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正方形8大題型
【題型1 正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】
【例1】（2023春 海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊向外作等邊△ADE，則∠ABE的度數(shù)是　 　．
【變式1-1】（2023春 黃浦區(qū)期末）如圖，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AE＝AD，BE交AD于點(diǎn)F，∠ADE＝75°，則∠AFB＝　 　°．
【變式1-2】（2023春 海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形ABCD內(nèi)，以AB為邊作等邊△ABE，則∠BEG＝　 　°．
【變式1-3】（2023春 大興區(qū)期中）在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F．連接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度數(shù)．
【題型2 正方形的性質(zhì)（求線段的長度）】
【例2】（2023春 崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長為　 　．
【變式2-1】（2023春 余杭區(qū)月考）邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EC、FD，點(diǎn)G，H分別是EC、DF的中點(diǎn)，連結(jié)GH，則GH的長為　 　．
【變式2-2】（2023春 南開區(qū)期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G在CD上，AB＝5，CE＝2，T為AF的中點(diǎn)，求CT的長．
【變式2-3】（2023春 綦江區(qū)校級(jí)月考）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°．
（1）求證：EF＝AE+CF；
（2）當(dāng)AE＝1時(shí)，求EF的長．
【題型3 正方形的性質(zhì)（求面積、周長）】
【例3】（2022春 儀征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE＝CF，線段BF、AE相交于點(diǎn)O，若圖中陰影部分的面積為14，則△ABO的周長為　 　．
【變式3-1】（2023春 倉山區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)H．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為3：4，則△BCH的周長為（　　）
A．24 B．2 C．24 D．24
【變式3-2】（2023春 海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長為1，則△CEF的周長為（　　）
A．14 B．16 C．18 D．12
【變式3-3】（2023春 河西區(qū)期中）將5個(gè)邊長為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1，A2，A3，A4是正方形的中心，則這個(gè)正方形重疊部分的面積和為（　　）
A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2
【題型4 正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】
【例4】（2022秋 和平區(qū)期末）如圖，若在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為AD延長線上一點(diǎn)，且DE＝DF，則AE與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
【變式4-1】（2022春 西山區(qū)期末）如圖（1），正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作AM⊥DE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．
（1）直接寫出OE與OF的數(shù)量關(guān)系：　 　；
（2）如圖（2）若點(diǎn)E在AC的延長線上，AM⊥DE于點(diǎn)M，AM交BD的延長線于點(diǎn)F，其他條件不變．試探究OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式4-2】（2022春 安陽縣期末）四邊形ABCD是正方形，G是直線BC上任意一點(diǎn)，BE⊥AG于點(diǎn)E，DF⊥AG于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)（如圖1），易證DF﹣BE＝EF．
（1）當(dāng)點(diǎn)G在BC延長線上時(shí)，在圖2中補(bǔ)全圖形，寫出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）當(dāng)點(diǎn)G在CB延長線上時(shí)，在圖3中補(bǔ)全圖形，寫出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，不用證明．
【變式4-3】（2023春 天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于O．
（1）如圖1，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你用等式直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，設(shè)E、F分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且∠EOF＝45°，請(qǐng)你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【題型5 正方形的性質(zhì)綜合應(yīng)用】
【例5】（2022秋 周村區(qū)期末）（1）如圖1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接EF，AG．求證：EF＝FG；
（2）如圖2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的長．
【變式5-1】（2023春 余杭區(qū)月考）已知正方形ABCD如圖所示，連接其對(duì)角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CP⊥CF，交AD延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：BF＝DP；
（2）若正方形ABCD的邊長為4，求△ACP的面積；
（3）求證：CP＝BM+2FN．
【變式5-2】（2023春 莆田期末）如圖1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AE＝EF；
（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC邊上的任意點(diǎn)一，在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式5-3】（2023春 江津區(qū)期中）在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段OC上，點(diǎn)F在線段AB上，連接BE，連接EF交BD于點(diǎn)M，已知∠AEB＝∠OME．
（1）如圖1，求證：EB＝EF；
（2）如圖2，點(diǎn)N在線段EF上，AN＝EN，AN延長線交DB于H，連接DF，求證：DFAH．
【題型6 判定正方形成立的條件】
【例6】（2022春 上蔡縣期末）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①對(duì)角線互相垂直或有一組鄰邊相等的矩形是正方形；
②對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
③對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；
④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【變式6-1】（2022春 建湖縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（　　）
A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF
【變式6-2】（2022春 開原市校級(jí)月考）已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（　　）
①AB＝BC，
②∠ABC＝90 ，
③AC＝BD，
④AC⊥BD
A．選①② B．選①③ C．選②③ D．選②④
【變式6-3】（2022秋 陜西期中）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是　 　．
【題型7 正方形判定的證明】
【例7】（2022秋 富平縣期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求證：四邊形ABCD是正方形．
【變式7-1】（2023春 婁星區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是兩銳角平分線的交點(diǎn)，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，求證：四邊形CDEF是正方形．
【變式7-2】（2022春 新鄉(xiāng)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．
（1）求證：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝　 °時(shí)，四邊形MPND是正方形，并說明理由．
【變式7-3】（2022秋 渠縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)、F是AC中點(diǎn)，AN是△ABC的外角∠MAC的平分線，延長DF交AN于點(diǎn)E，連接CE．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝4，則四邊形ADCE的面積為多少？
（3）直接回答：當(dāng)△ABC滿足 　時(shí)，四邊形ADCE是正方形．
【題型8 正方形的判定與性質(zhì)綜合】
【例8】（2023春 天心區(qū)期中）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的長度；
（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．
【變式8-1】（2022秋 青山區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝4，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE、過點(diǎn)E作EF⊥DE．交BC點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【變式8-2】（2022春 南充期末）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG與EF交于點(diǎn)O．
（1）求證：四邊形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求證：AB＝AG；
（3）在（2）的條件下，已知AB＝1，求OD的長．
【變式8-3】（2022春 鄒城市期末）如圖， ABCD中，∠A＝45°，過點(diǎn)D作ED⊥AD交AB的延長線于點(diǎn)E，且BE＝AB，連接BD，CE．
（1）求證：四邊形BDCE是正方形；
（2）P為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N在直線AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求證：ANPB．
正方形-重難點(diǎn)題型
【知識(shí)點(diǎn)1 正方形的定義】
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．
【知識(shí)點(diǎn)2 正方形的性質(zhì)】
①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角； ③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．
【題型1 正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】
【例1】（2023春 海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊向外作等邊△ADE，則∠ABE的度數(shù)是　 　．
【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，進(jìn)而可求得∠ABE＝15°．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE（180°﹣∠BAE）＝15°，
故答案為：15°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春 黃浦區(qū)期末）如圖，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AE＝AD，BE交AD于點(diǎn)F，∠ADE＝75°，則∠AFB＝　 　°．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形內(nèi)角和求出頂角∠DAE的度數(shù)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得△ABE為等腰三角形，再由直角三角形的兩銳角互余得答案．
【解答】解：∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝75°，
∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BAE＝90°+30°＝120°，
∴∠ABE，
∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°．
故答案為：60．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，正方形的四個(gè)角都是直角，且各邊都相等；在幾何證明中常運(yùn)用等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊來證明邊相等或角相等；在三角形中，要熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和直角三角形的兩個(gè)銳角互余．
【變式1-2】（2023春 海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形ABCD內(nèi)，以AB為邊作等邊△ABE，則∠BEG＝　 　°．
【分析】本題通過正方形的性質(zhì)得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．進(jìn)而得到∠ADE＝∠AED＝75°，
從而得到答案即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
又∵三角形ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．
∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故答案為：45．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春 大興區(qū)期中）在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F．連接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度數(shù)．
【分析】由對(duì)稱的性質(zhì)可得AE＝AB，∠EAB＝40°，即可求得∠EAD的度數(shù)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ADF＝∠AED，進(jìn)而可求解．
【解答】解：∵點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，
∴AP是對(duì)稱軸，
∴∠PAB＝∠PAE＝20°，
∴∠EAB＝2∠BAP＝40°，AE＝AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠EAD＝130°，
∴AE＝AD，
∴∠ADF＝∠AED，
∴∠ADF．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證得AE＝AD是解題的關(guān)鍵．
【題型2 正方形的性質(zhì)（求線段的長度）】
【例2】（2023春 崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長為　 　．
【分析】先由勾股定理求出BD，再求出AD＝ED，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：過E作EF⊥AB于F，
設(shè)EF＝x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴BDAB，EF＝BF＝x，
∴BEx，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝ED，
∴BD＝BE+EDx+1，
∴x＝1，
∴BE1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；證明三角形是等腰三角形，列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春 余杭區(qū)月考）邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EC、FD，點(diǎn)G，H分別是EC、DF的中點(diǎn)，連結(jié)GH，則GH的長為　 　．
【分析】連接CH并延長交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝CF＝2，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接CH并延長交AD于P，連接PE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH和△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE，
∵點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，
∴GHEP．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．
【變式2-2】（2023春 南開區(qū)期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G在CD上，AB＝5，CE＝2，T為AF的中點(diǎn)，求CT的長．
【分析】連接AC，CF，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC，AB＝5，CFCE＝2，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，則利用勾股定理得到AF，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CT的長．
【解答】解：連接AC、CF，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，
∴ACAB＝5，CFCE＝2，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF，
∵T為AF的中點(diǎn)，
∴CTAF，
∴CT的長為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．
【變式2-3】（2023春 綦江區(qū)校級(jí)月考）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°．
（1）求證：EF＝AE+CF；
（2）當(dāng)AE＝1時(shí)，求EF的長．
【分析】（1）延長BC至H，使CH＝AE，連接DH，可得△DAE≌△DCH，則DE＝DH，∠ADE＝∠CDH；由于∠ADE+∠FDC＝45°，所以∠FDC+∠HCD＝45°，可得∠EDF＝∠HDF，這樣△EDF≌△HDF，可得EF＝FH，結(jié)論得證；
（2）設(shè)EF＝x，由（1）的結(jié)論可知CF＝x﹣1，BF＝4﹣x，在Rt△BEF中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）證明：延長BC至H，使CH＝AE，連接DH，如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°．
∴△DAE≌△DCH（SAS）．
∴DE＝DH，∠ADE＝∠CDH．
∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠FDC＝45°．
∴∠FDC+∠CDH＝45°．
即∠FDH＝45°．
∴∠EDF＝∠FDH＝45°．
在△EDF和△HDF中，
．
∴△EDF≌△HDF（SAS）．
∴EF＝FH．
∵FH＝FC+CH＝FC+AE，
∴EF＝AE+FC．
（2）設(shè)EF＝x，則FH＝x．
∵正方形ABCD的邊長為3，
∴AB＝BC＝3．
∵AE＝1，
∴BE＝2，CH＝1．
∴FC＝x﹣1．
∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．
在Rt△BEF中，
∵BE2+BF2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2．
解得：x．
∴EF．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，勾股定理．證明一條線段等于兩條線段的和的題目一般采用補(bǔ)短法或截長法，通過構(gòu)造三角形的全等來解決．
【題型3 正方形的性質(zhì)（求面積、周長）】
【例3】（2022春 儀征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE＝CF，線段BF、AE相交于點(diǎn)O，若圖中陰影部分的面積為14，則△ABO的周長為　 　．
【分析】由“SAS”可證△ABE≌△BCF，可得S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，可求S△ABO（4×4﹣14）＝1，可得2AO BO＝4，由勾股定理可求AO+BO的值，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
又∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，
∴S△ABO＝S四邊形ECFO，∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CBF+∠AEB＝∠AOB，
∵圖中陰影部分的面積為14，
∴S△ABO（4×4﹣14）＝1，
∴AO×BO＝1，
∴2AO BO＝4，
∵AB2＝AO2+BO2＝16，
∴（AO+BO）2＝20，
∴AO+BO＝2，
∴△ABO的周長＝AB+AO+BO＝24，
故答案為：24．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出AO+BO的值是本題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春 倉山區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)H．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為3：4，則△BCH的周長為（　　）
A．24 B．2 C．24 D．24
【分析】先計(jì)算出正方形的面積，再由比例求出空白部分的面積，通過證明△BCE≌△CDF可求解S△BCH，∠BHC＝90°，再由勾股定理及完全平方公式可求解BH+CH的長，即可求出△BCG的周長﹒
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，BC＝CD＝AB＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∴S正方形ABCD＝16，
∵S陰影：S正方形ABCD＝3：4，
∴S陰影12，
∴S空白＝16﹣12＝4，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴S△BCH＝S四邊形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF，
∵∠DCF+∠HCB＝90°，
∴∠HBC+∠HCB＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴BH2+CH2＝BC2＝16，BH CH＝4，
∴（BH+CH）2＝BH2+CH2+2BH CH＝16+2×4＝24，
∴BH+CH，
∴△BCH的周長為BH+CH+BC，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及面積的和差相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是證明全等兩個(gè)三角形面積全等，得到△BCH面積．
【變式3-2】（2023春 海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長為1，則△CEF的周長為（　　）
A．14 B．16 C．18 D．12
【分析】由正方形的性質(zhì)及三角形的中位線可求得BE＝2，由直角三角形斜邊上的中線可求得△CEF的周長為ED+EC，利用勾股定理可求解ED的長，進(jìn)而可求解．
【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵F為DE的中點(diǎn)，
∴OF為△DBE的中位線，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周長為EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，
∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴ED，
∴△CEF的周長為EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，三角形的中位線，求解ED的長是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春 河西區(qū)期中）將5個(gè)邊長為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1，A2，A3，A4是正方形的中心，則這個(gè)正方形重疊部分的面積和為（　　）
A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2
【分析】在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，即可證得：△A1EN≌△A1MF，則四邊形A1MA2N的面積＝四邊形EA1FA2的面積正方形ABCD的面積，據(jù)此即可求解．
【解答】解：如圖，
在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，
兩邊相交于M和N，
∠A1EN＝∠A1MF＝90°，
∠EA1N+∠ENA1＝90°，
∠EA1N+∠FA1M＝90°，
∴∠ENA1＝∠FA1M，A1E＝A1F，
∴△A1EN≌△A1MF（ASA），
∴四邊形A1MA2N的面積＝四邊形EA1FA2的面積正方形ABCD的面積，
同理可證，另外三個(gè)陰影四邊形的面積都等于正方形ABCD的面積，
∴圖中重疊部分（陰影部分）的面積和＝正方形ABCD的面積＝4cm2，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線，證得：四邊形A1MA2N的面積＝四邊形EA1FA2的面積正方形ABCD的面積是解題的關(guān)鍵．
【題型4 正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】
【例4】（2022秋 和平區(qū)期末）如圖，若在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為AD延長線上一點(diǎn)，且DE＝DF，則AE與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
【分析】延長AE交CF于點(diǎn)G，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，證明△ADE≌△CDF，進(jìn)而可得AE＝CF，AE⊥CF．
【解答】解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：
如圖，延長AE交CF于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠F＝90°，
∴∠DAE+∠F＝90°，
∴AG⊥CF，
即AE⊥CF．
∴AE＝CF，AE⊥CF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．
【變式4-1】（2022春 西山區(qū)期末）如圖（1），正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作AM⊥DE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．
（1）直接寫出OE與OF的數(shù)量關(guān)系：　 　；
（2）如圖（2）若點(diǎn)E在AC的延長線上，AM⊥DE于點(diǎn)M，AM交BD的延長線于點(diǎn)F，其他條件不變．試探究OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB＝OA，又因?yàn)锳M⊥BE，所以∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，從而求證出△AOF≌△BOE，得到OE＝OF．
（2）由“ASA”可證△AOF≌△BOE，得到OE＝OF．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AM⊥DE，
∴∠AOD＝∠DOE＝∠AME＝90°，OA＝OD，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠AFO＝∠MEA，
在△AOF和△DOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF，
故答案為：OE＝OF；
（2）OE＝OF，
理由如下：
∵正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AM⊥DE，
∴∠AOD＝∠DOE＝∠AME＝90°，OA＝OD，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠AFO＝∠MEA，
在△AOF和△DOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022春 安陽縣期末）四邊形ABCD是正方形，G是直線BC上任意一點(diǎn)，BE⊥AG于點(diǎn)E，DF⊥AG于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)（如圖1），易證DF﹣BE＝EF．
（1）當(dāng)點(diǎn)G在BC延長線上時(shí)，在圖2中補(bǔ)全圖形，寫出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）當(dāng)點(diǎn)G在CB延長線上時(shí)，在圖3中補(bǔ)全圖形，寫出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，不用證明．
【分析】由ABCD是正方形，得到AB＝DA、AB⊥AD，由BE⊥AG、DF⊥AG，結(jié)合題干得到∠ABE＝∠DAF，于是得出△ABE≌△DAF，即可AF＝BE．
（1）同理證明△ABE≌△DAF，得AF＝BE，DF＝AE，根據(jù)圖2可得結(jié)論；
（2）同理證明△ABE≌△DAF，得AF＝BE，DF＝AE，根據(jù)圖3可得結(jié)論．
【解答】證明：如圖1，∵ABCD是正方形，
∴AB＝DA、AB⊥AD．
∵BE⊥AG、DF⊥AG，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE，DF＝AE，
∴DF﹣BE＝AE﹣AF＝EF．
（1）如圖2，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：BE＝DF+EF，
理由是：∵ABCD是正方形，
∴AB＝DA、AB⊥AD．
∵BE⊥AG、DF⊥AG，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE，DF＝AE，
∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；
（2）如圖3，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：EF＝DF+BE；
理由是：∵ABCD是正方形，
∴AB＝DA，AB⊥AD．
∵BE⊥AG，DF⊥AG，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE，DF＝AE，
∴EF＝AE+AF＝DF+BE．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)定理，此題難度適中．
【變式4-3】（2023春 天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于O．
（1）如圖1，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你用等式直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，設(shè)E、F分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且∠EOF＝45°，請(qǐng)你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）首先證明△EOA≌△FOB，推出AE＝BF，從而得出結(jié)論；
（2）在BC上取一點(diǎn)H，使得BH＝AE．由△OAE≌△OBH，推出AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，由△FOE≌△FOH，推出EF＝FH，由∠FBH＝90°，推出FH2＝BF2+BH2，由此即可解答．
【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一點(diǎn)H，使得BH＝AE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中 ，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
【題型5 正方形的性質(zhì)綜合應(yīng)用】
【例5】（2022秋 周村區(qū)期末）（1）如圖1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接EF，AG．求證：EF＝FG；
（2）如圖2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的長．
【分析】（1）證△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．通過證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM＝AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM＝∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN＝45°得到∠MAN＝∠EAN＝45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN＝EN；最后由勾股定理得到EN2＝EC2+NC2即MN2＝BM2+NC2．
【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，
∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG；
（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN＝EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．
∴MN2＝BM2+NC2．
∵BM＝1，CN＝3，
∴MN2＝12+32，
∴MN．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題；
【變式5-1】（2023春 余杭區(qū)月考）已知正方形ABCD如圖所示，連接其對(duì)角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CP⊥CF，交AD延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：BF＝DP；
（2）若正方形ABCD的邊長為4，求△ACP的面積；
（3）求證：CP＝BM+2FN．
【分析】（1）由“ASA”可證△CDP≌△CBF，可得BF＝DP；
（2）根據(jù)等角對(duì)等邊易證AP＝AC，根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（3）由全等三角形的性質(zhì)可得CP＝CF，在CN上截取NH＝FN，連接BH，則可以證明△AMB≌BHC，得到CH＝BM，即可證得．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
∵CP⊥CF，
∴∠FCP＝90°＝∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCP，
∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，
∴△CDP≌△CBF（ASA）
∴BF＝DP；
（2）∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，
∴∠BFC＝67.5°，
∵△CDP≌△CBF，
∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，
∴∠ACP＝∠P＝67.5°，
∴AC＝AP，
∵ACAB＝4，
∴S△ACPAP×CD＝8；
（3）在CN上截取NH＝FN，連接BH，
∵△CDP≌△CBF，
∴CP＝CF，
∵FN＝NH，且BN⊥FH，
∴BH＝BF，
∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，
∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，
∴∠HBC＝∠BAM＝45°，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，
∴△AMB≌△BHC（ASA），
∴CH＝BM，
∴CF＝BM+2FN，
∴CP＝BM+2FN．
【點(diǎn)評(píng)】本題是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春 莆田期末）如圖1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AE＝EF；
（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC邊上的任意點(diǎn)一，在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）取AB的中點(diǎn)H，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF；
（2）成立，延長BA到M，使AM＝CE，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF；
（3）存在，作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，則有：DM∥EF，連接ME、DF，證明△ADM≌△BAE（ASA），得到DM＝AE，由（1）AE＝EF，所以DM＝EF，所以四邊形DMEF為平行四邊形．
【解答】（1）證明：取AB的中點(diǎn)H，連接EH；如圖1所示
∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如圖2，延長BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME與△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（3）存在，
理由如下：點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，如圖3，作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，則有：DM∥EF，連接ME、DF，
在△ADM與△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴DM＝AE，
由（1）AE＝EF，
∴DM＝EF，
∴四邊形DMEF為平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及全等三角形判定的理解及運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線．
【變式5-3】（2023春 江津區(qū)期中）在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段OC上，點(diǎn)F在線段AB上，連接BE，連接EF交BD于點(diǎn)M，已知∠AEB＝∠OME．
（1）如圖1，求證：EB＝EF；
（2）如圖2，點(diǎn)N在線段EF上，AN＝EN，AN延長線交DB于H，連接DF，求證：DFAH．
【分析】（1）依據(jù)四邊形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，進(jìn)而得到∠5＝∠FBE，即可得到EF＝EB；
（2）連接DE，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH＝BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到DE＝BE＝AH＝EF，再根據(jù)△DEF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，
∴在Rt△OME和Rt△OEB中，
∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，
∵∠OME＝∠OEB，
∴∠3＝∠4，
∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，
∴EF＝EB；
（2）連接DE，
∵AN＝EN，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠5，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，AC⊥BD，
∴∠7＝∠8＝90°，
在△AOH和△BOE中，
，
∴△AOH≌△BOE（ASA），
AH＝BE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE＝AH＝EF，
∵AC⊥BD，
∴∠6＝∠AEB，
∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，
∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)全等三角形的判斷．
【知識(shí)點(diǎn)3 正方形的判定】
①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．
【題型6 判定正方形成立的條件】
【例6】（2022春 上蔡縣期末）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①對(duì)角線互相垂直或有一組鄰邊相等的矩形是正方形；
②對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
③對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；
④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)正方形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：①對(duì)角線互相垂直或有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故①正確；
②對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，故②正確；
③對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故③正確；
④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故④正確；
綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是逐個(gè)判斷即可得出答案．
【變式6-1】（2022春 建湖縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（　　）
A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF
【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有BE＝EC，BF＝FC進(jìn)而得出四邊形BECF是菱形；由菱形的性質(zhì)知，以及菱形與正方形的關(guān)系，進(jìn)而分別分析得出即可．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE＝EC，BF＝CF，
∵BF＝BE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四邊形BECF是菱形；
當(dāng)BC＝AC時(shí)，
∵∠ACB＝90°，
則∠A＝45°時(shí)，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
故選項(xiàng)A正確，但不符合題意；
當(dāng)BD＝DF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)B正確，但不符合題意；
當(dāng)AC＝BF時(shí)，無法得出菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；
當(dāng)CF⊥BF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)D正確，但不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定等知識(shí)，熟練掌握正方形的相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022春 開原市校級(jí)月考）已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（　　）
①AB＝BC，
②∠ABC＝90 ，
③AC＝BD，
④AC⊥BD
A．選①② B．選①③ C．選②③ D．選②④
【分析】根據(jù)要判定四邊形是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形進(jìn)而分別分析得出即可．
【解答】解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，
所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，
所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，
所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意．
D、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，
所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．
【變式6-3】（2022秋 陜西期中）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是　 　．
【分析】依據(jù)條件先判定四邊形EFGH為菱形，再根據(jù)∠FEH＝90°，即可得到菱形EFGH是正方形．
【解答】解：滿足的條件應(yīng)為：AC＝BD且AC⊥BD．
理由：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴在△ADC中，HG為△ADC的中位線，
∴HG∥AC且HGAC；
同理EF∥AC且EFAC，同理可得EHBD，
則HG∥EF且HG＝EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
又∵AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四邊形EFGH為菱形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH＝90°，
∴菱形EFGH是正方形．
故答案為：AC＝BD且AC⊥BD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及正方形的判定．解題時(shí)注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
【題型7 正方形判定的證明】
【例7】（2022秋 富平縣期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求證：四邊形ABCD是正方形．
【分析】作EM⊥BC于點(diǎn)M，可證EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的數(shù)量關(guān)系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可證AB＝BC，可得結(jié)論．
【解答】證明：如圖，作EM⊥BC于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春 婁星區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是兩銳角平分線的交點(diǎn)，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，求證：四邊形CDEF是正方形．
【分析】過E作EM⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF＝ED＝EM．再證明四邊形EFDC是矩形，可根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形得到四邊形CDEF是正方形．
【解答】證明：過E作EM⊥AB，
∵AE平分∠CAB，
∴EF＝EM，
∵EB平分∠CBA，
∴EM＝ED，
∴EF＝ED，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，
∴四邊形EFDC是矩形，
∵EF＝ED，
∴四邊形CDEF是正方形．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的判定，關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的矩形是正方形．
【變式7-2】（2022春 新鄉(xiāng)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．
（1）求證：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝　 °時(shí)，四邊形MPND是正方形，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB＝∠CDB；
（2）由三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可證四邊形MPND是矩形，再根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．
【解答】證明：（1）∵對(duì)角線BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB；
（2）當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，四邊形MPND是正方形，
理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴四邊形MPND是矩形，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠PMD＝90°，
∴∠MPD＝∠PDM＝45°，
∴PM＝MD，
∴矩形MPND是正方形，
故答案為：90．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定．
【變式7-3】（2022秋 渠縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)、F是AC中點(diǎn)，AN是△ABC的外角∠MAC的平分線，延長DF交AN于點(diǎn)E，連接CE．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝4，則四邊形ADCE的面積為多少？
（3）直接回答：當(dāng)△ABC滿足 　時(shí)，四邊形ADCE是正方形．
【分析】（1）根據(jù)AN是△ABC外角∠CAM的平分線，推得∠MAE（∠B+∠ACB），再由∠B＝∠ACB，得∠MAE＝∠B，則AN∥BC，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得FD∥AB，可得四邊形ABDE為平行四邊形，則AE＝BD＝CD，得出四邊形ADCE為平行四邊形，再證出AD⊥AE即可得出四邊形ADCE為矩形．
（2）由（1）知四邊形ADCE是矩形，由條件可證明△ABC為等邊三角形，求出CD和AD長，則四邊形ADCE的面積可求出；
（3）由（1）知四邊形ADCE是矩形，增加條件能使AD＝DC即可
【解答】（1）證明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F為AC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，
∴FD∥AB，
∴四邊形ABDE為平行四邊形，
∴AE＝BD，
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四邊形ADCE為矩形；
（2）解：由（1）知四邊形ADCE是矩形，
∵BC＝AB＝4，AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，
∴AD＝2，
∴四邊形ADCE的面積為CD×AD＝2×24；
（3）解：答案不唯一，如當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴AD＝DC，
∵四邊形ADCE為矩形，
∴四邊形ADCE為正方形．
故答案為：∠BAC＝90°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型8 正方形的判定與性質(zhì)綜合】
【例8】（2023春 天心區(qū)期中）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的長度；
（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；
（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題；
（3）分兩種情形：①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，求得∠DEC＝45°+40°＝85°，得到∠CEF＝5°，根據(jù)角的和差得到∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如圖2中，在Rt△ABC中，ACAB＝4，
∵CE＝2，
∴AE＝CE，
∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，
∴四邊形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝2；
（3）①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
綜上所述，∠EFC＝130°或40°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．
【變式8-1】（2022秋 青山區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝4，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE、過點(diǎn)E作EF⊥DE．交BC點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）過E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過E作EN⊥CD于N點(diǎn)，即可得到EN＝EM，然后判斷∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法證出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝8即可．
【解答】解：（1）如圖所示，過E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過E作EN⊥CD于N點(diǎn)，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四邊形EMCN為正方形，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG為正方形，
（2）CE+CG的值為定值，理由如下：
∵矩形DEFG為正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CEAB48，
∴CE+CG＝8是定值．
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，三角形的全等的性質(zhì)和判定，勾股定理的綜合運(yùn)用，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論．
【變式8-2】（2022春 南充期末）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG與EF交于點(diǎn)O．
（1）求證：四邊形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求證：AB＝AG；
（3）在（2）的條件下，已知AB＝1，求OD的長．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得EF＝EB，根據(jù)正方形的判定即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形全等的判定證得AGD≌△ABE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）首先證得△DFO≌△EGO得到FO＝GO，F(xiàn)D＝EG，根據(jù)勾股定理證得DOOFOG，根據(jù)線段的和差求解即可．
【解答】（1）證明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四邊形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四邊形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四邊形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，F(xiàn)D＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DOOFOG，
∴DG＝DO+OGOG+OG＝1，
∴OG1，
∴OD（1）＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，通過全等三角形和勾股定理證得DOOFOG是解決問題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022春 鄒城市期末）如圖， ABCD中，∠A＝45°，過點(diǎn)D作ED⊥AD交AB的延長線于點(diǎn)E，且BE＝AB，連接BD，CE．
（1）求證：四邊形BDCE是正方形；
（2）P為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N在直線AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求證：ANPB．
【分析】（1）先證四邊形BDCE是平行四邊形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得DB＝BE，DB⊥BE，可得結(jié)論；
（2）由“ASA”可證△DBP≌△NMP，可得DB＝MN＝AB，可證AN＝BM，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM＝ANBP．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝AB，
∴BE∥CD，
∴四邊形BDCE是平行四邊形，
∵ED⊥AD，∠A＝45°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
又∵AB＝BE，
∴DB＝BE，DB⊥BE，
∴平行四邊形BDCE是正方形；
（2）∵四邊形BDCE是正方形，
∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°，
∵PM＝PB，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴∠BPM＝90°，
∴∠DPN＝∠BPM＝90°，
∴∠DPB＝∠NPM，
在△DBP和△NMP中，
，
∴△DBP≌△NMP（ASA），
∴DB＝MN，
∴AB＝NM，
∴AN＝BM，
∵BP＝PM，∠BPM＝90°，
∴BMBP，
∴ANBP．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△DBP≌△NMP是本題的關(guān)鍵．
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