2A) ＝ eq \f(4,5) ，b sin A＝4× eq \f(4,5) ＝ eq \f(16,5) ，b sin A所以△ABC有兩個解，B選項正確；
C選項，由余弦定理得c＝ eq \r(a2＋b2－2ab cos C) ＝4，所以△ABC有唯一解；
D選項，a sin B＝2 eq \r(3) × eq \f(1,2) ＝ eq \r(3) ，a sin B12、【答案】2eq \r(6)
【解析】因為cos A＝eq \f(\r(6),3)，所以sin A＝eq \f(\r(3),3)，因為B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝eq \f(2\r(2),3)，
又eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，所以b＝2eq \r(6).
13、【答案】eq \f(21,13)
【解析】在△ABC中由cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13).
精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑