資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-將軍飲馬模型
古希臘有一位久負盛名的學者，名叫海倫，有一天，有位將軍不遠千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題：將軍從A地出發到河邊飲馬，然后再到B地軍營視察，顯然有許多走法。問走什么樣的路線最短呢？精通數理的海倫稍加思索，便做了完善的回答。這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題。將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數學思想。
在解決將軍飲馬模型：利用軸對稱變換化歸到兩點之間，線段最短；或垂線段最短等。
1）將軍飲馬模型（兩條線段和最短）：在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；
（1）點A、B在直線m兩側： （2）點A、B在直線同側：
2）將軍飲馬模型（周長最小值）：在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）兩個點都在直線外側： （2）一個點在內側，一個點在外側：
（3）兩個點都在內側：
（4）臺球兩次碰壁模型
1）已知點A、B位于直線m,n 內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得四邊形ADEB周長最短。
2）已知點A位于直線m,n 的內側，在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短。
3）將軍飲馬模型（兩條線段差最大值）：在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；
（1）點A、B在直線m同側：
（2）點A、B在直線m異側：
考向1.將軍飲馬模型：兩條線段和最短
例1．（2023·黑龍江·統考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

例2．（2023·廣東廣州·統考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F為對角線上一動點，連接，，則的最小值為 ．

例3．（2022·內蒙古赤峰·統考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
例4．（2023·遼寧盤錦·統考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（ ）

A． B．3 C． D．
例5．（2023·山東棗莊·統考中考真題）如圖，拋物線經過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．(1)求該拋物線的表達式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；

考向2.將軍飲馬模型：周長的最小值
例1．（2023·陜西西安·九年級校考階段練習）【問題提出】
(1)如圖1，，在內部有一點P，M、N分別是、上的動點，分別作點P關于邊、的對稱點，，連接，與、相交于M、N，則此時的周長最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角三角形．理由如下：
∵點P關于邊、的對稱點分別為，，
∴，，，，
∴即周長的最小值為
∵，∴∴是等腰直角三角形．
學以致用：若，在內部有一點P，分別作點P關于邊、的對稱點，，順次連接O，，，則的形狀是__________三角形．
(2)【問題探究】如圖2，在中，，，點D是的中點，若，請用含有h的代數式表示的面積．(3)【問題解決】如圖3，在四邊形內有一點P，點P到頂點B的距離為10，，點M、N分別是、邊上的動點，順次連接P、M、N，使在周長最小的情況下，面積最大，問：是否存在使在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．
例2．（2023下·四川達州·八年級校考期末）如圖，，點M、N分別在射線上，，的面積為12，P是直線上的動點，點P關于對稱的點為，點P關于對稱的點為，當點P在直線上運動時，的面積最小值為 ．

例3．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023春·湖北黃石·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個動點，為的中點，則
（1）的最小值是________；（2）若，則的最小值為________．
考向3.將軍飲馬模型：兩條線段差最大值
例1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

例2．（2023春·湖南永州·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．
例3．（2023·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．
例4．（2023·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當的值最大時，則 ________ ．
一、選擇題
1．（2023·廣東廣州·校考一模）如圖，在C中，的面積為，，平分，E、F分別為、上的動點，則的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
2．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值是( )
A． B． C． D．
3．（2022·山東菏澤·統考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個動點，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2023·廣東深圳·校聯考模擬預測）如圖，點是正方形內部一個動點，且，，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
5．（2023春·福建廈門·八年級校聯考期中）如圖，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．4
6．（2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
7．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江蘇·九年級月考）如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
9．（2023上·山東菏澤·八年級統考期中）如圖，中，，，，是的垂直平分線，分別交，于點E，F，點D是邊的中點，點M是線段上一動點，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2023·安徽·統考中考真題）如圖，是線段上一點，和是位于直線同側的兩個等邊三角形，點分別是的中點．若，則下列結論錯誤的是（ ）

A．的最小值為 B．的最小值為
C．周長的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為
二、填空題
11．（2023·山東濟寧·九年級校考期末）如圖，是的直徑，點C、D是上的點．且，分別與、相交于點E，F．若的半徑為5，，點P是線段上任意一點，則的最小值是 ．

12．（2023下·四川達州·八年級校考期末）如圖，，在的同側，，，，點為的中點，若，則的最大值是 ．

13．（2023上·江蘇連云港·九年級校聯考階段練習）如圖，是的直徑，，點在上，，為的中點，是直徑上一動點，則的最小值是 ．

14．（2023上·山東德州·八年級校考期中）如圖，在中，，，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是 ．
15．（2022·重慶大渡口·九年級期中）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內直線BC的左側有一點P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時，則______．
16．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統考期末）中，，，點P為高上的一個動點，連接，將射線繞點A順時針旋轉，交過點P與垂直的直線于點Q，連接，則周長的最小值是______．
三、解答題
17．（2023·江西南昌·九年級校聯考階段練習）如圖，已知點，，在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）在直線上方的拋物線上求一點，使的面積為；（3）若點是拋物線對稱軸上一動點，當的值最大時，求點的坐標；
18．（2023·廣東深圳·九年級校考開學考試）已知，如圖，函數y＝，的圖象交于點A、B．(1)直接寫出A、B兩點的坐標：A　 　，B　 　；(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集：　 　；(3)點P是坐標軸上的動點，當取得最小值時，求點P的坐標．

19．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長為2的等邊三角形，點、、分別在線段、、上運動，求的最小值．
20．（2022·海南·中考真題）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．
(1)當點P是的中點時，求證：；(2)將沿直線折疊得到，點落在矩形的內部，延長交直線于點F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長的最小值；③如圖2，交于點H，點G是的中點，當時，請判斷與的數量關系，并說明理由．
21．（2023上·廣西桂林·八年級校聯考期中）數學模型學習與應用：
白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣
模型學習：詩中隱含著一個有趣的數學問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關鍵是利用軸對稱變換，把直線同側兩點的折線問題轉化為直線兩側的線段問題，“將軍飲馬”問題的數學模型如圖1所示：在直線l上存在點P，使的值最小．
作法：作A點關于直線l的對稱點，連接，與直線l的交點為點P．此時的值最小．
模型應用：（1）如圖2，已知為等邊三角形，高，為上一動點，D為的中點．①當的最小值時，在圖中確定點P的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）．
②則的最小值為 ．
模型變式：（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地，已知，是內一點，連接后測得米，現當地政府欲在三角形空地中修一個三角形花壇，點，分別是，邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求周長的最小值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-將軍飲馬模型
古希臘有一位久負盛名的學者，名叫海倫，有一天，有位將軍不遠千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題：將軍從A地出發到河邊飲馬，然后再到B地軍營視察，顯然有許多走法。問走什么樣的路線最短呢？精通數理的海倫稍加思索，便做了完善的回答。這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題。將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數學思想。
在解決將軍飲馬模型：利用軸對稱變換化歸到兩點之間，線段最短；或垂線段最短等。
1）將軍飲馬模型（兩條線段和最短）：在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；
（1）點A、B在直線m兩側： （2）點A、B在直線同側：
2）將軍飲馬模型（周長最小值）：在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）兩個點都在直線外側： （2）一個點在內側，一個點在外側：
（3）兩個點都在內側：
（4）臺球兩次碰壁模型
1）已知點A、B位于直線m,n 內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得四邊形ADEB周長最短。
2）已知點A位于直線m,n 的內側，在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短。
3）將軍飲馬模型（兩條線段差最大值）：在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；
（1）點A、B在直線m同側：
（2）點A、B在直線m異側：
考向1.將軍飲馬模型：兩條線段和最短
例1．（2023·黑龍江·統考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根據題意，證明，進而得出點在射線上運動，作點關于的對稱點，連接，設交于點，則，則當三點共線時，取得最小值，即，進而求得，即可求解．
【詳解】解：∵為高上的動點．∴
∵將繞點順時針旋轉得到．是邊長為的等邊三角形，
∴∴
∴，∴點在射線上運動，如圖所示，

作點關于的對稱點，連接，設交于點，則
在中，，則，
則當三點共線時，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周長的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質與判定以及軸對稱的性質是解題的關鍵．
例2．（2023·廣東廣州·統考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F為對角線上一動點，連接，，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】連接交于一點F，連接，根據正方形的對稱性得到此時最小，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，連接交于一點F，連接，

∵四邊形是正方形，∴點A與點C關于對稱，∴，
∴，此時最小，
∵正方形的邊長為4，∴，∵點E在上，且，
∴，即的最小值為故答案為：．
【點睛】此題考查正方形的性質，熟練運用勾股定理計算是解題的關鍵．
例3．（2022·內蒙古赤峰·統考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關于直線AC的對稱點B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．
【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關于直線AC對稱，
，
∵直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小
∴根據“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．
∵菱形ABCD，，點，∴，，
∴∴△CDB是等邊三角形∴
∵點是的中點，∴,且BE⊥CD， ∴故選：A．
【點睛】本題考查菱形性質及動點問題，解題的關鍵是構造直角三角形用勾股定理求線段長．
例4．（2023·遼寧盤錦·統考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（ ）

A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根據直線三角形斜邊中線的性質可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．
【詳解】解：四邊形是矩形，，，
點M，N分別是的中點，，，，，
，，，又，四邊形是平行四邊形，
，，
如圖，作點C關于直線的對稱點M，連接，，則，

當點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，
在中，，，
，的最小值，故選C．
【點睛】本題考查矩形的性質，直線三角形斜邊中線，中位線的性質，平行四邊形的判定與性質，軸對稱性質，勾股定理，線段的最值問題等，解題關鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．
例5．（2023·山東棗莊·統考中考真題）如圖，拋物線經過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）作點關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，進而得到的最小值為的長，利用兩點間距離公式進行求解即可；
【詳解】（1）解：∵拋物線經過兩點，
∴，解得：，∴；
（2）∵，∴，設直線，
則：，解得：，∴，當時，，∴；

作點關于軸的對稱點，連接，則：，，
∴當三點共線時，有最小值為的長，
∵，，∴，即：的最小值為：；
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數解析式，熟練掌握二次函數的性質，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
考向2.將軍飲馬模型：周長的最小值
例1．（2023·陜西西安·九年級校考階段練習）【問題提出】
(1)如圖1，，在內部有一點P，M、N分別是、上的動點，分別作點P關于邊、的對稱點，，連接，與、相交于M、N，則此時的周長最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角三角形．理由如下：
∵點P關于邊、的對稱點分別為，，
∴，，，，
∴即周長的最小值為
∵，∴∴是等腰直角三角形．
學以致用：若，在內部有一點P，分別作點P關于邊、的對稱點，，順次連接O，，，則的形狀是__________三角形．
(2)【問題探究】如圖2，在中，，，點D是的中點，若，請用含有h的代數式表示的面積．(3)【問題解決】如圖3，在四邊形內有一點P，點P到頂點B的距離為10，，點M、N分別是、邊上的動點，順次連接P、M、N，使在周長最小的情況下，面積最大，問：是否存在使在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)等邊(2)(3)存在，
【分析】（1）根據對稱性，得到，，，進而得到：，即可得到為等邊三角形；（2）作的垂直平分線，交于點，連接，根據中垂線的性質，得到，，推出是含的直角三角形，用分別表示出，再利用，求出，進而求出的面積．（3）如圖，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，交，于點M，N，此時的周長最小，可以求出，由推出最小時，的值最大，此時的面積最大，進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵點P關于邊OA、OB的對稱點分別為，，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∴為等邊三角形；故答案為：等邊；
（2）解：∵，，點D是的中點，
∴，，，作的垂直平分線，交于點，連接，
則：，，∴，
∴，∴，
∴，∴
∴；
（3）存在；理由如下：如圖，以點為圓心，為半徑畫圓，分別作點關于，的對稱點，，則點，在上，連接，分別交，于點，，此時的周長最小．
∴，，，
∵，∴，且，∴，
過點作于，∴，，∴，∴，
∵，
∵為定值，∴最小時，的值最大，此時的面積最大，
過點作于點，則 ，
∴當時，即O點與Q點重合時，的值最大，
∴，∴，∴，
∴，
∴，∴∴，
此時是等邊三角形，∴，
∵，∴，
∴ ，∴的最大值．
【點睛】本題考查軸對稱，等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，含的直角三角形、隱圓等知識．通過構造軸對稱，利用軸對稱進行求解，是解題的關鍵．
例2．（2023下·四川達州·八年級校考期末）如圖，，點M、N分別在射線上，，的面積為12，P是直線上的動點，點P關于對稱的點為，點P關于對稱的點為，當點P在直線上運動時，的面積最小值為 ．

【答案】
【分析】連接，過點O作交的延長線于H，先利用三角形的面積公式求出，再根據軸對稱的性質可得，，，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，可得當點P與點H重合時，取得最小值，的面積最小，由此即可得．
【詳解】解：如圖，連接，

∵，且，∴，
∵點P關于對稱的點為，點P關于對稱的點為，
∴，，，
∵，∴，
∴的面積為，由垂線段最短可知，當點P與點H重合時，最小值為，
∴的面積的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱、垂線段最短等知識點，掌握軸對稱的性質是關鍵．
例3．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作M關于OB的對稱點M′，作N關于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．
【詳解】解：作M關于OB的對稱點M′，作N關于OA的對稱點N′，如圖所示：
連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．
根據軸對稱的定義可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°，，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，
∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故選：A．
【點睛】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關鍵．
例4．（2023春·湖北黃石·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個動點，為的中點，則
（1）的最小值是________；（2）若，則的最小值為________．
【答案】 /
【分析】（1）延長作點D的關于點A的對稱點，延長作點M的關于點C對稱點，作，且，即為最小值；
（2）過點E作于P，可得，則，故求的最小值即先求的最小值．過點E作，且，可知當D，E，三點共線時，最小．利用，可求得，進一步計算即可得出答案．
【詳解】解：（1）如下圖所示，延長作點D的關于點A的對稱點，延長作點M的關于點C對稱點，作，且，
可得，∴，∴的最小值為，
∵，且，四邊形為矩形，∴四邊形為矩形，
∵為的中點∴，，∴；
（2）過點E作于P，∵，∴，∴，
則，∴求的最小值即先求的最小值．
過點E作，且，
∴，∴當D，E，三點共線時，最小．此時，
∴，∴，∴，
設，則．∴，解得，
∴，，，，
∴，∴的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題、矩形的性質，根據題意找到使所求線段的和最小時點的位置是解題的關鍵．
考向3.將軍飲馬模型：兩條線段差最大值
例1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

【答案】
【分析】作的對稱點，連接并延長交于點，根據三角形三邊關系可得到，最后根據等邊三角形的性質及菱形的性質即可解答．
【詳解】解：作的對稱點，連接并延長交于點，∴
∴，當在同一條直線上時，有最大值，

∵在菱形中，，∴，，
∴是等邊三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，
∵點為的中點，∴為的中點，∴，
∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為；
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，菱形的性質，中點的定義，三角形的三邊關系，掌握等邊三角形的性質及菱形的性質是解題的關鍵．
例2．（2023春·湖南永州·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．
【答案】
【分析】①連接并延長交于點Q，則這個點Q滿足使的值最大，最大值為的長度，證明四邊形是矩形可得，，，再利用勾股定理進行計算即可；②過點O作關于的對稱點，連接交于點Q，的值最小，的最小值為的長度，延長交于點G，根據對稱的性質可得，再據，點O是的中點，可得，從而求得，再利用勾股定理進行計算即可．
【詳解】解：①連接并延長交于點Q，則這個點Q滿足使的值最大，最大值為的長度，∵四邊形是矩形，∴，，∴，
∵點O是的中點，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，∴，過點P作于點P，
∵，∴四邊形是矩形，
∴，，∴，
∴，∴；
②過點O作關于的對稱點，連接交于點Q，的值最小，
的最小值為的長度，延長交于點G，
∵，點O是的中點，∴，
∴，，∴，，
∴，∴的最小值為：，故答案為：；．
【點睛】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及軸對稱 最短路徑，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
例3．（2023·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．
【答案】6
【分析】作A關于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于P，則點P就是使|PA-PB|的值最大的點，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據等腰直角三角形的性質得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據角的和差關系得到∠ACD=75°，根據軸對稱的性質得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到結論．
【詳解】如圖，作A關于的對稱點，連接并延長交延長線于點P，則點P就是使的值最大的點，，連接，
∵為等腰直角三角形，，∴，，
∵，∴，∵點A與A′關于CD對稱，
∴CD⊥AA′，，，∴，
∵AC=BC，∴，，∴，
∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6
【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．
例4．（2023·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當的值最大時，則 ________ ．
【答案】123°
【分析】當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，畫出相應的圖形，根據條件，利用三角形的內角和、鄰補角的意義，求出結果．
【詳解】解：當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案為：123°．
【點睛】本題考查了平行線的性質、三角形內角和、直角三角形、等腰三角形的性質等知識，根據題意畫出相應圖形是解決問題的關鍵．
一、選擇題
1．（2023·廣東廣州·校考一模）如圖，在C中，的面積為，，平分，E、F分別為、上的動點，則的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本題考查的是角平分線的性質，垂線段最短，解答此類問題時要從已知條件結合圖形認真思考，通過角平分線性質，垂線段最短，確定線段和的最小值．過點C作，垂足為H，交于F點，過F點作，垂足為，則為所求的最小值，根據的面積為，，結合三角形的面積公式求出，即可解答．
【詳解】解：如圖，過點C作，垂足為H，交于F點，過F點作，垂足為，則為所求的最小值，
∵是的平分線，∴，∴是點C到直線的最短距離（垂線段最短），
∵的面積為，，∴，
∵的最小值是．故選：D．
2．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點A關于直線BC的對稱點，再連接，運用兩點之間線段最短得到為所求最小值，再運用勾股定理求線段的長度即可．
【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線BC的對稱點，連接，其與BC的交點即為點E，再作交AB于點F，∵A與關于BC對稱，∴，，當且僅當，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時，
∵正方形，點O為對角線的交點，∴，
∵對稱，∴，∴，
在中，，故選：D．
【點睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質，并運用勾股定理求線段長度是解題關鍵。
3．（2022·山東菏澤·統考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個動點，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數即可求解．
【詳解】解：連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值．
∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，
∵∴F是BC的中點，∴AF⊥BC．
則AF＝AB sin60°＝2．即的最小值是．故選：C
【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形以及三角函數，確定AF的長就是的最小值是關鍵．
4．（2023·廣東深圳·校聯考模擬預測）如圖，點是正方形內部一個動點，且，，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取，則,證明得出，進而證明，即可證明，得出，則當三點共線時，取得最小值，最小值為的長，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，取，則,連接，

∵，，
∴點在以為圓心為半徑的圓上運動，點在以為圓心為半徑的圓上運動，
在中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，即，∴，
又，，∴，∴，
當時，則當三點共線時，取得最小值，最小值為的長，
在中，，故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
5．（2023春·福建廈門·八年級校聯考期中）如圖，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】取BC的中點G，連接AG．首先證明∠BAC＝90°，作點B關于AC的對稱點F，連接GF，證FG⊥BC，則FG的長即為PB+PQ的最小值．
【詳解】解：取BC的中點G，連接AG．在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，
作點B關于AC的對稱點F，連接GF， 交AC于點P，由對稱可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，
當點Q與點G重合時，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的長即為PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，
∴BP+PQ的最小值為2．故選：C．
【點睛】本題主要考查了軸對稱﹣最短路線問題，勾股定理，等邊三角形的性質，根據垂線段最短作出輔助線，確定點P，Q的位置是解答此題的關鍵．
6．（2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【分析】由矩形的性質與線段的等量關系證明，，則，，如圖，作關于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，則四邊形是矩形，，，則，，在中，由勾股定理得求出的值，進而可求最小的周長．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如圖，作關于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，
∴四邊形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四邊形的周長，故選A．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，軸對稱等知識．解題的關鍵在于找出四邊形周長最小時點、的位置關系．
7．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作E關于BC的對稱點，點A關于的對稱點，連接，四邊形的周長最小，根據，即可解．
【詳解】解：如圖1所示，作E關于BC的對稱點，點A關于的對稱點，連接，四邊形的周長最小，
∵，，∴，．
∵，D是的中點，∴是的中位線，
∴，，∵，∴，
∴，即，，，
，故選：B．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，軸對稱的性質，三角形相似的判定和性質，中位線的性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是作出輔助線，找出四邊形的周長最小時，P、Q的位置．
8．（2022·江蘇·九年級月考）如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【答案】A
【分析】作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關系可知，故當點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．
【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，
∵，，，∴，，，
在中，根據勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；
如圖所示，延長AB交MN于點，
∵，，∴當點P運動到點時，最大，
過點B作，則， ∴，
在中，根據勾股定理得，，
∴，即，∴，故選A．
【點睛】本題考查最短線路問題和勾股定理，解題關鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關系．
9．（2023上·山東菏澤·八年級統考期中）如圖，中，，，，是的垂直平分線，分別交，于點E，F，點D是邊的中點，點M是線段上一動點，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．連接，由于是等腰三角形，點D是邊的中點，故，再根據三角形的面積公式求出的長，再根據是線段的垂直平分線可知，，故的長為的最小值，由此即可得出結論．
【詳解】連接，
∵，點D是邊的中點，∴，∴，解得，
∵是的垂直平分線，∴，∴，
∴當點M在線段上時，的值最小，∴的最小值為．故選：A．
10．（2023·安徽·統考中考真題）如圖，是線段上一點，和是位于直線同側的兩個等邊三角形，點分別是的中點．若，則下列結論錯誤的是（ ）

A．的最小值為 B．的最小值為
C．周長的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為
【答案】A
【分析】延長，則是等邊三角形，觀察選項都是求最小時，進而得出當點與重合時，則三點共線，各項都取得最小值，得出B，C，D選項正確，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長，依題意∴是等邊三角形，

∵是的中點，∴，∵，∴
∴，∴∴，
∴四邊形是平行四邊形，則為的中點，如圖所示，
設的中點分別為，則
∴當點在上運動時，在上運動，當點與重合時，即，
則三點共線，取得最小值，此時，
則，∴到的距離相等，則，
此時 此時和的邊長都為2，則最小，
∴，∴∴，
或者如圖所示，作點關于對稱點，則，則當三點共線時，

此時 故A選項錯誤，
根據題意可得三點共線時，最小，此時，則，故B選項正確；
周長等于，即當最小時，周長最小，
如圖所示，作平行四邊形，連接，
∵，則
如圖，延長,，交于點，則，
∴是等邊三角形，∴，
在與中，∴
∴∴∴
∴，則，∴是直角三角形，

在中，∴當時，最短，
∵∴周長的最小值為，故C選項正確；
∵∴四邊形面積等于
∴當的面積為0時，取得最小值，此時，重合，重合
∴四邊形面積的最小值為，故D選項正確，故選：A．
【點睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質，得出當點與重合時得出最小值是解題的關鍵．
二、填空題
11．（2023·山東濟寧·九年級校考期末）如圖，是的直徑，點C、D是上的點．且，分別與、相交于點E，F．若的半徑為5，，點P是線段上任意一點，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】利用圓周角定理得到，再證明，然后根據垂徑定理得，，作點關于的對稱點，交于，連接，如圖，利用兩點之間線段最短得到此時的值最小，再計算出，作于，如圖，然后根據等腰三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系求出，從而得到的最小值．
【詳解】解：∵是的直徑，∴，
∵，∴，∴，∴，
作點關于的對稱點，交于，連接，如圖，

∵，∴，∴由兩點之間線段最短可知，此時的值最小，
∵，∴，∴，
∵點和點關于對稱，∴，∴，
作于，如圖，則，則，
在中，，∴，
∴，∴的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題．
12．（2023下·四川達州·八年級校考期末）如圖，，在的同側，，，，點為的中點，若，則的最大值是 ．

【答案】
【分析】作點關于的對稱點，點關于的對稱點，由，可推出為等邊三角形，再根據三角形三邊關系即可推出結論．
【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，點關于的對稱點，連接，，，，，，，∴，∴，

∵，∴為等邊三角形，點為的中點，，，
∵，的最大值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的三邊關系等知識，正確作出輔助線利用三角形的三邊關系求解是解題的關鍵．
13．（2023上·江蘇連云港·九年級校聯考階段練習）如圖，是的直徑，，點在上，，為的中點，是直徑上一動點，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】首先利用在直線上的同側有兩個點、，在直線上有到、的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點就是所要找的點的位置，然后根據弧的度數發現一個等腰直角三角形計算．
【詳解】作點關于的對稱點，連接交于點，連接，則點就是所求作的點．

此時最小，且等于的長．連接，，
，，∵為的中點，∴，
，，，則，
又，則．故答案為：．
【點睛】此題主要考查了垂徑定理的應用，解題的關鍵是確定點的位置．
最短問題，屬于中考常考題型．
14．（2023上·山東德州·八年級校考期中）如圖，在中，，，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了軸對稱圖形性質，根據等腰三角形三線合一求解，點到直線距離，運用等面積法求的值是解題關鍵．
根據題意可證是邊上的高，設點Q關于直線對稱的對稱點為，可得，根據題意可證點在上，當且C、P、三點共線時，有最小值，根據等面積法計算求值即可．
【詳解】解：∵，是的平分線，∴，
設點Q關于直線對稱的對稱點為，連接，如圖，
∵是的平分線，∴點在上，∴，
∴當且C、P、三點共線時，有最小值，即，
∵,，，，
∴，解得，，∴的最小值是，故答案為：．
15．（2022·重慶大渡口·九年級期中）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內直線BC的左側有一點P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時，則______．
【答案】12
【分析】如圖1中，過點P作PH⊥BC于點H．求出PH＝2，推出點P在BC的中垂線上運動，由翻折變換的性質可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出當A，B，P′共線時，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設BC的中垂線交AC于點M，交AB于點N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解決問題．
【詳解】解：如圖1中，過點P作PH⊥BC于點H．
∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2，
∴點P在BC的中垂線上運動，由翻折變換的性質可知，BP＝BP′，
∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，∴當A，B，P′共線時，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，
設BC的中垂線交AC于點M，交AB于點N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，
∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案為：12．
【點睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是正確尋找點P的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．
16．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統考期末）中，，，點P為高上的一個動點，連接，將射線繞點A順時針旋轉，交過點P與垂直的直線于點Q，連接，則周長的最小值是______．
【答案】
【分析】以為邊向下作正方形，連接、，證明，可得，點Q在上移動，然后根據點D與點E關于對稱可知當點A、Q、E在一條直線上時，取最小值，最小值為的長，利用勾股定理求出，進而可得答案．
【詳解】解：如圖，以為邊向下作正方形，連接、，
由題意知和是等腰直角三角形，
∴，，∴，∴，
∵為的高線，∴，∴，
∴，∴點Q在上移動，
∵四邊形是正方形，∴點D與點E關于對稱，
∴當點A、Q、E在一條直線上時，取最小值，最小值為的長，
∵在等腰直角中，為高線，，
∴，，∴，
∴，
∴周長的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質以及軸對稱最短路徑問題，作出合適的輔助線，判斷出點Q的運動路徑是解題的關鍵．
三、解答題
17．（2023·江西南昌·九年級校聯考階段練習）如圖，已知點，，在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）在直線上方的拋物線上求一點，使的面積為；（3）若點是拋物線對稱軸上一動點，當的值最大時，求點的坐標；
【答案】（1）；（2）點P的坐標為（1，）或（2，1）；（3）（1，2）；（4）存在，點Q的坐標為（1，）
【分析】（1）設拋物線的解析式為，將點C的坐標代入即可求出結論；
（2）過點P作PD⊥x軸，交BC于點D，連接PC、PB，利用待定系數法求出直線BC的解析式，設點P的坐標為，則點D的坐標為，求出PD的長，然后利用三角形的面積列出方程即可求出結論；（3）根據三角形的三邊關系，＜AC，當A、C、M共線時，=AC，從而得出當A、C、M共線時，最大，利用待定系數法求出直線AC的解析式，并求出拋物線的對稱軸，即可求出點M的坐標；
【詳解】解：（1）設拋物線的解析式為，
將點C的坐標代入，得 解得：
∴該拋物線的解析式為；
（2）過點P作PD⊥x軸，交BC于點D，連接PC、PB，
設直線BC的解析式為y=kx＋d 將點B和點C的坐標分別代入，得
解得：∴直線BC的解析式為
設點P的坐標為，則點D的坐標為
∴PD=∴
∵1∴解得：∴點P的坐標為（1，）或（2，1）；
（3）根據三角形的三邊關系，＜AC，當A、C、M共線時，=AC
∴當A、C、M共線時，最大
設直線AC的解析式為y=mx＋n 將點A、C的坐標分別代入，得
解得：∴直線AC的解析式為y=x＋1
拋物線的對稱軸為直線x==
將x=1代入y=x＋1中，解得y=2 ∴點M的坐標為（1，2）；
【點睛】此題考查的是拋物線的綜合大題，此題難度較大，掌握利用待定系數法求二次函數解析式、一次函數解析式和勾股定理是解題關鍵．
18．（2023·廣東深圳·九年級校考開學考試）已知，如圖，函數y＝，的圖象交于點A、B．(1)直接寫出A、B兩點的坐標：A　 　，B　 　；(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集：　 　；(3)點P是坐標軸上的動點，當取得最小值時，求點P的坐標．

【答案】(1)；(2)或(3)點P的坐標為或
【分析】（1）一次函數與反比例函數組成方程組即可求得交點坐標；
（2）根據反比例函數圖象在一次函數圖象上方的部分，是反比例函數值大于一次函數值，可得答案；
（3）分兩種情況：①點在軸上，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，利用軸對稱得出的最小值為線段，進而利用待定系數法求出解析式，即可得出點坐標；②點在軸上，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，利用軸對稱得出的最小值為線段，進而利用待定系數法求出解析式，即可得出點坐標．
【詳解】（1）解：由題意得：，解之得：，，
、兩點坐標分別為、；
（2）解：由圖象得：不等式的解集為或；
（3）解：分兩種情況：①如果點在軸上，

作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則，
所以，即的最小值為線段的長度．
設直線的解析式為，，，
，解得，直線的解析式為，
當時，，點的坐標為；
②如果點在軸上，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則，
所以，即的最小值為線段的長度．
設直線的解析式為，，，
，解得，直線的解析式為，
當時，，點的坐標為． 綜上所述，點的坐標為或．
【點睛】此題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，軸對稱最短路線問題，待定系數法求一次函數解析式，進行分類討論、利用數形結合以及方程思想是解題的關鍵．
19．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長為2的等邊三角形，點、、分別在線段、、上運動，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【分析】（1）先根據四邊形為平行四邊形的性質和證明四邊形為平行四邊形，再根據，即可得證；（2）先根據菱形對稱性得，得到，進一步說明的最小值即為菱形的高，再利用三角函數即可求解．
(1)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，
又∵點在的延長線上，∴，∴四邊形為平行四邊形，
又∵，∴四邊形為菱形．
(2)解：如圖，由菱形對稱性得，點關于的對稱點在上，∴，
當、、共線時，，過點作，垂足為，
∵，∴的最小值即為平行線間的距離的長，
∵是邊長為2的等邊三角形，∴在中，，，，
∴，∴的最小值為．
【點睛】本題考查了最值問題，考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，三角函數等知識，運用了轉化的思想方法．將最值問題轉化為求菱形的高是解答本題的關鍵．
20．（2022·海南·中考真題）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．
(1)當點P是的中點時，求證：；(2)將沿直線折疊得到，點落在矩形的內部，延長交直線于點F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長的最小值；③如圖2，交于點H，點G是的中點，當時，請判斷與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析(2)①見解析；；②12,；③，見解析
【分析】（1）根據矩形的性質得到，再結合P是的中點證明；
（2）①設，在中，表示出三角形的其他兩邊，再由勾股定理列方程計算即可；
②當點恰好位于對角線上時，最小，利用勾股定理計算即可；
③過點作，交于點M，證明，再由即可得到．
(1)解：如圖9-1，在矩形中，，
即，∴．
∵點P是的中點，∴．∴．
(2)①證明：如圖9-2，在矩形中，，
∴．由折疊可知，∴．∴．
在矩形中，，∵點P是的中點，∴．
由折疊可知，．
設，則．∴．在中，由勾股定理得，
∴，∴，即．
②解：如圖9-3，由折疊可知，．
∴．
由兩點之間線段最短可知，當點恰好位于對角線上時，最小．
連接，在中，，∴，
∴，∴．
③解：與的數量關系是．
理由是：如圖9-4，由折疊可知．
過點作，交于點M，∵，∴，
∴．∴，∴點H是中點．
∵，即，∴．
∵，∴．∴．∴．
∵點G為中點，點H是中點，∴．
∴．∴．∴．
【點睛】此題考查了矩形的性質、折疊問題、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性質，關鍵是作出輔助線，根據等腰三角形的性質證明．
21．（2023上·廣西桂林·八年級校聯考期中）數學模型學習與應用：
白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣
模型學習：詩中隱含著一個有趣的數學問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關鍵是利用軸對稱變換，把直線同側兩點的折線問題轉化為直線兩側的線段問題，“將軍飲馬”問題的數學模型如圖1所示：在直線l上存在點P，使的值最小．
作法：作A點關于直線l的對稱點，連接，與直線l的交點為點P．此時的值最小．
模型應用：（1）如圖2，已知為等邊三角形，高，為上一動點，D為的中點．①當的最小值時，在圖中確定點P的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）．
②則的最小值為 ．
模型變式：（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地，已知，是內一點，連接后測得米，現當地政府欲在三角形空地中修一個三角形花壇，點，分別是，邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求周長的最小值．

【答案】（1）①見解析；②8；（2）
【分析】此題是幾何變換綜合題，考查軸對稱的性質和最短路徑問題，
（1）①根據軸對稱的性質點，關于對稱，進而連接交于點即可；
②根據軸對稱的性質，進而解答即可；（2）分別作點關于，的對稱點，，連接，，，交，于點，，連接，，此時周長的最小值等于，利用軸對稱的性質解答即可．解題的關鍵是根據軸對稱的性質得出線段相等解答．
【詳解】（1）①如圖所示點為所求的點：

②，關于對稱，，，
的最小值，故答案為：8；
（2）如圖所示，分別作點關于，的對稱點，，連接，，，交，于點，，連接，，此時周長的最小值等于．
由軸對稱性質可得，，，，
，則為等邊三角形，
即．即周長的最小值等于．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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