資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題3 規律探索問題
考點掃描☆聚焦中考
規律探索問題是中考數學中的常考問題，往往以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現，主要命題方式有數式規律、圖形變化規律、點的坐標規律等。規律探索問題指的是給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形，或是給出與圖形有關的操作、變化過程，要求通過觀察、思路點撥、推理，探究其中所蘊含的規律，進而歸納或猜想出一般性的結論。這類問題，因其獨特的規律性和探究性，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求，在近幾年全國各地的中考試題中，不僅頻頻出現規律探究題，而且“花樣百出”.
1.數式的變化規律問題
此類問題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發現規律．
（1）探尋數列規律：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，通常將數字與序號建立數量關系或者與前后數字進行簡單運算，從而得出通項公式．
（2）利用方程解決問題．當問題中有多個未知數時，可先設出其中一個為x，再利用它們之間的關系，設出其他未知數，然后列方程．
2.圖形的變化規律問題
圖形的變化類的規律題，首先應找出圖形哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．探尋規律要認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題．
3.點的坐標的變化規律問題
解決此類問題需要深刻理解平面直角坐標系和點坐標的意義；探索各個象限的點和坐標軸上的點其坐標符號規律；探索關于平面直角坐標系中有關對稱，平移等變化的點的坐標變化規律．
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 牡丹江）觀察下面兩行數：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行數的第7個數，計算這兩個數的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
【答案】C
【點撥】觀察第2行數可知第n個數為1+2+3+…+n，第一行數的第n個數為第2行第n個數的2倍減1，即可求出每行數的第7個數，從而得到答案．
【解析】解：觀察第2行數可知，第7個數為：1+2+3+4+5+6+7＝28，
第1行的第7個數為28×2﹣1＝55，
∵28+55＝83，
∴取每行數的第7個數，這兩個數的和是83；
故選：C．
【點睛】本題考查數字的變化類問題，解題的關鍵是觀察得到兩行數字的變化規律．
例2（2023 臨沂）觀察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述規律，　（n﹣1）（n+1）+1　＝n2．
【答案】（n﹣1）（n+1）+1．
【點撥】根據數字的變化規律，寫出第（n﹣1）個等式即可．
【解析】解：觀察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…；
按照上述規律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．
故答案為：（n﹣1）（n+1）+1．
【點睛】本題考查了數字的變化，根據數字的變化找出其規律是解本題的關鍵．
例3（2023 重慶）用長度相同的木棍按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，…，按此規律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數是（　　）
A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
【點撥】根據圖形可以寫出前幾個圖案需要的小木棒的數量，即可發現小木棒數量的變化規律，從而可以解答本題．
【解析】解：由圖可得，圖案①有：4+5＝9根小木棒，
圖案②有：4+5×2＝14根小木棒，
圖案③有：4+5×3＝19根小木棒，
…，
∴第n個圖案有：（4+5n）根小木棒，
∴第⑧個圖案有：4+5×8＝44根小木棒，
故選：B．
【點睛】本題考查圖形的變化類、列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
例4（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2023的坐標是 　（2023，）　．
【答案】（2023，）．
【點撥】根據正三角形的性質以及三角形的排列規律可得點A1橫坐標為1，點A2橫坐標為2，點A3橫坐標為3，點A4橫坐標為4，…因此點A2023橫坐標為2023，再根據這些正三角形的排列規律得出點A2023在第一象限，求出點A2023的縱坐標為，得出答案．
【解析】解：如圖，過點A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分別作x軸的垂線，
∵△A1A2O是邊長為2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，
∴點A1橫坐標為1，
由題意可得，點A2橫坐標為2，點A3橫坐標為3，點A4橫坐標為4，…
因此點A2023橫坐標為2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶數，
∴點A2023在第一象限，
∴點A2023的縱坐標為，
即點A2023（2023，），
故答案為：（2023，）．
【點睛】本題考查正三角形的性質以及點的坐標的規律性，掌握正三角形的性質和點的坐標的變化規律是解決問題的關鍵．
考點過關☆專項突破
類型一 數式的變化規律問題
1．（2022 牡丹江）觀察下列數據：，﹣，，﹣，，…，則第12個數是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】D
【點撥】根據給出的數據可以推算出第n個數是×（﹣1）n+1所以第12個數字把n＝12代入求值即可．
【解析】解：根據給出的數據特點可知第n個數是×（﹣1）n+1，
∴第12個數就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故選：D．
【點睛】考查了找規律以及代數式求值問題，關鍵要讀懂題意，能根據題意找到規律并利用規律解決問題．
2．（2023 德州）計算+的結果是（　　）
A．3m+n4 B．m3+4n C．3m+4n D．3m+4n
【答案】D
【點撥】根據乘法的意義和乘方的意義即可作出判斷．
【解析】解：∵m個3相加可記為3m，n個4相乘可記為4n，
∴計算+的結果是3m+4n，
故選：D．
【點睛】本題考查乘法的意義，乘方的意義，理解乘法和乘方的意義是解題的關鍵．
3．（2023 常德）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規律，分數若排在第a行b列，則a﹣b的值為（　　）
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【點撥】觀察數表得到a，b的值，即可求出答案．
【解析】解：觀察數表可得，同一行的分數，分子與分母的和不變，（m，n為正整數）在第（m+n﹣1）行，第n列，
∴在第2042行，第20列，
∴a＝2042，b＝20，
∴a﹣b＝2042﹣20＝2022，
故選：C．
【點睛】本題考查數字變化類規律問題，解題的關鍵是觀察數表得到a，b的值．
4．（2022 新疆）將全體正偶數排成一個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第10行第5個數是（　　）
A．98 B．100 C．102 D．104
【答案】B
【點撥】由三角形的數陣知，第n行有n個偶數，則得出前9行有45個偶數，且第45個偶數為90，得出第10行第5個數即可．
【解析】解：由三角形的數陣知，第n行有n個偶數，
則得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45個偶數，
∴第9行最后一個數為90，
∴第10行第5個數是90+2×5＝100，
故選：B．
【點睛】本題主要考查數字的變化規律，根據數字的變化得出第9行最后一個數字是解題的關鍵．
5．（2021 鎮江）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個式子（其中的n是正整數），每行的三個式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【答案】B
【點撥】把A1，A2，B1，B3的式子表示出來，再結合值等于789，可求相應的n的值，即可判斷．
【解析】解：由題意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
則n不是整數，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
則n不是整數，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
則n是整數，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
則n不是整數，故B3的值不可以等于789；
故選：B．
【點睛】本題主要考查規律型：數字變化類，解答的關鍵是理解清楚題意，得出相應的式子．
6．（2023 西藏）按一定規律排列的單項式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規律排列的第n個單項式為 　（3n+2）an　．（用含有n的代數式表示）
【答案】（3n+2）an．
【點撥】根據系數和字母的次數與單項式的序號關系寫出即可．
【解析】解：∵第n個單項式的系數可表示為：3n+2，字母a的指數可表示為：n，
∴第n個單項式為：（3n+2）an．
【點睛】本題考查數字變化類規律探究，掌握單項式的系數和次數并發現其變化規律是解題的關鍵．
7．（2023 岳陽）觀察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此規律，則第n（n為正整數）個等式是 　n2﹣n＝n（n﹣1）　．
【答案】n2﹣n＝n（n﹣1）．
【點撥】觀察等式左邊的特點，即第n個式子就是n的平方減去n；右邊的特點是n與（n﹣1）的積．
【解析】解：12﹣1＝1×0；
22﹣2＝2×1；
32﹣3＝3×2；
42﹣4＝4×3；
52﹣5＝5×4；
…；
依此規律，則第n（n為正整數）個等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）．
故答案為：n2﹣n＝n（n﹣1）．
【點睛】此題考查數字的變化規律，通過觀察，分析、歸納發現其中的規律是解本題的關鍵．
8．（2023 甘孜州）有一列數，記第n個數為an，已知a1＝2，當n＞1時，an＝，則a2023的值為 　2　．
【答案】2．
【點撥】分別計算出ai（i為正整數），根據所發現的規律即可解決問題．
【解析】解：由題知，
a1＝2，
，
，
，
…
由此可知，
．
所以a2023＝2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查實數計算中的規律，能根據計算出的ai（i為正整數）的值發現規律是解題的關鍵．
9．（2023 內蒙古）觀察下列各式：
S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+ …
請利用你所發現的規律，計算：S1+S2+…+S50＝　50　．
【答案】50．
【點撥】由題干中的式子總結規律，然后利用裂項法進行計算即可．
【解析】解：S1+S2+…+S50
＝1++1++1++...+1+
＝（1+1+1+...+1）+（+++...+）
＝1×50+（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）
＝50+（1﹣）
＝50+
＝50，
故答案為：50．
【點睛】本題考查數式規律問題及有理數的運算，總結規律列出正確的式子并利用裂項法進行簡便運算是解題的關鍵．
10．（2023 聊城）如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果單獨把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律．請寫出第n個數對：　（n2+n+1，n2+2n+2）　．
【答案】（n2+n+1，n2+2n+2）．
【點撥】根據題意把每一個數對中的第一個數字和第二個數字按順序排列起來，可發現第n個數對的第一個數為n（n+1）+1，“第n個數對的第二個數為（n+1）2+1，于是得到結論．
【解析】解：每個數對的第一個數分別為3，7，13，21，31，．．．，
即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，
則第n個數對的第一個數為n2+n+1，
每個數對的第二個數分別為5，10，17，26，37，..．，
即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，
則第n個數對的第二個數為（n+1）2+1＝n2+2n+2，
∴第n個數對為（n2+n+1，n2+2n+2）．
故答案為：（n2+n+1，n2+2n+2）．
【點睛】本題考查了數字的變化規律，找出數字的排列規律，利用拐彎處數字的差的規律求得結果是解題的關鍵．
11．（2023 浙江）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）寫出192﹣172的結果；
（2）按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）；
（3）請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．
【答案】（1）72；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）見解答．
【點撥】（1）根據題目中的例子，可以寫出192﹣172的結果；
（2）根據題目中給出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）將（2）中等號左邊的式子利用平方差公式計算即可．
【解析】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由題意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正確．
【點睛】本題考查數字的變化類、有理數的混合運算、列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，發現式子的變化特點．
類型二 圖形的變化規律問題
1．（2023 重慶）用圓圈按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數為（　　）
A．14 B．20 C．23 D．26
【答案】B
【點撥】根據前4個圖中的個數找到規律，再求解．
【解析】解：第①個圖案中有2個圓圈，
第②個圖案中有2+3×1＝5個圓圈，
第③個圖案中有2+3×2＝8個圓圈，
第④個圖案中有2+3×3＝11個圓圈，
...，
則第⑦個圖案中圓圈的個數為：2+3×6＝20，
故選：B．
【點睛】本題考查了規律型﹣圖形的變化類，找到變換規律是解題的關鍵．
2．（2022 廣州）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個圖形需要2022根小木棒，則n的值為（　　）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【點撥】根據圖形特征，第1個圖形需要6根小木棒，第2個圖形需要6×2+2＝14根小木棒，第3個圖形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此規律，得出第n個圖形需要的小木棒根數即可．
【解析】解：由題意知，第1個圖形需要6根小木棒，
第2個圖形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3個圖形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此規律，第n個圖形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
當8n﹣2＝2022時，
解得n＝253，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了圖形的變化規律，解決問題的關鍵是由特殊找到規律：第n個圖形需要（8n﹣2）根小木棒是解題的關鍵．
3．（2022 玉林）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點A處．兩枚跳棋跳動規則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．0
【答案】B
【點撥】分別計算紅跳棋和黑跳棋過2022秒鐘后的位置，紅跳棋跳回到A點，黑跳棋跳到F點，可得結論．
【解析】解：∵紅跳棋從A點按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，
∴紅跳棋每過6秒返回到A點，
2022÷6＝337，
∴經過2022秒鐘后，紅跳棋跳回到A點，
∵黑跳棋從A點按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，
∴黑跳棋每過18秒返回到A點，
2022÷18＝112 6，
∴經過2022秒鐘后，黑跳棋跳到E點，
連接AE，過點F作FM⊥AE，
由題意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴經過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是2．
故選：B．
【點睛】本題考查了正六邊形和兩動點運動問題，根據方向和速度確定經過2022秒鐘后兩枚跳棋的位置是解本題的關鍵．
4．（2022 荊州）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2；…如此反復操作下去，則第n次操作后，得到四邊形AnBn nDn的面積是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】連接A1C1，D1B1，可知四邊形A1B1C1D1的面積為矩形ABCD面積的一半，則S1＝ab，再根據三角形中位線定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，則S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得規律．
【解析】解：如圖，連接A1C1，D1B1，
∵順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1，
∴四邊形A1BCC1是矩形，
∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，
同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，
∴A1C1⊥B1D1，
∴S1＝ab，
∵順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2，
∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，
∴S2＝C1×B1D1＝ab，
……
依此可得Sn＝，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，三角形中位線定理等知識，通過計算S1、S2發現規律是解決問題的關鍵．
5．（2023 綏化）在求1+2+3+…+100的值時，發現：1+100＝101，2+99＝101…，從而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作a1＝1；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作a2＝5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作a3＝9；按此方法繼續下去，則a1+a2+a3+…+an＝　2n2﹣n　.（結果用含n的代數式表示）
【答案】2n2﹣n．
【點撥】根據題意可求得an＝4n﹣3，從而可求解．
【解析】解：∵圖（1）有1個三角形，記作a1＝1；
圖（2）有5個三角形，記作a2＝5＝1+4＝1+4×1；
圖（3）有9個三角形，記作a3＝9＝1+4+4＝1+4×2；
…，
∴圖（n）中三角形的個數為：an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，
∴a1+a2+a3+…+an
＝1+5+9+…+（4n﹣3）
＝
＝2n2﹣n．
故答案為：2n2﹣n．
【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，解答的關鍵是由所給的圖形總結出an＝4n﹣3．
6．（2022 德陽）古希臘的畢達哥拉斯學派對整數進行了深入的研究，尤其注意形與數的關系，“多邊形數”也稱為“形數”，就是形與數的結合物．用點排成的圖形如下：
其中：圖①的點數叫做三角形數，從上至下第一個三角形數是1，第二個三角形數是1+2＝3，第三個三角形數是1+2+3＝6，……
圖②的點數叫做正方形數，從上至下第一個正方形數是1，第二個正方形數是1+3＝4，第三個正方形數是1+3+5＝9，……
……
由此類推，圖④中第五個正六邊形數是 　45　．
【答案】45．
【點撥】根據前三個圖形的變化尋找規律，即可解決問題．
【解析】解：圖①的點數叫做三角形數，從上至下第一個三角形數是1，第二個三角形數是1+2＝3，第三個三角形數是1+2+3＝6，……
圖②的點數叫做正方形數，從上至下第一個正方形數是1，第二個正方形數是1+3＝4，第三個正方形數是1+3+5＝9，……
圖③的點數叫做五邊形數，從上至下第一個五邊形數是1，第二個五邊形數是1+4＝5，第三個五邊形數是1+4+7＝12，……
由此類推，圖④中第五個正六邊形數是1+5+9+13+17＝45．
故答案為：45．
【點睛】本題考查了規律型：圖形的變化類，數學常識，解題的關鍵是找出變化規律．
7．（2022 遂寧）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數為 　127　．
【答案】127．
【點撥】由已知圖形觀察規律，即可得到第六代勾股樹中正方形的個數．
【解析】解：∵第一代勾股樹中正方形有1+2＝3（個），
第二代勾股樹中正方形有1+2+22＝7（個），
第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23＝15（個），
.....．
∴第六代勾股樹中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（個），
故答案為：127．
【點睛】本題考查圖形中的規律問題，解題的關鍵是仔細觀察圖形，得到圖形變化的規律．
8．（2023 安徽）【觀察思考】
【規律發現】
請用含n的式子填空：
（1）第n個圖案中“◎”的個數為 　3n　；
（2）第1個圖案中“★”的個數可表示為，第2個圖案中“★”的個數可表示為，第3個圖案中“★”的個數可表示為，第4個圖案中“★”的個數可表示為，……，第n個圖案中“★”的個數可表示為 　　．
【規律應用】
（3）結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數n，使得連續的正整數之和1+2+3+……+n等于第n個圖案中“◎”的個數的2倍．
【答案】見解析
【點撥】（1）不難看出，第1個圖案中“◎”的個數為：3＝1+2，第2個圖案中“◎”的個數為：6＝1+2+2+1，第3個圖案中“◎”的個數為：9＝1+2+2+3+1，…，從而可求第n個圖案中“◎”的個數；
（2）根據所給的規律進行總結即可；
（3）結合（1）（2）列出相應的式子求解即可．
【解析】解：（1）∵第1個圖案中“◎”的個數為：3＝1+2，
第2個圖案中“◎”的個數為：6＝1+2+2+1，
第3個圖案中“◎”的個數為：9＝1+2+2+3+1，
…，
∴第n個圖案中“◎”的個數：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，
故答案為：3n；
（2）由題意得：第n個圖案中“★”的個數可表示為：；
故答案為：；
（3）由題意得：＝2×3n，
解得：n＝11或n＝0（不符合題意）．
【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，解答的關鍵是由所給的圖形總結出存在的規律．
類型三 點的坐標的變化規律問題
1．（2023 鄒城市校級模擬）如圖所示，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1，O2，O3，…，組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，則第2023秒時，點P的坐標是（　　）
A．（2023，﹣1） B．（2023，0） C．（2023，2） D．（2023，1）
【答案】A
【點撥】兩個半圓為一個周期循環出現，奇數在x軸上方，偶數在x軸下方．
【解析】解：2023×÷π＝＝1011.5，
1011×2＝2022，
2022+1＝2023，
故選：A．
【點睛】本題考查了點的坐標，找到周期的規律是解題的關鍵．
2．（2023 日照）數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算1+2+3+4+ +100時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到1+2+3+4+ +100＝．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整數）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整數．記an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0， ，以此類推．則下列結論正確的是（　　）
A．a2023＝40 B．a2024＝43 C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4
【答案】B
【點撥】利用圖形尋找規律A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），再利用規律解題即可．
【解析】解：第1圈有1個點，即A1（0，0），這時a1＝0；
第2圈有8個點，即A2到A9（1，1），這時a9＝1+1＝2；
第3圈有16個點，即A10到A25（2，2），這時a25＝2+2＝4；
……，
依次類推，第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1）；
由規律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），則A2023（20，22），即a2023＝20+22＝42，故A選項不正確；
A2024是在第23圈上，且A2024（21，22），即a2024＝21+22＝43，故選項B正確；
第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），所以a（2n﹣1）2＝2n﹣2，故C，D選項不正確；
故選：B．
【點睛】本題考查了圖形與規律，利用所給的圖形找到規律是解題的關鍵．
3．（2022 河南）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（　　）
A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）
【答案】B
【點撥】由正六邊形的性質可得A（1，），再根據由360°÷90°＝4可知，每4次為一個循環，由2022÷4＝505……2，可知點A2022與點A2重合，求出點A2的坐標可得答案．
【解析】解：∵邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，
∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，
∵AB∥x軸，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP＝，
∴A（1，），
∵將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，可知點A2與D重合，
由360°÷90°＝4可知，每4次為一個循環，
∵2022÷4＝505……2，
∴點A2022與點A2重合，
∵點A2與點A關于原點O對稱，
∴A2（﹣1，﹣），
∴第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（﹣1，﹣），
故選：B．
【點睛】本題主要考查了正六邊形的性質，旋轉的性質，含30°角的直角三角形的性質等知識，根據旋轉的性質確定每4次為一個循環是解題的關鍵．
4．（2023 福山區一模）在生活中有許多圖案都與1，1，2，3，5，8，13，…這組數有關為了進一步研究，在平面直角坐標系中，依次以這組數為半徑作90°的圓弧，，，…，得到一組螺旋線，連接P1P2，P2P3，P3P4，…，得一組螺旋折線，如圖所示．已知各點坐標分別為P1（﹣1，0），P2（0，1），P3（1，0），則點P7的坐標為（　　）
A．（6，1） B．（8，﹣1） C．（9，﹣2） D．（10，﹣3）
【答案】C
【點撥】觀察圖象，找出每個點的運動軌跡與斐波那契數結合推出P7的位置，即可解決問題．
【解析】解：觀察發現：P1（﹣1，0）先向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到P2（0，1）；
P2（0，1）先向右平移1個單位，再向下平移1個單位得到P3（1，0）；
P3（1，0）先向左平移2個單位，再向下平移2個單位得到P4（﹣1，﹣2）；
P4（﹣1，﹣2）先向左平移3個單位，再向上平移3個單位得到P5（﹣4，1）；
P5（﹣4，1）先向右平移5個單位，再向上平移5個單位得到P6（1，6）．
根據斐波那契數，P6（1，6）應先向右平移8個單位，再向下平移8個單位得到P7（9，﹣2）．
故選：C．
【點睛】本題考查在平面直角坐標系中的點的坐標規律．考查了學生數形結合的能力，解題的關鍵是找出每個點的坐標及運動規律，推出答案即可．在做題時一定要理解題意
5．（2023 惠東縣二模）如圖，點O（0，0），A（0，1）是正方形的兩個頂點，以對角線為邊作正方形，再以正方形的對角線作正方形，…，依此規律，則點A8的坐標是 　（0，16）　．
【答案】（0，16）．
【點撥】根據題意和圖形可看出每經過一次變化，都順時針旋轉45°，邊長都乘以，所以可求出從A到A3的后變化的坐標，再求出A1、A2、A3、A4、A5，得出A8即可．
【解析】解：由圖知，點A（0，1），根據題意和圖形可看出每經過一次變化，都順時針旋轉45°，邊長都乘以，∵從A到A3經過了3次變化，
∵45°×3＝135°，1×（）3＝2．∴點A1（1，1），A2（2，0），∴點A3所在的正方形的對角線長為2，點A3位置在第四象限．
∴點A3的坐標是（2，﹣2）；
可得出：A1點坐標為（1，1），
A2點坐標為（2，0），
A3點坐標為（2，﹣2），
A4點坐標為（0，﹣4），A5點坐標為（﹣4，﹣4），
A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16）．
故答案為：（0，16）．
【點睛】本題主要考查正方形的性質和坐標與圖形的性質的知識點，解答本題的關鍵是由點坐標的規律發現每經過8次作圖后，點的坐標符號與第一次坐標符號相同，每次正方形的邊長變為原來的倍，此題難度較大．
6．（2021 濰坊）在直角坐標系中，點A1從原點出發，沿如圖所示的方向運動，到達位置的坐標依次為：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到達終點An（506，﹣505），則n的值為 　2022　．
【答案】2022．
【點撥】先根據終點An（506，﹣505）在平面直角坐標系中的第四象限，所以觀察圖中第四象限點的特征，A6（2，﹣1），A10（3，﹣2），A14（4，﹣3） ，A的右下標從6開始，依次加4，再看下標n與橫坐標的關系：n＝2+4×（506﹣1），從而得結論．
【解析】解：∵到達終點An（506，﹣505），且此點在第四象限，
根據題意和到達位置的坐標可知：A6（2，﹣1），A10（3，﹣2），A14（4，﹣3） ，
∵6＝2+4×（2﹣1），
10＝2+4×（3﹣1），
14＝2+4×（4﹣1），

n＝2+4×（506﹣1）＝2022．
故答案為：2022．
【點睛】本題主要考查學生找規律能力和數形結合的能力，解題的思路：結合圖形找出坐標所在象限，從移動規律中發現其縱坐標和橫坐標與點A的右下標之間的關系．
7．（2022 南京）如圖，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點按如下規律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），…，按這個規律，則（6，7）是第 　99　個點．
【答案】99．
【點撥】先根據點的坐標，找出規律，再計算求解．
【解析】解：橫縱坐標和是0的有1個點，
橫縱坐標和是1的有2個點，
橫縱坐標和是2的有3個點，
橫縱坐標和是3的有4個點，
……，
橫縱坐標和是n的有（n+1）個點，
∴6+7＝13，
∵1+2+……+12+13＝×13×（13+1）＝91，
∴橫縱坐標和是13的有14點，分別為：（13，0）、（12，1）、（11，2）、（10，3）、（9，4）、（8，5）、（7，6）、（6，7）、（5，8）、（4，9）、（3，10）、（2，11）、（1，12）、（0，13）、
∴（6，7）是第91+8＝99個點，
故答案為：99．
【點睛】本題考查了點的坐標，找到坐標的排列規律是解題的關鍵．
8．（2022 黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4…在x軸上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此規律，過點A1，A2，A3，A4…作x軸的垂線分別與直線y＝x交于點B1，B2，B3，B4…記△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面積分別為S1，S2，S3，S4…則S2022＝　24041　．
【答案】24041．
【點撥】根據已知先求出OA2，OA3，OA4的長，再代入直線y＝x中，分別求出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，然后分別計算出S1，S2，S3，S4，再從數字上找規律進行計算即可解答．
【解析】解：∵OA1＝1，OA2＝2OA1，
∴OA2＝2，
∵OA3＝2OA2，
∴OA3＝4，
∵OA4＝2OA3，
∴OA4＝8，
把x＝1代入直線y＝x中可得：y＝，
∴A1B1＝，
把x＝2代入直線y＝x中可得：y＝2，
∴A2B2＝2，
把x＝4代入直線y＝x中可得：y＝4，
∴A3B3＝4，
把x＝8代入直線y＝x中可得：y＝8，
∴A4B4＝8，
∴S1＝OA1 A1B1＝×1×＝×20×（20×），
S2＝OA2 A2B2＝×2×2＝×21×（21×），
S3＝OA3 A3B3＝×4×4＝×22×（22×），
S4＝OA4 A4B4＝×8×8＝×23×（23×），
..．
∴S2022＝×22021×（22021×）＝24041，
故答案為：24041．
【點睛】本題考查了規律型：點的坐標，含30度角的直角三角形，根據已知分別求出S1，S2，S3，S4的值，然后從數字上找規律是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題3 規律探索問題
考點掃描☆聚焦中考
規律探索問題是中考數學中的常考問題，往往以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現，主要命題方式有數式規律、圖形變化規律、點的坐標規律等。規律探索問題指的是給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形，或是給出與圖形有關的操作、變化過程，要求通過觀察、思路點撥、推理，探究其中所蘊含的規律，進而歸納或猜想出一般性的結論。這類問題，因其獨特的規律性和探究性，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求，在近幾年全國各地的中考試題中，不僅頻頻出現規律探究題，而且“花樣百出”.
1.數式的變化規律問題
此類問題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發現規律．
（1）探尋數列規律：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，通常將數字與序號建立數量關系或者與前后數字進行簡單運算，從而得出通項公式．
（2）利用方程解決問題．當問題中有多個未知數時，可先設出其中一個為x，再利用它們之間的關系，設出其他未知數，然后列方程．
2.圖形的變化規律問題
圖形的變化類的規律題，首先應找出圖形哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．探尋規律要認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題．
3.點的坐標的變化規律問題
解決此類問題需要深刻理解平面直角坐標系和點坐標的意義；探索各個象限的點和坐標軸上的點其坐標符號規律；探索關于平面直角坐標系中有關對稱，平移等變化的點的坐標變化規律．
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 牡丹江）觀察下面兩行數：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行數的第7個數，計算這兩個數的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
例2（2023 臨沂）觀察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述規律，　 　＝n2．
例3（2023 重慶）用長度相同的木棍按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，…，按此規律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數是（　　）
A．39 B．44 C．49 D．54
例4（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2023的坐標是 　 　．
考點過關☆專項突破
類型一 數式的變化規律問題
1．（2022 牡丹江）觀察下列數據：，﹣，，﹣，，…，則第12個數是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（2023 德州）計算+的結果是（　　）
A．3m+n4 B．m3+4n C．3m+4n D．3m+4n
3．（2023 常德）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規律，分數若排在第a行b列，則a﹣b的值為（　　）
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
4．（2022 新疆）將全體正偶數排成一個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第10行第5個數是（　　）
A．98 B．100 C．102 D．104
5．（2021 鎮江）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個式子（其中的n是正整數），每行的三個式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
6．（2023 西藏）按一定規律排列的單項式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規律排列的第n個單項式為 　 　．（用含有n的代數式表示）
7．（2023 岳陽）觀察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此規律，則第n（n為正整數）個等式是 　．
8．（2023 甘孜州）有一列數，記第n個數為an，已知a1＝2，當n＞1時，an＝，則a2023的值為 　 　．
9．（2023 內蒙古）觀察下列各式：
S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+ …
請利用你所發現的規律，計算：S1+S2+…+S50＝　 　．
10．（2023 聊城）如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果單獨把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律．請寫出第n個數對：　 　．
11．（2023 浙江）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）寫出192﹣172的結果；
（2）按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）；
（3）請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．
類型二 圖形的變化規律問題
1．（2023 重慶）用圓圈按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數為（　　）
A．14 B．20 C．23 D．26
2．（2022 廣州）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個圖形需要2022根小木棒，則n的值為（　　）
A．252 B．253 C．336 D．337
3．（2022 玉林）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點A處．兩枚跳棋跳動規則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．0
4．（2022 荊州）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2；…如此反復操作下去，則第n次操作后，得到四邊形AnBn nDn的面積是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 綏化）在求1+2+3+…+100的值時，發現：1+100＝101，2+99＝101…，從而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作a1＝1；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作a2＝5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作a3＝9；按此方法繼續下去，則a1+a2+a3+…+an＝　 　.（結果用含n的代數式表示）
6．（2022 德陽）古希臘的畢達哥拉斯學派對整數進行了深入的研究，尤其注意形與數的關系，“多邊形數”也稱為“形數”，就是形與數的結合物．用點排成的圖形如下：
其中：圖①的點數叫做三角形數，從上至下第一個三角形數是1，第二個三角形數是1+2＝3，第三個三角形數是1+2+3＝6，……
圖②的點數叫做正方形數，從上至下第一個正方形數是1，第二個正方形數是1+3＝4，第三個正方形數是1+3+5＝9，……
……
由此類推，圖④中第五個正六邊形數是 　 　．
7．（2022 遂寧）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數為 　 　．
8．（2023 安徽）【觀察思考】
【規律發現】
請用含n的式子填空：
（1）第n個圖案中“◎”的個數為 　3n　；
（2）第1個圖案中“★”的個數可表示為，第2個圖案中“★”的個數可表示為，第3個圖案中“★”的個數可表示為，第4個圖案中“★”的個數可表示為，……，第n個圖案中“★”的個數可表示為 　　．
【規律應用】
（3）結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數n，使得連續的正整數之和1+2+3+……+n等于第n個圖案中“◎”的個數的2倍．
類型三 點的坐標的變化規律問題
1．（2023 鄒城市校級模擬）如圖所示，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1，O2，O3，…，組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，則第2023秒時，點P的坐標是（　　）
A．（2023，﹣1） B．（2023，0） C．（2023，2） D．（2023，1）
2．（2023 日照）數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算1+2+3+4+ +100時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到1+2+3+4+ +100＝．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整數）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整數．記an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0， ，以此類推．則下列結論正確的是（　　）
A．a2023＝40 B．a2024＝43 C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4
3．（2022 河南）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（　　）
A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）
4．（2023 福山區一模）在生活中有許多圖案都與1，1，2，3，5，8，13，…這組數有關為了進一步研究，在平面直角坐標系中，依次以這組數為半徑作90°的圓弧，，，…，得到一組螺旋線，連接P1P2，P2P3，P3P4，…，得一組螺旋折線，如圖所示．已知各點坐標分別為P1（﹣1，0），P2（0，1），P3（1，0），則點P7的坐標為（　　）
A．（6，1） B．（8，﹣1） C．（9，﹣2） D．（10，﹣3）
5．（2023 惠東縣二模）如圖，點O（0，0），A（0，1）是正方形的兩個頂點，以對角線為邊作正方形，再以正方形的對角線作正方形，…，依此規律，則點A8的坐標是 　 　．
6．（2021 濰坊）在直角坐標系中，點A1從原點出發，沿如圖所示的方向運動，到達位置的坐標依次為：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到達終點An（506，﹣505），則n的值為 　 　．
7．（2022 南京）如圖，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點按如下規律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），…，按這個規律，則（6，7）是第 　　個點．
8．（2022 黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4…在x軸上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此規律，過點A1，A2，A3，A4…作x軸的垂線分別與直線y＝x交于點B1，B2，B3，B4…記△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面積分別為S1，S2，S3，S4…則S2022＝　 　．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑