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第六章 平面向量及其應用
6.1　平面向量的概念
在一次軍事演習中,某導彈部隊接到射擊某目標的命令。要使導彈擊中目標, 不僅需要知道目標、目標與導彈發射地點間的距離,還需要知道導彈發射的方位角。可用本節所要學的平面向量來表示。 1.通過對力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的實際背景,理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義。 2.理解平面向量的幾何表示和基本要素。
1.向量的定義及表示
(1)定義:既有大小又有方向的量叫做向量。
(2)表示:
①有向線段:具有方向的線段。它包含三個要素:起點、方向、長度。
②向量的表示:
2.向量的有關概念
向量名稱 定義
零向量 長度為0的向量,記作0
單位向量 長度等于1個單位長度的向量
平行向量 (共線向量) 方向相同或相反的非零向量。向量a與b平行,記作a∥b。規定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a
相等向量 長度相等且方向相同的向量;向量a與b相等,記作a=b
微提醒
(1)零向量與實數零是兩個不同類型的量,零向量的模為0,方向是任意的,而不是沒有方向,它是一個特殊的向量,而實數0表示的僅僅是數量,與方向無關。(2)平行向量與共線向量是同一概念的不同名稱,根據定義可知,平行(共線)向量所在的直線可以平行,也可以重合。(3)共線向量所在的直線可以平行,與平面幾何中的“共線”含義不同。
微思考
1.向量與數量有什么區別
提示:數量是一個代數量,只有大小沒有方向,其大小可以用正數、負數、零來表示,可以比較大小,如長度、質量、面積、體積等;向量既有大小又有方向,因為方向不能比較大小,所以向量不能比較大小。
2.向量就是有向線段,這種說法對嗎
提示:不對。從定義上看,向量有大小和方向兩個要素,而有向線段有起點、方向和長度三個要素,因此向量與有向線段是兩個不同的概念。向量可以平行移動,而有向線段不行。有向線段是表示向量的方法。
類型一 向量的概念
【例1】　(1)下列說法正確的是(D)
A.身高是一個向量
B.∠AOB的兩條邊都是向量
C.溫度含零上和零下溫度,所以溫度是向量
D.物理學中的摩擦力、重力都是向量
解析　只有D項物理學中的摩擦力、重力既有大小又有方向,是向量,故ABC錯誤,D正確。
(2)判斷下列說法是否正確。
①有向線段與表示同一向量;
②若a是單位向量,b也是單位向量,則a與b的方向相同或相反;
③若向量是單位向量,則也是單位向量;
④以直角坐標平面上的定點A為起點,所有單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓。
解　有向線段與的方向相反,不表示同一向量,因此說法①錯誤;由單位向量的定義知,凡長度為1個單位長度的向量均稱為單位向量,但是對方向沒有任何要求,因此說法②錯誤;因為||=||,所以當是單位向量時,也是單位向量,因此說法③正確;由于向量||=1,所以點P是以點A為圓心的單位圓上的一點,因此說法④正確。
(1)判斷一個量是否為向量的兩個關鍵條件:①有大小;②有方向。兩個條件缺一不可。
(2)理解零向量和單位向量應注意的問題:①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;②單位向量不一定相等,易忽略向量的方向。
提醒:兩個單位向量的模相等,但這兩個單位向量不一定相等。
【變式訓練】　(多選)下列結論中正確的是(BC)
A.若a,b都是單位向量,則a=b
B.物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量
C.方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量
D.直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量
解析　對于A,單位向量的方向不一定相同,故A錯誤;對于B,物理學中的作用力與反作用力大小相等,方向相反,是一對共線向量,故B正確;對于C,如圖所示,方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量在一條直線上,是共線向量,故C正確;對于D,直角坐標平面上的x軸、y軸只有方向,沒有大小,不是向量,故D錯誤。綜上,正確的結論有BC。
類型二 向量的幾何表示
　　【例2】　在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規畫出下列向量。
(1),使||=4,點A在點O北偏東45°方向上;
(2),使||=4,點B在點A正東方向上;
(3),使||=6,點C在點B北偏東30°方向上。
解　(1)因為點A在點O北偏東45°方向上,所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數相等。又||=4,小方格邊長為1,所以點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數都為4,于是點A位置可以確定,畫出向量如圖所示。
(2)因為點B在點A正東方向上,且||=4,所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數為4,縱向小方格數為0,于是點B位置可以確定,畫出向量如圖所示。
(3)由于點C在點B北偏東30°方向上,且||=6,根據勾股定理可得,在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數為3,縱向小方格數為3≈5.2,于是點C位置可以確定,畫出向量如圖所示。
用有向線段表示向量時,先確定起點,再確定方向,最后依據向量模的大小確定向量的終點。必要時,需依據解直角三角形的知識求出向量的方向或長度,選擇合適的比例關系作出向量。
【變式訓練】　一輛汽車從A點出發向西行駛了100 km到達B點,然后改變方向向西偏北50°方向行駛了200 km到達C點,又改變方向,向東行駛了100 km到達D點。
(1)作出向量,,;
(2)求汽車從A點到D點的位移大小||。
解　(1)如圖所示。
(2)由題意,易知與方向相反,故與平行。
又因為||=||,所以在四邊形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD。所以四邊形ABCD為平行四邊形。
所以||=||=200 km,即這輛汽車從A點到D點的位移大小為200 km。
類型三 相等向量與共線向量
【例3】　如圖,△ABC和△A'B'C'是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形,設△ABC的邊長為a,圖中畫出了長度均為的若干個向量。
(1)寫出圖中與向量相等的向量;
(2)寫出圖中與向量平行,且模相等的向量;
(3)寫出圖中與向量平行,且模相等的向量。
解　(1)與向量相等的向量是,。
(2)與向量平行,且模相等的向量是,,,,。
(3)與向量平行,且模相等的向量是,,,,。
本題考查相等向量與共線向量的概念,大小和方向是向量的兩個要素,分別是向量的代數特征和幾何特征。
【變式訓練】　如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c。
(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些
(2)與a共線的向量有哪些
(3)請一一列出與a,b,c相等的向量。
解　(1)與a的長度相等、方向相反的向量有,,,。
(2)與a共線的向量有,,,,,,,,。
(3)與a相等的向量有,,;與b相等的向量有,,;與c相等的向量有,,。
向量在平面幾何中的應用
【典例】　如圖,四邊形ABCD與四邊形ABDE都是平行四邊形,求證:C,D,E三點共線。
【證明】　因為四邊形ABCD與四邊形ABDE都是平行四邊形,
所以∥,∥,
又≠0,所以∥。
因為與有公共點D,
所以C,D,E三點共線。
解答本題的關鍵是證明∥,且需說明與有公共點D,若不說明,則證明過程不完整。
1.如圖,在圓O中,向量,,是(C)
A.有相同起點的向量
B.單位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析　由題圖可知三個向量方向不同,但長度相等。
2.若=,則四邊形ABCD的形狀為(A)
A.平行四邊形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
解析　在四邊形ABCD中,因為=,所以BA=CD且BA∥CD,所以四邊形ABCD為平行四邊形。
3.(多選)下列說法錯誤的為(ABC)
A.共線的兩個單位向量相等
B.相等向量的起點相同
C.若∥,則一定有直線AB∥CD
D.若向量,共線,則點A,B,C必在同一直線上
解析　A錯,共線的兩個單位向量的方向可能相反;B錯,相等向量的起點和終點都可能不相同;C錯,直線AB與CD可能重合;D正確,直線AB與BC平行且有公共點B,則A,B,C三點共線。
4.已知在邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,則||= 2 。
解析　由題意,知AC⊥BD,且∠ABD=30°,設AC,BD交點為O,在Rt△ABO中,||=||·cos 30°=2×=,所以||=2||=2。
5.在如圖所示的坐標紙(每個小方格的邊長均為1)中,用直尺和圓規畫出下列向量。
(1),使||=3,點A在點O正西方向;
(2),使||=3,點B在點O北偏西45°方向;
(3),使||=2,點C在點O南偏東60°方向。
解　如圖所示:
課時達標檢測(一)　平面向量的概念
基礎達標
一、單項選擇題
1.下列說法中正確的是(B)
A.若a≠b,則|a|≠|b|
B.模為0的向量的方向是不確定的
C.向量就是有向線段
D.任意兩個單位向量的方向相同
解析　a與b方向不同但模相等時,a≠b,故A錯誤;模為0的向量為零向量,零向量的方向是不確定的,故B正確;有向線段是向量的幾何表示,是個圖形,而向量是帶方向的量,不是有向線段,故C錯誤;任意兩個單位向量的長度相等,但方向不一定相同,故D錯誤。
2.若向量a與b不相等,則a與b一定(C)
A.有不相等的模
B.不共線
C.不可能都是零向量
D.不可能都是單位向量
解析　所有的零向量都是相等的向量,所以C正確;方向不同或模不相等的向量均不相等,A,B,D均不正確。
3.設e1,e2是兩個單位向量,則下列結論中正確的是(D)
A.e1=e2 B.e1∥e2
C.e1=-e2 D.|e1|=|e2|
解析　單位向量的模為1。
4.已知向量a,b是兩個非零向量,,分別是與a,b同方向的單位向量,則下列各式正確的是(D)
A.=
B.=或=-
C.=1
D.||=||
解析　由于a與b的方向未知,故無法判斷與是否相等,故A,B錯誤。因為與均為單位向量,所以||=||=1,故C錯誤,D正確。
5.如圖所示,梯形ABCD中,對角線AC與BD交于點P,點E,F分別在兩腰AD,BC上,EF過點P,且EF∥AB,則下列等式成立的是(D)
A.= B.=
C.= D.=
解析　根據相等向量的定義,分析可得,A,B不成立;C中,與方向相反,故=不成立;D中,與方向相同,且長度都等于線段EF長度的一半,故=成立。
6.若||=||且=,則四邊形ABCD的形狀為(C)
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
解析　由=,知AB=CD且AB∥CD,即四邊形ABCD為平行四邊形。又因為||=||,所以平行四邊形ABCD為菱形。
二、多項選擇題
7.設O是正方形ABCD的中心,則下列結論正確的是(ABC)
A.=
B.∥
C.與共線
D.=
解析　根據正方形的特征,結合相等向量,平行向量作出判斷,只有D是錯誤的,與只是模相等,由于方向不相同,所以不是相等向量。
8.在下列結論中,正確的結論為(ACD)
A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分條件
B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要條件
C.a與b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要條件
D.a與b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要條件
解析　若a=b,則a與b方向相同,模相等,所以A對B錯;a與b方向相同且|a|=|b| a=b,所以C對;對于D,a與b方向相反 a≠b,|a|≠|b| a≠b,所以充分性成立,但a≠ba與b方向相反,a≠b|a|≠|b|,所以必要性不成立,D對。
三、填空題
9.如圖,是某人行走的路線,那么的幾何意義是某人從A點沿西偏南 60° 方向行走了 2 km。
解析　由已知圖形可知,的幾何意義是從A點沿西偏南60°方向,行走了2 km。
10.如圖,已知四邊形ABCD為正方形,△CBE為等腰直角三角形,回答下列問題:
(1)圖中與共線的向量有 ,,,,,, ;
(2)圖中與相等的向量有 , ;
(3)圖中與模相等的向量有 ,,,,,,,, 。
11.將向量用具有同一起點M的有向線段表示,當與是平行向量,且||=2||=2時,||= 3或1 。
解析　當與同向時,||=||+||=3;當與反向時,||=||-||=1。
四、解答題
12.在如圖的方格紙上,已知向量a,每個小正方形的邊長為1。
(1)試以B為終點畫一個向量b,使b=a;
(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c,使|c|=,并說出向量c的終點的軌跡是什么
解　(1)根據相等向量的定義可知,所作向量b與向量a平行,且長度相等(作圖略)。
(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心,半徑為的圓(作圖略)。
13.我國國內有些城市的道路命名非常有趣,它以“經緯”來命名道路,目前比較典型的有鄭州市,其經緯路走向與地理意義上的經緯走向保持了一致,而濟南市的命名則與地理意義上的經緯走向完全相反。設某城市的地圖如圖(街道剛好分布在一個方形格紙中且距離都為1個單位長度):
(1)請作出某人從經1緯2路口走到經3緯4路口的位移圖象,并計算其走過的位移和最短路程的大小;
(2)以圖中的格點為起點和終點作向量,與相等的有幾個
解　(1)如圖,用向量表示此人的位移。
位移的大小為=2個單位長度。
從A走到B,可以向右走2個單位長度,向下走2個單位長度,所以走過的路程為4個單位長度。
(2)在每一個由四個小方格組成的大方格中找出與同向的對角線即可,共有8個。
素養提升
14.O是△ABC內一點,若||=||=||,則O是△ABC的(C)
A.重心 B.內心
C.外心 D.垂心
解析　由條件知點O到△ABC三個頂點的距離相等,所以O是△ABC的外心。
15.已知在四邊形ABCD中,=,且||=||=||=2,則該四邊形內切圓的面積是 。
解析　由=知四邊形ABCD為平行四邊形,由||=||=||知四邊形ABCD為菱形,△ABD為等邊三角形,故∠ABC=120°,菱形的內切圓圓心O在對角線BD的中點處,令其半徑為r,則r=||·sin 60°=,所以S內切圓=πr2=π×=。
16.如圖,在四邊形ABCD中,=,N,M分別是AD,BC上的點,且=。求證:=。
證明　因為=,所以||=||且AB∥CD,
所以四邊形ABCD為平行四邊形。
所以||=||且DA∥CB。
又因為與的方向相同,所以=。
因為=,所以||=||且CN∥MA,
所以四邊形CNAM是平行四邊形。
所以||=||且CM∥NA。
又因為與的方向相同,
所以=,所以=。第六章 平面向量及其應用
6.1　平面向量的概念
在一次軍事演習中,某導彈部隊接到射擊某目標的命令。要使導彈擊中目標, 不僅需要知道目標、目標與導彈發射地點間的距離,還需要知道導彈發射的方位角。可用本節所要學的平面向量來表示。 1.通過對力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的實際背景,理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義。 2.理解平面向量的幾何表示和基本要素。
1.向量的定義及表示
(1)定義:既有大小又有方向的量叫做向量。
(2)表示:
①有向線段:具有方向的線段。它包含三個要素: 、方向、長度。
②向量的表示:
2.向量的有關概念
向量名稱 定義
零向量 長度為0的向量,記作0
單位向量 長度等于 長度的向量
平行向量 (共線向量) 方向 的非零向量。向量a與b平行,記作a∥b。規定:零向量與任意向量 ,即對于任意向量a,都有0∥a
相等向量 長度 且方向相同的向量;向量a與b相等,記作a=b
微提醒
(1)零向量與實數零是兩個不同類型的量,零向量的模為0,方向是任意的,而不是沒有方向,它是一個特殊的向量,而實數0表示的僅僅是數量,與方向無關。(2)平行向量與共線向量是同一概念的不同名稱,根據定義可知,平行(共線)向量所在的直線可以平行,也可以重合。(3)共線向量所在的直線可以平行,與平面幾何中的“共線”含義不同。
微思考
1.向量與數量有什么區別
2.向量就是有向線段,這種說法對嗎
類型一 向量的概念
【例1】　(1)下列說法正確的是( )
A.身高是一個向量
B.∠AOB的兩條邊都是向量
C.溫度含零上和零下溫度,所以溫度是向量
D.物理學中的摩擦力、重力都是向量
(2)判斷下列說法是否正確。
①有向線段與表示同一向量;
②若a是單位向量,b也是單位向量,則a與b的方向相同或相反;
③若向量是單位向量,則也是單位向量;
④以直角坐標平面上的定點A為起點,所有單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓。
(1)判斷一個量是否為向量的兩個關鍵條件:①有大小;②有方向。兩個條件缺一不可。
(2)理解零向量和單位向量應注意的問題:①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;②單位向量不一定相等,易忽略向量的方向。
提醒:兩個單位向量的模相等,但這兩個單位向量不一定相等。
【變式訓練】　(多選)下列結論中正確的是( )
A.若a,b都是單位向量,則a=b
B.物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量
C.方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量
D.直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量
類型二 向量的幾何表示
【例2】　在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規畫出下列向量。
(1),使||=4,點A在點O北偏東45°方向上;
(2),使||=4,點B在點A正東方向上;
(3),使||=6,點C在點B北偏東30°方向上。
用有向線段表示向量時,先確定起點,再確定方向,最后依據向量模的大小確定向量的終點。必要時,需依據解直角三角形的知識求出向量的方向或長度,選擇合適的比例關系作出向量。
【變式訓練】　一輛汽車從A點出發向西行駛了100 km到達B點,然后改變方向向西偏北50°方向行駛了200 km到達C點,又改變方向,向東行駛了100 km到達D點。
(1)作出向量,,;
(2)求汽車從A點到D點的位移大小||。
所以||=||=200 km,即這輛汽車從A點到D點的位
類型三 相等向量與共線向量
【例3】　如圖,△ABC和△A'B'C'是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形,設△ABC的邊長為a,圖中畫出了長度均為的若干個向量。
(1)寫出圖中與向量相等的向量;
(2)寫出圖中與向量平行,且模相等的向量;
(3)寫出圖中與向量平行,且模相等的向量。
本題考查相等向量與共線向量的概念,大小和方向是向量的兩個要素,分別是向量的代數特征和幾何特征。
【變式訓練】　如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c。
(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些
(2)與a共線的向量有哪些
(3)請一一列出與a,b,c相等的向量。
向量在平面幾何中的應用
【典例】　如圖,四邊形ABCD與四邊形ABDE都是平行四邊形,求證:C,D,E三點共線。
解答本題的關鍵是證明∥,且需說明與有公共點D,若不說明,則證明過程不完整。
1.如圖,在圓O中,向量,,是( )
A.有相同起點的向量 B.單位向量
C.模相等的向量 D.相等的向量
2.若=,則四邊形ABCD的形狀為( )
A.平行四邊形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
3.(多選)下列說法錯誤的為(ABC)
A.共線的兩個單位向量相等
B.相等向量的起點相同
C.若∥,則一定有直線AB∥CD
D.若向量,共線,則點A,B,C必在同一直線上
4.已知在邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,則||= 。
5.在如圖所示的坐標紙(每個小方格的邊長均為1)中,用直尺和圓規畫出下列向量。
(1),使||=3,點A在點O正西方向;
(2),使||=3,點B在點O北偏西45°方向;
(3),使||=2,點C在點O南偏東60°方向。
課時達標檢測(一)　平面向量的概念
基礎達標
一、單項選擇題
1.下列說法中正確的是( )
A.若a≠b,則|a|≠|b|
B.模為0的向量的方向是不確定的
C.向量就是有向線段
D.任意兩個單位向量的方向相同
2.若向量a與b不相等,則a與b一定( )
A.有不相等的模
B.不共線
C.不可能都是零向量
D.不可能都是單位向量
3.設e1,e2是兩個單位向量,則下列結論中正確的是( )
A.e1=e2 B.e1∥e2
C.e1=-e2 D.|e1|=|e2|
4.已知向量a,b是兩個非零向量,,分別是與a,b同方向的單位向量,則下列各式正確的是( )
A.=
B.=或=-
C.=1
D.||=||
5.如圖所示,梯形ABCD中,對角線AC與BD交于點P,點E,F分別在兩腰AD,BC上,EF過點P,且EF∥AB,則下列等式成立的是( )
A.= B.=
C.= D.=
6.若||=||且=,則四邊形ABCD的形狀為( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
二、多項選擇題
7.設O是正方形ABCD的中心,則下列結論正確的是( )
A.=
B.∥
C.與共線
D.=
8.在下列結論中,正確的結論為( )
A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分條件
B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要條件
C.a與b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要條件
D.a與b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要條件
三、填空題
9.如圖,是某人行走的路線,那么的幾何意義是某人從A點沿西偏南 方向行走了 km。
10.如圖,已知四邊形ABCD為正方形,△CBE為等腰直角三角形,回答下列問題:
(1)圖中與共線的向量有 ;
(2)圖中與相等的向量有 ;
(3)圖中與模相等的向量有 。
11.將向量用具有同一起點M的有向線段表示,當與是平行向量,且||=2||=2時,||= 。
四、解答題
12.在如圖的方格紙上,已知向量a,每個小正方形的邊長為1。
(1)試以B為終點畫一個向量b,使b=a;
(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c,使|c|=,并說出向量c的終點的軌跡是什么
13.我國國內有些城市的道路命名非常有趣,它以“經緯”來命名道路,目前比較典型的有鄭州市,其經緯路走向與地理意義上的經緯走向保持了一致,而濟南市的命名則與地理意義上的經緯走向完全相反。設某城市的地圖如圖(街道剛好分布在一個方形格紙中且距離都為1個單位長度):
(1)請作出某人從經1緯2路口走到經3緯4路口的位移圖象,并計算其走過的位移和最短路程的大小;
(2)以圖中的格點為起點和終點作向量,與相等的有幾個
素養提升
14.O是△ABC內一點,若||=||=||,則O是△ABC的( )
A.重心 B.內心
C.外心 D.垂心
15.已知在四邊形ABCD中,=,且||=||=||=2,則該四邊形內切圓的面積是 。
16.如圖,在四邊形ABCD中,=,N,M分別是AD,BC上的點,且=。求證:=。

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