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專題1 與曲線的切線相關問題
（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）
【典例1-1】已知函數，則曲線在點處的切線經過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，則，
又，直線過，
則直線方程為，即，
令，得，即直線不受參數的影響，恒過定點.
故選：A.
（22-23高二下·北京大興·期中）
【典例1-2】已知過點的直線與曲線的相切于點，則切點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設切點坐標為，由，得，則過切點的切線方程為，
把點代入切線方程得，，即，
又，所以，則，
則切點坐標為.
故選：A
【題后反思】
求曲線的切線問題主要分兩大類：
一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數與導函數中求出切點和斜率即可；
另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標，利用導數表示切線的斜率以及切線方程，根據所過的點求切點，得出切線方程.
【舉一反三】
（23-24高三上·河北·期中聯考）
1．設為的導函數，若，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·遼寧·期中聯考）
2．過原點且與函數圖像相切的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
（2021·安徽蚌埠·二模）
【典例2-1】已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
切線的斜率為，
因為切線與直線垂直，所以，解得．
故選：D．
（22-23高二下·陜西漢中·期中）
【典例2-2】過點作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設切點為，
由，則，
所以過的切線方程為，即，
故有且僅有兩根，
設，則，
當時，，此時單調遞增；
當，，此時單調遞減，
又當時，，，，
所以的圖象如下：
故有且僅有兩根，則b的取值范圍為．
故選：A．
【題后反思】
【典例2-2】考查導數的幾何意義，求切線方程，關鍵點在于將問題轉化為方程的根的問題，根據方程的根的個數，求解參數的取值范圍，考查導函數的綜合應用，涉及等價轉化，數形結合思想.
【舉一反三】
（22-23高二下·陜西渭南·期中）
3．已知函數的圖像在處的切線垂直于直線，則實數a的值為（ ）
A． B． C．10 D．-10
（22-23高二下·廣東陽江·期中）
4．曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為（ ）
A． B．1 C． D．
（22-23高二下·福建廈門·期中）
【典例3-1】若曲線過點的切線有且僅有兩條，則實數的取值范圍是 .
【答案】或
【解析】，設切點，則切線的斜率為，
故切線方程為，
取，代入，得，
∵，∴有兩個不等實根，
故，解之，得或，
故答案為：或
（2023·山西·模擬預測）
【典例3-2】設函數，，若存在直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設直線為曲線在點處的切線，，
所以，即；
設直線為曲線在點處的切線，，
所以，即，
由題意知，因為，
由可得，
將其代入可得：，
顯然，整理得.
記且，則，
當時，；當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，則，即，
化簡得，解得.
故選：D.
【題后反思】
【典例3-2】考查利用過曲線外一點作曲線切線的條數求參數的取值范圍，解題的關鍵在于寫出切線方程，將點的坐標代入切線方程，將切線與切點建立一一對應的關系，轉化函數的零點個數，利用導數與數形結合思想求解．
【舉一反三】
（22-23高二下·江蘇南京·期中聯考）
5．過點有三條直線和曲線相切，則實數的可能取值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．4
（22-23高二下·安徽六安·期中）
6．設直線l是函數，和函數的公切線，則l的方程是 ．
（22-23高二下·遼寧鐵嶺·期末）
【典例4-1】已知點A在函數的圖象上，點B在直線上，則A，B兩點之間距離的最小值是 ．
【答案】
【解析】由題意可得，令得
所以當，，函數單調遞減，當，，函數單調遞增，所以，
所以的圖象如下圖：
要使得A，B兩點之間距離最小，即直線與平行時，當直線與曲線相切時，
與的距離即為A，B兩點之間最小的距離，
令，解得．由，
所以直線的方程為，即
則與的距離的距離，
則A，B兩點之間的最短距離是．
故答案為：．
（23-24高三上·全國·期中）
【典例4-2】已知曲線：的圖象是中心對稱圖形，其在點處的切線與軸相互垂直，則點到曲線的對稱中心的距離為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】令，易知的定義域為，且，即是奇函數，圖像關于原點對稱，
又易知圖像可由向上平移2個單位得到，所以曲線的對稱中心為，
又由，得到，
設，則由題知，得到或，
當時，，當時，，即或，
當時，點到曲線的對稱中心的距離為，
當時，點到曲線的對稱中心的距離為，
所以，點到曲線的對稱中心的距離為，
故選：D.
【題后反思】
求距離的最小值就是作出平行切線，求兩平行線間的距離問題，首先需要利用導數求出切線方程.
【舉一反三】
（22-23高二下·重慶南岸·期中）
7．已知點為函數的圖象上一點，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·黑龍江·期中聯考）
8．在平面直角坐標系中，過作軸的垂線，與函數的圖象交于點，過點作函數的圖象的切線，與軸交于，再過作軸的垂線，與函數的圖象交于點，再過點作函數的圖象的切線，與軸交于，……，如此進行下去，在軸上得到一個點列，記的橫坐標構成的數列為．
（1）求；
（2）求數列的通項公式．
（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）
9．函數的圖象與軸交于點，該曲線在點處的切線方程為
（22-23高二下·新疆和田·期中）
10．已知函數，點在曲線上.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程.
（22-23高二下·河南駐馬店·期中）
11．已知函數.
(1)求曲線與直線垂直的切線方程；
(2)若過點的直線與曲線相切，求直線的斜率.
（22-23高二下·上海閔行·期中）
12．若直線為曲線的一條切線，則實數的值是 ．
（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點
13．過點可以做三條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·二模）
14．若曲線有三條過點的切線，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
15．若曲線有兩條過坐標原點的切線，則實數的取值范圍是 ．
（22-23高二下·四川瀘州·期中聯考）
16．若點是曲線上任意一點，則點P到直線：距離的最小值為 .
（22-23高三上·陜西寶雞·期中）
17．已知函數，直線的方程為，則函數上的任意一點到直線的距離的最小值為
（22-23高二下·上海普陀·期中）
18．對于函數，分別在處作函數的切線，記切線與軸的交點分別為，記為數列的第n項，則稱數列為函數的“切線-軸數列”，同理記切線與軸的交點分別為，記為數列的第n項，則稱數列為函數的“切線-軸數列”
(1)設函數，記“切線-軸數列”為，記為的前n項和，求.
(2)設函數，記“切線-軸數列”為，猜想的通項公式并證明你的結論.
(3)設復數均為不為0的實數，記為的共軛復數，設，記“切線-軸數列”為，求證：對于任意的不為0的實數，總有成立.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
求導，令，求得，則可求，進而求出切線方程.
【詳解】因為，
所以，
令，
，，
所以曲線在點處的切線方程為：，即.
故選：D
2．C
【分析】先設出切點，再利用導數的幾何意義建立方程求出切線的斜率即可得到結果.
【詳解】因為，所以，
設所求切線的切點為，則，
由題知，，解得，所以切線斜率為，
故所求切線方程為.
故選：C.
3．A
【分析】
根據導數的幾何意義求切線的斜率，再利用兩直線垂直，根據斜率的關系，列式求值.
【詳解】，，根據導數的幾何意義可知，函數的圖象在點處切線的斜率為5，直線的斜率為，
由題意可知，，得.
故選：A
4．C
【分析】
求出原函數的導函數，得到曲線在點處的切線方程，取y=0求得x值即可.
【詳解】由，得，則曲線在點處的切線斜率為，
∴曲線在點處的切線方程為，
取，可得．
∴曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為-1．
故選：C．
5．CD
【分析】
設切點為，利用導數求得切線方程，代入P點坐標，整理得，令，有3個零點，利用導數求單調區間和極值，再由極大值大于0極小值小于0，求解實數a的取值范圍．
【詳解】
由，得，
設切點為，則過切點的切線方程為，
，
整理得，令，
由題意得，有3個零點，，
由，得或，
當時，函數只有一個零點，舍去；
當時，，由，得或，由，得，
是函數的極大值點，由于，函數沒有3個零點，舍去；
，同理可得是函數的極大值點，是函數的極小值點，
由于，由條件結合三次函數的性質可得：，即．
實數的取值范圍是．
故選：CD．
6．
【分析】
根據導數幾何意義和斜率的比值定義式，以及導數確定函數的單調性即可求解.
【詳解】設直線l與函數的切點為A，
直線l與函數的切點為B，
，所以，
，所以，
所以，
后面等式整理得，
代入前面等式整理得，
化簡得，
令，
因為，
所以，
所以，
令，
所以，
容易知道，為減函數，
，
所以恒成立，
所以單調遞增，
所以最多一個零點，
容易知道，
所以只有一個解，
故，
所以A點坐標為，
切線斜率為，
所以切線方程為，
即.
故答案為：.
【點睛】雙切點聯立方程，結合導數幾何意義，構造函數是關鍵.
7．A
【分析】
作出直線與函數的圖象，利用平行于直線且與函數的圖象相切的直線，可以求得相應的最小距離.
【詳解】設直線平行于直線，則直線的斜率為2，

當直線與函數的圖象相切，點為切點時，點到直線的距離的最小，
設切點坐標為，
因為，則，解得，
又在函數的圖象上，則，
則切點坐標為，到直線的距離為，
則點到直線的距離的最小值為.
故選：A.
8．（1）；（2）.
【分析】（1）先對求導，結合，可求得過的切線方程，令得點的橫坐標，從而可得，進而求出；
（2）由（1）可推出數列是首項與公比均為2的等比數列，然后可求得數列的通項公式．
【詳解】解：（1）因為，，
因為，所以過的切線方程為，
即，令得點的橫坐標為，
所以，
因為，所以；
（2）由（1）知，
∴
又∵
∴數列是首項與公比均為2的等比數列
∴，即
所以，數列的通項公式為．
9．
【分析】
利用導數的幾何意義求解即可.
【詳解】，
，故.
且，
,
故該曲線在點處的切線方程為.
故答案為：
10．(1)；
(2)或.
【分析】
（1）應用導數幾何意義求曲線上一點處的切線方程即可；
（2）令所求切線在曲線上的切點為，由導數幾何意義寫出切線方程，結合點在切線上求參數，即可得切線方程.
【詳解】（1）由題意，故，
所以，而，
所以曲線在點處的切線方程為.
（2）令所求切線在曲線上的切點為，則，
所以切線方程為，
又在切線上，故或，
所以切線方程為或.
11．(1)
(2)或5
【分析】
（1）求出切線的斜率，再寫出切線方程；
（2）根據切線的斜率與直線的方程列方程組求解即可.
【詳解】（1）因為斜率為，所以，
所以，又.
所以所求切線方程為，即.
（2），設切點的橫坐標為，直線的斜率為，直線的方程：，
則
則，整理得，所以，
所以或5.
12．
【分析】
根據導數的幾何意義、導數的運算公式以及切線方程的求法求解.
【詳解】由，可得，
設切點為，則，
故切線方程為，即，
又因為切線為，所以，
解得，所以，
故答案為：.
13．A
【分析】
設切點坐標，寫出切線方程，過點，代入化簡得，將問題轉化為該方程有三個不等實根，結合導函數討論單調性數形結合求解.
【詳解】設切點為，∵，∴，
∴M處的切線斜率，則過點P的切線方程為，
代入點的坐標，化簡得，
∵過點可以作三條直線與曲線相切，
∴方程有三個不等實根.
令，求導得到，
可知在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
如圖所示，
故，即.
故選：A.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查導數的幾何意義，求切線方程，關鍵點在于將問題轉化為方程的根的問題，根據方程的根的個數，求解參數的取值范圍，考查導函數的綜合應用，涉及等價轉化，數形結合思想，屬于中檔題.
14．B
【分析】
根據導數的幾何意義求出過點的切線方程為，利用方程的解個數與函數圖象交點個數的關系將問題轉化為圖象與直線在R上有3個交點，結合導數求出函數的極值，根據數形結合的思想即可求解.
【詳解】設該切線的切點為，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
又切線過點，則，整理得.
要使過點的切線有3條，需方程有3個不同的解，
即函數圖象與直線在R上有3個交點，
設，則，
令，令或，
所以函數在上單調遞增，在和上單調遞減，
且極小值、極大值分別為，如圖，
由圖可知，當時，函數圖象與直線在R上有3個交點，
即過點的切線有3條.
所以實數a的取值范圍為.
故選：B.
15．
【分析】
先設切點坐標，再利用導數的幾何意義，表示切線方程，然后根據切線方程過原點建立關于參數的方程（有兩個根），利用導數分析符合條件的情況即可.
【詳解】函數的定義域為，則．
設切點坐標為，，有，
則切線方程為．
又因為切線過原點，
所以，即，
整理得，即關于的方程有兩個不等實根．
解法一：，當時，方程無解．
當時，即．
令，，則，
當時，，函數在上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞減，
所以當時，函數取得極大值．
當時，，
當時，，且當時，，
當時，，所以實數的取值范圍是．
解法二：令，，則，
當時，恒成立，函數單調遞增，則函數至多有一個零點，因此不合題意；
當時，令，即，
當時，，函數在上單調遞減，且當時，；
當時，，函數在上單調遞增，且當時，，
所以函數的極小值為．
若關于的方程有兩個不等實根，即函數有兩個零點，則，又因為，所以，即，所以，所以實數的取值范圍是．
故答案為：
16．
【分析】
過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小.根據導數的幾何意義即可求解．
【詳解】
過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小．
設切點為，
∴切線斜率為，
由題知，解得或(舍)．
∴，此時點到直線距離．
故答案為：．
17．
【分析】
根據導數的幾何意義，結合平行線間距離公式進行求解即可.
【詳解】函數上任意一點的坐標為，過該點的切線為，
當直線與直線平行時，點到直線的距離的最小，
由，
所以直線的方程為，
因此函數上的任意一點到直線的距離的最小值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：利用導數的幾何意義求切線方程是解題的關鍵.
18．(1)當是正奇數時，；當是正偶數時，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求出導數，設出切點，表示出切線方程，根據“切線-軸數列”的定義即可求出數列的通項公式，進一步分類討論即可求其前項和.
（2）求出導數，設出切點，表示出切線方程，根據“切線-軸數列”的定義即可求出數列的通項公式.
（3）由復數的概念、運算先表示出，再求出導數，設出切點，表示出切線方程，根據 “切線-軸數列”的定義即可求出數列的通項公式結合的定義以及模即可得證.
【詳解】（1）由題意，則，設切點為，
則過切點的切線為，
令，整理得，
當是正奇數時，；當是正偶數時，；
所以當是正奇數時，；當是正偶數時，.
（2）猜想的通項公式為，證明過程如下：
由題意，則，設切點為，
則過切點的切線為，
令，整理得.
（3）由題意，則，
所以，
設切點為，
則過切點的切線為，
令，整理得.
【點睛】關鍵點睛：解決問題的關鍵是讀懂新定義的數列，然后具體會求切線方程進行運算轉換即可，綜合性較強.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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