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6.2.2　向量的減法運(yùn)算
　　 已知向量是向量與向量x的和,如圖所示。指出表示x的有向線段;向量x的模與||,||有什么關(guān)系 借助實例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量的減法運(yùn)算及運(yùn)算法則,理解向量減法的幾何意義。
1.相反向量
定義 我們規(guī)定,與向量a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量
性質(zhì) ①對于相反向量有:a+(-a)=0
②若a,b互為相反向量,則a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的減法
(1)定義:求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。
a-b=a+(-b),減去一個向量就相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。
(2)幾何意義:a-b表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量。
微提醒
(1)兩個向量的差仍是一個向量。
(2)向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法,減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。
微思考
1.有人說:相反向量即方向相反的向量,定義中“長度相等”是多余的,對嗎
提示:不對,相反向量要從“模長”與“方向”兩個方面去理解,不僅是方向相反,還必須長度相等。
2.代數(shù)運(yùn)算中的移項法則,在向量中是否仍然成立
提示:含有向量的等式稱為向量等式,在向量等式的兩邊都加上或減去同一個向量仍得到向量等式,移項法則對向量等式也是適用的。
類型一 向量減法運(yùn)算及其幾何意義
　　【例1】　(1)四邊形ABCD中,若=a,=b,=c,則=(A)
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
解析　=-=(+)-=a+c-b。
(2)如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c。
解　解法一:如圖①所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=a+b-c。
①　 ②
解法二:如圖②所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,連接OC,則=a+b-c。
求作兩個向量差向量的2種思路:
(1)直接用向量減法的三角形法則,即把兩向量的起點(diǎn)重合,則差向量為連接兩個向量的終點(diǎn),指向被減向量的終點(diǎn)的向量。
(2)轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可。
【變式訓(xùn)練】　(1)(多選)如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(ABD)
A.-=
B.-=
C.-=0
D.-=
解析　,是相反向量,它們的和是零向量,但-=≠0。C錯誤,ABD正確。
(2)已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,則|a-b|= 13 。
解析　因為||=12,||=5,∠AOB=90°,所以||2+||2=||2,所以||=13。因為=a,=b,所以a-b=-=,所以|a-b|=||=13。
類型二 向量減法的運(yùn)算律
【例2】　化簡:(1)+--;
(2)(++)-(--)。
解　(1)+--=(-)+(-)=+=。
(2)(++)-(--)=+-+=+++=+=0。
向量減法的三角形法則的內(nèi)容是:兩向量相減,表示兩向量起點(diǎn)的字母必須相同,這樣兩向量的差向量以減向量的終點(diǎn)字母為起點(diǎn),以被減向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn)。
【變式訓(xùn)練】　化簡下列各式:
(1)-+-;
(2)(-)+(-)。
解　(1)-+-=+-=-=。
(2)(-)+(-)=+++=+(++)=+0=。
類型三 用已知向量表示未知向量
【例3】　如圖所示,四邊形ACDE是平行四邊形,B是該平行四邊形外一點(diǎn),且=a,=b,=c,試用向量a,b,c表示向量,,。
解　因為四邊形 ACDE是平行四邊形,
所以==c,=-=b-a,
故=+=b-a+c。
用向量表示其他向量的方法:
(1)解決此類問題要充分利用平面幾何知識,靈活運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則。
(2)表示向量時要考慮以下問題:它是某個平行四邊形的對角線嗎 是否可以找到由起點(diǎn)到終點(diǎn)的恰當(dāng)途徑 它的起點(diǎn)和終點(diǎn)是否是兩個有共同起點(diǎn)的向量的終點(diǎn)？
(3)必要時可以直接用向量求和的多邊形法則。
【變式訓(xùn)練】　如圖所示,解答下列各題:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用c,d表示。
解　(1)=++=d+e+a=a+d+e。
(2)=-=--=-b-c。
(3)=++=e+a+b。
(4)=-=-(+)=-c-d。
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的應(yīng)用
【典例】　已知||=10,||=7,則||的取值范圍是　　　　。
【解析】　從題目中所給向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)容易看出,所給向量與所求向量的關(guān)系為+=,然后根據(jù)向量的和的模與各向量模的和的關(guān)系,分為與是否共線兩種情況,可以得出答案。
|||-|||≤||≤||+||,
即|10-7|≤||≤10+7,
即3≤||≤17。
【答案】　3≤||≤17
解答此題的關(guān)鍵是由題目中所給出的向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)得出未知向量與已知向量的關(guān)系。
1.在△ABC中,若=a,=b,則等于(D)
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
解析　=-=a-b。
2.化簡-++等于(B)
A. B.
C. D.
解析　原式=(+)+(+)=+0=。
3.已知在四邊形ABCD中,-=-,則四邊形ABCD一定是(A)
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析　由-=-,可得=,所以四邊形ABCD一定是平行四邊形。
4.若菱形ABCD的邊長為2,則|-+|的長度為 2 。
解析　|-+|=|++|=||=2。
5.已知點(diǎn)B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點(diǎn),且=a,=b,=c,試用a,b,c表示向量,,,及。
解　因為四邊形ACDE為平行四邊形,
所以==c;=-=b-a;
=-=c-a;
=-=c-b;
=+=b-a+c。
課時達(dá)標(biāo)檢測(三)　向量的減法運(yùn)算
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、單項選擇題
1.化簡-+所得的結(jié)果是(C)
A. B. C.0 D.
解析　-+=+=0。
2.如圖,點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點(diǎn),則下列等式一定成立的是(C)
A.+=
B.-=0
C.-=
D.+=
解析　+=,故A錯誤;+=0,故B錯誤;-=+=,故C正確;+==,故D錯誤。
3.如圖,D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),則-等于(D)
A. B. C. D.
解析　-=-==。故選D。
4.O是四邊形ABCD所在平面內(nèi)任一點(diǎn),且∥,|-|=|-|,則四邊形ABCD一定是(D)
A.菱形 B.任意四邊形
C.矩形 D.平行四邊形
解析　由|-|=|-|知||=||,又∥,故四邊形ABCD是平行四邊形。
5.在邊長為1的正三角形ABC中,|-|的值為(D)
A.1 B.2 C. D.
解析　如圖,作菱形ABCD,則|-|=|-|=||=。故選D。
6.設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在線段BC外,||2=16,|+|=|-|,則||=(C)
A.8 B.4 C.2 D.1
解析　以,為鄰邊作平行四邊形ACDB,則由向量加、減法的幾何意義可知=+,=-。因為|+|=|-|,所以||=||。又因為四邊形ACDB為平行四邊形,所以四邊形ACDB為矩形,故AC⊥AB。則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線,因此||=||=2。
二、多項選擇題
7.下列結(jié)果恒為零向量的是(BCD)
A.-(+) B.-+-
C.-+ D.++-
解析　A項,-(+)=-=+;B項,-+-=+=0;C項,-+=+=0;D項,++-=+=0。
8.已知a,b為非零向量,則下列命題中正確的是(ABD)
A.若|a|+|b|=|a+b|,則a與b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,則a與b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,則a與b有相等的模
D.若||a|-|b||=|a-b|,則a與b方向相同
解析　當(dāng)a,b方向相同時,有|a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|;當(dāng)a,b方向相反時,有||a|-|b||=|a+b|,|a|+|b|=|a-b|。因此A,B,D正確。
三、填空題
9.如圖,在正六邊形ABCDEF中,與-+相等的向量是 ,與+相等的向量是 。
解析　-+=+=,+=。
10.梯形ABCD中,AB∥DC,AC與BD交于點(diǎn)O,則-+-+= 0 。
解析　-+-+=+++-=+=0。
11.如圖所示,已知正方形ABCD的邊長為1,=a,=b,=c,則|a-b+c|= 2 。
解析　作=,連接CF(圖略),則+=,而=-=-=a-b,所以a-b+c=+=且||=2。所以|a-b+c|=2。
四、解答題
12.如圖,已知=a,=b,=c,=d,=f,試用a,b,c,d,f表示以下向量:
(1);
(2);
(3)-;
(4)+;
(5)-。
解　(1)=-=c-a。
(2)=-=d-a。
(3)-==-=d-b。
(4)+=-+-=b-a+f-c。
(5)-==-=f-d。
13.如圖,四邊形ABCD的邊AD,BC的中點(diǎn)分別為E,F,求證:=(+)。
證明　=(+)=(+++)=(+)。(因為+=0)
素養(yǎng)提升
14.已知點(diǎn)P是邊長為2的正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn),若|--|=1,則||的最大值是(C)
A.2-1 B.2
C.2+1 D.2+2
解析　依題意,--=-(+)=-=,因為|--|=1,所以||=1,即點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心,1為半徑的圓上,所以||的最大值為+1=2+1。
15.三個大小相同的力a,b,c作用在同一物體P上,使物體P沿a方向做勻速運(yùn)動,設(shè)=a,=b,=c,判斷△ABC的形狀。
解　由題意,得|a|=|b|=|c|。
由于合力作用后做勻速運(yùn)動,故合力為0,
即a+b+c=0,所以a+c=-b。
如圖,作平行四邊形APCD,則 APCD為菱形。
=a+c=-b,即||=|b|,
所以||=||=||,所以∠APC=120°。
同理∠APB=∠BPC=120°。
又|a|=|b|=|c|,所以△ABC為等邊三角形。6.2.2　向量的減法運(yùn)算
　　 已知向量是向量與向量x的和,如圖所示。指出表示x的有向線段;向量x的模與||,||有什么關(guān)系 借助實例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量的減法運(yùn)算及運(yùn)算法則,理解向量減法的幾何意義。
1.相反向量
定義 我們規(guī)定,與向量a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量
性質(zhì) ①對于相反向量有:a+(-a)=0
②若a,b互為相反向量,則a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的減法
(1)定義:求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。
a-b=a+(-b),減去一個向量就相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。
(2)幾何意義:a-b表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量。
微提醒
(1)兩個向量的差仍是一個向量。
(2)向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法,減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。
微思考
1.有人說:相反向量即方向相反的向量,定義中“長度相等”是多余的,對嗎
2.代數(shù)運(yùn)算中的移項法則,在向量中是否仍然成立
類型一 向量減法運(yùn)算及其幾何意義
【例1】　(1)四邊形ABCD中,若=a,=b,=c,則=( )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
(2)如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c。
求作兩個向量差向量的2種思路:
(1)直接用向量減法的三角形法則,即把兩向量的起點(diǎn)重合,則差向量為連接兩個向量的終點(diǎn),指向被減向量的終點(diǎn)的向量。
(2)轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可。
【變式訓(xùn)練】　(1)(多選)如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.-=
B.-=
C.-=0
D.-=
類型二 向量減法的運(yùn)算律
【例2】　化簡:(1)+--;
(2)(++)-(--)。
向量減法的三角形法則的內(nèi)容是:兩向量相減,表示兩向量起點(diǎn)的字母必須相同,這樣兩向量的差向量以減向量的終點(diǎn)字母為起點(diǎn),以被減向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn)。
【變式訓(xùn)練】　化簡下列各式:
(1)-+-;
(2)(-)+(-)。
類型三 用已知向量表示未知向量
【例3】　如圖所示,四邊形ACDE是平行四邊形,B是該平行四邊形外一點(diǎn),且=a,=b,=c,試用向量a,b,c表示向量,,。
用向量表示其他向量的方法:
(1)解決此類問題要充分利用平面幾何知識,靈活運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則。
(2)表示向量時要考慮以下問題:它是某個平行四邊形的對角線嗎 是否可以找到由起點(diǎn)到終點(diǎn)的恰當(dāng)途徑 它的起點(diǎn)和終點(diǎn)是否是兩個有共同起點(diǎn)的向量的終點(diǎn)？
(3)必要時可以直接用向量求和的多邊形法則。
【變式訓(xùn)練】　如圖所示,解答下列各題:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用c,d表示。
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的應(yīng)用
【典例】　已知||=10,||=7,則||的取值范圍是　　　　。
解答此題的關(guān)鍵是由題目中所給出的向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)得出未知向量與已知向量的關(guān)系。
1.在△ABC中,若=a,=b,則等于( )
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
2.化簡-++等于( )
A. B.
C. D.
3.已知在四邊形ABCD中,-=-,則四邊形ABCD一定是( )
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.若菱形ABCD的邊長為2,則|-+|的長度為 。
5.已知點(diǎn)B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點(diǎn),且=a,=b,=c,試用a,b,c表示向量,,,及。
課時達(dá)標(biāo)檢測(三)　向量的減法運(yùn)算
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、單項選擇題
1.化簡-+所得的結(jié)果是( )
A. B. C.0 D.
2.如圖,點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點(diǎn),則下列等式一定成立的是( )
A.+=
B.-=0
C.-=
D.+=
3.如圖,D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),則-等于( )
A. B. C. D.
4.O是四邊形ABCD所在平面內(nèi)任一點(diǎn),且∥,|-|=|-|,則四邊形ABCD一定是( )
A.菱形 B.任意四邊形 C.矩形 D.平行四邊形
5.在邊長為1的正三角形ABC中,|-|的值為( )
A.1 B.2 C. D.
6.設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在線段BC外,||2=16,|+|=|-|,則||=( )
A.8 B.4 C.2 D.1
二、多項選擇題
7.下列結(jié)果恒為零向量的是( )
A.-(+) B.-+- C.-+ D.++-
8.已知a,b為非零向量,則下列命題中正確的是( )
A.若|a|+|b|=|a+b|,則a與b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,則a與b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,則a與b有相等的模
D.若||a|-|b||=|a-b|,則a與b方向相同
三、填空題
9.如圖,在正六邊形ABCDEF中,與-+相等的向量是 ,與+相等的向量是 。
10.梯形ABCD中,AB∥DC,AC與BD交于點(diǎn)O,則-+-+= 。
11.如圖所示,已知正方形ABCD的邊長為1,=a,=b,=c,則|a-b+c|= 。
四、解答題
12.如圖,已知=a,=b,=c,=d,=f,試用a,b,c,d,f表示以下向量:
(1);
(2);
(3)-;
(4)+;
(5)-。
13.如圖,四邊形ABCD的邊AD,BC的中點(diǎn)分別為E,F,求證:=(+)。
素養(yǎng)提升
14.已知點(diǎn)P是邊長為2的正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn),若|--|=1,則||的最大值是( )
A.2-1 B.2
C.2+1 D.2+2
15.三個大小相同的力a,b,c作用在同一物體P上,使物體P沿a方向做勻速運(yùn)動,設(shè)=a,=b,=c,判斷△ABC的形狀。

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