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專題7楊輝三角的應用問題
【典例1-1】（22-23高二下·云南玉溪·期中）
1．如圖是楊輝三角數陣.楊輝三角原名“開方作法本源圖”，也有人稱它為“乘方求廉圖”，在我國古代用來作為開方的工具.在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中，就已經出現了這個表.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角.楊輝三角的發現比歐洲早500年左右，很值得我們中華民族自豪.記為圖中第行各個數之和，為的前項和，則（ ）

A．511 B．512 C．1023 D．1024
【典例1-2】（22-23高二下·江蘇鹽城·期中）
2．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就在“楊輝三角”中，第n行的所有數字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，則此數列的前34項和為（ ）

A．959 B．964 C．1003 D．1004
【題后反思】
通過觀察楊輝三角可以得出第行的所有數之和等于，并且奇數位之和與偶數位之和相等，都等于.
【舉一反三】
（22-23高二下·山西太原·階段練習）
3．“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（ ）
A．在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個數是84
B．由“第行所有數之和為”猜想：
C．在“楊輝三角”中，當時，從第2行起，每一行的第3列的數字之和為286
D．在“楊輝三角”中，第行所有數字的平方和恰好是第行的中間一項的數字
（21-22高三上·湖北十堰·期末）
4．如圖，楊輝三角最早出現于我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》．它揭示了（n為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律．由此可得圖中第9行從左到右數第5個數是 ，第9行排在奇數位置的所有數字之和為 ．
【典例2-1】（21-22高二下·廣東中山·期末）
5．，當n＝1，2，3，4，5，6時展開式的二項式系數表示形式
借助上面的表示形式，判斷λ與μ的值分別是（ ）
A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9
【典例2-2】（22-23高二上·全國·單元測試）
6．根據數組中的數構成的規律，其中的a所表示的數是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【題后反思】
通過觀察楊輝三角可得看成除1以外的數等于肩上兩數之和.
【舉一反三】
（22-23高二下·江蘇南京·期中）
7．如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方從1按箭頭所示方向可以構成一個“鋸齒形”的數列：…，記此數列的前n項之和為，則的值為（ ）．
A．452 B．848 C．984 D．1003
（22-23高二下·山東·階段練習）
8．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示，則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（ ）
楊輝三角
A．在第10行中第5個數最大
B．第2023行中第1011個數和第1012個數相等
C．
D．第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于9行的第8個數
【典例3-1】（21-22高二下·湖北·期中）
9．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現，歐洲數學家帕斯卡在1654年才發現這一規律，比楊輝要晚近四百年．在由二項式系數所構成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個數字為，第3行的第3個數字為，……，第行的第3個數字為則（ ）
A．165 B．120 C．220 D．96
【典例3-2】（22-23高二上·江西撫州·期末）
10．楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家，他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數構成的三角形數陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數值都是它上面的兩個數值之和，每一行第k（，）個數組成的數列稱為第k斜列．該三角形數陣前5行如圖所示，則該三角形數陣前2022行第k斜列與第斜列各項之和最大時，k的值為（ ）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【題后反思】
楊輝三角中自腰上的某個1開始平行于腰的一條直線上連續個數之和等于最后一個數斜右下方的數.
【舉一反三】
（21-22高二下·北京東城·期中）
11．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里給出了楊輝三角，書中是用漢字來表示的，如圖1.研究發現，楊輝三角可以由組合數來表示，如圖2.

楊輝三角有很多有趣的性質，如楊輝三角的兩個腰上的數字都是1，用組合數表示為.請寫出一條其他的性質，用組合數表示為： .從楊輝三角蘊含的規律可知： .
（21-22高二下·湖北·期中）
12．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關于楊輝三角的猜想中正確的有（ ）
A．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它‘肩上’兩個數的和”猜想：
B．
C．第7行中從左到右第5與第6個數的比為
D．由“第n行所有數之和為2”猜想：
（22-23高二下·湖南·期中）
13．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示．下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（ ）
A．
B．第2023行中從左往右第1011個數與第1012個數相等
C．記第n行的第i個數為，則
D．第30行中第12個數與第13個數之比為
（21-22高二下·河南·期中）
14．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示，則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011個數最大
C．第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于9行的第8個數
D．第34行中第15個數與第16個數之比為2：3
（22-23高二下·山東青島·期中）
15．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是（ ）

A．
B．第2023行的第1012個和第1013個數最大
C．第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第7個數
D．第34行中從左到右第14個數與第15個數之比為2：3
（23-24高二上·山東青島·期末）
16．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結論正確的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第8個數
B．
C．第2020行的第1010個數最大
D．第12行中從左到右第2個數與第3個數之比為
（21-22高二下·福建泉州·期中）
17．“楊輝三角”是中國古代數學杰出的研究成果之一．如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數出發，引一組平行線，從上往下每條線上各數之和依次為1，1，2，3，5，8，13，，則下列選項正確的是（ ）
A．在第9條斜線上，各數之和為55
B．在第條斜線上，各數自左往右先增大后減小
C．在第條斜線上，共有個數
D．在第11條斜線上，最大的數是
（21-22高二下·廣東廣州·期中）
18．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關于楊輝三角的猜想中正確的有（ ）
A．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它‘肩上’兩個數的和”猜想：
B．
C．第7行中從左到右第5與第6個數的比為
D．由“第n行所有數之和為2”猜想：
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】由題意可得，結合等比數列的前項和公式即可求解.
【詳解】由題意可得，
而，所以數列是等比數列，且首項，公比，
所以.
故選：A
2．A
【分析】先算出2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，9，36，84，126，126，84，36，9這36項的和，再減去36和9．
【詳解】將這個數列分組：
第一組1個數；
第二組2個數；
，
第七組7個數，這7個數的和為
第八組8個數，
前八組共36 項，前36項和為，
所以前34 項和為，
故選：A．
3．ABCD
【分析】
根據給定的“楊輝三角”，結合二項式定理、組合數計算、組合數的性質逐項分析計算判斷作答.
【詳解】在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個數是，A正確；
由“第行所有數之和為”猜想：，
因為，則令得：，B正確；
在“楊輝三角”中，當時，從第2行起，每一行的第3列的數字之和為：
，C正確；
在“楊輝三角”中，第行所有數字的平方和恰好是第行的中間一項的數字，
即
因為
對應相乘可得的系數為，
而二項式展開式的通項公式，當時，，
則的系數為：，所以，D正確.
故選：ABCD
4． 126 256
【分析】根據題意，分析圖中楊輝三角的各行數字之間的規律關系，即可得到答案.
【詳解】由題意得
第0行有1個數，為1，
第1行有2個數，依次是、,
第2行有3個數，依次是、、,
‥‥‥
則第9行有10個數，其中第5個數為，
第9行排在奇數位置的所有數字之和為.
故答案為：，.
5．C
【分析】根據展開式的二項式系數的規律，直接求出即可．
【詳解】解：結合題意可得，
故選：C．
【點睛】本題考查了二項式定理展開式的二項式系數的規律，屬于基礎題
6．C
【分析】
觀察規律即可求得結果.
【詳解】
從第三行起頭尾兩個數均為1，中間數等于上一行肩上兩數之和，
所以a=3+3=6.
故選：C.
7．C
【分析】觀察楊輝三角結合其中數的來源，可得到這個數列的奇數項的通項公式和偶數項的通項公式，分別求奇數項和與偶數項和，從而得到前n項和.
【詳解】設數列為，前32項里面有偶數項16項，奇數項16項，當為偶數時，易知，且，所以，所以偶數項之和為，
當為奇數時，，，，，…，
所以，則，
所以前32項里面奇數項和為：
，
又由組合數性質，所以，
所以.
故選：C.
8．D
【分析】
A、B選項由二項式系數的增減性即可判斷；C選項，由及即可判斷；D選項，由及即可判斷.
【詳解】A選項，第10行，10是偶數，所以在時取得最大值，也就是在第10行中第6個數最大，故選項A錯誤；
B選項，第2023行是奇數，中間兩項最大，即和，也就是第2023行中第1012個數和第1013個數相等，故選項B錯誤；
C選項，由可得，故選項C錯誤；
D選項，，故選項D正確.
故選：D.
9．A
【分析】根據題意，由楊輝三角可得，再由組合數的性質可求得答案
【詳解】由題意得，，
則，
故選：A
10．C
【分析】根據題意可得第k斜列各項之和為，第k+1斜列各項之和為，結合組合數的運算性質即可求解.
【詳解】當時，第k斜列各項之和為
，
同理，第k+1斜列各項之和為，
所以，
當第k斜列與第k+1斜列各項之和最大時，，解得.
故選：C.
11． （答案不唯一）
【分析】利用楊輝三角的數的規律可得結論.
【詳解】楊輝三角有很多有趣的性質，如，
故：.
故答案為：（答案不唯一）；.
12．ABD
【分析】根據楊輝三角，利用組合數的計算判斷A，B，C；利用二項式系數的性質判斷D作答.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，，B正確；
對于C，第7行中從左到右第5與第6個數的比為，C不正確；
對于D，由二項式系數的性質知成立，D正確.
故選：ABD
13．C
【分析】
選項A，利用組合數性質即可求解；選項B、D，利用楊輝三角中數的排列規律即可判斷；選項C，先用楊輝三角確定，再結合二項式定理可得.
【詳解】對A，由可得
，故A錯誤；
對B，第2023行有2024項，中間兩項最大，即和，
也就是第2023行中第1012個數和第1013個數相等，故選項B錯誤；
對C，第n行的第i個數為，所以，故C正確；
對D，第30行中第12個數與第13個數之比為
，故D錯誤．
故選：C．
14．C
【分析】A選項由及即可判斷；B選項由二項式系數的增減性即可判斷；C選項由及即可判斷；D選項直接計算比值即可判斷.
【詳解】由可得
，故A錯誤；
第2022行中第1011個數為，故B錯誤；
，故C正確；
第34行中第15個數與第16個數之比為，故D錯誤.
故選：C.
15．ABD
【分析】
A選項，利用組合數運算公式計算；B選項，如果是奇數，則第和第個數字最大，且這兩個數字一樣大；C選項，第6，7，8，9行的第7個數字分別為：1，7，28，84，C錯誤；D選項，第34行第14個數字是，第34行第15個數字是，所以，故D正確.
【詳解】
A選項，，，故A正確；
B選項，由圖可知：第行有個數字，如果是奇數，則第和第個數字最大，且這兩個數字一樣大；如果是偶數，則第個數字最大，故第2023行的第1012個和第1013個數最大，故B正確；
C選項，第6行，第7行，第8行的第7個數字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個數字是84，故C錯誤；
D選項，依題意：第34行第14個數字是，第34行第15個數字是，所以，故D正確.
故選：ABD.
16．ABD
【分析】
根據楊輝三角讀出數據即可判斷A，利用組合數公式判斷B，分析各行數據的特征，即可判斷C，求出第行中從左到右第個數與第個數，即可判斷D.
【詳解】對于A：第行，第行，第行的第個數字分別為：，，，其和為；
而第行第個數字就是，故A正確；
對于B：因為，，
所以，故B正確；
對于C：由圖可知：第行有個數字，
如果是偶數，則第（最中間的）個數字最大；
如果是奇數，則第和第個數字最大，并且這兩個數字一樣大，
所以第行的第個數最大，故C錯誤；
對于D：依題意：第行從左到右第個數為，第行從左到右第個數為，
所以第行中從左到右第個數與第個數之比為，故D正確；
故答案為：ABD.
17．BCD
【分析】根據給定的楊輝三角數據特征，逐項分析計算、判斷作答.
【詳解】對于A，因從上往下每條線上各數之和依次為1，1，2，3，5，8，13，…，從第3項起，每一項是其相鄰前兩項的和，
則第8條斜線上各數之和為，因此，第9條斜線上各數之和為，A不正確；
對于B，由定義及圖中規律知，在第條斜線上，各數自左往右先增大后減小，B正確；
對于C，從上往下每條斜線上的數據個數為1，1，2，2，3，3，4，4，…，均滿足，
所以在第條斜線上，共有個數，C正確；
對于D，在第11條斜線上，最大的數是，D正確.
故選：BCD
18．ABD
【分析】根據楊輝三角，利用組合數的計算判斷A，B，C；利用二項式系數的性質判斷D作答.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，，B正確；
對于C，第7行中從左到右第5與第6個數的比為，C不正確；
對于D，由二項式系數的性質知成立，D正確.
故選：ABD
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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