資源簡介

6.2　平面向量的運算
6.2.1　向量的加法運算
　　 《西游記》中唐僧取經的路線是從東土大唐出發,先繞到火焰山,再往西天,若孫悟空單獨前往,可以直接飛往西天。如果把位移看成向量,我們就引入了向量的運算。 1.借助實例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加法運算及運算法則,理解其幾何意義。 2.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義。
1.向量的加法
(1)定義:求兩個向量 。
(2)運算法則:
圖示 幾何意義
已知非零向量a,b,在平面內取任意一點A,作=a,=b,則向量叫做a與b的和,記作 ,即a+b=+=
以同一點O為起點的兩個已知向量a,b,以OA,OB為鄰邊作 OACB,則以O為起點的向量(OC是 OACB的對角線)就是向量a與b的和
(3)規定:對于零向量與任意向量a,規定a+0=0+a=a。
(4)位移的合成可以看作向量加法 的物理模型;力的合成可以看作向量加法 的物理模型。
(5)一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a,b 時等號成立。
2.向量加法的運算律
(1)交換律:a+b=b+a。 (2)結合律:a+(b+c)=(a+b)+c。
微提醒：用向量加法的三角形法則時要注意“首尾相接”的條件。而向量加法的平行四邊形法則應用的前提是共起點。
微思考：向量a+b與非零向量a,b的模及方向的關系
　　　　　　　　
類型一 向量加法運算及其幾何意義
【例1】　(1)如圖,已知兩個不共線的非零向量a,b,求作a+b。
(2)如圖,已知正方形ABCD,=a,=b,=c,試作向量a+b+c。
(1)向量的三角形法則中強調“首尾相接”,向量的平行四邊形法則中強調的是“共起點”。
(2)向量的三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,而向量的平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個非零向量求和。
(3)當兩個非零向量不共線時,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統一的。
【變式訓練】　如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,F為線段DE延長線上一點,DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填上一個向量):
(1)+= ;
(2)+= ;
(3)++= 。
類型二 向量加法的運算律
【例2】　(1)下列向量的運算結果為零向量的是( )
A.+ B.++
C.+++ D.+++
(2)++++等于( )
A. B.0 C. D.
向量加法運算律的意義和應用原則:
(1)意義:向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據,實現了恰當運用向量加法法則運算的目的。實際上,由于向量的加法滿足交換律和結合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行。
(2)應用原則:利用代數方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結合律調整向量相加的順序。
【變式訓練】　如圖所示,在 ABCD中,++=( )
A. 　　B. C. 　　D.
類型三 向量加法的實際應用
【例3】　長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸。如圖,一艘船從長江南岸A地出發,垂直于對岸航行,航行速度的大小為15 km/h,同時江水的速度為向東6 km/h。
(1)用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度;
(2)求船實際航行的速度的大小(結果保留小數點后一位)與方向
(用與江水速度間的夾角表示,精確到1°)
用向量知識研究物理問題的基本思路和方法:
(1)通過抽象、概括,把物理現象轉化為與之相關的向量問題;
(2)利用向量知識獲得向量問題的解;(
3)利用這個結果對物理現象作出合理的解釋。
【變式訓練】　一條小船要渡過一條兩岸平行的小河,河的寬度d=100 m,船在靜水中的航行速度大小為|v1|=4 m/s,水流的速度大小為|v2|=2 m/s,試問當船頭與水流方向的夾角θ為多大時,小船行駛到對岸所用的時間最少 此時小船的實際航行方向與水流方向的夾角的正切值是多大
1.向量加法的性質應用
【典例1】　設|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最大值與最小值分別為　　　　,　　　　。
2.向量加法的多邊形法則
向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則,即把每個向量平移,使這些向量首尾相連,則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量就是這些向量的和向量。
即:+++…+=。
這是一個極其簡單卻非常有用的結論(如圖)。
利用向量加法的多邊形法則化簡多個向量的和有時非常有效。
【典例2】　如圖,已知向量a,b,c,d，求作a+b+c+d。
1.++等于( )
A. B.
C. D.
2.如圖所示,在四邊形ABCD中,=+,則四邊形為( )
A.矩形 B.正方形
C.平行四邊形 D.菱形
3.(多選)已知D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點,則下列等式中正確的是( )
A.+= B.++=0
C.+= D.+=
5.如圖,D,E,F分別為△ABC三邊的中點,試畫出+,+。
課時達標檢測(二)　向量的加法運算
基礎達標
一、單項選擇題
1.++++等于( )
A. B.
C. D.
2.若向量a表示“向東航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,則向量a+b表示( )
A.向東北方向航行2 km
B.向北偏東30°方向航行2 km
C.向北偏東60°方向航行2 km
D.向東北方向航行(1+) km
3.如圖,在正六邊形ABCDEF中,++等于( )
A.0 B.
C. D.
4.向量(+)+(++)=( )
A. B.
C. D.
5.在矩形ABCD中,||=4,||=2,則向量++的長度為( )
A.2 B.4
C.12 D.6
6.若在△ABC中,AB=AC=1,|+|=,則△ABC的形狀是( )
A.正三角形 B.銳角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
二、多項選擇題
7.給出下面四個命題,其中是真命題的是( )
A.+=0 B.+=
C.+= D.0+=0
8.設a=(+)+(+),b是一個非零向量,則下列結論正確的有()
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
三、填空題
9.如圖,在 ABCD中,O是AC和BD的交點。++= ;++= 。
10.已知點G是△ABC的重心,則++= 。
11.在邊長為1的等邊三角形ABC中,|+|= ,|+|= 。
四、解答題
12.如圖,已知 ABCD,O是兩條對角線的交點,E是CD的一個三等分點(靠近D點),求作:
(1)+; (2)+。
13.如圖,小船要從A處沿垂直河岸AC的方向到達對岸B處,此時水流的速度為6 km/h,測得小船 正以8 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行駛,求小船在靜水中速度的大小及方向。
素養提升
14.若|a|=2,e為單位向量,則|a+e|的最大值是 。
15.如圖所示,在平行四邊形ABCD的對角線BD的反向延長線及延長線上取點E,F,使BE=DF,用向量方法證明:四邊形AECF是平行四邊形。6.2　平面向量的運算
6.2.1　向量的加法運算
　　 《西游記》中唐僧取經的路線是從東土大唐出發,先繞到火焰山,再往西天,若孫悟空單獨前往,可以直接飛往西天。如果把位移看成向量,我們就引入了向量的運算。 1.借助實例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加法運算及運算法則,理解其幾何意義。 2.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義。
1.向量的加法
(1)定義:求兩個向量和的運算。
(2)運算法則:
圖示 幾何意義
已知非零向量a,b,在平面內取任意一點A,作=a,=b,則向量叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=+=
以同一點O為起點的兩個已知向量a,b,以OA,OB為鄰邊作 OACB,則以O為起點的向量(OC是 OACB的對角線)就是向量a與b的和
(3)規定:對于零向量與任意向量a,規定a+0=0+a=a。
(4)位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型;力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。
(5)一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a,b方向相同時等號成立。
2.向量加法的運算律
(1)交換律:a+b=b+a。 (2)結合律:a+(b+c)=(a+b)+c。
微提醒：使用向量加法的三角形法則時要注意“首尾相接”的條件。而向量加法的平行四邊形法則應用的前提是共起點。
微思考：向量a+b與非零向量a,b的模及方向的關系
提示:①當a與b不共線時,a+b的方向與a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。
②當a與b同向時,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。
③當a與b反向時,若|a|≥|b|,則a+b與a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。
若|a|<|b|,則a+b與b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。
　　　　　　　　
類型一 向量加法運算及其幾何意義
【例1】　(1)如圖,已知兩個不共線的非零向量a,b,求作a+b。
解　解法一:在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b。
解法二:在平面內任取一點O,作=a,=b,以OA,OB為鄰邊作 OACB,連接OC,則=+=a+b。
(2)如圖,已知正方形ABCD,=a,=b,=c,試作向量a+b+c。
解　由已知,得a+b=+=,又=c,所以延長AC至點E,使||=||,則a+b+c=,即所求,如圖。
(1)向量的三角形法則中強調“首尾相接”,向量的平行四邊形法則中強調的是“共起點”。
(2)向量的三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,而向量的平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個非零向量求和。
(3)當兩個非零向量不共線時,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統一的。
【變式訓練】　如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,F為線段DE延長線上一點,DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填上一個向量):
(1)+= ;
(2)+= ;
(3)++= 。
解析　由已知可得四邊形DFCB為平行四邊形。
(1)易知=。由向量的三角形法則,得+=+=。
(2)易知=,所以+=+=。
(3)++=++=。
類型二 向量加法的運算律
【例2】　(1)下列向量的運算結果為零向量的是(D)
A.+
B.++
C.+++
D.+++
解析　+=+=;++=+=;+++=++=;
+++=+++=0。故選D。
(2)++++等于(B)
A. B.0
C. D.
解析　++++=(++)+(+)=0+0=0。故選B。
向量加法運算律的意義和應用原則:
(1)意義:向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據,實現了恰當運用向量加法法則運算的目的。實際上,由于向量的加法滿足交換律和結合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行。
(2)應用原則:利用代數方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結合律調整向量相加的順序。
【變式訓練】　如圖所示,在 ABCD中,++=(A)
A. 　　B.
C. 　　D.
解析　++=++=+=。故選A。
類型三 向量加法的實際應用
【例3】　長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸。如圖,一艘船從長江南岸A地出發,垂直于對岸航行,航行速度的大小為15 km/h,同時江水的速度為向東6 km/h。
(1)用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度;
(2)求船實際航行的速度的大小(結果保留小數點后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到1°)。
解　(1)如圖所示,表示船速,表示江水速度,以AD,AB為鄰邊作 ABCD,則表示船實際航行的速度。
(2)在Rt△ABC中,||=6,||=15,于是||===≈16.2。因為tan∠CAB==,所以利用計算工具可得∠CAB≈68°。因此,船實際航行速度的大小約為16.2 km/h,方向與江水速度間的夾角約為68°。
用向量知識研究物理問題的基本思路和方法:
(1)通過抽象、概括,把物理現象轉化為與之相關的向量問題;
(2)利用向量知識獲得向量問題的解;
(3)利用這個結果對物理現象作出合理的解釋。
【變式訓練】　一條小船要渡過一條兩岸平行的小河,河的寬度d=100 m,船在靜水中的航行速度大小為|v1|=4 m/s,水流的速度大小為|v2|=2 m/s,試問當船頭與水流方向的夾角θ為多大時,小船行駛到對岸所用的時間最少 此時小船的實際航行方向與水流方向的夾角的正切值是多大
解　設小船行駛到對岸所用的時間為t(s),如圖①,設表示水流的速度,表示船在靜水中的航行速度,以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD,則就是船實際航行的速度。設∠BAC=α,∠BAD=θ,則相對于垂直對岸的速度為v=·sin θ,小船行駛到對岸所用的時間為t====,θ∈(0,π)。故當sin θ=1,即θ=90°時,小船行駛到對岸所用的時間最少,為25 s。如圖②,在Rt△ABC中,||=2,BC|=AD|=4,tan α=2。故當船頭與水流方向的夾角為90°時,小船行駛到對岸所用的時間最少,為25 s,此時小船的實際航行方向與水流方向的夾角的正切值為2。
①　 ②
　1.向量加法的性質應用
【典例1】　設|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最大值與最小值分別為　　　　,　　　　。
【解析】　當a,b共線同向時,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,當a,b共線反向時,|a+b|=||a|-|b||=4。當a,b不共線時,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20,綜上知,4≤|a+b|≤20,所以最大值為20,最小值為4。
【答案】　20　4
2.向量加法的多邊形法則
向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則,即把每個向量平移,使這些向量首尾相連,則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量就是這些向量的和向量。
即:+++…+=。
這是一個極其簡單卻非常有用的結論(如圖)。
利用向量加法的多邊形法則化簡多個向量的和有時非常有效。
【典例2】　如圖,已知向量a,b,c,d。
求作a+b+c+d。
【解】　在平面內任取一點O,作=a,=b,=c,=d,則=a+b+c+d。
1.++等于(C)
A. B.
C. D.
解析　++=++=。
2.如圖所示,在四邊形ABCD中,=+,則四邊形為(C)
A.矩形 B.正方形
C.平行四邊形 D.菱形
解析　因為=+,所以=+=++=++=,即=,所以AB=DC,AB∥DC,所以四邊形ABCD為平行四邊形。故選C。
3.(多選)已知D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點,則下列等式中正確的是(ABC)
A.+= B.++=0
C.+= D.+=
解析　由向量加法的平行四邊形法則可知,+=≠。
4.已知向量a表示“向東航行 3 km”,b表示“向南航行3 km”,則a+b表示 向東南航行3 km 。
解析　根據題意由于向量a表示“向東航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,那么可知a+b表示“向東南航行3 km”。
5.如圖,D,E,F分別為△ABC三邊的中點,試畫出+,+。
解　如圖,+=+=,因為四邊形DEAF為平行四邊形,所以+=。
課時達標檢測(二)　向量的加法運算
基礎達標
一、單項選擇題
1.++++等于(C)
A. B.
C. D.
解析　++++=(+)+(+)+=++
=(+)+=+=。故選C。
2.若向量a表示“向東航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,則向量a+b表示(B)
A.向東北方向航行2 km
B.向北偏東30°方向航行2 km
C.向北偏東60°方向航行2 km
D.向東北方向航行(1+) km
解析　如圖,易知tan α==,所以α=30°。故a+b的方向是北偏東30°。
又|a+b|==2(km)。故選B。
3.如圖,在正六邊形ABCDEF中,++等于(D)
A.0 B.
C. D.
解析　++=++=+=。
4.向量(+)+(++)=(C)
A. B.
C. D.
解析　根據向量的運算法則,可得(+)+(++)=(+)+(+)+=++
=+-=。故選C。
5.在矩形ABCD中,||=4,||=2,則向量++的長度為(B)
A.2 B.4
C.12 D.6
解析　因為+=,所以++的長度為的模的2倍。又||==2,所以向量++的長度為4。
6.若在△ABC中,AB=AC=1,|+|=,則△ABC的形狀是(D)
A.正三角形 B.銳角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
解析　以AB,AC為鄰邊作 ABDC,因為AB=AC=1,AD=,所以∠ABD為直角,該四邊形為正方形,所以∠BAC=90°,△ABC為等腰直角三角形。故選D。
二、多項選擇題
7.給出下面四個命題,其中是真命題的是(AB)
A.+=0 B.+=
C.+= D.0+=0
解析　根據向量加法的三角形法則,知A,B正確。
8.設a=(+)+(+),b是一個非零向量,則下列結論正確的有(AC)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
解析　由條件得(+)+(+)=0=a。故選AC。
三、填空題
9.如圖,在 ABCD中,O是AC和BD的交點。++= ;++= 0 。
10.已知點G是△ABC的重心,則++= 0 。
解析　如圖所示,連接AG并延長交BC于點E,則點E為BC的中點,延長AE到點D,使GE=ED,則+=,+=0,所以++=0。
11.在邊長為1的等邊三角形ABC中,|+|= 1 ,|+|= 。
解析　易知|+|=||=1,以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,則|+|=||=2||×sin 60°=2×1×=。
四、解答題
12.如圖,已知 ABCD,O是兩條對角線的交點,E是CD的一個三等分點(靠近D點),求作:
(1)+;(2)+。
解　(1)延長AC,在延長線上截取CF=AO,則向量即為所求。
(2)在AB上取點G,使AG=AB,則向量即為所求。
13.如圖,小船要從A處沿垂直河岸AC的方向到達對岸B處,此時水流的速度為6 km/h,測得小船 正以8 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行駛,求小船在靜水中速度的大小及方向。
解　如圖,設表示小船垂直于河岸行駛的速度,表示水流的速度,連接BC,過點B作AC的平行線,過點A作BC的平行線,兩條直線交于點D,則四邊形ACBD為平行四邊形,所以就是小船在靜水中的速度。在Rt△BAC中,||=8 km/h,||=6 km/h,所以||=||==10 km/h。因為∠DAB=∠ABC,所以tan∠DAB=tan∠ABC==。所以小船在靜水中的速度的大小為10 km/h,方向與水流方向的夾角為+∠DAB,其中tan∠DAB=,∠DAB∈。
素養提升
14.若|a|=2,e為單位向量,則|a+e|的最大值是 3 。
解析　在平面內任取一點O,作=a,=e,則a+e=+=,因為e為單位向量,所以點B在以點A為圓心的單位圓上(如圖所示),由圖可知當點B在點B1時,O,A,B1三點共線,||即|a+e|的最大值,最大值是3。
15.如圖所示,在平行四邊形ABCD的對角線BD的反向延長線及延長線上取點E,F,使BE=DF,用向量方法證明:四邊形AECF是平行四邊形。
證明　因為=+,=+,又=,=,所以=,即AE與FC平行且相等。所以四邊形AECF是平行四邊形。

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