資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
6.4.3余弦定理、正弦定理（二）
余弦定理
班級 姓名
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握余弦定理及其推論．
2．掌握余弦定理的綜合應(yīng)用．
3．能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀．
學(xué)習(xí)過程
自學(xué)指導(dǎo) 自學(xué)檢測及課堂展示
公式默寫 余弦定理：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有語言敘述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá) ； ； .推論 cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .
利用余弦定理求三角形的高與中線 例1、在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD為邊BC上的高，求AD的長．例2、在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC邊上的中線長．
利用余弦定理判斷三角形的形狀 例3、在△ABC中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判斷△ABC的形狀． 變式、(1)在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，則△ABC的形狀是(　　)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos2＝，則△ABC是(　　)A．直角三角形　B．銳角三角形 C．等邊三角形　D．等腰直角三角形
余弦定理的綜合運(yùn)用 例4、已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(2b－a)cos C＝c cos A.(1)求角C； (2)若c2＝9ab，a＋b＝4，求c的值．
三角形中的常用公式 由于A＋B＋C＝π，則A＝π－(B＋C)，＝－，從而sinA＝ ，同理sinB＝ ，sinC＝ .cosA＝ ，同理cosB＝ ，cosC＝ .tanA＝ ，同理tanB＝ ，tanC＝ .sin＝ ，同理sin＝ ，sin＝ .cos＝ ，同理cos＝ ，cos＝ .例5、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，求角B的大小；
課后作業(yè)
一、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知在△ABC中，a∶b∶c＝3∶2∶4，那么cos C的值為(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．在△ABC中，a＝3，b＝，B＝60°，則c＝(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．2或3
3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(　　)
A．銳角三角形　　 B．鈍角三角形
C．直角三角形　 D．等邊三角形
4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀是(　　)
A．銳角三角形　 B．直角三角形
C．鈍角三角形　 D．不確定
5．已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是(　　)
A．(8，10)　 B．(2，)
C．(2，10)　　 D．(，8)
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則AC邊上的高為________.
A．　　 B．
C．　 D．3
7．在△ABC中，若a＝2bcos C，則△ABC的形狀為________．
8．已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
9．在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀．
二、綜合訓(xùn)練題
10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝120°，若b(1－cos A)＝a(1－cos B)，則A＝(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
11．(多選)對于△ABC，有如下命題，其中正確的有(　　)
A．sin (B＋C)＝sin A
B．cos (B＋C)＝cos A
C．若a2＋b2＝c2，則△ABC為直角三角形
D．若a2＋b2＜c2，則△ABC為銳角三角形
12．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，試判斷三角形的形狀．
三、能力提升題
13．如圖所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為 .
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6.4.3余弦定理、正弦定理（二）
余弦定理參考答案
1、【答案】A
【解析】由a∶b∶c＝3∶2∶4可得a＝，c＝2b，
由余弦定理可得cos C＝＝＝－.
2、【答案】C
【解析】由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac cos B，即7＝9＋c2－2×3×c×，
則c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.
3、【答案】D
【解析】在△ABC中，因為A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，結(jié)合A＝60°可得△ABC一定是等邊三角形．
4、【答案】B
【解析】因為bcos C＋ccos B＝asin A，所以由余弦定理得b·＋c·＝asin A，
整理，得a＝asin A，所以sin A＝1.又A∈(0，π)，所以A＝.故△ABC為直角三角形．
5、【答案】B
【解析】只需讓邊長為3和a的邊所對的角均為銳角即可．
故解得2＜a＜.
6、【答案】
【解析】由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A ＝.
因為A為△ABC的內(nèi)角，所以A＝，所以AC邊上的高為AB·sin A＝3×＝.
7、【答案】等腰三角形
【解析】∵a＝2bcos C＝2b·＝，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC為等腰三角形．
8、【解】(1)∵cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0，∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，化簡，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
9、【解】由acos B＋acos C＝b＋c結(jié)合余弦定理，得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因為b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．
10、【答案】D
【解析】結(jié)合余弦定理得b＝a，
即2bc－b2－c2＋a2＝2ac－a2－c2＋b2，即a2－b2＝c(a－b)，即(a＋b－c)(a－b)＝0．
因為三角形中，兩邊之和大于第三邊，所以a－b＝0，
即a＝b，△ABC是等腰三角形，結(jié)合C＝120°，得到A＝30°．
11、【答案】AC
【解析】依題意，△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A正確；
cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，B不正確；
因a2＋b2＝c2，則由余弦定理得cos C＝＝0，而0＜C＜π，
即有C＝，△ABC為直角三角形，C正確；
因a2＋b2＜c2，則cos C＝＜0，而0＜C＜π，
即有＜C＜π，△ABC為鈍角三角形，D不正確．故選AC.
12、【解】∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)．
∵2cos Asin B＝sin C，∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0.
∵0°又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝，
∵0°13、【答案】
【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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