資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題二 代數式問題
考點掃描☆聚焦中考
代數式問題，是每年中考必考內容，涉及本知識點的問題多以填空題、選擇題為主的形式考查，部分涉及本知識點以解答題形式的出現，屬于中低檔題；涉及本知識點的主要內容有整式：冪的運算(同底數冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數冪相除)、合并同類項、整式的加減、整式的乘法法則；分式:分式的意義、分式的加減乘除與化簡求值；二次根式：二次根式的混合運算、二次根式的意義與化簡；因式分解:運用提公因式法、公式法因式分解.涉及本知識點主要有合并同類項、代數式的化簡求值、因式分解、分式的意義將成為中考命題的熱點.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 長春）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程
為 　 　公里．（用含x的代數式表示）
例2（2023 海南）下列計算中，正確的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（2a）5＝10a5 D．a4+a4＝a8
例3（2023 鹽城）先化簡，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
例4（2023 濟寧）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
例5（2023 江西）化簡（+） ．下面是甲、乙兩同學的部分運算過程：
（1）甲同學解法的依據是 　　，乙同學解法的依據是 　　；（填序號）
①等式的基本性質；②分式的基本性質；③乘法分配律；④乘法交換律．
（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．
例6（2023 青島）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
考點過關☆專項突破
類型一 代數式及其求值
1．（2023 河北）代數式﹣7x的意義可以是（　　）
A．﹣7與x的和 B．﹣7與x的差 C．﹣7與x的積 D．﹣7與x的商
2．（2023 大慶）端午節是我國傳統節日，端午節前夕，某商家出售粽子的標價比成本高25%，當粽子降價出售時，為了不虧本，降價幅度最多為（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
3．（2023 河南）某校計劃給每個年級配發n套勞動工具，則3個年級共需配發 　 　套勞動工具．
4．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，則2a2﹣8a﹣8的值為（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
5．（2023 寧夏）如圖是某種桿秤．在秤桿的點A處固定提紐，點B處掛秤盤，點C為0刻度點．當秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點C，秤桿處于平衡．秤盤放入x克物品后移動秤砣，當秤砣所掛位置與提紐的距離為y毫米時秤桿處于平衡．測得x與y的幾組對應數據如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中數據的規律可知，當x＝20克時，y＝　　毫米．
類型二 整式的相關概念及其運算
1．（2021 海南）下列整式中，是二次單項式的是（　　）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x
2．（2023 宜賓）下列計算正確的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
3．（2023 云南）下列計算正確的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a3＝a2 D．3a2﹣a2＝2a2
4．（2023 陜西）計算：＝（　　）
A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6
5．（2023 成都）下列計算正確的是（　　）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2 B．7x+5x＝12x2 C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
6．（2023 隨州）設有邊長分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2023 沈陽）當a+b＝3時，代數式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值為 　　．
8．（2022 包頭）若一個多項式加上3xy+2y2﹣8，結果得2xy+3y2﹣5，則這個多項式為 　　．
9．（2023 麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是 　　；
（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是 　　．
10．（2023 內蒙古）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
類型三 因式分解
1．（2023 益陽）下列因式分解正確的是（　　）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
2．（2023 黃石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝　 　．
3．（2022 蘇州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，則x2﹣y2＝　 　．
4．（2023 東營）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　 　．
5．（2023 河北）若k為任意整數，則（2k+3）2﹣4k2的值總能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
6．（2023 成都）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且m﹣n＞1，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，16＝52﹣32，16就是一個智慧優數，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）進行研究．若將智慧優數從小到大排列，則第3個智慧優數是 　　；第23個智慧優數是 　　．
類型四 分式及其運算
1．（2023 廣西）若分式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
2．（2023 涼山州）分式的值為0，則x的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
3．（2023 蘭州）計算：＝（　　）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
4．（2023 天津）計算的結果等于（　　）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
5．（2023 赤峰）化簡+x﹣2的結果是（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2023 福建）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為 　　．
7．（2023 蘇州）先化簡，再求值： ﹣，其中a＝．
8．（2023 張家界）先化簡（x﹣1﹣）÷，然后從﹣1，1，2這三個數中選一個合適的數代入求值．
類型五 二次根式及其運算
1．（2023 無錫）若二次根式有意義，則x的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 泰州）計算等于（　　）
A．±2 B．2 C．4 D．
3．（2023 煙臺）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 西寧）下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 聊城）計算：（﹣3）÷＝　　．
6．（2023 天津）計算的結果為 　　．
7．（2023 金昌）計算：÷×2﹣6．
8．（2021 西寧）計算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題二 代數式問題
考點掃描☆聚焦中考
代數式問題，是每年中考必考內容，涉及本知識點的問題多以填空題、選擇題為主的形式考查，部分涉及本知識點以解答題形式的出現，屬于中低檔題；涉及本知識點的主要內容有整式：冪的運算(同底數冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數冪相除)、合并同類項、整式的加減、整式的乘法法則；分式:分式的意義、分式的加減乘除與化簡求值；二次根式：二次根式的混合運算、二次根式的意義與化簡；因式分解:運用提公因式法、公式法因式分解.涉及本知識點主要有合并同類項、代數式的化簡求值、因式分解、分式的意義將成為中考命題的熱點.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 長春）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 　（7.5﹣10x）　公里．（用含x的代數式表示）
【點撥】根據題意可知：總路程﹣已跑的路程＝離終點的路程，然后列出相應的代數式即可．
【解析】解：由題意可得，
他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為（7.5﹣10x）公里，
故答案為：（7.5﹣10x）．
【點睛】本題考查列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數式即可．
例2（2023 海南）下列計算中，正確的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（2a）5＝10a5 D．a4+a4＝a8
【答案】A
【點撥】根據同底數冪的乘法，冪的乘方與積的乘方以及合并同類項法則逐項進行計算即可．
【解析】解：A．a2 a3＝a5，故A符合題意；
B．（a3）2＝a6，故B不符合題意；
C．（2a）5＝32a5，故C不符合題意；
D．a4+a4＝2a4，故D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了同底數冪的乘法，冪的乘方與積的乘方以及合并同類項，掌握同底數冪的乘法的計算方法，冪的乘方與積的乘方的運算性質以及合并同類項法則是解答的關鍵．
例3（2023 鹽城）先化簡，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
【點撥】依據題意，利用平方差公式和完全平方公式將原式進行化簡，再將a，b的值代入計算即可求解．
【解析】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）
＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2
＝2a2+6ab．
當a＝2，b＝﹣1時，
原式＝2×22+6×2×（﹣1）
＝8﹣12
＝﹣4．
【點睛】本題主要考查整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題關鍵．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
例4（2023 濟寧）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【答案】C
【點撥】本題考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相關知識．
【解析】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故選項A錯誤，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故選項B錯誤，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故選項C正確，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故選項D錯誤．
故答案為：C．
【點睛】本題考查因式分解，提公因式等相關知識．解題的關鍵是能夠熟悉因式分解的定義，熟練運用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
例5（2023 江西）化簡（+） ．下面是甲、乙兩同學的部分運算過程：
（1）甲同學解法的依據是 　②　，乙同學解法的依據是 　③　；（填序號）
①等式的基本性質；②分式的基本性質；③乘法分配律；④乘法交換律．
（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．
【答案】（1）②；③．
（2）2x．
【點撥】（1）甲同學的解法兩個分式先通分依據是分式的基本性質，乙同學根據乘法分配律先算乘法，后算加法，這樣簡化運算，更簡便了．
（2）選擇乙同學的解法，先因式分解，再約分，最后進行加法運算即可．
【解析】解：（1）甲同學的解法是：先把括號內兩個分式通分后相加，再進行乘法運算，
通分的依據是分式的基本性質，
故答案為：②．
乙同學的解法是：根據乘法的分配律，去掉括號后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案為：③．
（2）選擇乙同學的解法．
（+）
＝+
＝+
＝x﹣1+x+1
＝2x．
【點睛】本題考查了分式的混合運算，根據題目的特點，靈活選用合適的解法是解題的關鍵．
例6（2023 青島）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】根據二次根式的運算法則將各式計算后進行判斷即可．
【解析】解：與無法合并，則A不符合題意；
2﹣＝，則B不符合題意；
×＝＝，則C符合題意；
÷3＝＝，則D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查二次根式的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
考點過關☆專項突破
類型一 代數式及其求值
1．（2023 河北）代數式﹣7x的意義可以是（　　）
A．﹣7與x的和 B．﹣7與x的差 C．﹣7與x的積 D．﹣7與x的商
【答案】C
【點撥】直接利用代數式的意義分析得出答案．
【解析】解：代數式﹣7x的意義可以是﹣7與x的積．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了代數式，掌握代數式是由運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數或表示數的字母連接而成的式子是解題關鍵．
2．（2023 大慶）端午節是我國傳統節日，端午節前夕，某商家出售粽子的標價比成本高25%，當粽子降價出售時，為了不虧本，降價幅度最多為（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
【答案】A
【點撥】設降價幅度為x，降價后的價格大于等于成本列式．
【解析】解：設成本為m，標價為（1+25%）m，
設降價幅度為x，
∴粽子降價出售的售價為：（1+25%）m（1﹣x），
為了不虧本，即售價大于等于成本，
（1+25%）m（1﹣x）≥m，
解得x≤20%，
故選：A．
【點睛】本題考查銷售問題，解題的關鍵是商品的售價表示方法與成本間的比較．
3．（2023 河南）某校計劃給每個年級配發n套勞動工具，則3個年級共需配發 　3n　套勞動工具．
【答案】3n
【點撥】根據題意列出代數式即可．
【解析】解：∵給每個年級配發n套勞動工具，
∴3個年級共需配發3n套勞動工具．
故答案為：3n．
【點睛】本題考查列代數式，解題的關鍵是讀懂題意，用含n的代數式表示3個年級勞動工具的套數．
4．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，則2a2﹣8a﹣8的值為（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
【答案】D
【點撥】由已知條件可得a2﹣4a＝12，然后將2a2﹣8a﹣8變形后代入數值計算即可．
【解析】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，
∴a2﹣4a＝12，
∴2a2﹣8a﹣8
＝2（a2﹣4a）﹣8
＝2×12﹣8
＝24﹣8
＝16，
故選：D．
【點睛】本題考查代數式求值，將2a2﹣8a﹣8變形為2（a2﹣4a）﹣8是解題的關鍵．
5．（2023 寧夏）如圖是某種桿秤．在秤桿的點A處固定提紐，點B處掛秤盤，點C為0刻度點．當秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點C，秤桿處于平衡．秤盤放入x克物品后移動秤砣，當秤砣所掛位置與提紐的距離為y毫米時秤桿處于平衡．測得x與y的幾組對應數據如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中數據的規律可知，當x＝20克時，y＝　50　毫米．
【答案】50．
【點撥】觀察列表中數據可知當放入x克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．
【解析】解：由題可得當放入0克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10毫米，
當放入2克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×2＝14（毫米），
當放入4克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×4＝18（毫米），
當放入6克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×6＝22（毫米），
當放入8克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×8＝26（毫米），
當放入10克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×10＝22（毫米），
……
所以當放入x克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為（10+2x）毫米，
當放入x＝20克物品時，秤砣所掛位置與提紐的距離為10+2×20＝50（毫米），
故答案為：50．
【點睛】此題主要是考查了列代數式，代數式求值，能夠根據題意列出代數式是解答此題的關鍵．
類型二 整式的相關概念及其運算
1．（2021 海南）下列整式中，是二次單項式的是（　　）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x
【答案】B
【點撥】根據單項式的次數的意義判斷即可．
【解析】解：A．x2+1是多項式，故A不合題意；
B．xy是二次單項式，故B符合題意；
C．x2y是次數為3的單項式，故C不符合題意；
D．﹣3x是次數為1的單項式，故D不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了單項式，正確掌握單項式的次數確定方法是解題關鍵．
2．（2023 宜賓）下列計算正確的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
【答案】B
【點撥】根據合并同類項的運算法則將各項計算后進行判斷即可．
【解析】解：A．4a﹣2a＝（4﹣2）a＝2a，則A不符合題意；
B．2ab+3ba＝（2+3）ab＝5ab，則B符合題意；
C．a與a2不是同類項，無法合并，則C不符合題意；
D．5x2y與3xy2不是同類項，無法合并，則D不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查合并同類項，其運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
3．（2023 云南）下列計算正確的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a3＝a2 D．3a2﹣a2＝2a2
【答案】D
【點撥】根據同底數冪乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數冪除法以及合并同類項的法則計算即可．
【解析】解：A、a2 a3＝a2+3＝a5，原式計算錯誤，故選項不符合題意；
B、（3a）2＝9a2，原式計算錯誤，故選項不符合題意；
C、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，原式計算錯誤，故選項不符合題意；
D、3a2﹣a2＝2a2，計算正確，故選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了同底數冪乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數冪除法以及合并同類項，解題的關鍵是熟練掌握相關的定義和法則．
4．（2023 陜西）計算：＝（　　）
A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6
【答案】B
【點撥】利用單項式乘單項式的法則進行運算即可．
【解析】解：
＝6×（﹣）x1+3y2+3
＝﹣3x4y5．
故選：B．
【點睛】本題主要考查單項式乘單項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
5．（2023 成都）下列計算正確的是（　　）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2 B．7x+5x＝12x2 C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
【答案】C
【點撥】利用冪的乘方與積的乘方的性質，合并同類項的法則，完全平方公式和平方差公式對每個選項進行逐一判斷即可得出結論．
【解析】解：∵（﹣3x）2＝9x2，
∴A選項的運算不正確，不符合題意；
∵7x+5x＝12x，
∴B選項的運算不正確，不符合題意；
∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴C選項的運算正確，符合題意；
∵（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，
∴D選項的運算不正確，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，冪的乘方與積的乘方的性質，合并同類項的法則，完全平方公式和平方差公式，熟練掌握上述性質與公式是解題的關鍵．
6．（2023 隨州）設有邊長分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【點撥】用長乘寬，列出算式，根據多項式乘多項式的運算法則展開，然后根據A、B、C類卡片的形狀可得答案．
【解析】解：∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數為8張．
故選：C．
【點睛】本題考查了多項式乘多項式在幾何圖形問題中的應用，數形結合并明確多項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．
7．（2023 沈陽）當a+b＝3時，代數式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值為 　2　．
【答案】2．
【點撥】先將原式去括號，然后合并同類項可得﹣a﹣b+5，再把前兩項提取﹣1，然后把a+b的值代入可得結果．
【解析】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
當a+b＝3時，原式＝﹣3+5＝2．
故答案為：2．
【點睛】此題主要是考查了整式的化簡求值，能夠熟練運用去括號法則，合并同類項法則化簡是解題的關鍵．
8．（2022 包頭）若一個多項式加上3xy+2y2﹣8，結果得2xy+3y2﹣5，則這個多項式為 　y2﹣xy+3　．
【答案】y2﹣xy+3．
【點撥】現根據題意列出算式，再去掉括號合并同類項即可．
【解析】解：由題意得，這個多項式為：
（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）
＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8
＝y2﹣xy+3．
故答案為：y2﹣xy+3．
【點睛】本題考查整式的加減法，能根據題意列出算式是解答本題的關鍵．
9．（2023 麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是 　25　；
（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是 　　．
【答案】（1）25；
（2）．
【點撥】（1）根據正方形的面積公式列得代數式，然后代入數值計算即可；
（2）結合已知條件可得a2+b2＝3，利用梯形面積公式可得（m+n）2＝10，然后將題干中的兩個等式分別平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，繼而求得m2+n2＝，再結合（m+n）2＝10可求得mn＝，根據正方形性質可得圖2中陰影部分是一個直角三角形，利用勾股定理求得其兩直角邊長，再根據三角形面積公式可得其面積為mn＝．
【解析】解：（1）由題意可得圖1陰影部分面積為：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案為：25；
（2）由題意可得a2+b2＝3，圖2中四邊形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高為：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴將兩式分別平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵圖2中陰影部分的三角形的其中兩邊是兩正方形的對角線，
∴這兩邊構成的角為：45°+45°＝90°，
那么陰影部分的三角形為直角三角形，其兩直角邊的長分別為：＝m，＝n，
故陰影部分的面積為：×m×n＝mn＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查整式運算的實際應用，（2）中將題干中的兩個等式分別平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解題的關鍵．
10．（2023 內蒙古）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
【答案】2a2+4ab，1．
【點撥】直接利用乘法公式化簡，再合并同類項，把已知數據代入得出答案．
【解析】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2
＝2a2+4ab，
當a＝﹣1，b＝時，
原式＝2×（﹣1）2+4×（﹣1）×
＝2﹣1
＝1．
【點睛】此題主要考查了整式的混合運算—化簡求值，正確運用乘法公式化簡是解題關鍵．
類型三 因式分解
1．（2023 益陽）下列因式分解正確的是（　　）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【答案】A
【點撥】利用提公因式法、公式法逐個分解得結論．
【解析】解：A選項，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故該選項符合題意；
B選項，a2+ab+a＝a（a+b+1），故該選項不符合題意；
C選項，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故該選項不符合題意；
D選項，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故該選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關鍵．
2．（2023 黃石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝　（y﹣1）（x﹣4）　．
【答案】（y﹣1）（x﹣4）．
【點撥】將整式x（y﹣1）+4（1﹣y）變形含有公因式（y﹣1），提取即可．
【解析】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）．
【點睛】本題考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，找到公因式是本題分解因式的關鍵．
3．（2022 蘇州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，則x2﹣y2＝　24　．
【答案】24．
【點撥】直接利用平方差公式將原式變形，代入得出答案．
【解析】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×6
＝24．
故答案為：24．
【點睛】此題主要考查了公式法因式分解，正確將原式變形是解題關鍵．
4．（2023 東營）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　3m（a﹣b）2　．
【答案】3m（a﹣b）2．
【點撥】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【解析】解：3ma2﹣6mab+3mb2
＝3m（a2﹣2ab+b2）
＝3m（a﹣b）2，
故答案為：3m（a﹣b）2．
【點睛】本題考查因式分解，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
5．（2023 河北）若k為任意整數，則（2k+3）2﹣4k2的值總能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【點撥】先根據完全平方公式進行計算，再合并同類項，分解因式后再逐個判斷即可．
【解析】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k為任意整數，
∴（2k+3）2﹣4k2的值總能被3整除，
故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此題的關鍵．
6．（2023 成都）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且m﹣n＞1，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，16＝52﹣32，16就是一個智慧優數，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）進行研究．若將智慧優數從小到大排列，則第3個智慧優數是 　15　；第23個智慧優數是 　57　．
【答案】15，57．
【點撥】根據新定義m2﹣n2，可以分別列出m2和n2的值，進而即可求解．
【解析】解：注意到m﹣n＞1，知m﹣n≥2，∴m≥n+2．當m＝n+2時，由 （n+2）2﹣n2＝4+4n產生的智慧優數為：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，……當m＝n+3時，由 （n+3）2﹣n2＝9+6n產生的智慧優數為：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，……當m＝n+4時，由（n+4）2﹣n2＝16+8n并產生的智慧優數為：24，32，40，48，56，64，72，80，……當m＝n+5時，由（n+5）2﹣n2＝25+10n產生的智慧優數為：35，45，55，65，75，85，……當m＝n+6時，由（n+6）2﹣n2＝36+12n產生的智慧優數為：48，60，72，84，……當m＝n+7時，由（n+7）2﹣n2＝49+14n．產生的智慧優數為：63，77，91，……當m＝n+8時，由（n+8）2﹣n2＝64+16n產生的智慧優數為：80，96，…………綜上，將上述產生的智慧優數從小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……故第3個智慧優數是15；第23個智慧優數是57．故答案為：15，57．
【點睛】本題考查新定義下智慧優數的計算和分類，根據規律計算求解，解題的關鍵是能有分類進行求解．
類型四 分式及其運算
1．（2023 廣西）若分式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
【答案】A
【點撥】根據分式有意義的條件解答即可．
【解析】解：∵分式有意義，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故選：A．
【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關鍵．
2．（2023 涼山州）分式的值為0，則x的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【答案】A
【點撥】根據分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列式計算．
【解析】解：∵分式的值為0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故選：A．
【點睛】本題考查的是分式的值為零的條件，熟記分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解題的關鍵．
3．（2023 蘭州）計算：＝（　　）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
【答案】D
【點撥】先把分式的分子因式分解，再約分即可．
【解析】解：
＝
＝a，
故選：D．
【點睛】本題考查的是分式的約分，約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．
4．（2023 天津）計算的結果等于（　　）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
【答案】C
【點撥】由于是異分母的分式的加減，所以先通分，化為同分母的分式，然后進行加減即可．
【解析】解：
＝
＝
＝
＝，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了分式的加減，計算時首先判斷分母是否相同，然后利用分式加減的法則計算即可．
5．（2023 赤峰）化簡+x﹣2的結果是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【點撥】利用分式的加法法則進行計算即可．
【解析】解：原式＝+
＝
＝，
故選：D．
【點睛】本題考查分式的加法運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
6．（2023 福建）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為 　1　．
【答案】1
【點撥】根據+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．
【解析】解：∵+＝1，
∴+＝＝1，
∴ab＝2a+b，
∴＝＝＝1．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了分式的加減法和分式的值，熟練掌握分式的運算法則是關鍵．
7．（2023 蘇州）先化簡，再求值： ﹣，其中a＝．
【答案】，﹣1．
【點撥】直接利用分式的混合運算法則化簡，再把已知數據代入得出答案．
【解析】解：原式＝ ﹣
＝﹣
＝
＝，
當a＝時，
原式＝
＝﹣1．
【點睛】此題主要考查了分式的化簡求值，正確化簡分式是解題關鍵．
8．（2023 張家界）先化簡（x﹣1﹣）÷，然后從﹣1，1，2這三個數中選一個合適的數代入求值．
【答案】x+1，將x＝1代入得2．
【點撥】先根據整式的運算法則進行運算，再化簡結果，注意代入的值不可令分母為0，求解即可．
【解析】解：（x﹣1﹣）÷
＝[]
＝
＝x+1，
∵x+1≠0，x2+2x+1≠0，x2﹣4≠0，
∴x≠﹣1，x≠±2，
將x＝1代入上式，得：原式＝1+1＝2．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式，注意分母不能為零．
類型五 二次根式及其運算
1．（2023 無錫）若二次根式有意義，則x的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】根據二次根式有意義的條件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．
【解析】解：由題意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．
2．（2023 泰州）計算等于（　　）
A．±2 B．2 C．4 D．
【答案】B
【點撥】直接利用二次根式的性質化簡得出答案．
【解析】解：＝2．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．
3．（2023 煙臺）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】先根據二次根式的性質化成最簡二次根式，再根據同類二次根式的定義得出答案即可．
【解析】解：A．＝2，和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
B．和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
C．＝2，和是同類二次根式，故本選項符合題意；
D．＝2，和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了同類二次根式的定義，能熟記同類二次根式的定義是解此題的關鍵，幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．
4．（2023 西寧）下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】直接利用二次根式的混合運算法則分別計算，進而判斷得出答案．
【解析】解：A．+無法合并，故此選項不合題意；
B．＝5，故此選項不合題意；
C．（3﹣）2＝11﹣6，故此選項符合題意；
D．6÷×＝9，故此選項不合題意．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
5．（2023 聊城）計算：（﹣3）÷＝　3　．
【答案】3．
【點撥】直接利用二次根式的性質化簡，再利用二次根式的混合運算法則計算得出答案．
【解析】解：原式＝（4﹣3×）÷
＝（4﹣）÷
＝3÷
＝3．
故答案為：3．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
6．（2023 天津）計算的結果為 　1　．
【答案】1．
【點撥】利用平方差公式進行計算，即可解答．
【解析】解：
＝（）2﹣（）2
＝7﹣6
＝1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．
7．（2023 金昌）計算：÷×2﹣6．
【答案】6．
【點撥】直接利用二次根式的乘除運算法則計算，進而得出答案．
【解析】解：原式＝3××2﹣6
＝12﹣6
＝6．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
8．（2021 西寧）計算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．
【答案】﹣8+2．
【點撥】利用平方差公式和完全平方公式計算．
【解析】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）
＝﹣4﹣4+2
＝﹣8+2．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質和乘法公式是解決問題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑