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考點46 解析幾何定點、定值、定直線
知識理解
求定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
二．直線定點問題的求解的基本思路如下：
①假設直線方程，與橢圓方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系，從而化簡直線方程；
④根據直線過定點的求解方法可求得結果.
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值、角度等基本量與參變量無關，這類問題統稱為③定值問題．對學生邏輯思維能力計算能力等要求很高,這些問題重點考查學生方程思想、函數思想、轉化與化歸思想的應用．
探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：
① 從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；
② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
解答的關鍵是認真審題，理清問題與題設的關系，建立合理的方程或函數，利用等量關系統一變量，最后消元得出定值。
常考題型：
①與面積有關的定值問題；②與角度有關的定值問題；③與比值有關的定值問題；
④與參數有關的定值問題；⑤與斜率有關的定值問題
考向一 定值
【例1】已知橢圓長軸的兩個端點分別為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）為橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點，連接并延長交橢圓于點.
（ⅰ）求證：直線的斜率之積為定值；
（ⅱ）判斷三點是否共線，并說明理由.
【答案】（1）；（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）是，理由見解析.
【解析】（1）由題意得，
所以，
所以橢圓C的方程為.
（2）（ⅰ）證明：設，
因為在橢圓上，所以.
因為直線的斜率為，直線的斜率為，
所以直線的方程為.
所以點的坐標為.
所以直線的斜率為.
所以直線的斜率之積為：
.
（ⅱ）三點共線.
設直線斜率為，易得.
由（ⅰ）可知直線斜率為，所以直線的方程為.
聯立可得.
解得點的縱坐標為，
所以點的坐標為.
所以，直線的斜率為，直線的斜率為.
因為直線的斜率等于直線的斜率，
所以三點共線.
【例2】已知橢圓過點，點與關于原點對稱，橢圓上的點滿足直線與直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于兩點，已知點，點與關于原點對稱，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，0
【詳解】（1）因為橢圓過點，所以，
設滿足，則，
又，
則，
所以橢圓的方程.
（2）直線，代入橢圓，可得，
由于直線交橢圓于兩點，所以，整理得.
設，由于點與關于原點對稱，所以，
于是有，
，
又，
于是有
故直線的斜率與直線的斜率之和為0.

【例3】已知直線過點且與圓：交于，兩點，過的中點作垂直于的直線交于點，記的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)設曲線與軸的交點分別為，，點關于直線的對稱點分別為，過點的直線與曲線交于兩點，直線相交于點.請判斷的面積是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)是，8
【詳解】（1）由題意得，圓：的圓心為，半徑為,

因為為中點，且，所以是線段的垂直平分線，
所以，
所以，
所以點的軌跡即曲線是以，為焦點的橢圓，
設曲線：，其中，.
則，，，
故曲線：
（2）的面積是定值，理由如下：

由題意易得，，且直線的斜率不為0，
可設直線：，，，
由,得，恒成立，
所以，則.
直線的方程為：，
直線的方程為：，
由，得.
又
，
解得.
故點在直線上，所以到的距離，
因為點關于直線的對稱點分別為，所以設，所以，解得，所以，同理可得
因此的面積是定值，為.
【舉一反三】
1．已知橢圓：()的左 右焦點分別為，，離心率為，點是橢圓上一點，的周長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線：與橢圓交于，兩點，且四邊形為平行四邊形，求證：的面積為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）因為的周長為，
所以，即.
又離心率，解得，，
.
∴橢圓的方程為.
（2）設，，，
將代入
消去并整理得，
則，，
，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，得，
將點坐標代入橢圓方程得，
點到直線的距離為，，
∴平行四邊形的面積為
.
故平行四邊形的面積為定值為.
2．如圖，已知橢圓：的左焦點為，直線與橢圓交于，兩點，且時，.
（1）求的值；
（2）設線段，的延長線分別交橢圓于，兩點，當變化時，直線與直線的斜率之比是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，請說明理由.
【答案】（1）；（2）為定值5.
【解析】（1）設，則，由題意得焦點為
所以，.
當時，有.
聯立得，，從而.
將代入，得，
所以，故.
（2）由（1）知，，橢圓：.
設：，代入橢圓：，
得.
而，即，
從而.
同理：，.
從而.
于是.
所以，的斜率之比為定值5.
考向二 定點
【例1】已知橢圓的離心率為，右頂點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)、為橢圓上的不同兩點，設直線，的斜率分別為，，若，判斷直線是否經過定點并說明理由．
【答案】(1)
(2)直線經過定點,理由見解析
【詳解】（1）由題意可知，，，則，
所以橢圓的標準方程為.
（2）直線經過定點,理由如下，

若直線的斜率存在，設方程為，
則將直線方程代入橢圓方程消去可得，
，得，
設、，則有，，
，
，
，
化簡得，解得或，
當時，方程為，過定點，不合題意，
當時，方程為，過定點，
若直線的斜率不存在，設方程為，
設，，則，
即，解得，
此時方程為，顯然過點
綜上，直線經過定點.
【舉一反三】
1．已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點 ，兩點都在軸上方，且．證明直線過定點，并求出該定點坐標．
【答案】（1）；（2）證明見解析，.
【解析】（1）由得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）當直線斜率不存在時，直線與橢圓交于不同的兩點分布在軸兩側，不合題意.
所以直線斜率存在，設直線的方程為.
設、，
由得，
所以，.
因為，
所以，
即，整理得
化簡得，
所以直線的方程為，
所以直線過定點.
2．已知斜率為的的直線與橢圓交于點，線段中點為，直線在軸上的截距為橢圓的長軸長的倍.
（1）求橢圓的方程；
（2）若點都在橢圓上，且都經過橢圓的右焦點，設直線的斜率分別為，，線段的中點分別為，判斷直線是否過定點，若過定點.求出該定點，若不過定點，說明理由.
【答案】（1）；（2）過定點，.
【解析】設，
則，
且
兩式相減得
即，
即，
所以
又直線的方程為，
令，得
所以，
所以橢圓的方程為.
（2）由題意得，直線的方程分別為，
設，聯立，
得，
所以，
則
同理
所以
由
得，
所以直線的方程為
整理得，
所以直線過定點.
考向三 定直線
【例1】橢圓E的中心為坐標原點，坐標軸為對稱軸，左、右頂點分別為，，點在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程．
(2)過點的直線l與橢圓E交于P，Q兩點（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點M在定直線上
【詳解】（1）設橢圓E的方程為．
則，解得，
故橢圓E的方程為．
（2）依題可設直線l的方程為，，，．
聯立方程組，整理得，
則，
直線AP的方程為，直線BQ的方程為，
聯立方程組，得
由，得，得．
所以.
故點M在定直線上．
【舉一反三】
1．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線交拋物線于，兩點.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過點，分別作拋物線的切線，，點為直線，的交點.
（i）求證：點在一條定直線上；
（ii）求面積的取值范圍.
【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）.
【解析】（1）拋物線的焦點到準線的距離為2，
可得，所以拋物線的標準方程為.
（2）聯立方程組消去得，，
∴，
由得，，所以切線方程為
切線方程為
聯立直線 方程可解得，.
（i）所以點的坐標為.
所以點在定直線上
（ii）點到直線的距離為.
所以
的面積為
所以當時，有最小值.
面積的取值范圍是.
2.拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形對于拋物線給出如下三個條件：
①焦點為②準線為③與直線相交所得弦長為．
(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線的方程
(2)已知是中拋物線的阿基米德三角形，點是拋物線在弦兩端點處的兩條切線的交點，若直線經過點，試判斷點是否在一條定直線上如果是，求出定直線方程如果不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點在直線上
【詳解】（1）即為，
若選①，拋物線方程為，
選②，由準線為知，，解得，所以拋物線方程為.
選③，代入，解得，所以弦長為，解得，
所以拋物線方程為.
（2）令，，，則，,
，,
即為，
又即，
同理，，
，
而過點即
點在直線上
課后練習
1．已知O為坐標系原點，橢圓的右焦點為點F，右準線為直線n.
（1）過點的直線交橢圓C于兩個不同點，且以線段為直徑的圓經過原點O，求該直線的方程；
（2）已知直線l上有且只有一個點到F的距離與到直線n的距離之比為.直線l與直線n交于點N，過F作x軸的垂線，交直線l于點M.求證：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）設過點的直線為交于橢圓
聯立消去y得
又因為以線段為直徑的圓經過原點，
則
則所求直線方程
（2）已知橢圓的離心率為，右準線直線n的方程為，
因為直線上只有一點到F的距離與到直線n的距離之比為，
所以直線與橢圓相切，
設直線的方程為，聯立消去y得到：
①
聯立點N坐標為
得到
,
由①
2.已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）由已知C：，點A的坐標為，得，
焦點，，.
所以，，故C：.
（2）設l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯立得：，
由已知得，，設，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
3．已知橢圓的一個頂點恰好是拋物線的焦點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線交橢圓于兩點，設點關于軸的對稱點為，當直線繞著點轉動時，試探究：是否存在定點，使得三點共線？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定點為.
【解析】（1）由題意，拋物線，可得焦點為，所以，
又由雙曲線的離心率為，可得橢圓的離心率，
可得，解得，
即橢圓的標準方程為.
（2）由直線不與坐標軸垂直，可設直線的方程為，其中，
設點 ，則點，
聯立直線與橢圓的方程，整理得，
由恒成立，且，，
由橢圓的對稱性知，若存在定點，則點必在軸上，
故假設存在定點，使得 三點共線，則，
即，可得.
故存在定點，使得 三點共線.
4．已知分別是橢圓的左 右焦點， 為橢圓的上頂點，是面積為的直角三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值為.
【解析】（1）由為直角三角形，故，
又，
可得
解得
所以，
所以橢圓的方程為；
（2）當切線的斜率不存在時，其方程為
將代入，得，不妨設，，又
所以
同理當時，也有.
當切線的斜率存在時，設方程為，
因為與圓相切，
所以
即，
將代入，
得，
所以
又
，
又
，
將代入上式，得，
綜上，.
6．如圖，已知橢圓：的左焦點為，直線與橢圓交于，兩點，且時，.
（1）求的值；
（2）設線段，的延長線分別交橢圓于，兩點，當變化時，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【答案】（1）；（2）過定點，定點為.
【解析】（1）設，則，由題意得焦點為
所以，.
當時，有.
聯立得，，從而.
將代入，得，即，
所以或（舍），故.
（2）由（1）知，，橢圓：.
設：，代入橢圓：，
消去并整理得，
所以，
而，所以，
由韋達定理得，所以.
同理：，即，，
所以，
所以，
于是.
所以直線：.
令，得，
將代入得，
所以經過定點.
7．已知雙曲線的標準方程為，其中點為右焦點，過點作垂直于軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點，過點作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，若，.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點作的平行線，在直線上任取一點，連接與雙曲線相交于點，求證點到直線的距離是定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）解：由雙曲線，可得焦點，其中一條漸近線方程為，
則點到漸近線的距離為，解得，
又由，可得，解得，
故雙曲線的標準方程為.
（2）解：由雙曲線，可得，
設點，則直線的方程為，即，
由題意，設直線的方程為，由點在直線上，可設點，
又由，可得，解得，即直線的方程為，
設，由點共線，可得，即，得，
即點，
則點到直線的距離為
.
即點到直線的距離為定值.

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