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【全國通用】2024中考數(shù)學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.2 將軍遛馬（過橋）模型
將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長度方向平移即可，即可以跨越長度轉(zhuǎn)化為標準的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對稱點變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！
【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。
1）將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)
（1）點A、B在直線m兩側(cè)： （2）點A、B在直線m同側(cè)：
圖1 圖2
（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。
（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。
2）將軍過橋（造橋）模型
【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？
考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2 ）．
問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．
圖1 圖2 圖3
【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？
圖4 圖5 圖6
考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）
當A'、Q、M、B'共線時，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）
考向一　將軍遛馬模型
例1．（2023·陜西·九年級校考期中）某社區(qū)廣場有一塊正方形花園，其中，E是的中點．(1)如圖1，經(jīng)過規(guī)劃，需要修建兩條小道、，M是上一點，社區(qū)為節(jié)省修建時間和費用，要使得所修建的小道的值最小，試求此時的長和的最小值
(2)如圖2，社區(qū)廣泛收集居民建議，重新設(shè)計了方案，修建四條小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右邊，，要使得修建的小道的值最小，試求此時的長和的最小值．

【答案】(1)，最小值為(2)，最小值為
【分析】對于（1），作點A關(guān)于直線的對稱點，可知，要求最小，就是求最小，根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知當點，M，E三點共線時取最小值，即，再根據(jù)勾股定理求出答案；對于（2），作點A關(guān)于直線的對稱點，連接，作，且，連接，再根據(jù)勾股定理，求出，可得，然后確定點的位置，再延長交的延長線于點G，根據(jù)勾股定理求出，可得的最小值，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．
【詳解】（1）如圖所示，作點A關(guān)于直線的對稱點，∴．
要求最小，就是求最小，根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知當點，M，E三點共線時取最小值，即．過點E作，交于點F，根據(jù)題意，得，，

根據(jù)勾股定理，得，所以的最小值為．
∵，∴∽，∴，即，解得．
當時，的最小值為．
（2）如圖所示．作點A關(guān)于直線的對稱點，連接，作，且，連接，
根據(jù)勾股定理，得．∴四邊形是平行四邊形，∴．
要求最小，就是求最小，根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知點E，，F(xiàn)三點共線時，最小，即．延長交的延長線于點G．根據(jù)勾股定理，得，
∴的最小值為．
∵，∴∽，∴，即，解得．
當時，的最小值為．
【點睛】本題主要考查了根據(jù)軸對稱求線段和最小，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，兩點之間線段最短等，勾股定理求線段長的常用方法．
例2．（2022·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形EFGH，連接AH，CG．若，，，則的最小值為______．
【答案】
【分析】延長DA到點O，使AO=HE=4，連接OC，可證得四邊形AOEH是平行四邊形，OE=AH，可得當點E、點G在OC上時，最小，即最小，再根據(jù)勾股定理即可求得．
【詳解】解：如圖：延長DA到點O，使AO=HE=4，連接OE、EG，
，，，又，四邊形AOEH是平行四邊形，，
當點E、點G在OC上時，最小，即最小，，
，，
，故的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形及正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
例3．（2023·仁壽縣一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點，點P、Q為BC上兩個動點（點Q在點P的右邊）．①若連結(jié)AP、PE，則PE＋AP的最小值為______；②連結(jié)QE，若PQ＝3，當CQ＝______時，四邊形APQE的周長最小．
【答案】 10 ##1
【分析】①延長AB到M，使BM＝AB＝4，則A和M關(guān)于BC對稱，連接EM，交BC于點P，此時AP＋PE的值最小，過點M作MN⊥DC，交DC的延長線于點N，在Rt△EMN中，根據(jù)勾股定理求出EM的長即可解答；②點A向右平移3個單位到點G，點E關(guān)于BC的對稱點為點F，連接GF，交BC于點Q，此時GQ＋QE的值最小，根據(jù)題意可知AE，PQ的值是定值，要使四邊形APQE的周長最小，只要GQ＋EQ的值最小即可，然后根據(jù)A字模型相似三角形證明△FCQ∽△FDG，利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答．
【詳解】解：①延長AB到M，使BM＝AB＝4，則A和M關(guān)于BC對稱，∴AP＝PM，
連接EM，交BC于點P，此時AP＋PE的值最小，∴AP＋PE＝PM＋EP＝EM，
過點M作MN⊥DC，交DC的延長線于點N，如圖：
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，
∵∠MND＝90°，∴四邊形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，
∵E為CD的中點， ∴EC＝CD＝2，∴EN＝EC＋CN＝6，
∴，∴PE＋AP的最小值為10，故答案為：10；
②點A向右平移3個單位到點G，點E關(guān)于BC的對稱點為點F，
連接GF，交BC于點Q，∴EQ＝FQ，∴GQ＋EQ＝GQ＋FQ＝FG，此時GQ＋QE的值最小，
∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四邊形APQG是平行四邊形，
∴AP＝GQ，∴GQ＋EQ＝AP＋EQ＝FG，
∵AE，PQ的值是定值，∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP＋EQ的值最小即可，
設(shè)CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，
∴，∴，∴x＝，∴當CQ＝時，四邊形APQE的周長最小，故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱 最短路線問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握軸對稱之將軍飲馬模型想解題的關(guān)鍵．
例4．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對角線上運動，若⊙O的周長為，，則周長的最小值是 ．

【答案】/
【分析】過點作，令；可推出四邊形為平行四邊形，有；根據(jù)可知當時，周長有最小值.
【詳解】解：過點作，令

∵⊙O的周長為，∴⊙O的半徑為∴
∵且∴四邊形為平行四邊形
∴ 由正方形的對稱性可得：∴
∴故：當時，周長有最小值
此時：∴周長的最小值是故答案為：
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等．推出當時，周長有最小值是解題關(guān)鍵．
例5．（2023·天津河東·校考模擬預測）如圖，在邊長為4的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，得出，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，于是得到的最小值為的最小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點D′在過點D且平行于AC的定直線上，作點C關(guān)于定直線的對稱點E，連接交定直線于D′，則的長度即為的最小值，求得，得到，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：在邊長為4的菱形中，，∴，，
將沿射線的方向平移得到，∴，，
∵四邊形是菱形，∴，，∴，
∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，
∴的最小值的最小值，∵點在過點且平行于的定直線上，
∴作點關(guān)于定直線的對稱點，連接交定直線于，
則的長度即為的最小值，在中，，，
∴，∴，∴，∵，
∴，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱－最短路線問題，菱形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
考向二　將軍過橋（造橋）模型
例1．（2023.北京西城八年級期中）作圖題（不寫作法）
（）如圖，一個牧童從點出發(fā)，趕著羊群去河邊喝水，則應(yīng)當怎樣選擇飲水路線，才能使羊群走的路程最短？請在圖中畫出最短路線．
（）如圖，直線是一條河，，是兩個村莊，欲在上的某處修建一個水泵站，向，兩地供水，要使所需管道的長度最短，在圖中標出點．（保留作圖過程）
（）如圖，在一條河的兩岸有，兩個村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方向與河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段表示．試問：橋建在何處，才能使到的路程最短呢？請在圖中畫出橋的位置．（保留作圖過程）
【答案】作圖見解析
【分析】（1）把河岸看做一條直線，利用點到直線的所有連接線段中，垂直線段最短的性質(zhì)即可解決問題．（2）根據(jù)兩點之間線段最短解答．（3）先確定AA′=CD，且AA′∥CD，連接BA′，與河岸的交點就是點C，過點C作CD垂直河岸，交另一河岸于點D，CD就是所求的橋的位置．
【詳解】（）如圖，點到直線垂線段最短．
（）如圖．
（）如圖。
例2．（2022上·湖北襄陽·九年級聯(lián)考自主招生）如圖有一條直角彎道河流，河寬為2，、兩地到河岸邊的距離均為1，，，，現(xiàn)欲在河道上架兩座橋、，使最小，則最小值為　　

A． B． C．14 D．12
【答案】C
【分析】延長到，使得，延長到，使得，連接交河道于點，，得到兩座橋，，此時的值最小．
【詳解】解：延長到，使得，延長到，使得，連接交河道于點，，得到兩座橋，，此時的值最小．

∴四邊形是平行四邊形，∴，同理：=，
延長交的延長線于點．∴，，
∴，，
在中，，
，
的最小值為14．故選：C．
【點睛】本題考查軸對稱最短問題，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱解決最短問題．
例3．（2023·內(nèi)江·中考模擬）如圖，已知直線，、之間的距離為8，點P到直線的距離為6，點Q到直線的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線上有一動點B，滿足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ= ．
【答案】16
【分析】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，連接QC交于B，作BA⊥于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，由勾股定理可求得DQ的長；易證四邊形ABCP是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理可求得結(jié)果．
【詳解】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，連接QC交于B，作BA⊥于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．
在Rt△PQD中，∵∠D=，PQ=，PD=18，∴DQ= =，
∵AB=PC=8，ABPC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，
又CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC= ==16．故答案為：16．
【點睛】本題考查軸對稱﹣最短路線問題，平行線的性質(zhì)，平行四邊形判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．
例4．（2023.廣東省深圳市八年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標系，AB交y軸于點D，AD=4，OC=10，∠A=60°，線段EF垂直平分OD，點P為線段EF上的動點，PM⊥x軸于點M點，點E與E'關(guān)于x軸對稱，連接BP、E'M，則BP+PM+ME'的長度的最小值為 ．
【答案】
【分析】連接OP，先確定OD的長和B點坐標，然后證明四邊形OPME'是平行四邊形，可得OP= E'M，因為PM是定值，推出PB+ME'=OP+PB的值最小時，即當O、P、B共線時BP+PM+M E的長度最小，最后根據(jù)兩點間的距離公式和線段的和差解答即可．
【詳解】解:如圖：連接OP
在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，∴OD=4，∴A（-4，4）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=OC=10，∴DB=10-4=6，∴B（6，4）
∵線段EF垂直平分OD∴OE=OD=2，∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，
∴四邊形OMPE是矩形，∴PM=OE=2，
∵OE=OE'∴PM=OE'，PM//OE'，∴四邊形OPM E'是平行四邊形，∴OP=EM，
∵PM=2是定值，∴PB+ME'=OP+PB的值最小時，BP+PM+M E'的長度最小，
∴當O、P、B共線時，BP+PM+M E'的長度最小
∴BP+PM+M E'的最小值為OB+PM=．故答案為．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、最短路徑問題、銳角三角函數(shù)等知識，掌握并靈活應(yīng)用兩點之間線段最短是解答本題的關(guān)鍵．
例5．（廣東省惠州市2022-2023學年九年級月考）如圖，拋物線 ，經(jīng)過點 ，， 三點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

(2)連接，，N為拋物線上的點且在第一象限，當時，求N點的坐標；
(3)在（2）問的條件下，過點C作直線軸，動點在直線l上，動點 在x軸上，連接 ，，，當m為何值時，的和最小，求出 和的最小值．
【答案】(1)，拋物線的頂點M坐標為 (2)點N坐標為
(3)當時，的最小值為
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）過點A作交拋物線于點N，則有，利用待定系數(shù)法分別求直線、的解析式，再聯(lián)立方程組即可求解；
（3）將頂點向上平移3個單位得到點，連接交x軸于點，連接，則，證明四邊形是平行四邊形，可得，由圖可知，當，，三點共線時，取最小值，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，可得當 時，，從而求得，即，過點N作軸交延長線于點E，在中，利用勾股定理求得，，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線 經(jīng)過點 ，，，
∴，解得：，∴，則拋物線的頂點M坐標為 ．
（2）解：設(shè)直線解析式，
將點， 代入，得：，解得：，則直線解析式為 ，
過點A作交拋物線于點N，則有，則直線的解析式為，
將點 代入，得：，解得：，∴直線解析式為，
由，解得：或 ，∴點N坐標為．

（3）解：將頂點向上平移3個單位得到點，連接交x軸于點，連接、，則，∵，，∴軸，且，
∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，
由作圖知當，，三點共線時，取最小值，
設(shè)直線的解析式為，
將點，代入，得：，解得：，
∴直線的解析式為，當 時，，∴，即，
此時過點N作軸交延長線于點E，
在中，∵，，∴，∴，
∴當 時，的最小值為．
【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段和最值、一次函數(shù)與二元一次方程組、一次函數(shù)與x軸的交點問題，熟練掌握相關(guān)知識，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
一、選擇題
1．（2023.山東八年級月考）有一條以互相平行的直線為岸的河流，其兩側(cè)有村莊和村莊，現(xiàn)在要在河上建一座橋梁（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線，即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，過村莊作河岸的垂線并且等于河的寬度，
然后與村莊連接與河岸相交于一點，過點作與相交于點，
連接，則即為最短路徑，
如圖 所示，故選：D．
【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，利用的原理為平行四邊形的對邊相等，難度較大．
2．（2023安徽二模）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是（ ）
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，進而得出△AEF周長的最小值即可．
【詳解】解：如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，即△AEF的周長最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，
∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周長的最小值＝4+2＝6，故選：D．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)與動點問題最小值，構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段是解題關(guān)鍵．
3．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】連接AE，作點D關(guān)于直線AE的對稱點H，連接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性質(zhì)可證明四邊形CDEG為平行四邊形，即得出，從而可得出，即CH的長為的最小值．最后根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求出CH的長即可．
【詳解】如圖，連接AE，作點D關(guān)于直線AE的對稱點H，連接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性質(zhì)可知，．∵四邊形ABCD為菱形，
∴，，，
∴，，∴四邊形CDEG為平行四邊形，∴．
由軸對稱的性質(zhì)可知，，，∴，
∴，即CH的長為的最小值．
∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，
∴，∴，∴為等邊三角形，
∴，，∴，∴，
即為頂角是120°，底角為30°的等腰三角形，
結(jié)合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故選B．
【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱變換，含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，綜合性強，為選擇題中的壓軸題．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．
4．（2023·安徽合肥·校考三模）在邊長為2的正方形中，點E、F是對角線上的兩個動點，且始終保持，連接、，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】過點作使，易得四邊形為平行四邊形，得到，進而得到，得到三點共線時，有最小值即為的長，利用勾股定理進行求解即可．
【詳解】解：過點作使，則：四邊形為平行四邊形，

∴，∴，∴當三點共線時，有最小值即為的長，∵四邊形為正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值為3．故選B．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形，進行線段的轉(zhuǎn)化．
5．（2023年山東中考三模）如圖，在菱形中，，在邊上有一線段由向運動，點到達點后停止運動，在的左側(cè)，，連接，則周長的最小值為（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【分析】過點作交于點，再作點關(guān)于的對稱點，連接，連接與交于點，當運動到點時，，，三點共線，此時取最小值，即取最小值，則此時的周長最小．
【詳解】解：如圖，過點作交于點，則四邊形為平行四邊形，
，，再作點關(guān)于的對稱點，連接，則，
連接與交于點，當運動到點時，，，三點共線，此時取最小值，即取最小值，則此時的周長最小．

過點作，過點作交于點，，
，，連接，
，，四邊形為矩形， ，，
，周長的最小值，故選：D．
【點睛】本題考查了關(guān)于移動線段中三角形周長最小值問題，添加合適的輔助線轉(zhuǎn)化為兩點間距離問題是解題關(guān)鍵．
6．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，把邊AB沿對角線BD平移，點，分別對應(yīng)點A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點，，C，D的圖形是平行四邊形；②點C到它關(guān)于直線的對稱點的距離為48；③的最大值為15；④的最小值為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點C到BD的距離，從而對②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作關(guān)于的對稱點，交于 連接，過作于 分別交于 證明 是最小值時的位置，再利用勾股定理求解，對④做出判斷．
【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得AB//且AB=
∵四邊形ABCD為矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD
∴四邊形CD為平行四邊形，故①正確
在矩形ABCD中，BD===25,過A作AM⊥BD，CN⊥BD，則AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM∴AM=CN==12∴點C到的距離為24
∴點C到它關(guān)于直線的對稱點的距離為48∴故②正確
∵∴當在一條直線時最大，此時與D重合
∴的最大值==15∴故③正確，
如圖，作關(guān)于的對稱點，交于 連接，過作于 分別交于 則 為的中位線， ，
由可得，
此時最小，由②同理可得：
設(shè) 則
由勾股定理可得：
整理得： 解得：（負根舍去），
∴故④正確故選D．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．
【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，
∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣東·九年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為 _________________．
【答案】
【分析】在y軸上取點E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到AB，作點A關(guān)于直線x＝1的對稱點A'，得到A'、E、D三點共線時，AD+DE最小值為A'E的長，根據(jù)勾股定理求出A'E，即可得解；
【詳解】解：如圖，在y軸上取點E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，
作點A關(guān)于直線x＝1的對稱點A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三點共線時，AD+DE最小值為A'E的長，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四邊形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．
故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題、勾股定理、位置與坐標，準確分析作圖計算是解題的關(guān)鍵．
9．（2024·浙江金華·八年級期末）在綜合實踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖l所示．然后固定紙片△ABC，把紙片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平移過程中：（1）四邊形A′BCD′的形狀始終是 __；（2）A′B+D′B的最小值為 __．
【答案】 平行四邊形 2
【分析】（1）利用平移的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，作直線DD′，作點C關(guān)于直線DD′的對稱點C″，連接D′C″，BC″，過點B作BH⊥CC″于H．求出BC″，證明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四邊形A′BCD′是平行四邊形，故答案為：平行四邊形．
（2）如圖2，作直線DD′，作點C關(guān)于直線DD′的對稱點C″，連接D′C″，BC″，過點B作BH⊥CC″于H．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四邊形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四邊形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四邊形A′BCD′是平行四邊形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值為2，故答案為：2．
【點睛】本題考查作圖-平移變換，軸對稱最短問題，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．
10．（2023·遼寧沈陽·八年級校考階段練習）如圖，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，∠DBC=60°，將△DAB 沿射線 DB方向平移得到△D’A’B’，連接 CD’和 CB’， 則 CD’+CB’的最小值為 ．
【答案】
【分析】作C點關(guān)于BD的對稱點C' ，連接 過點作過點C'作，兩平行線交于點G，則四邊形是平行四邊形，當C，G，三點共線時， 的值最小，求出CG的值即可所求．
【詳解】解：如圖所示：作C點關(guān)于BD的對稱點，連接
過點作過點C'作，兩平行線交于點G，
∴四邊形是平行四邊形，
∴當三點共線時，的值最小，最小值為CG的長度，
在中，在中，故答案為：
【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，通過構(gòu)造平行四邊形邊進行轉(zhuǎn)化，再利用將軍飲馬問題進行求解是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當取最小值時，點坐標為______.
【答案】
【分析】如圖把點A向右平移1個單位得到E（1，1），作點E關(guān)于x軸的對稱點F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點即為點Q，此時AP+PQ+QB的值最小，求出直線BF的解析式，即可解決問題．
【詳解】解：如圖把點4向右平移1個單位得到E（1，1），作點E關(guān)于x軸的對稱點F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點即為點Q，此時4P+PQ+QB的值最小.
設(shè)最小BF的解析式為y=kx+b，則有解得
∴直線BF的解析式為y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案為（2，0）.
【點睛】本題考查軸對稱最短問題、坐標與圖形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用對稱解決最短問題，學會構(gòu)建一次函數(shù)解決交點問題，屬于中考常考題型
12．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，菱形的邊在軸上，頂點坐標為，頂點坐標為，點在軸上，線段軸，且點坐標為，若菱形沿軸左右運動，連接、，則運動過程中，四邊形周長的最小值是________．
【答案】13+
【分析】由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形周長的最小，AE＋DF的和應(yīng)是最小的，運用“將軍飲馬”模型，根據(jù)點E關(guān)于AD的對稱點為O，過點A作AF1∥DF，當O，A，F(xiàn)1三點共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，再求四邊形周長的最小值．
【詳解】∵點坐標為，點坐標為，∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四邊形是菱形，∴AD＝CD＝5，
∵坐標為，點 在軸上，線段軸，∴EF＝8，
連接OA，過點A作AF1∥DF交EF于點F1，
則四邊形ADFF1是平行四邊形，F(xiàn)F1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，
∵點E，O關(guān)于AD對稱，∴OA=AE，
當O，A，F(xiàn)1三點共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，
在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四邊形周長的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+．
【點睛】本題考查菱形，勾股定理，平移，軸對稱，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平移圖形全等性，軸對稱性質(zhì)．
13．（2023·重慶·校考三模）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，，將沿射線BD的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】過點C作直線，以直線l為對稱軸作點的對稱點E，連接CE，，AC，證明，求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知當點，C，E共線時，的最小值是．
【詳解】如圖，過點C作直線，以直線l為對稱軸作點的對稱點E，連接CE，，AC，
設(shè)AC與BD交于點O，與直線l交于點F，則，，，
由，，易得，，
，由平移的性質(zhì)可知，，
，，，，，
在中，，，，，
在中，由三角形的三邊關(guān)系可得，
當點，C，E共線時，，即的最小值是，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，正確的理解題意是解答本題的關(guān)鍵．
14．（2023.廣東省深圳市九年級期中）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標系，AB交y軸于點D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點P為線段EF上的動點，PM⊥x軸于點M點，點E與E′關(guān)于x軸對稱，連接BP、E′M．
（1）請直接寫出點A的坐標為_____，點B的坐標為_____；
（2）當BP+PM+ME′的長度最小時，請直接寫出此時點P的坐標為_____；
【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性質(zhì)求出OD的長，再由平行四邊形的性質(zhì)求出BD的長即可解決問題；（2）首先證明四邊形OPME′是平行四邊形，可得OP=EM，因為PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小時，BP+PM+ME′的長度最小；
【詳解】解：（1）如圖1中，在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．
∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），
∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；
（2）如圖1中，連接OP．∵EF垂直平分線段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，
∴四邊形OMPE是矩形，∴PM=OE=．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四邊形OPME′是平行四邊形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小時，BP+PM+ME′的長度最小，∴當O、P、B共線時，BP+PM+ME′的長度最小．∵直線OB的解析式為y=x，∴P（2，）．故答案為（2，）．
【點睛】本題考查了四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用兩點之間線段最短，解決最短問題．
15．（成都市2022-2023學年八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中有，兩點．將直線：向上平移個單位長度得到直線，點在直線上，過點作直線的垂線，垂足為點，連接，，，則折線的長的最小值為 ．
【答案】
【分析】先證四邊形是平行四邊形，可得，則，即當點，點，點三點共線時，有最小值為的長，即有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，將點沿軸向下平移個單位得到，以為斜邊，作等腰直角三角形，則點，連接，是等腰直角三角形，，，
將直線：向上平移個單位長度得到直線，，，
，，，
，，，四邊形是平行四邊形，
，，
當點，點，點三點共線時，有最小值為的長，即有最小值，
點，點，，
折線的長的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，添加恰當輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
16．（廣西2021年中考數(shù)學真題）如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應(yīng)點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為 ．
【答案】．
【分析】先通過平移和軸對稱得到當B、E、三點共線時，的值最小，再通過設(shè)直線的解析式并將三點坐標代入，當時，求出a的值，最后將四邊形周長與時的周長進行比較，確定a的最終取值，即可得到平移后的拋物線的解析式．
【詳解】解：∵，，，，
∴，，由平移的性質(zhì)可知：,
∴四邊形的周長為；
要使其周長最小，則應(yīng)使的值最小；
設(shè)拋物線平移了a個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當a<0時，拋物線向左平移；
∴，，將向左平移2個單位得到，
則由平移的性質(zhì)可知：，將關(guān)于x軸的對稱點記為點E，則，
由軸對稱性質(zhì)可知，∴當B、E、三點共線時，的值最小，
設(shè)直線的解析式為：，∴，
當時，∴∴，
將E點坐標代入解析式可得：，解得：，
此時，
此時四邊形的周長為；
當時，，，，，此時四邊形的周長為：；
∵，∴當時，其周長最小，
所以拋物線向右平移了個單位，所以其解析式為：；故答案為：．
【點睛】本題綜合考查了平移、軸對稱、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、拋物線的解析式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并確定什么情況下該四邊形的周長最短，本題所需綜合性思維較強，對學生的綜合分析和計算能力要求都較高，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法等．
三、解答題
17．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）（1）問題提出如圖①，在中，，點D，E分別是的中點．若點M，N分別是和上的動點，則的最小值是______．
（2）問題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，才能使從A到B的路徑最短．博琳小組針對該問題展開討論，小旭同學認為：過A作河岸的垂線，使，為河寬，連接，與河的一岸交于點N，此時在點N處建橋，可使從A到B的路徑最短．你認為小旭的說法正確嗎？請說明理由．（3）問題解決：如圖③，在矩形中，．E、F分別在上，且滿足，．若邊長為10的正方形在線段上運動，連接，當取值最小時，求的長．

【答案】（1）3；（2）小旭的說法正確，理由見解析；（3）38或14
【分析】（1）連接，過點A作于點F，根據(jù)兩點之間線段最短，可得當時，最短，此時點N與點F重合，即的最小值為的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意可得四邊形為平行四邊形，從而得到，再根據(jù)“兩點之間線段最短”，當點，N，B三點共線時，最短，即可求解；
（3）過點N分別作，分別交于點H，G，連接交于點T，過點G作于點X，則，，證明四邊形，四邊形都是平行四邊形， 可得，從而得到當點H，T，G三點共線時，的值最小，此時點N與點T重合，然后證明，可得，可求得的長；過點Q分別作，分別交于點K，L，連接交于點S，當點K，S，L三點共線時，的值最小，此時點N與點S重合，同理可求出的長，即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，連接，過點A作于點F，∴，

當時，最短，此時點N與點F重合，即的最小值為的長，
∵，∴，∴，
∴的最小值為3；故答案為：3
（2）解：小旭的說法正確，理由如下：根據(jù)題意得：，，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
根據(jù)“兩點之間線段最短”，當點，N，B三點共線時，最短，
∵為河寬，∴在點N處建橋，可使從A到B的路徑最短．
（3）如圖，過點N分別作，分別交于點H，G，連接交于點T，過點G作于點X，則，，

根據(jù)題意得：，，
∴四邊形，四邊形都是平行四邊形，
∴，∴，
即當點H，T，G三點共線時，的值最小，此時點N與點T重合，
∵，∴，，，
∵，∴，∴，∴，解得：，
∴；
如圖，過點Q分別作，分別交于點K，L，連接交于點S，當點K，S，L三點共線時，的值最小，此時點N與點S重合，同理；
綜上所述，當取值最小時，的長為38或14．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間，線段最短，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．
18．（2023.廣安九年級月考）如圖，拋物線，經(jīng)過點，，三點．求拋物線的解析式及頂點M的坐標；連接AC、MB，P為線段MB上的一個動點（不與點M、B重合），過點P作x軸的垂線PQ，若OQ=a，四邊形ACPQ的面積為s，求a為何值時，面積s最大；點N是拋物線上第四象限的一個定點，坐標為 ，過點C作直線軸，動點在直線l上，動點在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，的和最小，并求出和的最小值．
【答案】（1）；M（1,4）
（2）當，面積最大，最大為.（3）
【分析】（1）拋物線過，，可求得解析式；
（2）將用含的代數(shù)式表示，并配方成頂點式求出最大值；
（3）根據(jù)選址造橋模型，將頂點向下平移三個單位得，當 在同一條直線上時，取得最小值.
【詳解】(1)∵拋物線經(jīng)過點，，,
∴ 解得 ∴=,頂點M的坐標為（1,4）
（2）連接AC、MB，P為線段MB上的一個動點（不與點M、B重合），過點P作x軸的垂線PQ.設(shè)P點的坐標為 ，如圖所示.
∵P在直線MB上，，，設(shè)直線MB為
解得 直線MB的解析式為，P點坐標為
∵，，， ∴，，
∵
整理
∴即當，面積最大，最大為.
（3）將頂點向下平移三個單位得 ，連接 交軸于點，連接．如圖所示，則.∵，∴軸，且
∴，四邊形為平行四邊形
∴,有圖知三點共線時，取最小值.
設(shè)直線的解析式為，將點，N
求得直線的解析式為，當時，，即，即，
此時過點作軸交延長線與點，
在中，，，
∴,∴,即,
∴當時，的最小值為.
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，求最大值將函數(shù)用頂點式表示，其中第三問根據(jù)選址造橋模型確定M對應(yīng)點的位置，當 在同一條直線上時，取得最小值.進而求解.
19．（2023·陜西咸陽·校考一模）【問題提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側(cè)，點A到直線l的距離，點B到直線l的距離，A、B兩點的水平距離，點P是直線l上的一個動點，則的最小值是________；
【問題探究】（2）如圖2，在矩形中，，，G是的中點，線段在邊上左右滑動，若，求的最小值；
【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形的空地，管理人員規(guī)劃修兩條小路和（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在和上分別選取點M、N，沿、和修建地下水管，為了節(jié)約成本，要使得線段、與之和最小．
已測出，，，，，管理人員的想法能否實現(xiàn)，若能，請求出的最小值，若不能，請說明理由．

【答案】（1）10；（2）；（3）能實現(xiàn)，最小值為．
【分析】（1）作點A關(guān)于直線l的對稱點，連接交直線l于P，則的值最小，且的最小值，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，作G關(guān)于的對稱點，在上截取，連接，，，則，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（3）作點P關(guān)于、的對稱點E、F，連接，分別交、于點O、H，則，，連接，與、的交點即為點M、N的位置，連接，，此時，，的長就是的最小值，過點E作交的延長線于點G，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】.解：（1）如圖，作點A關(guān)于直線l的對稱點，連接交直線l于P，則的值最小，且的最小值，過作于E，則，，

∴，∴即的最小值是10；
（2）如圖，作G關(guān)于的對稱點，在上截取，
連接，，，則，

，，四邊形是平行四邊形，，
，，，G為的中點，
，，由勾股定理得，
，即的最小值為：；
（3）管理人員的想法能實現(xiàn)，
作點P關(guān)于、的對稱點E、F，連接，分別交、于點O、H， ，，連接，與、的交點即為點M、N的位置，連接，，此時，，的長就是的最小值，過點E作交的延長線于點G，

，，，，，，
，，，，
，，，
，，，，
，，，.
在中，，的最小值為.
【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了軸對稱-最短路線問題及矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
20．（2023上·重慶萬州·九年級校考期中）如圖，直線的圖象與軸和軸分別交于點和點，的垂直平分線與軸交于點，與交于點，連接．(1)如圖1，求的長；(2)如圖2，若點是射線上的動點，點和點是軸上的兩個動點，且，當?shù)拿娣e為時，求的最小值。
【答案】(1)(2)的最小值為
(3)存在以為頂點的四邊形是菱形，所有滿足條件的點的坐標為或或
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點的方法，令，，即可求解；（2）根據(jù)題意可求出的面積，再根據(jù)的面積為時，可求出點的坐標，根據(jù)“造橋求最短路徑的方法”即可求解；
【詳解】（1）解：∵直線的圖象與軸和軸分別交于點和點，
∴令，則；令，則；∴，，∴，
∵是的垂直平分線，∴，設(shè)，則，
∴在中，，∴，
解得，，即，∴．
（2）解：已知，，是的垂直平分線，
∴，即，且，∴，
∵，，設(shè)所在直線的解析式為，
∴，解得，，∴所在直線的解析式為，
∵點在直線的圖象上，∴設(shè)，∴，
∴，∴，整理得，，
解得，，，∴，，
∵點是射線上的動點，，∴舍去，∴點的坐標為，
∴當時，如圖所示，作點關(guān)于軸對稱的點，將線段向上平移至點與點重合，即，此時點三點共線，即四邊形是平行四邊形，則，此時的值最小，
∴，∵，∴，
如上所示，過點作軸于點，過點作軸于點，且，
∴，則，，
∴在中，，則，
∴的值最小為．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握一次函數(shù)與坐標軸交點的計算方法，對稱最短路徑的計算方法，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·江蘇南京·模擬預測）【模型介紹】
古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營．他總是先去營，再到河邊飲馬，之后，再巡查營．如圖①，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖②，作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)與直線交于點，連接，則的和最小．請你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過程中，完成解答．理由：如圖③，在直線上另取任一點，連結(jié)，，，∵直線是點，的對稱軸，點，在上，
（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．
【歸納總結(jié)】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中點為與的交點，即，，三點共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動點與直線同側(cè)兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學模型．
【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形的邊長為4，為的中點，是上一動點．求的最小值．
解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點與關(guān)于直線對稱，連結(jié)交于點，則的最小值就是線段的長度，則的最小值是__________．
（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內(nèi)離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達蜂的最短路程為_____．
（4）如圖⑥，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，分別連接，，，則的最小值為____________．
【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）
【分析】（1）根據(jù)對稱性即可求解；
（2）根據(jù)正方形的對稱性知B關(guān)于AC的對稱點是D，連接ED，則ED是的最小值；
（3）先將玻璃杯展開，再根據(jù)勾股定理求解即可；
（4）分析知：當與垂直時，值最小，再根據(jù)特殊角計算長度即可；
【詳解】解：（1）根據(jù)對稱性知：，
故答案為：，，；
（2）根據(jù)正方形的對稱性知B關(guān)于AC的對稱點是D，連接ED ∴ED是的最小值
又∵正方形的邊長為4，E是AB中點∴ ∴的最小值是；
（3）由圖可知：螞蟻到達蜂的最短路程為 的長度：
∵ ∴
∴
（4）∵在邊長為2的菱形ABCD中，，將沿射線的方向平移，得到
∴ 當與垂直時，值最小
∵ ∴四邊形是矩形，
∴ ∴
【點睛】本題考查“將軍飲馬”知識遷移，掌握“將軍飲馬”所遵循的數(shù)學原理，判斷出最小是解題關(guān)鍵．
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【全國通用】2024中考數(shù)學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.2 將軍遛馬（過橋）模型
將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長度方向平移即可，即可以跨越長度轉(zhuǎn)化為標準的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對稱點變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！
【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。
1）將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)
（1）點A、B在直線m兩側(cè)： （2）點A、B在直線m同側(cè)：
圖1 圖2
（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。
2）將軍過橋（造橋）模型
【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？
考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2 ）．
問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．
圖1 圖2 圖3
【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？
圖4 圖5 圖6
考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）
當A'、Q、M、B'共線時，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）
考向一　將軍遛馬模型
例1．（2023·陜西·九年級校考期中）某社區(qū)廣場有一塊正方形花園，其中，E是的中點．(1)如圖1，經(jīng)過規(guī)劃，需要修建兩條小道、，M是上一點，社區(qū)為節(jié)省修建時間和費用，要使得所修建的小道的值最小，試求此時的長和的最小值
(2)如圖2，社區(qū)廣泛收集居民建議，重新設(shè)計了方案，修建四條小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右邊，，要使得修建的小道的值最小，試求此時的長和的最小值．

例2．（2022·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形EFGH，連接AH，CG．若，，，則的最小值為______．
例3．（2023·仁壽縣一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點，點P、Q為BC上兩個動點（點Q在點P的右邊）．①若連結(jié)AP、PE，則PE＋AP的最小值為______；②連結(jié)QE，若PQ＝3，當CQ＝______時，四邊形APQE的周長最小．
例4．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對角線上運動，若⊙O的周長為，，則周長的最小值是 ．

例5．（2023·天津河東·校考模擬預測）如圖，在邊長為4的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為 ．
考向二　將軍過橋（造橋）模型
例1．（2023.北京西城八年級期中）作圖題（不寫作法）
（）如圖，一個牧童從點出發(fā)，趕著羊群去河邊喝水，則應(yīng)當怎樣選擇飲水路線，才能使羊群走的路程最短？請在圖中畫出最短路線．
（）如圖，直線是一條河，，是兩個村莊，欲在上的某處修建一個水泵站，向，兩地供水，要使所需管道的長度最短，在圖中標出點．（保留作圖過程）
（）如圖，在一條河的兩岸有，兩個村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方向與河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段表示．試問：橋建在何處，才能使到的路程最短呢？請在圖中畫出橋的位置．（保留作圖過程）
例2．（2022上·湖北襄陽·九年級聯(lián)考自主招生）如圖有一條直角彎道河流，河寬為2，、兩地到河岸邊的距離均為1，，，，現(xiàn)欲在河道上架兩座橋、，使最小，則最小值為　　

A． B． C．14 D．12
例3．（2023·內(nèi)江·中考模擬）如圖，已知直線，、之間的距離為8，點P到直線的距離為6，點Q到直線的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線上有一動點B，滿足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ= ．
例4．（2023.廣東省深圳市八年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標系，AB交y軸于點D，AD=4，OC=10，∠A=60°，線段EF垂直平分OD，點P為線段EF上的動點，PM⊥x軸于點M點，點E與E'關(guān)于x軸對稱，連接BP、E'M，則BP+PM+ME'的長度的最小值為 ．
例5．（廣東省惠州市2022-2023學年九年級月考）如圖，拋物線 ，經(jīng)過點 ，， 三點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

(2)連接，，N為拋物線上的點且在第一象限，當時，求N點的坐標；
(3)在（2）問的條件下，過點C作直線軸，動點在直線l上，動點 在x軸上，連接 ，，，當m為何值時，的和最小，求出 和的最小值．
一、選擇題
1．（2023.山東八年級月考）有一條以互相平行的直線為岸的河流，其兩側(cè)有村莊和村莊，現(xiàn)在要在河上建一座橋梁（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023安徽二模）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是（ ）
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
3．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
4．（2023·安徽合肥·校考三模）在邊長為2的正方形中，點E、F是對角線上的兩個動點，且始終保持，連接、，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2023年山東中考三模）如圖，在菱形中，，在邊上有一線段由向運動，點到達點后停止運動，在的左側(cè)，，連接，則周長的最小值為（ ）
A． B． C．7 D．8
6．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，把邊AB沿對角線BD平移，點，分別對應(yīng)點A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點，，C，D的圖形是平行四邊形；②點C到它關(guān)于直線的對稱點的距離為48；③的最大值為15；④的最小值為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
7．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 _____．
8．（2023·廣東·九年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為 _________________．
9．（2024·浙江金華·八年級期末）在綜合實踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖l所示．然后固定紙片△ABC，把紙片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平移過程中：（1）四邊形A′BCD′的形狀始終是 __；（2）A′B+D′B的最小值為 __．
10．（2023·遼寧沈陽·八年級校考階段練習）如圖，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，∠DBC=60°，將△DAB 沿射線 DB方向平移得到△D’A’B’，連接 CD’和 CB’， 則 CD’+CB’的最小值為 ．
11．（2023·山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當取最小值時，點坐標為______.
12．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，菱形的邊在軸上，頂點坐標為，頂點坐標為，點在軸上，線段軸，且點坐標為，若菱形沿軸左右運動，連接、，則運動過程中，四邊形周長的最小值是________．
13．（2023·重慶·校考三模）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，，將沿射線BD的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為 ．
14．（2023.廣東省深圳市九年級期中）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標系，AB交y軸于點D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點P為線段EF上的動點，PM⊥x軸于點M點，點E與E′關(guān)于x軸對稱，連接BP、E′M．
（1）請直接寫出點A的坐標為_____，點B的坐標為_____；
（2）當BP+PM+ME′的長度最小時，請直接寫出此時點P的坐標為_____；
15．（成都市2022-2023學年八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中有，兩點．將直線：向上平移個單位長度得到直線，點在直線上，過點作直線的垂線，垂足為點，連接，，，則折線的長的最小值為 ．
16．（廣西2021年中考數(shù)學真題）如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應(yīng)點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為 ．
三、解答題
17．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）（1）問題提出如圖①，在中，，點D，E分別是的中點．若點M，N分別是和上的動點，則的最小值是______．
（2）問題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，才能使從A到B的路徑最短．博琳小組針對該問題展開討論，小旭同學認為：過A作河岸的垂線，使，為河寬，連接，與河的一岸交于點N，此時在點N處建橋，可使從A到B的路徑最短．你認為小旭的說法正確嗎？請說明理由．（3）問題解決：如圖③，在矩形中，．E、F分別在上，且滿足，．若邊長為10的正方形在線段上運動，連接，當取值最小時，求的長．
18．（2023.廣安九年級月考）如圖，拋物線，經(jīng)過點，，三點．求拋物線的解析式及頂點M的坐標；連接AC、MB，P為線段MB上的一個動點（不與點M、B重合），過點P作x軸的垂線PQ，若OQ=a，四邊形ACPQ的面積為s，求a為何值時，面積s最大；點N是拋物線上第四象限的一個定點，坐標為 ，過點C作直線軸，動點在直線l上，動點在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，的和最小，并求出和的最小值．
19．（2023·陜西咸陽·校考一模）【問題提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側(cè)，點A到直線l的距離，點B到直線l的距離，A、B兩點的水平距離，點P是直線l上的一個動點，則的最小值是________；
【問題探究】（2）如圖2，在矩形中，，，G是的中點，線段在邊上左右滑動，若，求的最小值；
【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形的空地，管理人員規(guī)劃修兩條小路和（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在和上分別選取點M、N，沿、和修建地下水管，為了節(jié)約成本，要使得線段、與之和最小．
已測出，，，，，管理人員的想法能否實現(xiàn)，若能，請求出的最小值，若不能，請說明理由．

20．（2023上·重慶萬州·九年級校考期中）如圖，直線的圖象與軸和軸分別交于點和點，的垂直平分線與軸交于點，與交于點，連接．(1)如圖1，求的長；(2)如圖2，若點是射線上的動點，點和點是軸上的兩個動點，且，當?shù)拿娣e為時，求的最小值。
21．（2023·江蘇南京·模擬預測）【模型介紹】
古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營．他總是先去營，再到河邊飲馬，之后，再巡查營．如圖①，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖②，作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)與直線交于點，連接，則的和最小．請你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過程中，完成解答．理由：如圖③，在直線上另取任一點，連結(jié)，，，∵直線是點，的對稱軸，點，在上，
（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．
【歸納總結(jié)】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中點為與的交點，即，，三點共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動點與直線同側(cè)兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學模型．
【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形的邊長為4，為的中點，是上一動點．求的最小值．
解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點與關(guān)于直線對稱，連結(jié)交于點，則的最小值就是線段的長度，則的最小值是__________．
（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內(nèi)離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達蜂的最短路程為_____．
（4）如圖⑥，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，分別連接，，，則的最小值為____________．
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