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二次根式知識方法題型總結
一、本章知識內容歸納
1.概念：
①二次根式——形如 的式子；當 時有意義，當 時無意義；
②最簡二次根式——根號中不含 和 的二次根式；
③同類二次根式—— 的二次根式；
2.性質：①非負性; ②;
③ (字母從根號中開出來時要帶絕對值
再根據具體情況判斷是否需要討論)
3.運算: 運算結果每一項都是最簡二次根式，且無可合并的同類二次根式.
①乘法和積的算術平方根可互相轉化:;
②除法和商的算術平方根可互相轉化:
③加減法：先化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式；
④混合運算：有理式中的運算順序，運算律和乘法公式等仍然適用；
⑤乘法公式的推廣：
二、本章常用方法歸納
方法1.開方
①偶數次方：； ②奇數次方：
方法2.分母有理化：
①概念：分母有理化就是通過 使得
其中 叫做該分母的有理化因式；
②常用的有理化因式：
與、與、與互為有理化因式；
③分母有理化步驟：
先將二次根式盡量化簡，找分母最簡有理化因式；
將計算結果化為最簡二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒數
①的倒數：（a>0）; ②的倒數：（a>0, b>0）;
③※因為 ，
所以的倒數為 ；
方法4. 利用“”外的因數化簡“”
①； ②；
三、本章典型題型歸納
（一）二次根式的概念和性質
1．x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
（1）－；
（2）－；
（3）；
2．若x、y為實數，y＝＋＋3．則=
3．根據下列條件，求字母x的取值范圍：
（1）；
（2）；
（3）＝1－x ；
（4）※＝1 ；
4．已知＋＋＝0．
則a= , b= , c= .
5.已知，則=______________
6．在實數范圍內因式分解：x4－4＝______________．
7．已知a,b,c為三角形的三邊，
則=
8.若最簡二次根式與最簡二次根式可以合并，則的取值為
※9．已知a<0，化簡二次根式 =
※10．把根號外的因式移到根號內，得
（二）二次根式的運算
11．乘除法口算：
（1）=
（3）=
（5）=

（2）=
（4）=
（6）=
（7） =
（9）=
（11）=
（8）=
（10）=
（12）=
（13）=
（15）=
（14）=
12. 計算：（能簡算的要簡算）
（1）． （2）＋(－1)3－2×
(3) (4)
(5) （6)
(7)
(8)）
(9) －―＋（a＞0，b＞0）
（10）
※（11） ※(12)
13. 若的整數部分是a，小數部分是b，則
14．在數軸上與表示的點的距離最近的整數點所表示的數是___________
15．若一個正方體的長為，寬為，高為，則它的體積為 .
※16．的關系是
17．甲、乙兩人對題目“化簡并求值：，其中”有不同的解答：
甲的解答：，
乙的解答：。
誰的解答是錯誤的？為什么？
※18. 先觀察下列分母有理化：，從計算結果中找出規律，再利用這一規律計算下列式子的值:
19. 觀察下列各式的特點：
，，，……
(1)請根據以上規律填空
(2)請根據以上規律寫出第個不等式，并證明你的結論.
※(3)計算下列算式：

=
（三）二次根式的化簡求值
20．若，求的值。

21．若求的值。
22．已知，求的值。
23.已知，，求下列各式的近似值(精確到0.01)：
(1)； (2)； (3).
（四）二次根式的比較大小
24.比較下列個數的大小
（1）3與（平方法） （2）－5與－6（被開方數）
（3）與（分母有理化）
（4）－與－（倒數法）
(5) 與（設參數比較）
(6) 與（分子有理化）
（7）已知：是正數，求證：
（五）二次根式的應用
25．在交通事故的處理中，交通警察往往用公式來判斷該車是否超速，其中表示車速（單位km/s）,表示剎車后車輪劃過的距離（單位：）,表示摩擦系數；某日，在一段限速60km/s的公路上，發生了一起兩車追尾的事故，警察趕到后，經過測量，得出其中一輛車的，，請問該車超速了嗎？
26．我們人體含有多少脂肪才算適當？據科學研究表明，可以利用身體的體重（，單位：千克）和身高（，單位：米）來計算身體脂肪水平，也稱為身體質量指數（BMI）.計算公式是BMI=，而且男性的BMI指數范圍是24~27，如果一位男生體重是70千克，身體脂肪屬于正常，那么請你估計他的身高大約在哪個范圍內？（精確到0.01米）.
27．談祥柏是中國人民解放軍軍醫大學數學教授，有一次他將我國近代著名作家徐志摩《再別康橋》中的兩句組成了如下的等式組：
，這里相同的漢字表示０，１，……，９中相同的數字，不同的漢字表示不同數字，你能利用所學知識破解它嗎？
28．某人用一架不等臂天平稱一塊鐵的質量，把鐵塊放在天平左盤時，稱得它的質量為300克；把鐵塊放在天平右盤時，稱得它的質量為900克，利用所學知識，求這塊鐵的實際質量

29．有一塊木板，如圖，請你把它切成三塊，
然后拼成一個正方形的桌面。
30．設等腰三角形的腰長為a，底邊長為b，底邊上的高為h．
（1）如果a＝2，b＝，求h； （2）如果b＝，h＝2，求a．
31.某市為方便相距2km的A、B兩處居民區的交往，修筑一條筆直的公路（如圖：AB）,經測量，在A處的北偏東60°方向，B處北偏西45°方向的C處有一半徑為0.7km的圓形公園，問計劃修筑的公路會不會穿過公園？請說明理由。
※32．設三所學校A，B，C分別位于一個等邊三角形的三個頂點處，現值網絡時代，要在三個學校之間鋪設通訊電纜，小張同學設計了三種連接方案，如圖所示，方案甲：AB+BC；方案乙：AD+BC（D為BC中點）；方案丙：AO+BO+CO（O為三角形三條高的交點），請你幫助計算一下哪種方案線路最短？
※33.一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東60°方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30°方向，已知以小島C為中心周圍10海里以內為我軍導彈部隊軍事演習的著彈危險區，問這艘漁船繼續向東追趕魚群，是否有進入危險區域的可能？

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