資源簡介

2024年浙江省中考專項復習-項目化學案
1．（2023 甌海區一模）
如何分配工作，使公司支付的總工資最少
素材1 某包裝公司承接到21600個旅行包的訂單，策劃部準備將其任務分配給甲、乙兩個車間去完成．由于他們的設備與人數不同，甲車間每天生產的總數是乙車間每天生產總數的2倍，甲車間單獨完成這項工作所需的時間比乙車間單獨完成少18天．
素材2 經調查，甲車間每人每天生產60個旅行包，乙車間每人每天生產40個旅行包．為提高工作效率，人事部到甲、乙兩車間抽走相等數量的工人．策劃部為了使抽走后甲、乙兩車間每天生產的總數之和保持不變，余下的所有工人每天生產個數需要提高20%．因此，甲車間每天工資提高到3400元，乙車間每天工資提高到1560元．
問題解決
任務1 確定工作效率 求甲、乙車間原來每天分別生產多少個旅行包？
任務2 探究抽走人數 甲、乙每個車間被抽走了多少人？
任務3 擬定設計方案 甲、乙兩車間抽走相等數量的工人后，按每人每天生產個數提高20%計算，如何安排甲、乙兩車間工作的天數，使公司在完成該任務時支付的總工資最少？最少需要多少元？
2．（2023 瑞安市模擬）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計噴水裝置的高度？
素材1 圖1為某公園的圓形噴水池，圖2是其示意圖，O為水池中心，噴頭A、B之間的距離為20米，噴射水柱呈拋物線形，水柱距水池中心7m處達到最高，高度為5m．水池中心處有一個圓柱形蓄水池，其底面直徑CD為12m，高CF為1.8米．
素材2 如圖3，擬在圓柱形蓄水池中心處建一噴水裝置OP （OP⊥CD），并從點P向四周噴射與圖2中形狀相同的拋物線形水柱，且滿足以下條件： ①水柱的最高點與點P的高度差為0.8m； ②不能碰到圖2中的水柱； ③落水點G，M的間距滿足：GM：FM＝2：7．
問題解決
任務1 確定水柱形狀 在圖2中以點O為坐標原點，水平方向為x軸建立直角坐標系，并求左邊這條拋物線的函數表達式．
任務2 探究落水點位置 在建立的坐標系中，求落水點G的坐標．
任務3 擬定噴水裝置的高度 求出噴水裝置OP的高度．
3．（2023 文成縣一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何給橋護欄掛小彩燈
素材1 圖1是橋的護欄實物圖，護欄長200米，高1.6米，圖2是橋護欄示意圖，為了使彩燈掛起來整齊美觀，設計小組首先制作了外緣呈拋物線型模板，然后用該模板在圖紙上繪制拋物線圖 案，彩燈沿拋物線擺放．
素材2 方案一：護欄中間正好可以擺5具模板，繪制5條拋物線圖案連成一條波浪線，每條拋物線的頂點落在護欄的上下邊． 方案二：將模板一部分放入護欄，繪制若干條拋物線圖案，靠上下兩邊連成兩條波浪線，每條拋物線的高度都相等，相對兩條拋物線的頂點之間的距離h為0.7米． 方案三：將方案一和方案二中的拋物線圖案各若干條，沿護欄下邊擺放，大的圖案擺在中間，小的圖案擺兩邊，連成一條波浪線，且整個小彩燈圖案呈軸對稱圖形，每條拋物線圖案保持完整，兩邊能擺盡擺，可以有空余．
任務 問題解決
一 確定拋物線形狀 求出模板拋物線的函數解析式；
二 確定方案二中一條拋物線圖案的寬度和擺放方案 求出其中一條拋物線圖案的寬度CD，每邊這樣的圖案最多可以擺放幾個？
三 設計方案三擺放方案 確定大小拋物線圖案各需多少個，并給出擺放方案．
4．（2023 溫州一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計獎品購買及兌換方案？
素材1 某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的2倍，用120元購買筆記本的數量比用160元購買鋼筆的數量多8件．
素材2 某學校花費400元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發給“優秀學生”， 兩種獎品的購買數量均不少于20件，且購買筆記本的數量是10的倍數．
素材3 學校花費400元后，文具店贈送m張（1＜m＜10）兌換券（如右）用于商品兌換．兌換后，筆記本與鋼筆數量相同．
問題解決
任務1 探求商品單價 請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．
任務2 探究購買方案 探究購買鋼筆和筆記本數量的所有方案．
任務3 確定兌換方式 運用數學知識，確定一種符合條件的兌換方式．
5．（2023 龍港市一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何調整蔬菜大棚的結構？
素材1 我國的大棚（如圖1）種植技術已十分成熟，一塊土地上有一個蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，FG，相關數據如圖2所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚共有支架400根，為增加棚內空間，擬將圖2中棚頂向上調整，支架總數不變，對應支架的長度變化如圖3所示，調整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米（接口忽略不計），現有改造經費32000元．
問題解決
任務1 確定大棚形狀 在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數表達式．
任務2 嘗試改造方案 當CC'＝1米，只考慮經費情況下，請通過計算說明能否完成改造．
任務3 擬定最優方案 只考慮經費情況下，求出CC'的最大值．
6．（2023 永嘉縣校級模擬）旋轉的圖形帶來結論的奧秘．已知△ABC，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AB'C'．
初步探索 素材1： 如圖①，連接對應點BB'，CC'，則． 素材2： 如圖②，以A為圓心，BC邊上的高AD為半徑作⊙A，則B'C'與⊙A相切．
問題解決 （1）（ⅰ）請證明素材1所發現的結論． （ⅱ）如圖2，過點A作AD'⊥B'C'，垂足為D'．證明途徑可以用下面的框圖表示，請填寫其中的空格．
深入研究 （2）在Rt△ABC滿足∠A＝90°，，，M是AC的中點，△ABC繞點M逆時針旋轉得△A'B'C'． （ⅰ）如圖③，當邊B'C'恰好經過點C時，連接BB'，則BB'的長為 　 　． （ⅱ）若邊B'C'所在直線l恰好經過點B，于圖④中利用無刻度的直尺和圓規作出直線l．（只保留作圖痕跡） （3）在（2）的條件下，如圖⑤，在旋轉過程中，直線BB'，CC'交于點P，求BP的最大值為 　 　．
7．（2023 鹿城區校級一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計跳長繩方案
素材1 圖1是集體跳長繩比賽，比賽時，各隊跳繩10人，搖繩2人，共計12人．圖2是繩甩到最高處時的示意圖，可以近似的看作一條拋物線，正在甩繩的甲、乙兩位隊員拿繩的手間距6米，到地面的距離均為1米，繩子最高點距離地面2.5米．
素材2 某隊跳繩成員有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳長繩比賽時，可以采用一路縱隊或兩路縱隊并排的方式安排隊員位置，但為了保證安全，人與人之間距離至少0.5米
問題解決
任務1 確定長繩形狀 在圖2中建立合適的直角坐標系，并求出拋物線的函數表達式
任務2 探究站隊方式 當該隊以一路縱隊的方式跳繩時，繩子能否順利的甩過所有隊員的頭頂？
任務3 擬定位置方案 為了更順利的完成跳繩，現按中間高兩邊低的方式居中安排站位．請在你所建立的坐標系中，求出左邊第一位跳繩隊員橫坐標的最大取值范圍．
8．（2023 龍灣區一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何擬定計時器的計時方案？
問題背景 “漏刻”是我國古代的一種計時工具（如圖1）， 它是中國古代人民對函數思想的創造性應用．
素材1 為了提高計時的準確度，需穩定“漏水壺” 的水位．如圖2，若打開出水口B，水位就 穩定在BC位置，隨著“受水壺”內的水 逐漸增加，讀出“受水壺”的刻度，就可以確定時間． 小明想根據“漏刻”的原理制作一個簡易計時器．
素材2 實驗發現，當打開不同的出水口時，水位 可以穩定在相應的高度，從而調節計時時 長T（即“受水壺”到達最高位200mm的 總時間）．右表是記錄“漏水壺”水位高度 h（mm）與“受水壺”每分鐘上升高度x（mm） 的部分數據，已知h關于x的函數表達式 為：h＝ax2+c． h（mm）…72162288… x（mm/min）…101520…
問題解決
任務1 確定函數關系 求h關于x的函數表達式．
任務2 探索計時時長 “漏水壺”水位定在98mm時，求計時器的計時時長T．
任務3 擬定計時方案 小明想要設計出“漏水壺”水位高度和計時時長都是 整數的計時器，且“漏水壺”水位需滿足 112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）． 請求出所有符合要求的方案．
9．（2023 鹿城區一模）根據信息，完成活動任務．
活動一：探究某地正午太陽光下長方體高度與影子的關系．如圖1是長方體在正午陽光下投影情況，圖2是圖1的俯視圖，通過實驗測得一組數據如表所示：
AB的長（cm） 10 20 30 40 50
BC的長（cm） 15 30 45 60 75
sin∠BCD 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
【任務1】如圖2，作BH⊥CD于點H，設BH＝y（cm），AB＝x（cm），求y關于x的函數表達式．
活動二：設計該地房子的數量與層數．
在長方形土地上按圖3所示設計n幢房子，已知每幢房子形狀、高度相同，可近似看成長方體，圖中陰影部分為1號樓的影子，相關數據如圖所示．現要求每幢樓層數不超過24，每層樓高度為3米．
【任務2】當1號樓層數為24時，請通過計算說明正午時1號樓的影子是否落在2號樓的墻上．
【任務3】請你按下列要求設計，并完成表格．
（1）所有房子層數總和超過160．
（2）正午時每幢房子的影子不會落在相鄰房子的墻上．
方案設計
每幢樓層數 n的值 層數總和
　 　 　 　 　 　
1．（2023 甌海區一模）
如何分配工作，使公司支付的總工資最少
素材1 某包裝公司承接到21600個旅行包的訂單，策劃部準備將其任務分配給甲、乙兩個車間去完成．由于他們的設備與人數不同，甲車間每天生產的總數是乙車間每天生產總數的2倍，甲車間單獨完成這項工作所需的時間比乙車間單獨完成少18天．
素材2 經調查，甲車間每人每天生產60個旅行包，乙車間每人每天生產40個旅行包．為提高工作效率，人事部到甲、乙兩車間抽走相等數量的工人．策劃部為了使抽走后甲、乙兩車間每天生產的總數之和保持不變，余下的所有工人每天生產個數需要提高20%．因此，甲車間每天工資提高到3400元，乙車間每天工資提高到1560元．
問題解決
任務1 確定工作效率 求甲、乙車間原來每天分別生產多少個旅行包？
任務2 探究抽走人數 甲、乙每個車間被抽走了多少人？
任務3 擬定設計方案 甲、乙兩車間抽走相等數量的工人后，按每人每天生產個數提高20%計算，如何安排甲、乙兩車間工作的天數，使公司在完成該任務時支付的總工資最少？最少需要多少元？
【解答】解：（1）設乙車間每天能生成x個旅行包，則甲車間每天能生成2x個旅行包，
由題意得：，
解得x＝600，
經檢驗，x＝600是原方程的解，也符合題意，
∴2x＝1200，
∴甲車間每天能生成1200個，乙車間每天能生成600個；
（2）由題意知：甲車間共有1200÷60＝20（人），乙車間共有600÷40＝15（人），
設甲乙車間各被抽走a人，
根據題意得：（20﹣a）×60×（1+20%）+（15﹣a）×40×（1+20%）＝1200+600，
解得a＝3，
∴甲、乙每個車間各被抽走了3人；
（3）設甲車間工作m天，乙車間工作n天，
根據題意得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，
整理得：17m+8n＝300，
∴m＝﹣n+，
設總費用為W元，則W＝3400m+1560n＝3400×（﹣n+）+1560n＝﹣40n+60000，
∵﹣40＜0，
∴W隨n的增大而減少，
∵17m+8n＝300，
∴m為4的倍數，即m最小為4，
∴n最大值為29，
∴當n＝29時，總費用W最小值為﹣40×29+60000＝58840（元），
∴甲車間安排4天，乙車間安排29天，公司在完成該任務時支付的總工資最少，最少需要58840元．
2．（2023 瑞安市模擬）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計噴水裝置的高度？
素材1 圖1為某公園的圓形噴水池，圖2是其示意圖，O為水池中心，噴頭A、B之間的距離為20米，噴射水柱呈拋物線形，水柱距水池中心7m處達到最高，高度為5m．水池中心處有一個圓柱形蓄水池，其底面直徑CD為12m，高CF為1.8米．
素材2 如圖3，擬在圓柱形蓄水池中心處建一噴水裝置OP （OP⊥CD），并從點P向四周噴射與圖2中形狀相同的拋物線形水柱，且滿足以下條件： ①水柱的最高點與點P的高度差為0.8m； ②不能碰到圖2中的水柱； ③落水點G，M的間距滿足：GM：FM＝2：7．
問題解決
任務1 確定水柱形狀 在圖2中以點O為坐標原點，水平方向為x軸建立直角坐標系，并求左邊這條拋物線的函數表達式．
任務2 探究落水點位置 在建立的坐標系中，求落水點G的坐標．
任務3 擬定噴水裝置的高度 求出噴水裝置OP的高度．
【解答】解：（1）建立如圖所示坐標系，
由題意得，右側拋物線的頂點R的坐標為（7，5），點B（10，0），
設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣h）2+k，
則y＝a（x﹣7）2+5，
將點B的坐標代入上式得：0＝a（10﹣7）2+5，
解得：a＝﹣，
則右側拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣7）2+5；
由圖象的對稱性得，左側拋物線的表達式為：y＝﹣（x+7）2+5；
（2）建立如圖所示坐標系，設y軸交FE于點L，
∵EF＝12，則LE＝OD＝6，
由圖象的對稱性知，GM：FM＝2：7＝HN：NE，
由（1）知，右側拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣7）2+5，
當y＝1.8時，即y＝﹣（x﹣7）2+5＝1.8，
解得：x＝4.6＝LN（不合題意的值已舍去），
則NE＝OD﹣LN＝6﹣4.6＝1.4，
∵HN：NE＝2：7，即HN：1.4＝2：7，
則HN＝0.4，
則HE＝HN+NE＝0.4+1.4＝1.8，
則OH＝LE﹣HE＝6﹣1.8＝4.2＝OG，
即點G的坐標為：（﹣4.2，1.8）；
（3）由（1）知，右側拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣7）2+5，
則中間拋物線的表達式為：y＝﹣x2+bx+c，
∵水柱的最高點與點P的高度差為0.8m，
即：該拋物線的最高點c﹣＝c﹣＝c+0.8，
解得：b＝，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+c，
由（2）知，點H（4，2，1.8），
將點H的坐標代入拋物線表達式得：1.8＝﹣（4.2）2+×4.2+c，
解得：c＝6＝OP，
即OP＝6．
3．（2023 文成縣一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何給橋護欄掛小彩燈
素材1 圖1是橋的護欄實物圖，護欄長200米，高1.6米，圖2是橋護欄示意圖，為了使彩燈掛起來整齊美觀，設計小組首先制作了外緣呈拋物線型模板，然后用該模板在圖紙上繪制拋物線圖 案，彩燈沿拋物線擺放．
素材2 方案一：護欄中間正好可以擺5具模板，繪制5條拋物線圖案連成一條波浪線，每條拋物線的頂點落在護欄的上下邊． 方案二：將模板一部分放入護欄，繪制若干條拋物線圖案，靠上下兩邊連成兩條波浪線，每條拋物線的高度都相等，相對兩條拋物線的頂點之間的距離h為0.7米． 方案三：將方案一和方案二中的拋物線圖案各若干條，沿護欄下邊擺放，大的圖案擺在中間，小的圖案擺兩邊，連成一條波浪線，且整個小彩燈圖案呈軸對稱圖形，每條拋物線圖案保持完整，兩邊能擺盡擺，可以有空余．
任務 問題解決
一 確定拋物線形狀 求出模板拋物線的函數解析式；
二 確定方案二中一條拋物線圖案的寬度和擺放方案 求出其中一條拋物線圖案的寬度CD，每邊這樣的圖案最多可以擺放幾個？
三 設計方案三擺放方案 確定大小拋物線圖案各需多少個，并給出擺放方案．
【解答】解：任務一：由題意得：AB＝200÷5＝40（m），點B的坐標為（20，0.8），
設拋物線解析式為y＝ax2，
將B點坐標代入解析式得：0.8＝400a，
解得a＝，
∴拋物線解析式為y＝x2；
任務二：h＝0.7時，點D的縱坐標為：（1.6﹣0.7）÷2＝0.45，
當y＝0.45時，代入y＝x2，
得0.45＝x2，
解得x1＝﹣15，x2＝15，
∴CD＝30，
200÷30＝6，
∴這樣的拋物線圖案每邊最多可以擺放6個；
任務三：設較大的拋物線可以擺放m條，較小的拋物線n條，
由以上條件可知：AB＝40，CD＝30，
40m+30n≤200（m，n為正整數，且m≤5），
①m＝1，n＝5（不能對稱擺放，舍去），
②m＝1，n＝4（中間擺1個較大的，左右擺2個較小的，兩邊各余20米，符合題意），
③m＝2，n＝4（中間擺2個較大的，左右擺2個較小的，兩邊各余20米，符合題意），
④m＝3，n＝2（中間擺3個較大的，左右擺1個較小的，兩邊各余10米，符合題意）．
⑤m＝4，n＝1（不對稱擺放，舍去），
綜上所述，方案1：較大的拋物線段1條，較小的拋物線4條；方案2：較大的拋物線段1條，較小的拋物線4條；方案3：較大的拋物線段3條，較小的拋物線2條．
4．（2023 溫州一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計獎品購買及兌換方案？
素材1 某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的2倍，用120元購買筆記本的數量比用160元購買鋼筆的數量多8件．
素材2 某學校花費400元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發給“優秀學生”， 兩種獎品的購買數量均不少于20件，且購買筆記本的數量是10的倍數．
素材3 學校花費400元后，文具店贈送m張（1＜m＜10）兌換券（如右）用于商品兌換．兌換后，筆記本與鋼筆數量相同．
問題解決
任務1 探求商品單價 請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．
任務2 探究購買方案 探究購買鋼筆和筆記本數量的所有方案．
任務3 確定兌換方式 運用數學知識，確定一種符合條件的兌換方式．
【解答】解：任務1：設筆記本的單價為x元，根據題意，得，
解得x＝5，
經檢驗，x＝5是原方程的根，
這時2x＝10．
∴筆記本的單價為5元，鋼筆的單價為10元；
任務2：設購買鋼筆為a支，筆記本為b本，根據題意，得10a+5b＝400，化簡得，
由題意，a≥20，b≥20，且b是10的倍數，
∴或或，
∴可購買鋼筆30支，筆記本20本；或購買鋼筆25支，筆記本30本；或購買鋼筆20支，筆記本40本．
任務3：當原有鋼筆30支，筆記本20本時，設有y張兌換券兌換鋼筆，根據題意，得30+10y＝20+20（m﹣y），整理得，
∵1＜m＜10，且m，y均為正整數，
∴經嘗試檢驗得，
∴文具店贈送5張兌換券，其中3張兌換鋼筆，2張兌換筆記本．（答案不唯一）
5．（2023 龍港市一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何調整蔬菜大棚的結構？
素材1 我國的大棚（如圖1）種植技術已十分成熟，一塊土地上有一個蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，FG，相關數據如圖2所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚共有支架400根，為增加棚內空間，擬將圖2中棚頂向上調整，支架總數不變，對應支架的長度變化如圖3所示，調整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米（接口忽略不計），現有改造經費32000元．
問題解決
任務1 確定大棚形狀 在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數表達式．
任務2 嘗試改造方案 當CC'＝1米，只考慮經費情況下，請通過計算說明能否完成改造．
任務3 擬定最優方案 只考慮經費情況下，求出CC'的最大值．
【解答】解：（1）如圖，以O為原點，建立如圖1所示的坐標系，
∴A（0，1），C（6，3.4），
∴設拋物線解析式為y＝ax2+bx+1，
∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴y＝ax2﹣10ax+1，將C（6，3.4）代入解析式得，，
∴．
（2）如圖，建立與（1）相同的坐標系，
∵CC'＝1，
∴C'為（6，4.4），
∵改造后對稱軸不變，設改造后拋物線解析式為y＝ax2﹣10ax+1，
將C'（6，4.4）代入解析式得，
∴，
∴G為，G'為，
∴，
∴共需改造經費，
∴能完成改造．
圖2
（3）如圖2，設改造后拋物線解析式為y＝ax2﹣10ax+1，
則G'為（2，﹣16a+1），E'為（4，﹣24a+1），
∴，
由題意可列不等式，（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，解得，
∵CC'＝EE'＝﹣24a+1﹣3.4，
∴時，CC'的值最大，為1.6米．
6．（2023 永嘉縣校級模擬）旋轉的圖形帶來結論的奧秘．已知△ABC，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AB'C'．
初步探索 素材1： 如圖①，連接對應點BB'，CC'，則． 素材2： 如圖②，以A為圓心，BC邊上的高AD為半徑作⊙A，則B'C'與⊙A相切．
問題解決 （1）（ⅰ）請證明素材1所發現的結論． （ⅱ）如圖2，過點A作AD'⊥B'C'，垂足為D'．證明途徑可以用下面的框圖表示，請填寫其中的空格．
深入研究 （2）在Rt△ABC滿足∠A＝90°，，，M是AC的中點，△ABC繞點M逆時針旋轉得△A'B'C'． （ⅰ）如圖③，當邊B'C'恰好經過點C時，連接BB'，則BB'的長為 　4　． （ⅱ）若邊B'C'所在直線l恰好經過點B，于圖④中利用無刻度的直尺和圓規作出直線l．（只保留作圖痕跡） （3）在（2）的條件下，如圖⑤，在旋轉過程中，直線BB'，CC'交于點P，求BP的最大值為 　5　．
【解答】（1）（i）證明：∵AB＝AB'，AC＝AC'，
∴，
∵∠CAB＝∠C′AB′，
∴∠BAB'＝∠CAC'，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴；
（ii）解：依次是：∠B＝∠B′，AD＝AD′；
（2）（i）解：如圖1，
連接BM，MB′，作BN⊥CC′于N，作MD⊥CC′于D，
∵AB＝AM＝CM＝CM′＝，∠A＝90°，
∴∠AMB＝∠ABM＝45°，∠C＝∠C′＝，CD＝C′D＝2，
同理可得：∠A′MB′＝45°，
∴∠A′MB′+∠A′MB＝∠AMB+∠A′MB，
∴∠BMB′＝∠AMA′，
∵∠CMC′＝∠AMA′，
∴∠CMC′＝∠BMB′，
∵BM＝BM′，
∴∠MBB，
∴∠MCC′＝∠MBB′，
∴點M、B、B′、C共圓，
∴∠BB′C′＝45°，
∴BN＝B′N，
∵B′C′＝BC＝5，
∴CB′＝B′C′﹣CC′＝1，
設CN＝a，則BN＝B′N＝a+1，
在Rt△BCN中，由勾股定理得，
（a+1）2+a2＝52，
∴a＝3，
∴BN＝4，
∴BB，
故答案為：4；
（ii）解：如圖2，
′
作MD⊥BB′于D，
∵C′M＝CM＝，C′D＝2，
∴DM＝1，
∵BM＝AB＝，
∴BD＝＝3，
∴BB′＝2BD＝6，
∴以點B為圓心，6為半徑畫弧，交大圓M于B′，則B′C′過點B；
（3）解：如圖，
以BC為斜邊在BC的下方作等腰直角三角形BOC，
設∠ABM＝α，
∵∠AMB＝∠A′B′M＝45°，
∴∠AMA′＝∠BMB′＝45°+α，
∵∠AMC′＝∠AMA′＝45°+α，
∴∠BMB′＝∠CMC′，
∵BM＝B′M，CM＝C′M，
∴∠BMB′＝∠BB′M＝∠MCC′＝∠CC′M，
∴點M、B、P、C共圓，
∴∠P＝∠AMB＝45°，
∵BC＝5，
∴點P在O為圓心，半徑為的圓上運動，
∴當BP為⊙O的直徑時，BP最大，最大值為：5，
故答案為：5．
7．（2023 鹿城區校級一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計跳長繩方案
素材1 圖1是集體跳長繩比賽，比賽時，各隊跳繩10人，搖繩2人，共計12人．圖2是繩甩到最高處時的示意圖，可以近似的看作一條拋物線，正在甩繩的甲、乙兩位隊員拿繩的手間距6米，到地面的距離均為1米，繩子最高點距離地面2.5米．
素材2 某隊跳繩成員有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳長繩比賽時，可以采用一路縱隊或兩路縱隊并排的方式安排隊員位置，但為了保證安全，人與人之間距離至少0.5米
問題解決
任務1 確定長繩形狀 在圖2中建立合適的直角坐標系，并求出拋物線的函數表達式
任務2 探究站隊方式 當該隊以一路縱隊的方式跳繩時，繩子能否順利的甩過所有隊員的頭頂？
任務3 擬定位置方案 為了更順利的完成跳繩，現按中間高兩邊低的方式居中安排站位．請在你所建立的坐標系中，求出左邊第一位跳繩隊員橫坐標的最大取值范圍．
【解答】解：任務一：
以左邊搖繩人與地面的交點為原點，地面所在直線為x軸，建立直角坐標系，如圖：
由已知可得，（0，1），（6，1）在拋物線上，且拋物線頂點縱坐標為2.5，
設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+x+1；
任務二：
∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣3）2+，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，
10名同學，以直線x＝3為對稱軸，分布在對稱軸兩側，男同學站中間，女同學站兩邊，對稱軸左側的3位男同學所在位置橫坐標分布是3﹣0.5×＝，﹣0.5＝和﹣0.5＝，
當x＝時，y＝﹣×（﹣3）2+＝≈2.24＞1.8，
∴繩子能順利的甩過男隊員的頭頂，
同理當x＝時，y＝﹣×（﹣3）2+＝≈1.656＜1.66，
∴繩子不能順利的甩過女隊員的頭頂；
∴繩子不能順利的甩過所有隊員的頭頂；
任務三：
兩路并排，一排5人，
當y＝1.66時，﹣x2+x+1＝1.66，
解得x＝3+或x＝3﹣，
但第一位跳繩隊員橫坐標需不大于2（否則第二，三位隊員的間距不夠0.5米），
∴3﹣＜x≤2．
8．（2023 龍灣區一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何擬定計時器的計時方案？
問題背景 “漏刻”是我國古代的一種計時工具（如圖1）， 它是中國古代人民對函數思想的創造性應用．
素材1 為了提高計時的準確度，需穩定“漏水壺” 的水位．如圖2，若打開出水口B，水位就 穩定在BC位置，隨著“受水壺”內的水 逐漸增加，讀出“受水壺”的刻度，就可以確定時間． 小明想根據“漏刻”的原理制作一個簡易計時器．
素材2 實驗發現，當打開不同的出水口時，水位 可以穩定在相應的高度，從而調節計時時 長T（即“受水壺”到達最高位200mm的 總時間）．右表是記錄“漏水壺”水位高度 h（mm）與“受水壺”每分鐘上升高度x（mm） 的部分數據，已知h關于x的函數表達式 為：h＝ax2+c． h（mm）…72162288… x（mm/min）…101520…
問題解決
任務1 確定函數關系 求h關于x的函數表達式．
任務2 探索計時時長 “漏水壺”水位定在98mm時，求計時器的計時時長T．
任務3 擬定計時方案 小明想要設計出“漏水壺”水位高度和計時時長都是 整數的計時器，且“漏水壺”水位需滿足 112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）． 請求出所有符合要求的方案．
【解答】解：任務1：
把x＝10，h＝72和x＝20，h＝288分別代入h＝ax2+c，
得，
解得
所以h關于x的函數關系式為h＝0.72x2；
任務2：
當h＝98時，98＝0.72x2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴T＝＝＝（min），
∴計時器的計時時長為min；
任務3：
由112.5≤h≤220.5，得12.5≤x≤17.5，
∵，
∴．
∵h和T都是整數，
∴T＝12，13，14，15，16，
當T＝12時，，h＝200；
當T＝13時，x＝，h＝0.72×≈170.41；
T＝14時，x＝＝，h＝0.72×≈146.94；
當T＝15時，，h＝128；
當T＝16時，x＝，h＝112.5．
所以符合要求的方案有兩種，
方案一，“漏水壺”水位高度為128mm，計時器計時時長15min；
方案二，“漏水壺”水位高度為200mm，計時器計時時長12min．
9．（2023 鹿城區一模）根據信息，完成活動任務．
活動一：探究某地正午太陽光下長方體高度與影子的關系．如圖1是長方體在正午陽光下投影情況，圖2是圖1的俯視圖，通過實驗測得一組數據如表所示：
AB的長（cm） 10 20 30 40 50
BC的長（cm） 15 30 45 60 75
sin∠BCD 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
【任務1】如圖2，作BH⊥CD于點H，設BH＝y（cm），AB＝x（cm），求y關于x的函數表達式．
活動二：設計該地房子的數量與層數．
在長方形土地上按圖3所示設計n幢房子，已知每幢房子形狀、高度相同，可近似看成長方體，圖中陰影部分為1號樓的影子，相關數據如圖所示．現要求每幢樓層數不超過24，每層樓高度為3米．
【任務2】當1號樓層數為24時，請通過計算說明正午時1號樓的影子是否落在2號樓的墻上．
【任務3】請你按下列要求設計，并完成表格．
（1）所有房子層數總和超過160．
（2）正午時每幢房子的影子不會落在相鄰房子的墻上．
方案設計
每幢樓層數 n的值 層數總和
　21　 　8　 　168　
【解答】解：（1）由表得，BC＝AB＝x，
∵sing∠BCD＝＝，
∴BH＝BC，
∴y＝x
＝x；
（2）如圖所示：延長影子，得到 GLMN，LP交GN于點Q，
∴sin∠LQG＝sin∠MLQ＝sinα＝，
∴tan∠LGQ＝，
∴LQ＝15＝，
∵LP＝12，
∴LQ＜LP，
∴正午時1號樓的影子不落在2號樓的墻上；
（3）見下表：
方案設計1
每幢樓層數 n的值 層數總和
21 8 168
方案設計2
每幢樓層數 n的值 層數總和
22 8 176
故答案為：21，8，168等．

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