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專題4 用導數解析函數零點問題
【典例1-1】（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）函數，若函數有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用導數研究函數的圖象，然后作出函數的圖象，結合圖形可解.
【詳解】令，則，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增.
所以，當時，取得極小值，
再結合二次函數圖象，作出的圖象如下圖：
因為函數有3個零點，
所以函數的圖象與直線有3個交點，
由圖可知，，即的取值范圍為.
故選：C
【典例1-2】（2023·廣東肇慶·模擬預測）已知函數有兩個零點，則實數取值范圍為 .
【答案】
【分析】將零點問題轉化為交點問題求解即可.
【詳解】若有兩個零點，故有兩個零點，
當時，無零點，故排除，化簡得與，定義域為，
又，令，，令，，
故在單調遞減，在單調遞增，
故極小值為，當時，，當時，，
當時，，故.
故答案為：
【題后反思】根據函數零點個數求參數方法總結反思：
1、分離參數后，將原問題轉化為的值域（最值）問題或轉化為直線與的圖象的交點個數問題（優先分離、次選分類）求解；
2、利用函數零點存在定理構造不等式求解；
3、轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解。
【舉一反三】
（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）
1．已知函數，在點處的切線方程是.
(1)求的值；
(2)設函數，若函數只有1個零點，求的取值范圍.
（23-24高二上·浙江寧波·期末）
2．已知函數有兩個零點，求的取值范圍 .
【典例2-1】（22-23高二上·河南·期末）若是函數的極值點，則函數在的零點個數是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】由函數的極值點判斷，再由導數的性質得出單調性和最值，最后結合圖像得出結果.
【詳解】由，則，則．
所以，函數在上，，單調遞增，最小值 ，
結合圖象可知，交點個數為1．
故選：A
【典例2-2】（22-23高二下·福建泉州·階段練習）已知函數，其中．
（1）討論函數零點個數；
（2）求證：．
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【分析】（1）求導，分類討論的取值，即可根據導函數的正負確定函數的單調性，進而可求解，
（2）根據，取，利用累加法，結合指對互化即可求解.
【詳解】（1）
①當時，即在單調遞減，
又，只有一個零點.
②當時，令則，
當時，當時，
故在單調遞增，在單調遞減，
，
令，則，
故當時，單調遞減，當時，單調遞增，
故，
又，，
故當時，只有一個零點，
當且時，有兩個零點，
綜上可知：故當或時，只有一個零點，
當且時，有兩個零點，
（2）由（1）可知，當時，在單調遞減，
故當時，，故，
取，則，即，
相加可得，
，
，
【點睛】方法點睛：
1. 導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
2.利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用.
【題后反思】1、判斷函數零點個數的常用方法
（1）直接研究函數，求出極值以及最值，畫出草圖。函數零點的個數問題即是函數圖象與軸交點的個數問題．
（2）分離出參數，轉化為，根據導數的知識求出函數在某區間的單調性，求出極值以及最值，畫出草圖．函數零點的個數問題即是直線與函數圖象交點的個數問題．只需要用a與函數的極值和最值進行比較即可．
2.證明函數零點個數的方法與判斷零點個數的方法相似，多在解答題中進行考察。
利用函數零點存在定理：先用該定理判定函數在某區間上有零點，然后利用導數研究函數的單調性、極值（最值）及區間端點值的符號，進而判斷函數在該區間上零點的個數。
注意：單調性+零點存在=唯一零點
【舉一反三】
3．設函數
(1)當時，求曲線在處的切線方程.
(2)討論函數在區間上零點的個數.
（22-23高二下·陜西榆林·階段練習）
4．已知．
(1)討論的單調性；
(2)當時，判斷的零點個數．
【典例3-1】（22-23高二下·安徽·階段練習）函數在區間上的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據導數與函數的單調性、最值的關系以及零點的存在性定理求解.
【詳解】對函數求導可得，，
記,則，
當時，，則，
當時，，則，
所以在上，，所以，所以單調遞增，
注意到，
所以必存在使得，
于是在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
所以在區間上必存在一個零點.
綜上，函數在區間上有兩個零點.
故選:B.
【典例3-2】（22-23高二下·四川眉山·期末）已知函數，其中為自然對數的底數．
（1）當時，證明：;
（2）當時，求函數零點個數．
【答案】（1）證明見解析；
（2）2.
【分析】（1）把代入，利用導數探討函數單調性，借助函數最小值0推理作答.
（2）把代入，利用導數探討函數單調性，求出函數最小值，再借助零點存在性定理求解作答.
【詳解】（1）當時，，，求導得，
顯然，當時，，則，
當時，，則，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，
則當時，，
所以.
（2）當時，，，求導得，
當時，，則，當時，，則，
當時，函數都遞增，即函數在上單調遞增，
而，因此存在，使得，
當時，，當時，，
從而當時，，當時，，
即有函數在上單調遞減，在上單調遞增，，
而，于是函數在，各存在一個零點，
所以函數零點個數是2.
【點睛】思路點睛：涉及函數零點個數問題，可以利用導數分段討論函數的單調性，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.
【題后反思】有關三角函數的零點問題處理主要手段有：
（1）分段處理；
（2）討論好單調性與端點（特殊點），注意高階函數的應用，直接能清楚判斷所討論區間的單調性；
（3）關注有關三角函數不等式放縮，有時候可優化解題，避免繁雜的找點過程：
；；
【舉一反三】
（22-23高二下·河北邯鄲·期中）
5．已知函數是函數在上的一個零點，則（ ）
A．當時，
B．當時，
C．當時，
D．當時，
（23-24高二上·山西大同·期末）
6．已知函數．
(1)求的解析式；
(2)討論在上的零點個數．
【典例4-1】（22-23高二下·河南許昌·期中）已知函數．
（1）求出函數的極值；
（2）若對于任意的，都有，求整數的最大值．
【答案】（1）極小值為，無極大值
（2）6
【分析】（1）求出函數的導數，判斷函數單調性，然后根據單調性即可作答.
（2）將不等式等價變形，分離參數并構造函數，再探討函數的最小值即可推理作答.
【詳解】（1）由函數的定義域為，
所以，
令，則，令，則，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
所以取得極小值， 無極大值.
（2），，
令，，則，
由（1）知，在上單調遞增，
且，
則在區間內存在唯一的零點，
使，即，
則當時，，，
有在上單調遞減，
當時，，，
在上單調遞增，
于是得，
因此，，
所以整數的最大值為6.
【點睛】關鍵點睛：
涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.
【典例4-2】（22-23高二下·陜西渭南·期末）已知函數
（1）若，討論的單調性.
（2）當時，都有成立，求整數的最大值.
【答案】（1）答案見解析
（2）1
【分析】（1）求定義域，求導，分與兩種情況，得到的單調性；
（2）變形得到，令，，只需，求導，結合隱零點得到的單調性和極值，最值情況，得到，從而求出整數的最大值.
【詳解】（1），定義域為R，
且，
當時，恒成立，故在R上單調遞增，
當時，令得，，此時單調遞增，
令得，，此時單調遞減，
綜上：當時，在R上單調遞增，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
（2）由題意得，在上恒成立，
因為，所以，故，
令，，只需，
，
令，，
則在上恒成立，
故在上單調遞增，
又，
故存在，使得，即，
當時，，，單調遞減，
當時，，，單調遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，
，
所以，故整數的最大值為1.
【點睛】隱零點的處理思路：
第一步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區間，有時還需結合函數單調性明確零點的個數；
第二步：虛設零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數與對數互換，超越函數與簡單函數的替換，利用同構思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
【題后反思】1.不含參函數的“隱零點”問題的解策略：
已知不含參函數，導函數方程的根存在，卻無法求出，
設方程的根為，則有：①關系式成立；②注意確定的合適范圍.
2.含參函數的“隱零點”問題解題策略：
已知含參函數，其中為參數，導函數方程的根存在，卻無法求出，
設方程的根為，則有①有關系式成立，該關系式給出了的關系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關.
3.“虛設零點”的具體操作方法：
第一步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，列出零點方程，并結合的單調性得到零點的范圍；這里應注意，確定隱性零點范圍的方式是多種多樣的，可以由零點的存在性定理確定，也可以由函數的圖象特征得到，甚至可以由題設直接得到，等等；至于隱性零點范圍精確到多少，由所求解問題決定，因此必要時盡可能縮小其范圍；
第二步：以零點為分界點，說明導函數的正負，進而得到的最值表達式；這里應注意，進行代數式的替換過程中，盡可能將目標式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對數函數式用有理式替換，這是能否繼續深入的關鍵；
第三步：將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明；有時候第一步中的零點范圍還可以適當縮小．導函數零點雖然隱形，但只要抓住特征(零點方程)，判斷其范圍(用零點存在性定理)，最后整體代入即可．（即注意零點的范圍和性質特征）
【舉一反三】
（22-23高二下·吉林白城·期末）
7．已知函數在處的切線與直線：垂直．
(1)求的單調區間；
(2)若對任意實數，恒成立，求整數的最大值．
（22-23高二下·江西南昌·期末）
8．已知函數.
(1)若曲線在處的切線與直線平行，求a的值；
(2)當時，對任意的，恒成立，求整數k的最大值.（參考數據：）
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)，
(2)或
【分析】
（1）借助導數的幾何意義計算即可得；
（2）借助導數研究函數的單調性后計算即可得.
【詳解】（1），則，
，解方程組，可得，
即，；
（2）由，，故，，
，
故當或時，，當時，，
即在、上單調遞增，在上單調遞減，
又，，
若函數只有1個零點，則有或，
即或.
2．
【分析】
由函數求導后，對導函數中的參數進行分類討論，在時，通過判斷函數的單調性求得其最小值，依題需使推得；接著分段說明函數在區間和上各有一個零點即得.
【詳解】由求導可得：
當時，，在上單調遞增，所以至多有一個零點．
當時，由可得：，由可得：，故函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，當時，取得最小值，
．
令，，則，所以，在上單調遞減．
又，所以要使，即，則．
又因為，
所以在上有一個零點．
又
令，，則，所以在上單調遞增，
因為，所以，所以，所以．
所以在上也有一個零點．
綜上所述，a的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解；
（4）分類討論法：通過對函數求導，根據參數分類討論函數的單調性和最值，結合函數簡圖進行推理求解.
3．(1)
(2)答案見解析
【分析】
（1）先求得導函數，是切線的斜率，利用點斜式方程求切線方程即可；
（2）先對參數分類討論研究函數的單調性，結合函數的最值和區間的邊界值，利用零點存在性定理判斷零點個數即可.
【詳解】（1）因為，所以，
則，
所以，切線方程為
即
（2）由（1）知，.
①當時，在區間上大于零，在區間上單調遞增，且，所以在區間上有一個零點.
②當時，在區間上小于零，在區間上單調遞減，且，所以在區間上有一個零點.
③當時，在區間上小于零，在區間上大于零，
所以在區間上單調遞減，在上單調遞增，
而.
當，即時，在區間上有兩個零點.
當，即時，在區間上有一個零點.
綜上可知，當或時，在上有一個零點，
當時，在區間上有兩個零點.
4．(1)答案見解析
(2)零點個數為3個．
【分析】
（1）求出，分，，三種情況討論，分別根據導函數的符號，可求的單調區間；
（2）由（1）知在，上單調遞增，在上單調遞減，求出函數的極大值與極小值，再結合零點存在性定理求解即可.
【詳解】（1），
①當時，在R上恒成立，所以在R上單調遞增；
②當時，令，得，或，令，得，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減；
③當時，令，得，或，令，得．
所以在，上單調遞增，在上單調遞減．
綜上，當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．
（2）
當時，由（1）知在，上單調遞增，在上單調遞減，
所以，，
又，，
所以在，，上各有一個零點，
故在R上的零點個數為3個．
5．AC
【分析】對求導，根據函數的單調性及零點存在定理得出，即可判斷A，B；令，根據的單調性可判斷C；令，根據的單調性可判斷D．
【詳解】，當時，，此時函數單調遞增；
當，，此時函數單調遞減，
且，
因為是函數在上的一個零點，所以，
所以當，當，
對于A選項，當時，，故A正確；
對于B選項，當，故B錯誤；
對于C選項，令，故在上為增函數，
當時，，所以，即，故C正確；
對于D選項，令，故在上為增函數，
當時，，所以，即，故D錯誤.
故選：AC.
6．(1)
(2)2
【分析】
（1）對函數求導后令可得，即可求得；
（2）根據函數解析式對自變量進行分類討論，易知是其中一個零點，再通過構造函數利用零點存在定理即可得出在上有2個零點．
【詳解】（1）
（1）．
令可得，解得．
所以．
（2）
由（1）中可得，
①當時，有，，
所以恒成立，
所以在上單調遞減，，
即可得0是的一個零點．
②當時，
設，則恒成立，
即在上單調遞增．
又，，
根據零點存在定理可知，使得．
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增．
又，所以．
因為，
根據零點存在定理可知，使得．
綜上所述，在上的零點個數為2．
【點睛】方法點睛：求解零點個數問題時要充分利用函數特征，由導函數判斷出其單調性并結合零點存在定理即可得出零點個數.
7．(1)單調遞減區間為，單調遞增區間為．
(2)1
【分析】
（1）利用導數的幾何意義得出，再利用導數判斷單調區間即可；
（2）分離參數將問題轉化為恒成立，利用導數求最值結合隱零點計算即可.
【詳解】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．
所以，令，得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
（2）對任意實數，恒成立，
即對任意實數恒成立．
設，即．
，令，
所以恒成立，所以在上單調遞增．
又，，所以存在，使得，
即，所以．
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．
所以
，
當時，，
所以，由題意知且
所以，即整數的最大值為1．
8．(1)
(2)
【分析】
（1）根據斜率相等，求導即可得切點處導數值，解出a；
（2）求導，利用導數求解單調性，結合零點存在性定理，即可求解最值得解.
【詳解】（1）由題意可得，
則，解得.
故.
（2）當時，.
設，則，
故在上單調遞增.
因為，，
所以存在唯一的，使得，即，
當時，，當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
故.
設，則，
所以在上單調遞減，所以，即，
即.
因為對任意的，恒成立，且k為整數，所以，
則.
【點睛】方法點睛：利用導數求解參數范圍的問題的解題常用方法：
1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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