資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理
班級 姓名
學習目標
1．通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明．
2．能運用正弦定理解決簡單的解三角形問題．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1、正弦定理條件在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c結論 ＝ ＝ 文字敘述在一個三角形中，各邊和它所對角的 的比相等2、正弦定理的證明方法一：利用面積相等 方法二：利用外接圓【即時訓練】在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，則△ABC的外接圓的半徑為________．
已知兩角一邊解三角形(AAS或ASA) 例1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．變式1、在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝，a＝2，則c＝________．
已知兩邊和其中一邊的對角解三角形 例2、解下列三角形ABC：(1)a＝，b＝2，A＝30°，求C； (2)A＝60°，a＝，b＝，求B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.
三角形解的個數 已知兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理解三角形，可能有兩解、一解或無解．在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角圖形關系式a2　　　　　　　　 B．x<2C．2課后作業
一、基礎訓練題
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為(　　)
A．＋1　　　　　 B．2＋1
C．2 D．2＋2
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，則B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不對
3．(多選題)在△ABC中，下列式子與的值相等的有(　　)
A． B．
C． D．(R為△ABC的外接圓半徑)
4．(多選題)的內角A，B，C的對邊分別為，已知，，若解該三角形有且只有一解，則b的可能值為（ ）
A．5 B．
C． D．6
5．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝，sin B＝，C＝，則b＝________．
6．在△ABC中，若＝，則B的度數為________．
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長等于________．
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和邊a.
9．如圖所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的長．
10．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
二、綜合訓練題
11．(多選題)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列各組條件中使得△ABC有兩個解的是(　　)
A．a＝2，b＝4，A＝
B．a＝2，b＝4，cos A＝
C．a＝2，b＝4，C＝
D．a＝2，b＝4，B＝
12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝，則b＝________．
13．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝ .
6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理參考答案
1、【答案】C　
【解析】由已知及正弦定理，得＝，∴b＝＝＝2．
2、【答案】C　
【解析】∵sin B＝＝＝，∴B＝45°或135°．
∵a＞b，∴當B＝135°時，不符合題意，∴B＝45°．
3．【答案】CD
【解析】對A，取a＝3，b＝5，c＝4，顯然≠，故A錯誤；
對B，取a＝3，b＝5，c＝4，＝≠，故B錯誤；
對C，D，∵＝＝＝2R，∴＝＝，故C，D正確．故選CD.
4、【答案】CD
【解析】①，三角形有兩解；②當時，三角形有一解；
③當時，三角形為等腰直角三角形，有一解；④當時，三角形無解．
5、【答案】1　
【解析】在△ABC中，∵sin B＝，0又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π．∵＝，∴b＝＝1．
6、【答案】45°
【解析】根據正弦定理知，＝，結合已知條件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
7、【答案】　
【解析】由三角形內角和定理知：A＝75°，由邊角關系知B所對的邊b為最小邊，
由正弦定理＝得b＝＝＝．
8、[解]　方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
當a＝3時，A＝30°，∴C＝120°.
當a＝6時，由正弦定理，得sin A＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由bcsin 30°＝3×＝，知本題有兩解．
由正弦定理，得sin C＝＝＝.∴C＝60°或120°.
當C＝60°時，A＝90°，由勾股定理，得a＝＝＝6.
當C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，∴a＝3.
9、[解] 在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，＝，
可得BC＝11，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11×tan 30°＝11.
10、[解] 由正弦定理可知＝，
∴a＝·sin A＝×＝10，
因為A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－45°－30°＝105°，
sin B＝sin (A＋C)＝sin (30°＋45°)＝(＋)，＝，
所以b＝＝＝5(＋).
11．【答案】AB
【解析】A選項，b sin A＝4×sin ＝2，b sin AB選項，a0，A為銳角，sin A＝＝，b sin A＝4×＝，b sin A所以△ABC有兩個解，B選項正確；
C選項，由余弦定理得c＝＝4，所以△ABC有唯一解；
D選項，a sin B＝2×＝，a sin B12、【答案】2
【解析】因為cos A＝，所以sin A＝，因為B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，
又＝，所以b＝2.
13、【答案】
【解析】在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.
A
B
C
O
b
c
a
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正弦定理
班級 姓名
學習目標
1．通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明．
2．能運用正弦定理解決簡單的解三角形問題．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1、正弦定理條件在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c結論 ＝ ＝ 文字敘述在一個三角形中，各邊和它所對角的 的比相等2、正弦定理的證明方法一：利用面積相等 方法二：利用外接圓【即時訓練】在△ABC中，若a＝3，cos A＝－eq \f(1,2)，則△ABC的外接圓的半徑為________．
已知兩角一邊解三角形(AAS或ASA) 例1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．變式1、在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝eq \r(2)，a＝2，則c＝________．
已知兩邊和其中一邊的對角解三角形 例2、解下列三角形ABC：(1)a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，求C； (2)A＝60°，a＝eq \r(2)，b＝eq \f(2\r(3),3)，求B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.
三角形解的個數 已知兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理解三角形，可能有兩解、一解或無解．在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角圖形關系式a2　　　　　　　　 B．x<2C．2課后作業
一、基礎訓練題
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為(　　)
A．eq \r(3)＋1　　　　　 B．2eq \r(3)＋1
C．2eq \r(6) D．2＋2eq \r(3)
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，則B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不對
3．(多選題)在△ABC中，下列式子與 eq \f(sin A,a) 的值相等的有(　　)
A． eq \f(b,c) B． eq \f(sin B,sin A)
C． eq \f(sin C,c) D． eq \f(1,2R) (R為△ABC的外接圓半徑)
4．(多選題)的內角A，B，C的對邊分別為，已知，，若解該三角形有且只有一解，則b的可能值為（ ）
A．5 B．
C． D．6
5．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，則b＝________．
6．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cos B,b)，則B的度數為________．
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長等于________．
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求角A，角C和邊a.
9．如圖所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的長．
10．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
二、綜合訓練題
11．(多選題)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列各組條件中使得△ABC有兩個解的是(　　)
A．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，A＝ eq \f(π,6)
B．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，cos A＝ eq \f(3,5)
C．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，C＝ eq \f(π,6)
D．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，B＝ eq \f(π,6)
12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝eq \f(\r(6),3)，則b＝________．
13．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，a＝1，則b＝ .
6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理參考答案
1、【答案】C　
【解析】由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6)．
2、【答案】C　
【解析】∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，∴B＝45°或135°．
∵a＞b，∴當B＝135°時，不符合題意，∴B＝45°．
3．【答案】CD
【解析】對A，取a＝3，b＝5，c＝4，顯然 eq \f(sin A,a) ≠ eq \f(b,c) ，故A錯誤；
對B，取a＝3，b＝5，c＝4， eq \f(sin B,sin A) ＝ eq \f(b,a) ≠ eq \f(sin A,a) ，故B錯誤；
對C，D，∵ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝2R，∴ eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(sin C,c) ＝ eq \f(1,2R) ，故C，D正確．故選CD.
4、【答案】CD
【解析】①，三角形有兩解；②當時，三角形有一解；
③當時，三角形為等腰直角三角形，有一解；④當時，三角形無解．
5、【答案】1　
【解析】在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2,3)π．∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1．
6、【答案】45°
【解析】根據正弦定理知，eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，結合已知條件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
7、【答案】eq \f(\r(6),3)　
【解析】由三角形內角和定理知：A＝75°，由邊角關系知B所對的邊b為最小邊，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．
8、[解]　方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cos 30°∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
當a＝3時，A＝30°，∴C＝120°.
當a＝6時，由正弦定理，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(1,2),3)＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由bcsin 30°＝3eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3),2)，知本題有兩解．
由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq \f(\r(3),2).∴C＝60°或120°.
當C＝60°時，A＝90°，由勾股定理，得a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(32＋（3\r(3)）2)＝6.
當C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，∴a＝3.
9、[解] 在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，eq \f(33,sin 60°)＝eq \f(BC,sin 45°)，
可得BC＝11eq \r(6)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11eq \r(6)×tan 30°＝11eq \r(2).
10、[解] 由正弦定理可知 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，
∴a＝ eq \f(c,sin C) ·sin A＝ eq \f(10,\f(1,2)) × eq \f(\r(2),2) ＝10 eq \r(2) ，
因為A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－45°－30°＝105°，
sin B＝sin (A＋C)＝sin (30°＋45°)＝ eq \f(1,4) ( eq \r(6) ＋ eq \r(2) )， eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(b,sin B) ，
所以b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(10sin 105°,sin 30°) ＝5( eq \r(2) ＋ eq \r(6) ).
11．【答案】AB
【解析】A選項，b sin A＝4×sin eq \f(π,6) ＝2，b sin AB選項，a0，A為銳角，sin A＝ eq \r(1－cos 2A) ＝ eq \f(4,5) ，b sin A＝4× eq \f(4,5) ＝ eq \f(16,5) ，b sin A所以△ABC有兩個解，B選項正確；
C選項，由余弦定理得c＝ eq \r(a2＋b2－2ab cos C) ＝4，所以△ABC有唯一解；
D選項，a sin B＝2 eq \r(3) × eq \f(1,2) ＝ eq \r(3) ，a sin B12、【答案】2eq \r(6)
【解析】因為cos A＝eq \f(\r(6),3)，所以sin A＝eq \f(\r(3),3)，因為B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝eq \f(2\r(2),3)，
又eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，所以b＝2eq \r(6).
13、【答案】eq \f(21,13)
【解析】在△ABC中由cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13).
精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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