資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.3 胡不歸模型
胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉化與化歸等的數學思想，近年在中考數學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據是：點到線的距離垂線段最短。
【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V11），記，即求BC+kAC的最小值.
2）構造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉化為求BC+CH最小值.
3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解題關鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。
考向一　胡不歸模型1
例1．（2023·遼寧錦州·統考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是 ．
例2．（2023·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為　　
A．4 B．5 C． D．
例3．（2023上·福建福州·九年級校聯考期中）已知如圖，中直徑，，點是射線上的一個動點，連接，則的最小值為 ．
例4．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點在y軸上，連接，則的最小值是 ．

例5．（2023·江蘇宿遷·統考二模）已知中，，則的最大值為 ．

考向二　胡不歸模型2
例1．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為 ．

例2．（2023·廣東佛山·校考一模）在邊長為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為 ___________．
例3．（2023·四川自貢·統考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當取最小值時，的最小值是 ．

例4．（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．
（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD，PF，當△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣GE的值最小，求出點G的坐標及PG﹣GE的最小值；
一、選擇題
1．（2023·山東濟南·統考二模）如圖，在菱形ABCD中，，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且，點P是線段BD上的一個動點，則的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點C的坐標是，點是x軸上的動點，點B在x軸上移動時，始終保持是等邊三角形（點P不在第二象限），連接，求得的最小值為（ ）
A． B．4 C． D．2
3．（2023秋·山東日照·九年級校聯考期末）如圖，在矩形中，，，點P是對角線上的動點，連接，則的最小值為（ ）
A． B．6 C． D．4
4．（2023·云南昆明·統考二模）如圖，正方形邊長為4，點E是邊上一點，且．P是對角線上一動點，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2023·山東·九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
6．（2023·河北保定·統考一模）如圖，在矩形中，對角線交于點O，，點M在線段上，且．點P為線段上的一個動點．

（1） °；（2）的最小值為 ．
7．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，半徑為的經過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為______．
二、填空題
8．（2023·浙江寧波·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．
9．（2023·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，E是上一個動點，連接，過點C作的垂線l，過點D作交l于點F，過點D作于點G，，點H是中點，連接，則的最小值為 ．
10．（2023·四川眉山·一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．
11．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，.，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為 ．
12．（2023·四川成都·八年級?？计谥校┮阎诘妊?，，．，連接，在的右側做等腰，其中，，連接E，則的最小值為 (用含的代數式表示)．

13．（2023·黑龍江綏化·九年級校聯考階段練習）如圖，在矩形中，，對角線、相交于點O，．點E是的中點，若點F是對角線上一點，則的最小值是 ．
14．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點E，F分別在邊上，且，沿直線翻折，點A的對應點恰好落在對角線上，點B的對應點為，點M為線段上一動點，則的最小值為 ．
15．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則PC＋PB的最小值為___．
16．（2023·四川宜賓·?？寄M預測）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．
三、解答題
17．（2023·成都市·九年級課時練習）點E為正方形ABCD的AB邊上的一個動點，AB=3，如圖1，將正方形ABCD對折，使點A與點B重合，點C與點D重合，折痕為MN．
思考探索(1)如圖2，將正方形ABCD展平后沿過點C的直線CE折疊，使點B的對應點B′落在MN上，折痕為EC．①點B'在以點E為圓心，　　　　的長為半徑的圓上；②B'M=______；
拓展延伸(2)當AB=3AE時，正方形ABCD沿過點E的直線l（不過點B）折疊后，點B的對應點B'落在正方形ABCD內部或邊上，連接AB'．①△ABB'面積的最大值為______；
②點P為AE的中點，點Q在AB'上，連接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
18．（2023·江蘇·中考模擬）如圖，拋物線與直線交于，兩點，交軸于，兩點，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（2）設為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發，沿線段以每秒一個單位速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動中用時最少？
19．（2022·廣東廣州·統考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD ．
(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合）， 點F在邊AD上，且BE=DF，
①當CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．
20．（2020·四川樂山市·中考真題）已知拋物線與軸交于，兩點，為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交軸于點，連結，且，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點作軸的平行線交線段于點，過點作交拋物線于點，連結、，求的面積的最大值；②連結，求的最小值．
21．（2023·山東濟寧·校考模擬預測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．
①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.3 胡不歸模型
胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉化與化歸等的數學思想，近年在中考數學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據是：點到線的距離垂線段最短。
【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V11），記，即求BC+kAC的最小值.
2）構造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉化為求BC+CH最小值.
3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。?br/>【解題關鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。
考向一　胡不歸模型1
例1．（2023·遼寧錦州·統考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】過點P作于點Q，過點C作于點H，先利用角平分線和三角形的內角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質得出，則，當C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．
【詳解】解：過點P作于點Q，過點C作于點H，
由題意知：平分，∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴當C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，
即最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了尺規作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質，勾股定理等知識，注意掌握利用等積法求三角形的高或點的線的距離的方法．
例2．（2023·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為　　
A．4 B．5 C． D．
解：如圖，過點作于點，過點作于點，連接交于點．
四邊形是菱形，，
，，，
，，，
，，，
，，的最小值為4，故選：．
例3．（2023上·福建福州·九年級校聯考期中）已知如圖，中直徑，，點是射線上的一個動點，連接，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】作交于，交于，連接、、，令交于，由可得，由圓周角定理可得，由等邊三角形的判定及性質可得是的垂直平分線，從而得到，由含角直角三角形的性質可得，從而得到，當時，此時最小為，最后根據等邊三角形的性質及勾股定理進行計算即可得到答案．
【詳解】解：如圖，作交于，交于，連接、、，令交于，
，
，，
，，，
，是等邊三角形，，，
，，，，
是的垂直平分線，，在中，，，
，，當時，此時最小為，
，，，，故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定及性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．
例4．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點在y軸上，連接，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】過作，過作．再由得，根據垂線段最短可知，的最小值為，求出即可．
【詳解】解：連接，過作，過作，

令，即，解得或1，，，
，，，．
，根據垂線段最短可知，的最小值為，
，，，
的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查胡不歸問題，二次函數的性質，等腰直角三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是將求的最小值轉化為求的最小值．屬于中考選擇題中的壓軸題．
例5．（2023·江蘇宿遷·統考二模）已知中，，則的最大值為 ．

【答案】
【分析】過點C作，垂足為D，取，即可說明是等腰直角三角形，求出，進一步求出，繼而將轉化為，推出點D在以為直徑的圓上，從而可知當為等腰直角三角形時，最大，再求解即可．
【詳解】解：如圖，過點C作，垂足為D，取，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，而一定，
∴當的面積最大時，最大，∵，∴點D在以為直徑的圓上，
∴當D平分時，點D到的距離最大，即高最大，則面積最大，
此時，則為等腰直角三角形，∴，故答案為：．
．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，含30度的直角三角形的性質，圓周角定理，解題的關鍵是添加輔助線，將最值轉化為的長．
考向二　胡不歸模型2
例1．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為 ．

【答案】/
【分析】在線段下方作，過點作于點，連接，求出此時的長度便可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，
∴，，，∴，
在線段下方作，過點作于點，連接，

∴，∴，
當、、三點共線時，的值最小，
此時，∴，∴，，
∴，∴的最小值為：，
∴的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了長方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，垂線段最短性質，關鍵是作輔助線構造的最小值．
例2．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┰谶呴L為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為 ___________．
【答案】0
【分析】作于，可得出，從而得的最小值，將變形為，進一步得出結果．
【詳解】解：如圖，作于，
∵四邊形是正方形，，，的最小值為0，
∵，∴的最小值為0，故答案為：0．
【點睛】本題考查了正方形的性質，解直角三角形等知識，解題關鍵是作輔助線轉化線段．
例3．（2023·四川自貢·統考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當取最小值時，的最小值是 ．

【答案】
【分析】作出點，作于點D，交x軸于點F，此時的最小值為的長，利用解直角三角形求得，利用待定系數法求得直線的解析式，聯立即可求得點D的坐標，過點D作軸于點G，此時的最小值是的長，據此求解即可．
【詳解】解：∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，∴，，
作點B關于x軸的對稱點，把點向右平移3個單位得到，
作于點D，交x軸于點F，過點作交x軸于點E，則四邊形是平行四邊形，
此時，，∴有最小值，作軸于點P，

則，，∵，∴，∴，
∴，即，∴，則，設直線的解析式為，
則，解得，∴直線的解析式為，
聯立，，解得，即；過點D作軸于點G，
直線與x軸的交點為，則，
∴，∴，
∴，
即的最小值是，故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
例4．（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．
（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD，PF，當△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣GE的值最小，求出點G的坐標及PG﹣GE的最小值；
【答案】（1）y＝x+1；（2）點G（，），最小值為；
【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出點A和點B的坐標，令x=0，可求出點C的坐標，再根據點D時AC的中點，可求出點D的坐標，利用待定系數法求直線解析式即可．（2）求三角形的面積最值可以轉化為求線段長度的最大值，利用點坐標表示線段長度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可將不共線的線段轉換為共線的線段長度．
【詳解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），
令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D為AC的中點，∴D（2，2），
設直線BD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入點B和點D，
，解得，∴直線BD的解析式為y＝x+1．
（2）如圖所示，過點P作y軸的平行線，交BE交于點H，
設點P的坐標為（t，﹣t2+t+4），則點H為（t， t+1），
∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，
當t＝時，PH最大，此時點P為（，），當PH最大時，△PDF的面積也最大．
∵直線BD的解析式為y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴點F（0，1），
在Rt△BFO中，根據勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝
過點E作x軸的平行線與過點G作y軸的平行線交于點M，
∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，
當P、M、G三點共線時，PG﹣MG＝PM，否則都大于PM，
∴當P、M、G三點共線時，PG﹣MG最小，此時點G與點H重合，
令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴點E（3，），
∴PM＝﹣＝，∴點G（，），∴點G（，），PG﹣GE的最小值為．
【點睛】本題考查二次函數求最值問題，線段的和差求最值問題，找等腰三角形的分類討論，綜合性較強．
一、選擇題
1．（2023·山東濟南·統考二模）如圖，在菱形ABCD中，，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且，點P是線段BD上的一個動點，則的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，此時的長度最小為MH，再算出MC的長度， 在中利用三角函數即可解得MH．
【詳解】解：過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，
∵菱形中，，∴，為等邊三角形，
∴，，∴在中，，∴，
∴此時得到最小值，，
∵，，∴，又∵，∴,故選：B.
【點睛】本題主要考查了菱形的性質與三角函數，能夠找到最小值時的P點是解題關鍵．
2．（2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點C的坐標是，點是x軸上的動點，點B在x軸上移動時，始終保持是等邊三角形（點P不在第二象限），連接，求得的最小值為（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】如圖1所示，以OA為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點D作DE⊥OA于E，先求出點D的坐標，然后證明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，則點P在經過點D且與AD垂直的直線上運動，當點P運動到y軸時，如圖2所示，證明此時點P的坐標為（0，-2）從而求出直線PD的解析式；如圖3所示，作點A關于直線PD的對稱點G，連接PG，過點P作PF⊥y軸于F，設直線PD與x軸的交點為H，先求出點H的坐標，然后證明∠HCO=30°，從而得到，則當G、P、F三點共線時，有最小值，即有最小值，再根據軸對稱的性質求出點G在x軸上，則OG即為所求．
【詳解】解：如圖1所示，以OA為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點D作DE⊥OA于E，
∵點A的坐標為（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴點D的坐標為；
∵△ABP是等邊三角形，△AOD是等邊三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴點P在經過點D且與AD垂直的直線上運動，
當點P運動到y軸時，如圖2所示，此時點P與點C重合，
∵△ABP是等邊三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此時點P的坐標為（0，-2），設直線PD的解析式為，
∴，∴，∴直線PD的解析式為；
如圖3所示，作點A關于直線PD的對稱點G，連接PG，過點P作PF⊥y軸于F，連接CG，設直線PD與x軸的交點為H，
∴點H的坐標為，∴，∴∠OCH=30°，∴，由軸對稱的性質可知AP=GP，∴，
∴當G、P、F三點共線時，有最小值，即有最小值，
∵A、G兩點關于直線PD對稱，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即點D為AG的中點，
∵點A的坐標為（0，2），點D的坐標為，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等邊三角形，
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即點G在x軸上，∴由勾股定理得，
∴當點P運動到H點時，有最小值，即有最小值，最小值即為OG的長，
∴的最小值為，故選：C．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的性質與判定，一次函數與幾何綜合，軸對稱最短路徑問題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點P的運動軌跡是解題的關鍵．
3．（2023秋·山東日照·九年級校聯考期末）如圖，在矩形中，，，點P是對角線上的動點，連接，則的最小值為（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【分析】直接利用已知得出，再將原式變形，進而得出最小值，進而得出答案．
【詳解】解：過點A作，過點D作于點M，交于點P，
∵在矩形中，，， ∴，
∴， 則，∴，
∴， ．
即的最小值為6．故選B．
【點睛】本題考查的是矩形的性質，銳角三角函數的應用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．
4．（2023·云南昆明·統考二模）如圖，正方形邊長為4，點E是邊上一點，且．P是對角線上一動點，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】連接AC，作，證明當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG，再利用勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結果．
【詳解】解：連接AC，作
∵是正方形且邊長為4，∴，，，
∵，∴，∴，
∴當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG，
∵，，∴，∵，∴，
設，則，∴，解得：，
設，則，∵，∴，解得：
∴，故選：D
【點睛】本題考查正方形的性質，動點問題，勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關鍵是證明當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG．
5．（2023·山東·九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
【答案】A
【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．根據，求出的最小值即可解決問題．
【詳解】解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．
∵二次函數y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∴二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
設，則,∵，∴，∴，∴，
∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，
∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數的相關性質，以及等腰直角三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．
6．（2023·河北保定·統考一模）如圖，在矩形中，對角線交于點O，，點M在線段上，且．點P為線段上的一個動點．

（1） °；（2）的最小值為 ．
【答案】 2
【分析】（1）由矩形的性質得到，又由得到是等邊三角形，則，即可得到答案；（2）過點P作于點E，過點M作于點F，證明，進一求解即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，
∵，∴，∴是等邊三角形，∴，
∴，故答案為：．
（2）過點P作于點E，過點M作于點F，

在中，由（1）知：，∴，∴，
在矩形中，，∵，∴，
在中，，∴，∴的最小值為2，
故答案為：2．
【點睛】此題考查了矩形的性質、含的直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質等知識，熟練掌握矩形的性質、含的直角三角形的性質是解題的關鍵．
7．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，半徑為的經過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為______．
【答案】
【分析】過點作關于的平行線，過點作垂直于該平行線于，可將轉化為，此時就等于，當共線時，即為所要求的最小值．
【詳解】解：如圖所示，過點作關于的平行線，過點作垂直于該平行線于，
，，， ，
，，，，
當，，三點共線，即在圖中在位置，在位置的時候有最小，
當，，三點共線時，有最小值，此時，
的最小值為，故答案為．
【點睛】本題考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關鍵是在于將進行轉換．
二、填空題
8．（2023·浙江寧波·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．
【答案】6
【分析】先求出點A，點B坐標，由勾股定理可求AB的長，作點B關于OA的對稱點，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質可得CH＝AC，則，即當點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質可求解．
【詳解】解：∵一次函數分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴點A（3，0），點，∴AO＝3，，∴，
作點B關于OA的對稱點，連接 ，，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示：
∴，∴，∴，∴是等邊三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴當點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此時，，是等邊三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．
【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，確定點C的位置是解題的關鍵．
9．（2023·四川成都·九年級校考期中）如圖，在矩形中，，E是上一個動點，連接，過點C作的垂線l，過點D作交l于點F，過點D作于點G，，點H是中點，連接，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】證明，得出，再證，求出，所以，即，可得．作的垂直平分線，交的延長線于點T，連接，過點E作于點Q，求出，所以．求的最小值，即為求的最小值，過點H作于點J，即為所求最小值．設，根據勾股定理可得出，所以，由，可求得的長度．
【詳解】解：在矩形中，，∴，
∵于點C，∴，∴．
∴．同理可證，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵于點G，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，∴，∴，∴．
如圖，作的垂直平分線，交的延長線于點T，連接，過點E作于點Q，
∴，∴，即．
∴．∴，∴求的最小值，即為求的最小值，
過點H作于點J，HJ即為所求最小值．設，則，
在中，由勾股定理可知，，解得，∴．
如圖，連接，，∵點H是的中點，∴，
∵，∴，
即，解得．故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的性質與判定，解直角三角形，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積等相關知識，根據題意作出輔助線，將所求目標轉化為求垂線段的長度是解題關鍵．
10．（2023·四川眉山·一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．
【答案】
【分析】先證明四邊形ABCD是菱形，過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，可得，，然后根據勾股定理可得，則，進而求出，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，
當B、P、M在同一直線上時，為最小，過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，進而求解即可．
【詳解】兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，
即，四邊形ABCD是平行四邊形，
，，四邊形ABCD是菱形，
過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，如圖，
，，
，，，
，，
，過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖，
，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，
當B、P、M在同一直線上時，為最小，如圖，
，，
的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了三角函數、菱形的性質與判定及含30°直角三角形的性質，解題的關鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據三角函數及菱形的性質進行求解即可．
11．（2023上·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，在中，，，.，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】作，連接，過B點作的延長線與G點．根據相似三角形的性質可得，因此，根據兩點之間線段最短可知當B、E、F三點共線時，，此時的值最小，為BF．再證四邊形是矩形，由矩形的性質可知，，在中根據勾股定理可求出的長，即可知的最小值．
【詳解】如圖，作，連接，過B點作的延長線與G點，
，且，，
，．
，∴當B、E、F三點共線時，，此時的值最小，為．
，．又，，∴四邊形是矩形，
，，，
．故答案為：
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握以上知識，構造相似三角形是解題的關鍵．
12．（2023·四川成都·八年級?？计谥校┮阎诘妊?，，．，連接，在的右側做等腰，其中，，連接E，則的最小值為 (用含的代數式表示)．

【答案】
【分析】過點作交延長線于，過點作于，作的垂直平分線交于，連接，利用證明，可得，進而可得，則由含度角的直角三角形的性質得到，，故當、、三點共線時，為最小值，當、、三點共線時，，即，可得，再運用解直角三角形即可求得答案．
【詳解】解：如圖，過點作交延長線于，過點作于，作的垂直平分線交于，連接，
，，，，，，
，，
，，，
在中，，，，，
，當、、三點共線時，為最小值，
當、、三點共線時，，，
，與重合，，，
，，，
是等腰三角形，，
的垂直平分線交于，，，
，在中，，
即的最小值故答案為：．
【點睛】本題字要考查了全等三角形的性質，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾服定理，三角形內角和定理，正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵．
13．（2023·黑龍江綏化·九年級校聯考階段練習）如圖，在矩形中，，對角線、相交于點O，．點E是的中點，若點F是對角線上一點，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】過點F作于點G，證明為等邊三角形，推出，則，，進而得出，當點E、F、G在同一條直線上時，取最小值，證明，根據相似三角形對應邊成比例，即可求解．
【詳解】解：過點F作于點G，如圖，
∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴為等邊三角形，
∴，，∴，．
∵，∴，，∴，
當點E、F、G在同一條直線上時，取最小值，
∵點E是的中點，∴，則，
∵，∴，∴，∴，解得：，
綜上：的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，找出．
14．（2023上·四川成都·九年級校考期中）如圖，在矩形中，，，點E，F分別在邊上，且，沿直線翻折，點A的對應點恰好落在對角線上，點B的對應點為，點M為線段上一動點，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】作于H，作于L，首先利用勾股定理得的長，再根據，求出的長，再利用，得，則當E、M、L三點共線時，最小，最小值為的長，進而解決問題．
【詳解】解：如圖，作于H，作于L，
在矩形中，，，，， ，
∵沿直線翻折，點A的對應點恰好落在對角線上，∴，，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴當E、M、L三點共線時，最小，最小值為的長，
∴，∴的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，翻折的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用，垂線段最短等知識，熟練掌握最短路徑的計算方法是解題的關鍵．
15．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則PC＋PB的最小值為___．
【答案】4
【詳解】思路引領：過P作PD⊥AB于D，依據△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，進而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，當C，P，D在同一直線上時，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂線段CD的長，求得CD的長，即可得出結論．
答案詳解：如圖所示，過P作PD⊥AB于D，∵直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，
令x＝0，則y＝﹣3；令y＝0，則x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
當C，P，D在同一直線上，即CD⊥AB時，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CD的長，
此時，△ACD是等腰直角三角形，又∵點C（0，1）在y軸上，∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值為，∴PC+PB的最小值為4，故答案為：4．
16．（2023·四川宜賓·?？寄M預測）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．
【答案】
【分析】過點P作PQ⊥AD于點Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知當B、P、Q三點共線時有最小值，然后利用解直角三角形的知識進行求解即可.
【詳解】過點P作PQ⊥AD，垂足為Q，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，
∴當點B、P、Q三點共線時有最小值，
∴的最小值為，故答案為：3.
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形，線段之和最短問題，正確添加輔助線，靈活運用相關知識是解題的關鍵.
三、解答題
17．（2023·成都市·九年級課時練習）點E為正方形ABCD的AB邊上的一個動點，AB=3，如圖1，將正方形ABCD對折，使點A與點B重合，點C與點D重合，折痕為MN．
思考探索(1)如圖2，將正方形ABCD展平后沿過點C的直線CE折疊，使點B的對應點B′落在MN上，折痕為EC．①點B'在以點E為圓心，　　　　的長為半徑的圓上；②B'M=______；
拓展延伸(2)當AB=3AE時，正方形ABCD沿過點E的直線l（不過點B）折疊后，點B的對應點B'落在正方形ABCD內部或邊上，連接AB'．①△ABB'面積的最大值為______；
②點P為AE的中點，點Q在AB'上，連接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
【答案】(1)①BE；②(2)①3；②B'C+2PQ的最小值為．
【分析】（1）①由折疊的性質知，點B'在以點E為圓心，BE的長為半徑的圓上，②由折疊的性質得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，進而求解；
（2）①△ABB'面積的最大時，只要AB邊上的高最大即可，故當B′E⊥AB時，△ABB'面積的最大，進而求解；②證明PQ是△AEB′的中位線，故E、B′、C三點共線時，B'C+2PQ取得最小值為CE，即可求解．
（1）解：由折疊的性質知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，
①由題意得，點B'在以點E為圓心，BE的長為半徑的圓上；
②MB′=MN-NB′=MN-；故答案為：①BE；②；
（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，
∵點B'在以點E為圓心，BE的長為半徑的圓上，如圖1，
∴△ABB'面積的最大時，只要AB邊上的高最大即可，∴當B′E⊥AB時，△ABB'面積的最大，
∴△ABB'面積=×AB×B′E=×3×2=3，故答案為：3；
②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中點，∴PQ是△AEB′的中位線，如圖2，
∴PQ=B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三點共線時，B'C+2PQ取得最小值為CE，
則CE=，即B'C+2PQ的最小值為．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質，折疊的性質，等邊三角形的性質，三角形的中位線定理，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
18．（2023·江蘇·中考模擬）如圖，拋物線與直線交于，兩點，交軸于，兩點，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（2）設為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發，沿線段以每秒一個單位速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動中用時最少？
解：（Ⅰ）把，代入，得
，解得：．拋物線的解析式為
聯立，解得：或，點的坐標為．
如圖1．，，，，，，
，是直角三角形，，；
（Ⅱ）方法一：（1）存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似．
過點作軸于，則．
設點的橫坐標為，由在軸右側可得，則．
，，．
若點在點的下方，①如圖2①，當時，則．
，，
，．．
則．把代入，得
，整理得：解得：（舍去），（舍去）．
②如圖2②，當時，則．
同理可得：，則，
把代入，得，
整理得：解得：（舍去），，，；
若點在點的上方，①當時，則，同理可得：點的坐標為．
②當時，則．同理可得：點的坐標為，．
綜上所述：滿足條件的點的坐標為、，、，；
方法二：作的“外接矩形” ，易證，，
以，，為頂點的三角形與相似，或，
設，，，
①，，，，
②，，，（舍，
滿足題意的點的坐標為、，、，；
（2）方法一：過點作軸于，如圖3．
在中，，即，
點在整個運動中所用的時間為．
作點關于的對稱點，連接，
則有，，，
，．根據兩點之間線段最短可得：
當、、三點共線時，最?。?br/>此時，，四邊形是矩形，
，．對于，
當時，有，解得：，．，，
，，點的坐標為．
方法二：作點關于的對稱點，交于點，顯然，
作軸，垂足為，交直線于點，如圖4，
在中，，即，
當、、三點共線時，最小，
，，，，，
，，，，，，
為的中點，，，．
方法三：如圖，5，過作射線軸，過作射線軸，與交于點．
，，．，，，
，．．
當且僅當時，取得最小值，
點在整個運動中用時最少為：，
拋物線的解析式為，且，可求得點坐標為
則點橫坐標為2，將代入，得．所以．
19．（2022·廣東廣州·統考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD ．
(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合）， 點F在邊AD上，且BE=DF，
①當CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．
【答案】(1)；(2)①四邊形ABEF的面積為；②最小值為12
【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N， 根據菱形的面積可求出MN=，設BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s= S△ABD - S△DEF ，①當CE⊥AB時，可得點E是△ABC重心，從而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當點E和F分別到達點O和點H位置時，CF和CE分別達到最小值；再由，可得當，即BE=時， s達到最小值，從而得到此時點E恰好在點O的位置，而點F也恰好在點H位置，即可求解．
【詳解】（1）解∶連接AC，設AC與BD的交點為O，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，
∴BO=AB sin60°==，∴BD=2BO=；
（2）解：如圖，過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N，
∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE
∵，∴MN=，設BE=，則EN=，∴EM=MN-EN=，
∵S菱形ABCD= AD MN=，∴S△ABD= S菱形ABCD=，
∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF EM= =，
記四邊形ABEF的面積為s，∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵點E在BD上，且不在端點，∴0①當CE⊥AB時，∵OB⊥AC，∴點E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，
此時 =，∴當CE⊥AB時，四邊形ABEF的面積為；
②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點E和F分別在BD和AD上，
∴當點E和F分別到達點O和點H位置時，CF和CE分別達到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，
∵，∴當，即BE=時， s達到最小值，
∵BE=DF，∴DF=3，此時點E恰好在點O的位置，而點F也恰好在點H位置，
∴當四邊形ABEF面積取得最小值時，CE和CF也恰好同時達到最小值，
∴CE+CF的值達到最小，其最小值為CO+CH==12．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，二次函數的性質，三角形的重心，解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，二次函數的性質，三角形的重心，解直角三角形等知識是解題的關鍵．
20．（2020·四川樂山市·中考真題）已知拋物線與軸交于，兩點，為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交軸于點，連結，且，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點作軸的平行線交線段于點，過點作交拋物線于點，連結、，求的面積的最大值；②連結，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）先函數圖象與x軸交點求出D點坐標，再由求出C點坐標，用待定系數法設交點式，將C點坐標代入即可求解；（2）①先求出BC的解析式，設E坐標為，則F點坐標為，進而用t表示出的面積，由二次函數性質即可求出最大值；
②過點作于，由可得，由此可知當BPH三點共線時的值最小，即過點作于點，
線段的長就是的最小值，根據面積法求高即可．
【詳解】解：（1）根據題意，可設拋物線的解析式為：，
∵是拋物線的對稱軸，∴，又∵，∴，即，代入拋物線的解析式，得，解得 ，
∴二次函數的解析式為 或；
（2）①設直線的解析式為 ，∴ 解得
即直線的解析式為 ，設E坐標為，則F點坐標為，∴，
∴的面積 ∴，
∴當時，的面積最大，且最大值為；
②如圖，連接，根據圖形的對稱性可知 ，，∴，
過點作于，則在中，，
∴，再過點作于點，則，
∴線段的長就是的最小值，∵，
又∵，∴，即，∴的最小值為．
【點睛】此題主要考查了二次函數的綜合題型，其中涉及了待定系數法求解析式和三角形的面積最大值求法、線段和的最值問題．解（1）關鍵是利用三角函數求出C點坐標，解（2）關鍵是由點E、F坐標表示線段EF長，從而得到三角形面積的函數解析式，解（3）的難點是將的最小值轉化為點B到AC的距離．
21．（2023·山東濟寧·?？寄M預測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．
①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．
【答案】（1）證明見解析；（2）① ；②和 走完全程所需時間為 ．
【分析】（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進行證明即可；（2）①構造直角三角形求即可；
②先確定點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時間．
【詳解】（1） 四邊形 是矩形， ，
與 交于點O,且 關于 對稱，
，， 四邊形 是菱形；
（2）①連接 ,直線 分別交 于點 ,交 于點 ，
關于 的對稱圖形為 ， ，
在矩形 中， 為 的中點，且O為AC的中點，
為 的中位線 ， ，同理可得： 為 的中點， ，
， ；
②過點P作 交 于點 ， 由 運動到 所需的時間為3s，
由①可得，，
點Q以 的速度從P到A所需的時間等于以 從M運動到A，
即：， 由O運動到P所需的時間就是OP+MA和最小.
如下圖，當P運動到 ,即 時，所用時間最短.，
在 中，設， ，
，解得： ， ，和 走完全程所需時間為．
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