資源簡介

§2．5 直線與圓的位置關系（2）
一、自主研讀初步學
方法指導
知識點一：圓的切線的判定方法1：圓心到直線的距離等于半徑的直線是這個圓的切線.
即：d=r直線l與⊙O相切
知識點二：圓的切線的判定方法2：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
符號語言（如圖）：∵OA⊥l于點A，OA=r
∴直線l是⊙O的切線
1.如圖：P是∠BAC的平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D.AB與以點P為圓心，PD為半徑的圓相切嗎？為什么？
說明：直線與圓沒有已知公共點，要證明直線是圓的切線，可利用“圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線”來證明.操作步驟是：
①作垂直：過圓心作已知直線的垂線段； ②證半徑：證明垂線段的長等于圓的半徑.
知識點二：圓的切線的判定方法2：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
符號語言（如圖）：∵OA⊥l于點A，OA是⊙O的半徑
∴直線l是⊙O的切線
2.已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點B作BD⊥CD，垂足為D，連接BC，BC平分∠ABD，求證：CD為⊙O的切線.
說明：直線與圓有已知公共點，要證明直線是圓的切線，可利用“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的半徑”來證明.操作步驟是：
①作半徑：連接圓心和已知公共點； ②證垂直：證明所作半徑與已知直線垂直.
思路：要證明一條直線是圓的切線時，首先根據題意，判斷直線與圓是否有已知公共點；然后按一：有公共點，則作半徑，證垂直；二：無公共點，則作垂直，證半徑的操作步驟進行證明.
知識點三：切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.
符號語言：（如圖）∵直線l與⊙O相切于點A
∴
3.如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O
于點C，連接BC，若∠P＝40°，則∠B= .
4.如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點P，PA與PB相等嗎？為什么？
說明：經過切點的半徑是常添輔助線.見切線，連半徑，得垂直.
（二）自學檢測
1.已知，AB是⊙O的弦，OD⊥OB,交AB于點E，且AD=ED,判斷直線AD和⊙O的位置關系，并說明理由.
2.AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，求證：CD為⊙O的切線.
二、合作探究深化學
（一）檢查建構
交流自主學習中的存在的問題和困惑.
（二）深度探究
問題1：已知在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，O是AC上的點，以O為圓心，OC為半徑作⊙O．
（1）如圖（一），當OC＝2.5時，⊙O交AB于點D，求BD的長；
（2）如圖（二），當OC＝2.4時，AB與⊙O有怎樣的位置關系？并證明你的結論．
問題2：已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF．
（1）如圖①所示，若AB為⊙O的直徑，∠EAC=∠B ，那么EF是⊙O的切線嗎？為什么？
（2）如圖②所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．
三、檢測總結鞏固學
1.如圖，圓內接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，過點C的切線與邊AD所在直線垂直于點M，若∠ABC＝55°，則∠ACD= .
2.如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，AD⊥l，垂足為D，AD交⊙O于點E，連接OC、BE.若AE＝6，OA＝5，則線段DC的長為　　　　.
3.如圖，半徑為2的⊙P的圓心在函數y＝2x－1的圖像上運動，當⊙P與x軸相切時，點P的坐標為　 　.
4．如圖，AO是⊙O′的直徑，AO＝4，點B是y軸正半軸的一點，其坐標為（0，4），若點D的坐標為（，0），連接BD，求證：直線BD是⊙O′的切線．
5.如圖，∠PAQ是直角，半徑為5的⊙O與AP相切于點T，與AQ相交于兩點B、C．
（1）BT是否平分∠OBA？證明你的結論；（2）若已知AT＝4，試求AB的長．

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