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專題2 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的參數(shù)問(wèn)題
【典例1-1】（22-23高二下·四川成都·期中）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定，1是的兩根，解得答案.
【詳解】由，由已知遞減區(qū)間，則得：，
故，1是的兩根，，，
故選：A
【典例1-2】（22-23高二下·北京海淀·期中）如果定義在R上的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，那么實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)值為零，計(jì)算并驗(yàn)證即可.
【詳解】由題意可得：且，
代入驗(yàn)證，符合題意，故.
故答案為：
【題后反思】
已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)問(wèn)題，即已知導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，結(jié)合基本初等函數(shù)相關(guān)知識(shí)求解并檢驗(yàn)即可.
【舉一反三】
（22-23高二下·四川成都·期中）
1．已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為（ ）
A．3 B． C．6 D．
（22-23高二下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）
2．已知函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是 ．
【典例2-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依題意，在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)可得實(shí)數(shù)a的最大值.
【詳解】由題意，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上恒成立，即，
令，則，
又，所以，所以在為減函數(shù)，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)a的最大值是.
故選：C
【典例2-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由在上單調(diào)遞增，即有在上恒成立，參變分離后借助導(dǎo)數(shù)計(jì)即可得.
【詳解】由題意，在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，有，
所以，解得，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：.
故答案為：-1.
【題后反思】
函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)的范圍
1.數(shù)形結(jié)合：對(duì)于基本初等函數(shù)、分段函數(shù)，可結(jié)合函數(shù)圖象列不等式，求參數(shù)的取值范圍；
2.借助導(dǎo)數(shù)：轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒大于等于0或者恒小于等于0，借助不等式恒成立的解法即可求出參數(shù)的范圍.
【舉一反三】
（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）
3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．或 B． C．或 D．
（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）
4．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-1】（23-24高二上·重慶·期末）若是函數(shù)，的極值點(diǎn)，則 .
【答案】-1
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)的含義可得，經(jīng)驗(yàn)證即可確定答案.
【詳解】由于，故，
由于是函數(shù)的極值點(diǎn)，故，
即，
此時(shí)，
由于，則，
故是的變號(hào)零點(diǎn)，
即是函數(shù)，的極值點(diǎn)，符合題意，
故，
【典例3-2】（22-23高二下·河南鄭州·階段練習(xí)）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)均大于零可求解．
【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋?br/>若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
則有兩個(gè)不同正根，
即有兩個(gè)不同正根，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【題后反思】已知極值點(diǎn)求參數(shù)
已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，往往是通過(guò)列方程來(lái)求解：
1.求參數(shù)的值：①導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值等于0；②極值也是函數(shù)值，函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值等于極值；
2.驗(yàn)證：極值點(diǎn)都是導(dǎo)函數(shù)方程的解，但導(dǎo)函數(shù)方程的解不一定是極值點(diǎn)，要使導(dǎo)函數(shù)方程的解是極值點(diǎn)，必須滿足函數(shù)在這個(gè)解左右兩邊的單調(diào)性正好相反，因此求出參數(shù)后，需帶入原函數(shù)驗(yàn)證.
【舉一反三】
（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）
5．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的為（ ）
A． B．的遞增區(qū)間為
C．的極小值為1 D．的極大值為
（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）
6．若函數(shù)在處有極小值，則（　 ）
A． B． C．或 D．
【典例4-1】（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)的極大值為11，則的極小值為 ．
【答案】－21
【分析】
首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極大值，并求，再求解函數(shù)的極小值.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋睿獾没颍?br/>列表：
0 0 +
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，由題意得，解得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.
故答案為：
【典例4-2】（22-23高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值為2，則 ．
【答案】
【分析】直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性和條件，求出值，從而求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>又，所以在上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，得到，故，
所以.
故答案為：.
【題后反思】已知函數(shù)的最值求參：
一般先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值（含參數(shù)），根據(jù)最值列方程組或不等式組求參數(shù)的范圍.
【舉一反三】
（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）
7．已知函數(shù)在處取得極值5，則 .
（22-23高二下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）
8．已知函數(shù)，且的最小值為0，則的值為 ．
【典例5-1】（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，求出，即可求出參數(shù)的取值范圍；
（2）首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再分、兩種情況討論，即可得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，
依題意在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即的取值范圍為.
（2）當(dāng)時(shí)，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【典例5-2】（22-23高二下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；
（2）.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值情況，結(jié)合解不等式即可求得答案；
（2）根據(jù)所給范圍，討論a的取值范圍，確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)最小值.
【詳解】（1）由題意得，
定義域是，
當(dāng)時(shí)，由得或;
則的單調(diào)遞增區(qū)間是，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，僅在時(shí)等號(hào)成立，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，由得或，
則的單調(diào)遞增區(qū)間是，；
當(dāng)時(shí)，由得，
則的單調(diào)遞增區(qū)間是，
故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是，；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）由（1）知，令，得，
當(dāng)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
則，
當(dāng)，時(shí)， 在上單調(diào)遞減，
時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則；
當(dāng)，在上單調(diào)遞減，
則，
綜上所述．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后，表達(dá)式中含有字母參數(shù)，因此判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí)要注意參數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)的影響，因此要注意分類討論，即要注意結(jié)合二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)分類討論參數(shù)的取值范圍，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，解決問(wèn)題.
【題后反思】討論的角度：
①討論最高次冪的系數(shù)是否為0；
②討論導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)；
③若導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)零點(diǎn)，討論變化零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)；
④討論導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系．
【舉一反三】
（2024高二·上海·專題練習(xí)）
9．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值.
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
（23-24高二上·江蘇徐州·期末）
10．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求a的值.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．D
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意的解集為，即可求出參數(shù)的值.
【詳解】
由，所以，
單調(diào)遞減區(qū)間是，的解集為，
即的解集為，
，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
故選：D.
2．
【分析】
求導(dǎo)，根據(jù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，可得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不在區(qū)間上，從而可得出答案.
【詳解】
，
令，則或，
因?yàn)槭菂^(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，
所以或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
3．C
【分析】
先求出導(dǎo)函數(shù)，由得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，則是函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的子集，從而求出的取值范圍．
【詳解】
，
，令得：，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，，
又函數(shù)在上連續(xù)，或，
或.
故選：C．
4．D
【分析】
把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求解最值即可求解.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，
即在上恒成立，又函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，
故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
故選：D
5．AD
【分析】
先由求出值，再利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可.
【詳解】由題可得，，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，則，解得，
故，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
故的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為，故A正確，B錯(cuò)誤；
由上可知，的極大值為，極小值為，
故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：AD.
6．A
【分析】
根據(jù)求得c，然后驗(yàn)證即可.
【詳解】，
因?yàn)樵谔幱袠O小值，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，令，解得或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
此時(shí)，在處有極大值，不滿足題意.
當(dāng)時(shí)，令，解得或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
此時(shí)，在處有極小值，滿足題意.
故選：A
7．
【分析】
由極值及極值點(diǎn)的定義可得、，計(jì)算即可得.
【詳解】，則有，解得，
，解得，故.
故答案為：.
8．
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)求出，結(jié)合已知最小值可得結(jié)果.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br/>，
當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，此時(shí)無(wú)最小值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，
在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
令，，
令，得，令，得，
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故.
故答案為：.
9．(1)0
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值即可.
（2）含參討論函數(shù)單調(diào)性即可.
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，，
由，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
故；
（2）
定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
令，解得.
于是在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案；
（2）對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，可得，再令，證得，即，可得出答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)椋?br/>則，則，，
由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，即.
（2）的定義域?yàn)椋?br/>，
當(dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，即
則令，設(shè)，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，解得：.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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