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專題6非二項式結構問題
【典例1-1】（23-24高二上·江西九江·期末）實數精確到的近似值為 .
【答案】
【解析】因為
，
將精確到，故近似值為.
故答案為：.
【典例1-2】（21-22高二下·江蘇蘇州·期中）已知為正整數，若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因為
，
而，
所以，
因此，
又為正整數，，所以；
故選：C.
【題后反思】
一項如何拆分為兩項:
對于一項的問題，主要是將底數變成整數部分和小數部分，再由二項式定理展開求解.
【舉一反三】
（22-23高二下·浙江臺州·期末）
1．設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
（21-22高二·全國·單元測試）
2．的計算結果精確到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【典例2-1】（22-23高二下·河南周口·期中）的展開式中的系數為（ ）
A． B．60 C． D．120
【答案】A
【解析】因為展開式的通項為，
當時才能出現，此時展開的通項為，
當時出現的一次，所以展開式中的系數為．
故選：A.
【典例2-2】（22-23高二下·福建三明·期中）已知的展開式中各項系數和為1024，則展開式中不含的所有項系數和等于 .
【答案】213
【解析】因為的展開式中各項系數和為1024，
令，整理得，解得；
故的展開式滿足，
令時，的展開式滿足，令，解得，
故含的所有項系數為，
由于的所有項的系數和滿足當，時，所有項的系數和為，
故不含的所有項系數和等于．
故答案為：213．
【題后反思】
如何解決三項求項或指定項：
對于三項問題，可以由化為二項式進行求解，也可以利用多項式的乘法法則結合計數原理，分類討論得出所求項或指定項系數.
【舉一反三】
（22-23高二下·上海青浦·期中）
3．的展開式中，含有的項為
（22-23高二下·浙江·期中）
4．展開式為多項式，設其展開式經過合并同類項后的項數記為，其通項的形式為（為項的系數），則下列說法正確的是（ ）
A．當時，前的系數為2240 B．當時，前的系數為6272
C．當時， D．當時，
【典例3-1】（江蘇省泰州市2022-2023學年高二下學期期末數學試題）在的展開式中，含的項的系數為（ ）
A．6 B．10 C．24 D．35
【答案】B
【解析】解：當 選1相乘時，都選x相乘，此時的項的系數為1；
當 選2相乘時，都選x相乘，此時的項的系數為2；
當 選3相乘時，都選x相乘，此時的項的系數為3；
當 選4相乘時，都選x相乘，此時的項的系數為4；
綜上：的項的系數為1+2+3+4=10.
故選：B
【典例3-2】展開式中的常數項為 .
【答案】
【解析】表示個相乘，
則常數項，應為個，個，個，個相乘，
所以展開式中的常數項為.
故答案為：.
【題后反思】
如何有效解決多項求系數或指定項：
對于多項的問題，主要是由多項式的乘法法則結合計數原理，分類討論得出所求項或指定項系數.
【舉一反三】
（23-24高三下·浙江麗水·開學考試）
5．的展開式中x項系數為 ．
（2024·廣西南寧·一模）
6．已知（為常數）的展開式中所有項的系數和為32，則展開式中的系數為 ．（用數字作答）．
（23-24高三下·河北·開學考試）
7．已知二項式的二項式系數的和為，則 .試估算時，的值為 .（精確到）
（2024·河南·模擬預測）
8．的展開式中的系數為 ．
（23-24高三下·重慶大足·階段練習）
9．已知，則 ．
（23-24高一下·四川成都·開學考試）
10．在的展開式中，含的項的系數是 用數字作答
（23-24高二下·遼寧本溪·開學考試）
11．已知的展開式中常數項為80，則 .
12．在的展開式中，含的項的系數為，則的最小值為（ ）
A．13 B．25 C．30 D．36
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】
，用二項式定理展開計算前四項即可得；
，，即可得，從而可得答案.
【詳解】，
，所以；
又，
所以.
故選：B
2．C
【分析】由二項式定理求解
【詳解】.
故選：C
3．
【分析】
表示有個因式相乘，根據的來源分析即可.
【詳解】表示有個因式相乘，可能來源如下：
（1）有個提供，剩下的個提供常數，此時系數是；
（2）有個提供，剩下的個提供常數，此時系數是；
（3）有個提供，個提供，個提供常數，此時系數是；
于是的系數為，含有的項為.
故答案為：
4．AC
【分析】
利用隔板法確定，代入計算得到C正確D錯誤，再根據個相乘，利用組合計算系數為，A正確B錯誤，得到答案.
【詳解】展開式為多項式，對應的項數為將個相同的小球分為組，
共有種方法，故，
對選項A：時，考慮個相乘，其中個選擇，個選擇，
剩余的選擇，則系數為，正確；
對選項B：當時，前的系數為，錯誤；
對選項C：當時，，正確；
對選項D：當時，，錯誤；
故選：AC.
5．10
【分析】由的x項系數是求解.
【詳解】因為的x項系數是，
所以的展開式中x項系數為：
.
故答案為：10．
6．15
【分析】
代入，解出，再利用二項展開式的通項公式進行合理賦值即可.
【詳解】令，則，即，
則對，有，
令，即，有，即有，
令，即，有，即有，
故展開式中的系數為15.
故答案為：15.
7．
【分析】
利用二項式系數和求出的值，再利用二項式定理可求出的近似值.（精確到）
【詳解】二項式的二項式系數的和為，解得，
當時，
.
故答案為：；.
8．
【分析】
首先將看成一個整體，再結合的形式，利用二項式定理的通項公式求解.
【詳解】的通項公式為，
當時，，
中，含項的系數為，
所以展開式中的系數為.
故答案為：
9．
【分析】
先化簡，再利用二項式定理求得，再將等式兩邊同時求導，從而得解.
【詳解】
因為，
而的展開通項公式為，
所以展開式中的系數，
由，
兩邊同時求導可得，
令可得，
所以.
故答案為：.
10．
【分析】
首先得出展開式的通項為，然后分別令和得出其展開式的常數項和含的項，分兩類情形即可得出所求的答案．
【詳解】
解：因為，
又因為展開式的通項為，
所以令，則其常數項為；
令，則其含的項為，
所以原展開式中含的項的系數為：．
故答案為：．
【點睛】
本題考查二項式定理的應用，考查學生的邏輯思維能力，屬中檔題．
11．##
【分析】
計算展開式的通項公式，計算通項公式中含的項，結合，可求出常數項，代入計算即可求出的值.
【詳解】
解：由展開式的通項公式為，
令，無整數解；
令，解得，；
令，解得，；
∴展開式中的常數項為，解得.
故答案為：.
12．B
【分析】
先求出，進而可求得含的項的系數，從而可得的關系，再根據基本不等式求解即可.
【詳解】，，
則含的項的系數為，
所以，所以，
則，
當且僅當，即時，取等號，
所以的最小值為.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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