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第十九章 四邊形知識與題型總結
一.本章知識要求和結構
1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的內在關系.
（1）演變關系圖：
（2）從屬關系
（依據演變關系圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關系圖中，其中每一個圓代表一種圖形）
2. 探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關性質和常用判別方法，并能運用這些知識進行有關的證明和計算.
名稱
平行四邊形
矩形
菱形
正方形
定
義

的四邊形是平行四邊形

的平行四邊形是矩形

的平行四邊形是菱形

的平行四邊形是正方形
性
質
邊
角
對角線
對稱性
判
定
邊
角
對角線
面
積
周
長
3. （1）平行四邊形的面積等于它的底和該底上的高的積.
如圖1， =BC·AE=CD·BF
（2）同底(等底)同高（等高）的平行四邊形面積相等.如圖2， =
4.三角形中位線定理
定義: 叫做三角形中位線（與中線的區分）;
定理:
作用:可以證明兩條直線平行;線段的相等或倍分.
拓展:三角形共有三條中位線，并且它們將原三角形分割成四個 的小三角形，其面積和周長分別為原三角形面積和周長的 和 ;
（4）直角三角形的性質 定理: 直角三角形斜邊上的中線
5.正方形：
（1）對角線：若正方形的邊長為a，則對角線的長為;
正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩個端點的距離相等
（3）面積：正方形的面積等于邊長的平方; 等于兩條對角線的乘積的一半.
周長相等的四邊形中， 正方形的面積最大.
6. ※梯形的中位線
（1）定義:連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線
（2）梯形的中位線定理:梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半.
（3）梯形的面積S=×（上底+下底）×高=中位線×高
7.幾種特殊四邊形的對角線
① 矩形對角線交角為60((120()時,可得：
等邊三角形和含30(角直角三角形 （①圖）
② 菱形有一個角為60(時, 可得： ③ 正方形中可得：
含30(角的四個全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形
（②圖） （③圖）
④ 對角線互相垂直的梯形, ⑤ 對角線互相垂直的等腰梯形
平移腰可得：雙垂圖 可得：等腰直角三角形


（④圖） （⑤圖）
8. 中點四邊形: （頂點為各邊的中點，需討論對角線&中位線）
(1) 順次連結任意四邊形各邊中點構成的四邊形是_______________
(2) 順次連結對角線相等的四邊形的各邊中點, 構成的四邊形是__________
(3) 順次連結對角線互相垂直的四邊形的各邊中點構成的四邊形是_______
(4) 順次連結平行四邊形各邊中點構成的四邊形是_________
順次連結矩形各邊中點構成的四邊形是_________
順次連結菱形各邊中點構成的四邊形是_________
順次連結直角梯形各邊中點構成的四邊形是__________
順次連結等腰梯形各邊中點構成的四邊形是__________
二．典型題型歸納
（一）概念題
1．中，∠A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段，
則的周長為 ．
2．在中，∠C=60o,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F．
（1）則∠EDF= ；
（2）如圖，若AE=4，CF=7，
則周長= ;
(3) 若AE=3，CF=7，請作出對應圖形，并求周長．
3．(1)在平行四邊形ABCD中，若∠C=∠B+∠D，則∠A= .
(2)已知在,∠A比∠B小20o，則∠C的度數是 ．
(3)在中，周長為100cm，AB-BC=20cm，則AB= ,
BC= .
（4）在中，周長為30cm，且AB：BC=3：2，則AB= cm.
（5）（2007河北省）如圖，若□ABCD與
□EBCF關于BC所在直線對稱，
∠ABE＝90°，則∠F?＝ °．
4．（2007福建福州）下列命題中，錯誤的是（ ）
A．矩形的對角線互相平分且相等
B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．等腰梯形的兩條對角線相等
D．等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等
5.（2007浙江義烏）在下列命題中，正確的是（　　）
A．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形　
B．有一個角是直角的四邊形是矩形C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
6.（2007甘肅隴南）順次連結任意四邊形各邊中點所得四邊形一定是 ( )
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7.（2007四川眉山）下列命題中的假命題是( )
A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
B．一組鄰邊相等的矩形是正方形
C． 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
D．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形
8.（2007四川成都）下列命題中，真命題是（　　）
Ａ．兩條對角線相等的四邊形是矩形
Ｂ．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
Ｃ．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
Ｄ．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
9.（2007浙江嘉興）如圖，在菱形ABCD中，不一定成立的（　　）
Ａ． Ｂ．AC⊥BD Ｃ．等邊△ABD Ｄ．∠CAB＝∠CAD
（二）圖形的性質和判定方法
10．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過A、C兩點作//，作BM⊥于M，DN⊥于N，直線MB、ND分別交、于Q、P，試判斷四邊形PQMN的形狀．
11．如圖，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為正方形邊上的點，而且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH為正方形．

12．如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上一點，
AE=AB，AB=2AD，求∠EBC的度數

（三）轉化的思想——將梯形問題通過化歸、分割、拼接轉化成三角形和平行四邊形問題. 如圖所示：
13．填空
（1）等腰梯形上底長為3cm，腰長為4cm，其中銳角等于60o，
則下底長是 ．
（2）等腰梯形一個底角是60o，它的上、下底分別是8和18，則這梯形的
腰長是 ，高是 ，面積是 ．
（3）在直角梯形中，垂直于底的腰長5cm，上底長3cm，另一腰與下底的
夾角為30o，則另一腰長為 ，下底長為 ．
（4）等腰梯形兩對角線互相垂直，一條對角線長為6，則高為 ，
面積為 ．
（5）已知在梯形ABCD中，AD//BC，若兩底AD、BC的長分別為2、8，
兩條對角線BD=6，AC=8，則梯形的面積為 ．
（四）推理論證的進一步鞏固
14．（2007恩施自治州）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E、F是直線AC上的兩點，并且AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
15．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是直線AB、CD的中點，AF、DE相交于點G，CE、BF交于點H．求證：四邊形GEHF是平行四邊形.
16．平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、AD上，且AF=CE，,求證：四邊形AECF是平行四邊形.
17．求證：正方形的兩條對角線將之分成四個全等的等腰直角三角形．
18．已知點E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，
（1）若BE=CF，如圖13(1)．求證：AE=BF并且AE⊥BF；
（2）若E、F分別是BC、EF的中點，如圖13(2)，求證：GD=AD．

19．（2007浙江金華）國家級歷史文化名城——金華，風光秀麗，花木蔥蘢．某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍、綠、橙、紫6種顏色的花．如果有，，那么下列說法中錯誤的是（ ）
A．紅花、綠花種植面積一定相等
B．紫花、橙花種植面積一定相等
C．紅花、藍花種植面積一定相等
D．藍花、黃花種植面積一定相等
20.（06鹽城）已知的面積為4，對角線交于O，
則S△AOB= ．
21.若A,B,C三點不共線，則以其為頂點的平行四邊形共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
22.平行四邊形一邊長為10，一條對角線長為6，則它的另一條對角線a的取值范圍是（ ）
A.423.平行四邊形中一邊長為10cm，那么兩條對角線的長度可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm
C．8cm和12cm D．20cm和30cm
24.（07北京市23）如圖，已知．
(1)請你在邊上分別取兩點（的中點除外），連結，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；
(2)請你根據使（1）成立的相應條件，證明．
25．如圖已知，過頂點A作∠B、∠C的平分線的
垂線，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求證：ED//BC．
26．如圖，已知BD、CE是⊿ABC的兩條高，
M、N分別是BC、DE的中點．
求證：（1）EM=DM；（2）MN⊥DE．
27．（1）如圖27(1)，正方形ABCD，E、F分別為BC、CD邊上一點．
①若∠EAF=45o．求證：EF=BE+DF．
②若⊿AEF繞A點旋轉，保持∠EAF=45o，
問⊿CEF的周長是否隨⊿AEF位置的變化而變化？
（2）如圖27(2)，已知正方形ABCD的邊長為1，
BC、CD上各有一點E、F，如果⊿CEF的周長為2．
求∠EAF的度數．
（3）如圖27(3)，已知正方形ABCD，F為BC中點
E為CD邊上一點，且滿足∠BAF=∠FAE ．
求證：AE=BC+CE．
（五）知識的聯系與綜合
28．已知的頂點A、B、C的坐標為(-2,3),(-5,-4),(1,-4)，則D點坐標為
29. 如圖，已知的兩條對角線AC與BD交于平面直角坐標系的原點，點A的坐標為(-2,3)，則點C的坐標為（ ）
A、(-3,2) B、(-2,-3) C、(3,-2) D、(2,-3)
第32題圖
30．如圖，兩平面鏡的夾角為，入射光線AO平行于入射到，兩次反射后的光線O`B平行于，則角等于 ．
31．已知矩形的對角線長為13，周長為34，則這個矩形的面積為 ．
32.（05,濰坊）如圖,在直角坐標系中,將長方形OABC沿OB對折,使點A落在A1處,已知OA=,AB=1,則點A1的坐標是（ ）
A.（） B.（） C.（） D.（）
（六）面積的問題：各種四邊形面積的求法和等積變換
33．如圖，E為邊CD上一點，的面積為S，則△ABE的面積為（ ）
A、S B、S C、S D、
34．如圖，在ABCD中，AD⊥BD，∠A=∠ABC，如果AD=2，
那么ABCD的周長是 ，面積是 ．
35．如圖，在矩形ABCD中，過BD上一點K分別作矩形兩邊的平行線MN和PQ，那么圖中矩形AMKP的面積S1與矩形QCNK的面積S2的大小關系是S1 S2 (填“>”、“=”或“<”)

36．如圖，在中，點P在BC上，PQ∥BD交CD與Q，則圖中和△ABP面積相等的三角形有 個，它們分別是: ．
37．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點，
DE交BC于F．求證：
38．如圖，點E、F分別在的邊DC、CB上，
且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足．
求證：DG=BH．
（七）運動變換的思想在本章中的應用．
39．（希望杯第9屆初二第二試）已知ABCD的周長為52，自頂點D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F為垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF的值．
40．在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD邊上的動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF= ．

41．（1）如圖41(1)(2)，已知⊿ABD,⊿BCE,⊿ACF是等邊三角形，
求證：四邊形ADEF是平行四邊形.

(2)如圖41(3)，已知⊿ABC,以AB、AC為邊分別作等邊三角形⊿ABD,⊿ACF，再以AD、AF為鄰邊作平行四邊形ADEF，求證：三角形BCE是等邊三角形.
（3）如圖41(4)，已知⊿ABD,⊿BCE是等邊三角形，A,F是CE，EB上一點，且CA=EB，求證：四邊形ADFC是平行四邊形.
42、（2007浙江臺州）把正方形繞著點，按順時針方向旋轉得到正方形，邊與交于點（如圖）．試問線段與線段
相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想．
43、（2007江蘇揚州）如圖，正方形繞點逆時針旋轉后得到正方形，邊與交于點．
（1）以圖中已標字母的點為端點連結兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連結的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；
（2）若正方形的邊長為，重疊部分（四邊形
）的面積為，求旋轉的角度．
44．（2007甘肅隴南）四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．
（1）求證：AE=CG；
（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，
并證明你的猜想．
45．（2007淄博）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
CE⊥AN，垂足為點E，
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形
ADCE是一個正方形？并給出證明．
46.（05，青島）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別為AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點.
⑴求證：△ABM≌△DCM;
⑵四邊形MENF是什么圖形？請證明你的結論；
⑶若四邊形MENF是正方形，則梯形的高與底邊
BC有何數量關系？并請說明理由.
47．（2007四川資陽）如圖47(1)，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F.
(1) 求證：BP=DP；
(2) 如圖47(2)，若四邊形PECF繞點C旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？若是，請證明之；若不是，請舉出反例；
(3) 試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結，使得到的兩條線段在旋轉的過程中長度始終相等，并證明之.
（八）函數的思想在本章中的運用
48、（2007南充改編）等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o． M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動．
（1）設ND為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍．
（2）設t=10-x,用t表示△AMN的面積．
（3）求△AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時△AMN的形狀．

49．（2006泰州）將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中，O為原點， C在x軸上，OA=6，OC=10.
（1）如圖1，在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標；
（2）如圖2，在OA′、OC′邊上選取適當的點E′、F，將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在A′B ′ 邊上的D′點，過D ′作D 'G//A′O 交E′F于T點，交OC ′于G點，求證：TG=A ′E′.
（3）在（2）的條件下，設T（x，y），探求：y與x之間的函數關系式.并指出變量x的取值范圍.
（4）如圖3，如果將矩形OABC變為平行四邊形OA＂B＂C＂，使OC＂=10， OC＂邊上的高等于6，其他條件均不變，探求：這時T（x，y）的坐標y與 x之間是否仍然滿足（3）中所得的函數關系，若滿足，請證明之；若不滿足，寫出你認為正確的函數關系式.
50.（08通州22改編）如圖，在中，AB=8 cm，AD=6 cm，
∠DAB=60°，點M是邊AD上一點，且DM=2 cm，點E、F分別是邊AB、BC上的點，EM、CD的延長線交于G，GF交AD于O，設AE=CF=x，
⑴試用含x的代數式表示△CGF的面積；
⑵當GF⊥AD時，求AE的值.

（九）翻折問題（特殊四邊形的折疊問題）
51.沿特殊四邊形的對角線折疊
（06.浙江嘉興）如圖，矩形紙片ABCD，AB=2， ∠ADB=30°，沿對角線BD折疊（使△ABD和△EBD落在同一平面內），則A、E兩點間的距離為____________.
第51題圖 第52題圖
52.沿特殊四邊形的對稱軸折疊
如圖，已知矩形ABCD的邊AB=2，AB≠BC，矩形ABCD的面積為S，
沿矩形的對稱軸折疊一次得到一個新的矩形，則這個新矩形對角線長為__________.
53.使特殊四邊形的對角頂點重合折疊
（05，山東威海）如圖，梯形紙片ABCD， ∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，
BC=6，將紙片折疊，使點B與點D重合，折痕為AE，則CE=___________.
第53題圖 第54題圖 第55題圖
54.使特殊四邊形一頂點落在其一邊上而折疊
如圖，折疊矩形的一邊CD，使點C落在AB上的點F處，已知AB=10cm， BC=8cm，則EC的長為________.
55.使特殊四邊形兩頂點落在其一邊上而折疊
（崇文）如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，將梯形對折，使點D、C分別落在AB上的D′、C′處，折痕為EF，若CD=3cm，EF=4cm，則AD′+BC′=________cm.
56.使特殊四邊形一頂點落在其對稱軸上而折疊(1)
如圖，已知EF為正方形ABCD的對稱軸，將∠A沿DK折疊，使它的頂點A落在EF上的G點處，則∠DKG=_____.
第56題圖 第57題圖
57.使特殊四邊形一頂點落在其對稱軸上而折疊(2)
如圖，有一塊面積為1的正方形ABCD，M、N分別為AD、BC邊的中點，將C點折至MN上，落在點P的位置，折痕為BQ，連結PQ.
(1)求MP的長度; ⑵求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于.
58.兩次不同方式的折疊
（06.淄博市）如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊，
BC、BD為折痕，折疊后AB與EB在同一條直線上,
則∠CBD的度數為（ ）
A.大于90° B.等于90° C.小于90° D.不能確定
59.三次不同方式的折疊
（03，山西）如圖，取一張矩形的紙片進行折疊，具體操作過程如下:
第一步:先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖①;
第二步:再把B點疊在折痕MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應點為B′，得Rt△AB′E，如圖②;
第三步:沿EB′線折疊得折痕EF，如圖④. 利用展開圖③探究:
⑴△AEF是什么三角形?證明你的結論;
⑵ 對于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形? 并證明之.
（十）動手操作實踐
60.（2007湖南懷化）如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線剪開可以拼成不同形狀的四邊形，請畫出所有可能四邊形并寫出的它的名稱
61.（05棗莊,9分）如圖1,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,由四個這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形.
（1）求出梯形ABCD四個內角的度數;
（2）試探究梯形ABCD四條邊之間存在的等量關系,并證明之;
（3）現有圖1 中的等腰梯形若干個,利用它們你能拼出一個菱形嗎?

62.（06.寧波）如圖,剪四刀把等腰直角三角形分成五塊,請用這五塊拼成一個平行四邊形或梯形（請按1：1的比例畫出所拼的圖形）
第62題圖 第63題圖
（十一）動點問題
63.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動, 點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發,用t表示運動的時間（0≤t≤6）,那么:
（1）當t為何值時,△QAP為等腰三角形?
（2）求四邊形QAPC的面積;提出一個與計算結果有關的結論.
64.如圖，矩形ABCD的邊AC在x軸上，點A在原點，AB=3，AD=5.若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向運動，同時點P從A點出發以每秒1個單位長度沿A-B-C-D的路線運動，當P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也停止運動.
（1）求P點從A點運動到D點所需的時間；
（2）設P點運動時間為t（秒）；
①當t=5時，求出點P的坐標；
②若△OAP的面積為S，試求S與t之間的函數關系式.
（并寫出相應的自變量t的取值范圍）.
（十二）開放探究
65.（2005 資陽）如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖1矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”.顯然，當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形′只有一個.
(1)仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”.
(2)如圖2，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖2中畫出△ABC的所有“友好矩形” ，并比較這些矩形面積的大小.
(3)若△ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖3中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并證明之.

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