資源簡介

專題01 集合與邏輯用語（選題題8種考法）
考法一 數集的運算
【例1-1】（2023·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，則.故選：A.
【例1-2】（2023·北京·統考高考真題）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意，，，
根據交集的運算可知，.故選：A
【變式】
1．（2023·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為全集，集合，所以，
又，所以，故選：A.
2．（2022·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，，所以,
所以.故選：D.
3．（2023·全國·統考高考真題）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，則，選項A正確；
，則，選項B錯誤；
，則或，選項C錯誤；
或，則或，選項D錯誤；故選：A.
考法二 點集運算
【例2】（2023·貴州遵義·統考模擬預測）若集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，解得：或，故.故選：A
【變式】
1．（2023·四川雅安·校考模擬預測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．［1，2]
【答案】C
【解析】.故選:C.
2.（2022·河南省直轄縣級單位）已知集合，，則（ ）
A． B． C．M D．N
【答案】D
【解析】，
因為當時，，所以函數過點，所以，所以.
故選：D.
3（2023北京）已知集合，，則中元素的個數為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素為點集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點組成的集合，集合B表示直線上所有的點組成的集合，又圓與直線相交于兩點，，則中有2個元素.故選B.
考法三 （真）子集個數
【例3-1】（2023·河南·校聯考二模）集合的子集的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
集合的子集個數為.故選：D.
【例3-2】（2023·山東·校聯考模擬預測）滿足條件的集合有（ ）
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
【答案】C
【解析】∵，
∴或或或，共4個．故選：C．
【變式】
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）若集合，集合，則的子集個數為（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】C
【解析】由得，所以，
解不等式得，
所以，所以的子集個數為.
故選：C
2．（2023·上海寶山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8個子集，則的可能值有幾個（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由題意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8個子集，故集合只有三個元素，
有，則結合誘導公式易知，
可取的值是4或5.
故選：B
3．（2023·山東·山東省實驗中學校考二模）已知集合，集合，則集合的真子集個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】聯立可得，因為，解得，
所以，方程組的解為或，
所以，，
所以，集合的真子集個數為.故選：C.
考法四 集合求參
【例4-1】（2023·吉林·統考模擬預測）已知集合，若 ，則實數（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【答案】B
【解析】由集合，
對于方程，
當時，此時方程無解，可得集合，滿足 ；
當時，解得，要使得 ，則滿足，可得，
所以實數的值為或.
故選：B.
【例4-2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知集合，，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，
因為，所以，故．
故選：C．
【例4-3】（2023·江蘇鎮江）若集合,則能使成立的所有組成的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當時,即,時成立;
當時,滿足,解得;
綜上所述:.
故選:C.
【例4-4】（2022·全國·高三專題練習）已知集合，，則的元素個數為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．無法確定
【答案】A
【解析】時，與圓相交有兩個交點
時，∴直線與圓相交，有兩個交點故選：A
【變式】
1（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考一模）集合，，且，實數的值為（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【解析】由集合，且，
又由，可得，
當時，此時集合，滿足；
當時，可得，要使得，則滿足或，解得或，
綜上可得，實數的值為或或.
故選：D.
2．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知集合，，若且，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】或，
因為，所以，
①當時，，滿足題意；
②當時，，
要使，則，解得，
綜上所述，實數m的取值范圍是．
故選：B.
3．（2023·河北·模擬預測）已知集合，，若，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為或，所以或，由，
所以當時，不成立，所以集合為空集，滿足題意，
當時，，由，所以，
所以有，綜上所述實數的取值范圍是，故選：B.
4．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，.若，則實數（ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
【解析】因為，所以直線與直線平行，
所以所以. 經檢驗，當時，兩直線平行.故選：B.
考法五 韋恩圖
【例5】（2023·福建龍巖·統考二模）若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，即，
又，故陰影部分為.故選：D
【變式】
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模擬預測）已知為實數集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由Ven圖可知，陰影部分表示為，
因為，或，所以，
所以，故選：C.
2．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）設全集，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題設得，則，
由圖知：陰影部分為.
故選：D
3．（2023·海南海口·農墾中學校考模擬預測）圖中陰影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】如圖，

對于A，，則，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，，故，故C正確；
對于D，，故D錯誤，故選：AC．
考法六 充分、必要條件
【例6-1】（2022·天津·統考高考真題）“為整數”是“為整數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當為整數時，必為整數；
當為整數時，比一定為整數，
例如當時，.
所以“為整數”是“為整數”的充分不必要條件.
故選：A.
【例6-2】（2022·北京·統考高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】設等差數列的公差為，則，記為不超過的最大整數.
若為單調遞增數列，則，
若，則當時，；若，則，
由可得，取，則當時，，
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”；
若存在正整數，當時，，取且，，
假設，令可得，且，
當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數列是遞增數列.
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”.
所以，“是遞增數列”是“存在正整數，當時，”的充分必要條件.故選：C.
【變式】
1．（2022·浙江·統考高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為可得：
當時，，充分性成立；
當時，，必要性不成立；
所以當，是的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2023·北京·統考高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】解法一：
因為，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因為，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因為，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
3．（2023·全國·統考高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.故選：C
考法七 含有一個量詞命題
【例7-1】（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，
故“，”的否定是“，”，
故選：B．
【例7-2】（2023·山西呂梁·統考二模）已知命題：，，則為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題設命題為真，即在上恒成立，所以，
則為真命題的一個充分不必要條件應該是的一個真子集，故選：A．
【例7-3】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）若命題“，使成立”的否定是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若“，使成立”的否定是：
“，使”為真命題，
即；令，
由，得，所以，
所以，
故選：C.
【變式】
1．（2023·河南·模擬預測）已知命題p：“，”，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，
所以“，”的否定是“，”．
故選：C．
2.（2023·河南·長葛市第一高級中學統考模擬預測）已知命題“，”為真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為命題“，”為真命題，
所以，命題“，”為真命題，所以，時，，
因為，，所以，當時，，當且僅當時取得等號.
所以，時，，即實數的取值范圍是故選：C
3.（2023·甘肅蘭州·校考一模）若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－1，1) D．(－1，1]
【答案】A
【解析】命題：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的否定是：對任意的，.
若對任意的，為真命題，則：
當時，，顯然不是恒成立，故舍去；
當時，，且，解得.綜上所述，.
又因為原命題：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命題，故任意的，是假命題.
故.故選：.
考法八 新定義集合
【例8】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）若且，，則稱a為集合A的孤立元素．若集合，集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20個．
滿足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能為，，，，一共4種．
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
故選：C．
【變式】
1．（2023·云南保山·統考二模）定義集合運算：，設，，則集合的所有元素之和為（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【解析】由題設知，所有元素之和為，故選：A.
2．（2023·安徽蚌埠·統考二模）對于數集，，定義，，，若集合，則集合中所有元素之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據新定義，數集，，定義，，，集合，，，則可知所有元素的和為，
故選：D.
3．（2023·全國·本溪高中校聯考模擬預測）對于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】結合新定義可知，又，
所以．故選：A
4．（2023·北京·中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數最多為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【解析】對于條件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差為的等差數列構成，例如，集合中有個元素，
又則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個數最多不能超過10個，
故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個元素，例如.故選：B.
一．單選題
1．（2023·天津·統考高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，而，所以.故選：A
2．（2023·全國·統考高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】方法一：因為，而，所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．
3．（2022·天津·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故，故選：A.
4．（2022·全國·統考高考真題）集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，所以．故選：A.
5．（2022·全國·統考高考真題）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，所以．故選：A.
6．（2022·全國·統考高考真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題知,對比選項知，正確,錯誤故選:
7．（2022·北京·統考高考真題）已知全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由補集定義可知：或，即，
故選：D．
8．（2022·全國·統考高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故，
故選：D
9．（2023·全國·統考高考真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因為，則有：
若，解得，此時，，不符合題意；
若，解得，此時，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
10．（2023·安徽·池州市第一中學校考模擬預測）設全集，集合，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】全集，集合，
或，
所以，
則．
故選：B．
11．（2023·河南·模擬預測）已知集合中恰有兩個元素，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合中恰有兩個元素，得，解得．故選：B．
12．（2023·遼寧·校聯考三模）若為全體實數，集合．集合．則的子集個數為（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】D
【解析】由集合得且，
由集合可得或，
故子集個數為．
故選:．
13．（2023·河北衡水·河北衡水中學校考一模）已知集合，.若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得：或，即，
，，，即實數的取值范圍為.
故選：B.
14．（2023·河南·校聯考模擬預測）設集合，若，則實數（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】集合，則，且，解得，且，
由，得，或，
解，得或（舍去）；解，得（舍去）或（舍去），
所以.
故選：A
15．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）已知集合，，若，則實數b的值為（ ）
A．1 B．0或1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】由中不等式解得：，因為，所以，，
，，且，或2，故選：D．
16．（2023·山東德州·三模）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
因為，所以，解得.故選：B.
17．（2023·福建寧德·福鼎市第一中學校考模擬預測）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，則，即，
∴a的取值范圍
由題意可得：選項中的取值范圍對應的集合應為的真子集，
結合選項可知B對應的集合為為的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故選：B.
18．（2023·四川宜賓·統考二模）命題：存在唯一，使得是真命題，則實數的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】不妨設，顯然的定義域為關于原點對稱，
且有，
所以函數是上的偶函數，
由題意可知函數在上有且僅有一個零點，
則只能，
否則若則由偶函數的性質可知，此時與題意矛盾，
所以，解得，
此時有，且當且僅當時，，故符合題意.
故選：B.
19．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）不等式“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】，解得，，解得，
因為，但，
故“”是“”成立的充分不必要條件.
故選：A
20．（2023·河南·模擬預測）“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當時，恒成立，
當時，則，解得，
綜上所述，不等式恒成立時，，
所以選項中“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是.
故選：D.
21．（2023·江蘇揚州·儀征中學校考模擬預測）已知集合，則集合的子集個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】集合B中圓的半徑為1，圓心到集合A中直線的距離，
所以直線與圓相交，有兩個交點，
所以集合中有兩個元素，其子集個數為4.
故選：A.
22．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學校聯考模擬預測）已知集合，則集合的真子集的個數為（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
【答案】A
【解析】方法一：聯立 ，解得 或，
,
集合的真子集的個數為.
方法二：在同一直角坐標系中畫出函數 以及的圖象，由圖象可知兩圖形有2個交點，所以的元素個數為2，進而真子集的個數為.

故選：A.
23．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）若且,,則稱a為集合A的孤立元素．若集合,集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合的三元子集個數為，
滿足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能為
，一共35種，
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
故選：C．
24（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）已知，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件
【答案】D
【解析】若，則，
故，即．
又，故或，充分性不成立；
若，即，所以，
所以，所以必要性成立．
故選：D．
25．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考一模）若向量，則“”是“向量的夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】向量，由向量的夾角為鈍角，
即有，解得且，
即“”不能推出“且”即“向量的夾角為鈍角”；
“向量的夾角為鈍角”即“且”能推出“”；
故“”是“且”的必要不充分條件，
即“”是“向量的夾角為鈍角”的必要不充分條件．
故選：B．
26．（2023·河南·模擬預測）“”是“函數在區間上單調遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】二次函數圖象的對稱軸為，
若函數在區間上單調遞增，
根據復合函數的單調性可得，即，
故“”是“函數在區間上單調遞增”的充分不必要條件．
故選：A．
27．（2023·全國·統考高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【解析】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
28．（2023·全國·統考高考真題）設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為整數集，，所以，．
故選：A．
29．（2023·全國·統考高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依題意，等差數列中，，
顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
30．（2023·湖南永州·統考一模）“函數在上單調遞減”是“函數是偶函數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由題意，
在中，
當函數在上單調遞減時，，
在中，函數是偶函數，
∴，解得：，
∴“函數在上單調遞減”是“函數是偶函數”的必要不充分條件，
故選：B.
二、多選題
31．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）下列命題正確的是（ ）
A．，
B．，
C．若命題“，”為真命題，則實數的取值范圍為
D．若，，使得，則實數的最小值為
【答案】BD
【解析】對于A，因為，，開口向上，，，故A錯誤；
對于B，令，則，即為，而在上單調遞減，故，故B正確；
對于C，顯然，且，解得，故C錯誤；
對于D，當時，，當時，，故，所以，故D正確.
故選：BD．
32．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）若對任意，，則稱為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根據“影子關系”集合的定義，
可知，，為“影子關系”集合，
由，得或，當時，，故不是“影子關系”集合．
故選：ABD
33．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）已知函數，設，則成立的一個充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】函數的定義域為，，
即函數是上的偶函數，當時，，
求導得，則函數在上單調遞增，
對于A，取，滿足，而，A不是；
對于B，取，滿足，而，B不是；
對于CD，，于是，由函數是偶函數得，CD是.
故選：CD
34．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）以下說法正確的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分條件
B．命題“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要條件
D．設，，則“”是“”的必要不充分條件
【答案】CD
【解析】A選項，，解得，
所以“”是“”的充分不必要條件，A選項錯誤.
B選項，因為由，得，即，
命題“，”的否定是“，”，所以B選項錯誤.
C選項，；
所以，所以“”是“”的充分不必要條件，
所以C選項正確.
D選項，由于，所以“”是“”的必要不充分條件，
所以D選項正確.
故選：CD
35．（2023·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學校考模擬預測）下面命題正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．命題“若，則”的否定是“存在，”
C．設，則“且”是“”的必要不充分條件
D．設，則“”是“”的必要不充分條件
【答案】AD
【解析】對A，，得到：或，由可以得到，但是，若，顯然成立，但不成立，故A正確；
由全稱量詞命題的否定易知B錯誤；
對C，由“且”，顯然可以得出“”，故C錯誤；
對D，且，則由無法得到，但是由可以得到，故D正確.
故選：AD.
36．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考模擬預測）已知條件p：；條件q：.若p是q的必要條件，則實數a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由，得或，
由，得.
因為是的必要不充分條件，可知或，解得或.
故選：BC.
37．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）已知條件p：，條件q：，且p是q的必要條件，則m的值可以是（ ）
A． B． C．- D．0
【答案】BCD
【解析】設，,
因為p是q的必要條件，所以，
當時，由無解可得，符合題意；
當時，或，當時，由解得，
當時，由解得.
綜上，的取值為0，，.
故選：BCD
38．（2023·河北秦皇島·校聯考二模）已知表示空間內兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（ ）
A．存在平面，有 B．存在平面，有
C．存在直線，有 D．存在直線，有
【答案】AC
【解析】A：若，則直線可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在平面，有，所以本選項正確；
B：若，則，即垂直于同一平面的兩條直線平行；若，則存在平面，有，所以本選項不正確；
C：若，則直線可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在直線，有，所以本選項正確；
D：若，則，即平行于同一直線的兩直線平行，若，則存在直線，有，所以本選項不正確，
故選：AC
39.（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學校考三模）下列說法正確的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要條件
B．命題“，”的否定是“，”
C．若，則
D．的最大值為
【答案】AD
【解析】對于A，“若，則”是假命題，因為，而；“若，則”是假命題，
因為，而，即“”是“”的既不充分也不必要條件，A正確；
對于B，命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
因此它的否定是“，”，B錯誤；
對于C，當時，成立，因此成立，不一定有，C錯誤；
對于D，函數的定義域為，，
而函數在上單調遞增，因此當時，，D正確.
故選：AD
40．（2023·山東濟南·濟南外國語學校校考模擬預測）下列各組集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】對于A，集合都是單元素集，而元素與不同，A不是；
對于B，集合的元素為有序實數對，而集合的元素為實數，B不是；
對于C，集合都含有兩個元素4，5，只是排列順序不同，而集合的元素具有無序性，C是；
對于D，集合有兩個元素1，2，而集合只有一個元素，D不是.
故選：ABD
三、填空題
41．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知集合有15個真子集，則的一個值為 .
【答案】（或，或，填其中一個即可）
【解析】由集合有15個真子集，
可得集合中含有4個元素，則有4個因數，則除1和它本身外，還有2個因數，
所以的值可以為，故的一個值為6（或8，或10）.
故答案為：（或，或，填其中一個即可）.
42．（2023·上海青浦·統考二模）已知集合，若，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由解得，所以，
由于，所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：
43．（2023·北京東城·統考二模）若，則實數的一個取值為 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因為，
且當時，即時，，
當時，即時，才有可能使得，
當的兩根剛好是時，即，此時的解集為剛好滿足，
所以，所以實數的一個取值可以為.
故答案為:
44．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）數列的前n項和為，且，則“”是“”的 條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一種）
【答案】充分不必要
【解析】當時，，
當時，，
當時，，
因為滿足上式，
所以，
所以，，
所以成立，
由可得，
，
，
所以此時滿足，但不一定，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故答案為：充分不必要
45．（2023·山東濰坊·統考二模）若“”是“”的一個充分條件，則的一個可能值是 .
【答案】（只需滿足即可）
【解析】由可得，則，
所以，，解得，
因為“”是“”的一個充分條件，故的一個可能取值為.
故答案為：（只需滿足即可）.
46．（2023·全國·模擬預測）若“”是“函數對一切恒有意義”的充分條件，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】函數對一切恒有意義，
即在上恒成立，
即恒成立．
由“”是“函數對一切恒有意義”的充分條件，
故在上恒成立，
令，為關于b的一次函數，
要使在上恒成立，只需，
即，注意到，
解得．
所以a的取值范圍是.
故答案為：.
47．（2023·上海松江·統考一模）已知集合.設函數的值域為，若，則實數的取值范圍為
【答案】
【解析】由得，即，所以，解得.所以.
因為，所以，所以，
因為，所以解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：.
48．（2023·重慶·校聯考三模）已知集合（其中 為虛數單位），則滿足條件的集合M的個數為 .
【答案】8
【解析】周期為4，當時，；當時，；
當時，；當時，，所以集合的子集個數為個.
故答案為：8個.
49．（2023·陜西渭南·統考一模）設三元集合，則 .
【答案】1
【解析】依題意，，
所以，所以，，
此時兩個集合都是，符合題意.
所以.
故答案為：
50．（2023·江西九江·校考模擬預測）滿足條件的集合M的個數為 ．
【答案】6
【解析】因為，
所以，因此，或，或，或，或，或，共6個，
故答案為：6專題01 集合與邏輯用語（選題題8種考法）
考法一 數集的運算
【例1-1】（2023·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2023·北京·統考高考真題）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式】
1．（2023·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·統考高考真題）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
考法二 點集運算
【例2】（2023·貴州遵義·統考模擬預測）若集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式】
1．（2023·四川雅安·校考模擬預測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．［1，2]
2.（2022·河南省直轄縣級單位）已知集合，，則（ ）
A． B． C．M D．N
3（2023北京）已知集合，，則中元素的個數為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
考法三 （真）子集個數
【例3-1】（2023·河南·校聯考二模）集合的子集的個數為（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2023·山東·校聯考模擬預測）滿足條件的集合有（ ）
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
【變式】
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）若集合，集合，則的子集個數為（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
2．（2023·上海寶山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8個子集，則的可能值有幾個（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·山東·山東省實驗中學校考二模）已知集合，集合，則集合的真子集個數為（ ）
A． B． C． D．
考法四 集合求參
【例4-1】（2023·吉林·統考模擬預測）已知集合，若 ，則實數（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【例4-2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知集合，，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（2023·江蘇鎮江）若集合,則能使成立的所有組成的集合為（ ）
A． B． C． D．
【例4-4】（2022·全國·高三專題練習）已知集合，，則的元素個數為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．無法確定
【變式】
1（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考一模）集合，，且，實數的值為（ ）
A． B． C．或 D．或或
2．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知集合，，若且，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北·模擬預測）已知集合，，若，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，.若，則實數（ ）
A．-3 B． C． D．3
考法五 韋恩圖
【例5】（2023·福建龍巖·統考二模）若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B． C． D．
【變式】
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模擬預測）已知為實數集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B．
C． D．
2．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）設全集，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·海南海口·農墾中學校考模擬預測）圖中陰影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
考法六 充分、必要條件
【例6-1】（2022·天津·統考高考真題）“為整數”是“為整數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例6-2】（2022·北京·統考高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式】
1．（2022·浙江·統考高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·北京·統考高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2023·全國·統考高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
考法七 含有一個量詞命題
【例7-1】（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例7-2】（2023·山西呂梁·統考二模）已知命題：，，則為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）若命題“，使成立”的否定是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式】
1．（2023·河南·模擬預測）已知命題p：“，”，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.（2023·河南·長葛市第一高級中學統考模擬預測）已知命題“，”為真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·甘肅蘭州·校考一模）若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－1，1) D．(－1，1]
考法八 新定義集合
【例8】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）若且，，則稱a為集合A的孤立元素．若集合，集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式】
1．（2023·云南保山·統考二模）定義集合運算：，設，，則集合的所有元素之和為（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
2．（2023·安徽蚌埠·統考二模）對于數集，，定義，，，若集合，則集合中所有元素之和為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·本溪高中校聯考模擬預測）對于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京·中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數最多為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
一．單選題
1．（2023·天津·統考高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·統考高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．2
3．（2022·天津·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·統考高考真題）集合，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·統考高考真題）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·統考高考真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·北京·統考高考真題）已知全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國·統考高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全國·統考高考真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
10．（2023·安徽·池州市第一中學校考模擬預測）設全集，集合，，則等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·河南·模擬預測）已知集合中恰有兩個元素，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·遼寧·校聯考三模）若為全體實數，集合．集合．則的子集個數為（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
13．（2023·河北衡水·河北衡水中學校考一模）已知集合，.若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·河南·校聯考模擬預測）設集合，若，則實數（ ）
A． B． C．或 D．或
15．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）已知集合，，若，則實數b的值為（ ）
A．1 B．0或1 C．2 D．1或2
16．（2023·山東德州·三模）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·福建寧德·福鼎市第一中學校考模擬預測）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·四川宜賓·統考二模）命題：存在唯一，使得是真命題，則實數的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）不等式“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
20．（2023·河南·模擬預測）“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·江蘇揚州·儀征中學校考模擬預測）已知集合，則集合的子集個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
22．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學校聯考模擬預測）已知集合，則集合的真子集的個數為（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
23．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）若且,,則稱a為集合A的孤立元素．若集合,集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為（ ）
A． B． C． D．
24（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）已知，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件
25．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考一模）若向量，則“”是“向量的夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
26．（2023·河南·模擬預測）“”是“函數在區間上單調遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
27．（2023·全國·統考高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
28．（2023·全國·統考高考真題）設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023·全國·統考高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
30．（2023·湖南永州·統考一模）“函數在上單調遞減”是“函數是偶函數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
31．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）下列命題正確的是（ ）
A．，
B．，
C．若命題“，”為真命題，則實數的取值范圍為
D．若，，使得，則實數的最小值為
32．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）若對任意，，則稱為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）已知函數，設，則成立的一個充分條件是（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）以下說法正確的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分條件
B．命題“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要條件
D．設，，則“”是“”的必要不充分條件
35．（2023·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學校考模擬預測）下面命題正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．命題“若，則”的否定是“存在，”
C．設，則“且”是“”的必要不充分條件
D．設，則“”是“”的必要不充分條件
36．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考模擬預測）已知條件p：；條件q：.若p是q的必要條件，則實數a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
37．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）已知條件p：，條件q：，且p是q的必要條件，則m的值可以是（ ）
A． B． C．- D．0
38．（2023·河北秦皇島·校聯考二模）已知表示空間內兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（ ）
A．存在平面，有 B．存在平面，有
C．存在直線，有 D．存在直線，有
39.（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學校考三模）下列說法正確的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要條件
B．命題“，”的否定是“，”
C．若，則
D．的最大值為
40．（2023·山東濟南·濟南外國語學校校考模擬預測）下列各組集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
41．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知集合有15個真子集，則的一個值為 .
42．（2023·上海青浦·統考二模）已知集合，若，則實數的取值范圍為 .
43．（2023·北京東城·統考二模）若，則實數的一個取值為 .
44．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）數列的前n項和為，且，則“”是“”的 條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一種）
45．（2023·山東濰坊·統考二模）若“”是“”的一個充分條件，則的一個可能值是 .
46．（2023·全國·模擬預測）若“”是“函數對一切恒有意義”的充分條件，則a的取值范圍是 ．
47．（2023·上海松江·統考一模）已知集合.設函數的值域為，若，則實數的取值范圍為
48．（2023·重慶·校聯考三模）已知集合（其中 為虛數單位），則滿足條件的集合M的個數為 .
49．（2023·陜西渭南·統考一模）設三元集合，則 .
50．（2023·江西九江·校考模擬預測）滿足條件的集合M的個數為 ．

展開更多......

收起↑