資源簡介

第二單元 長方體（一）
一、長方體的認識
1、在長方體或正方體中，圍成長方體或正方體的平面圖形叫做長方體或正方體的面；面和面相交的邊叫做長方體或正方體的棱；三條棱又交于一點，這個點叫做頂點。
2、長方體和正方體的特點
共同點：都有6個面，12條棱，8個頂點。
不同點：長方體的6個面都是長方形（也可能有2個相對的面是正方形），正方體的6個面都是正方形；長方體相對的面形狀相同、面積相等，正方體的6個面都相同；長方體中每一組互相平行的4條棱長度相等，正方體的12條棱長度都相等。
二、展開圖
1、長方體的展開圖
正方體的展開圖:
三、長方體的表面積
1、長方體的表面積
（1）長方體的表面積的意義:長方體6個面的面積之和叫作它的表面積。
（2）長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2
或長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2
2、正方體的表面積
（1）正方體的表面積的意義:正方體6個面的面積之和叫作它的表面積。
（2）正方體的表面積=棱長×棱長×6
四、露在外面的面
在數露在外面的面的方法：逐一觀察每一個小正方體，把它們露出來的面的數量分別數出來，然后相加。
1、n個小正方體平放一排的規律：
露在外面的面的個數=3n+2
2、n個小正方體豎放一排的規律：
露在外面的面的個數=4n+1
3、計算堆放在墻角的正方體露在外面的面積的方法：先數露在外面的面的總個數，再用1個面的面積乘露在外面的面的總個數。
一、選擇題
1．下面各包裝方式中，最省包裝紙的是（ ）。
A． B． C．
2．下圖是擺放在桌子上的3個正方體，有（ ）個面露在外面。
A．16 B．14 C．12
3．用玻璃做一個無蓋的棱長為4分米的正方體魚缸，至少需要玻璃（ ）平方分米。
A．96 B．80 C．64 D．100
4．下圖是一根長方體木料，把它截成長為3m的長方體，表面積增加了（ ）m2。
A．0.8 B．1.6 C．2.4 D．4.8
5．有三種長度為15cm、10cm、8cm的小棒各若干根，下面（ ）種搭法無法搭出長方體或正方體。
A．三種各4根 B．12根15cm
C．8根10cm和4根8cm D．10cm和8cm各6根
6．至少用（ ）個大小、形狀相同的正方體可以拼成一個較大的正方體。
A．2 B．4 C．8 D．9
7．一個長方體的茶葉盒，長10厘米，寬8厘米，高12厘米。如果圍著它貼一圈商標紙（上、下面不貼），這張商標紙的面積至少有（ ）平方厘米。
A．120 B．432 C．592 D．960
8．2022年2月4日晚，舉世矚目的北京第二十四屆冬季奧林匹克運動會開幕式在國家體育場隆重舉行。龍龍買了一個本屆冬奧會吉祥物“冰墩墩”玩具，準備寄給好友崗崗，需要用到一個長30厘米、寬20厘米、高15厘米的長方體木框架進行打包，龍龍至少要準備（ ）分米長的木條。
A．13 B．26 C．135 D．260
二、填空題
9．如圖是一個正方體展開圖，其中與2號面相對的是( )號。
10．一個正方體無蓋紙盒，棱長為8厘米，制作這個紙盒至少需要( )平方厘米紙板。
11．將幾個棱長為5分米的正方體紙箱擺放在墻角處（如圖），露在外面的面面積是( )分米2，在此基礎上要把它堆成一個大正方體，至少還要( )個這樣的正方體紙箱。

12．將3個棱長2分米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積比原來3個正方體的表面積之和( )（填“增加”或“減少”）( )平方分米。
13．一個上下兩層的長方體儲物柜，每層高0.3米，后來往上又加了一層，這時儲物柜的形狀是正方體，這個儲物柜現在占地( )平方米。
14．下圖中，A面的面積是40cm2。那么：
(1)B面的面積是( )cm2。
(2)要做這個長方體框架，至少需要( )cm的鐵絲。
15．如圖，把一個棱長15厘米的正方體分成3個相同長方體，表面積增加了( )平方厘米，每個小長方體的表面積是( )平方厘米。
16．把四個相同的正方體拼成一個長方體，長方體表面積比四個正方體的表面積之和減少150平方厘米，拼成的長方體表面積是( )或是( )。
三、判斷題
17．一個長方體的棱長之和是36厘米，它的一組長、寬、高之和是12厘米。( )
18．下圖是一個正方體的平面展開圖，與漢字“渭”相對面上的的漢字是“河”。( )
19．一個長方體的無蓋水桶，長4分米，寬3分米，高5分米，做這個水桶至少需要94平方分米的鐵皮。( )
20．如圖，從正方體的上面挖去一個小正方體之后，表面積會減少。( )
四、計算題
21．計算下圖的表面積。（單位：厘米）
五、作圖題
22．笑笑準備制作一個封閉的正方體盒子，她先用5個大小一樣的正方形制成如下圖所示的拼接圖形，經過折疊后發現還少一個面，請你在下圖中的拼接圖形上再接一個正方形，使新拼接成的圖形經過折疊后能成為一個正方體盒子。

六、解答題
23．淘氣用一張長40厘米、寬25厘米的長方形紙板做了一個無蓋的長方體紙盒。（紙盒的展開圖如圖所示）
（1）這個紙盒的長是（ ）厘米，寬是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
（2）把這個紙盒放在地上，最多占地多少平方厘米？
24．如圖是王叔叔用木條做成的長方體框架。
（1）制作這個長方體框架至少需要多少厘米木條？
（2）張叔叔用同樣長的木條制作一個正方體框架，正方體框架的棱長是多少厘米？
25．一根繩子長6米，現要捆扎一種禮盒（如下圖）。如果結頭處要用掉繩子25厘米，這根繩子最多可以捆扎幾個這樣的禮盒？（單位：厘米）
26．六一兒童節，媽媽給冬冬買了一套故事書，有上中下三冊（每冊書的大小如下圖），如果用彩色的包裝紙包裝起來，至少需要多大面積的包裝紙？

27．如圖，“水立方”是2008年北京奧運會標志性建筑物之一，它的長約200米、寬約200米、高約30米。如果要清洗它的頂部和外墻面的貼膜（包含門窗面積），每平方米清洗費用為5元，一共需要清洗費多少元？
28．如圖有2盒糖果，如果要將這2盒糖果包裝在一起，怎樣包才能節約包裝紙？至少需要多大面積的包裝紙？（接口處不計）
29．大小不同的兩個正方體積木粘在一起，構成下圖所示的立體圖形，其中小積木的下底面的四個頂點，恰好是大積木的上底面各邊的中點。如果大積木的棱長為4分米，那么這個立體圖形的表面積是多少平方分米？
參考答案
1．B
【分析】
包裝三個一樣的長方體物品，會減少4個重合的長方形面積；讓長方體中面積最大的面重合，會使拼成的長方體表面積最小，這樣最省包裝紙。
從圖中可知，長方體的上下面的面積＞前后面的面積＞左右面的面積，所以讓每個長方體的上下面重合，這種包裝方式最少包裝紙。可舉例計算說明。
【詳解】設每個長方體的長是5cm，寬是4cm，高是2cm。
A．表面積減少了：5×2×4＝40（cm2）
B．表面積減少了：5×4×4＝80（cm2）
C．表面積減少了：4×2×4＝32（cm2）
80＞40＞32
最省包裝紙的包裝方式是。
故答案為：B
2．C
【分析】
前面、后面、左面、右面和上面露在外面，其中前面和后面看到的形狀一樣，左面和右面看到的形狀一樣，觀察可知，前面看有3個小正方形，右面看有2個小正方形，上面看有2個小正方形，前面看到的個數×2＋右面看到的個數×2＋上面看到的個數＝露在外面的個數，據此分析。
【詳解】3×2＋2×2＋2
＝6＋4＋2
＝12（個）
有12個面露在外面。
故答案為：C
3．B
【分析】
正方體的6個面都是正方形且面積相等，同時因為題目中該正方體魚缸是無蓋的，也就是少了向上的一個正方形面，所以只剩下5個正方形的面，用5乘正方形的面積即可。
【詳解】由分析可得：
4×4×5
＝16×5
＝80（平方分米）
綜上所述：用玻璃做一個無蓋的棱長為4分米的正方體魚缸，至少需要玻璃80平方分米。
故答案為：B
4．B
【分析】一根長方體木料，把它截成長為3m的長方體，即截成6÷3＝2（段），需要截2－1＝1（次），表面積增加兩個橫截面的面積；據此解答。
【詳解】6÷3＝2（段）
一根長方體木料，把它截成2段，需要截：2－1＝1（次）
表面積增加了：
0.8×1×2
＝0.8×2
＝1.6（m2）
表面積增加了1.6m2。
故答案為：B
【分析】解答此題的關鍵是要弄清楚：一根長方體木料，把它截成2段，需要截1次，表面積增加了2個橫截面的面積。
5．D
【分析】長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱；正方體有12條棱，每條棱長度都相等，根據長方體、正方體的特征作答即可。
【詳解】A．根據長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等。按長度可分為三組，每一組有4條棱，可以用15cm、10cm、8cm長的小棒各4根，搭出一個長、寬、高分別是15cm、10cm、8cm的長方體；
B．根據正方體的特征，可以用12根15cm長的小棒搭出一個棱長是15cm的正方體；
C．根據長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等。按長度可分為三組，每一組有4條棱，可以用10cm長的小棒8根，8cm長的小棒4根，搭出一個長、寬、高分別是10cm、10cm、8cm的長方體；
D．根據長方體、正方體的特征，10cm和8cm各6根無法搭出長方體或正方體。
故答案為：D
【分析】此題主要考查了長方體、正方體的特征和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確長方體、正方體的特征。
6．C
【分析】根據正方體的特征即可知道至少用8個相同的正方體才能拼成一個較大的正方體。
【詳解】如右圖：
至少用8個相同的正方體才能拼成一個較大的正方體。
故答案為：C
【分析】本題考查了正方體的認識，8個相同的較小的正方體才能拼成一個較大的正方體。
7．B
【分析】已知這個長方體的長寬高，且要求只圍著側面貼一圈商標紙，這就意味著只求長方體的前后兩面、左右兩面的面積之和即可。
【詳解】（10×12＋8×12）×2
＝（120＋96）×2
＝216×2
＝432（平方厘米）
這張商標紙的面積至少有432平方厘米。
故答案為：B
【分析】明確所求部分面積屬于長方體的哪幾個面，從而確定所運用的相關元素，這是解題關鍵。
8．B
【分析】求龍龍至少要準備的木條的長度，就是求這個長方體木架的棱長總和，根據長方體棱長總和公式：棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，代入數據，即可解答。
【詳解】（30＋20＋15）×4
＝（50＋15）×4
＝65×4
＝260（厘米）
260厘米＝26分米
2022年2月4日晚，舉世矚目的北京第二十四屆冬季奧林匹克運動會開幕式在國家體育場隆重舉行。龍龍買了一個本屆冬奧會吉祥物“冰墩墩”玩具，準備寄給好友崗崗，需要用到一個長30厘米、寬20厘米、高15厘米的長方體木框架進行打包，龍龍至少要準備26分米長的木條。
故答案為：B
【分析】熟練掌握長方體棱長總和公式的應用，注意單位名數的換算。
9．4
【分析】
1－4－1型正方體展開圖，將4號看作底面（即下面），2號是上面，則3號和5號是左右兩個面，1號和6號是前后兩個面，據此分析。
【詳解】根據分析，上面和下面相對，左面和右面相對，前面和后面相對，與2號面相對的是4號。
10．320
【分析】
根據題意，制作一個棱長為8厘米的無蓋正方體紙盒，那么這個正方體只有5個面；根據“棱長×棱長×5”即可求出制作這個紙盒至少需要紙板的面積。
【詳解】8×8×5
＝64×5
＝320（平方厘米）
制作這個紙盒至少需要320平方厘米紙板。
11． 275 22
【分析】從正面看露在外面是4個小正方形，從上面看露在外面是3個小正方形，從右面看露在外面是4個小正方形，即露在外面的面一共有：4＋3＋4＝11（個），一個正方形的面積：5×5＝25（平方分米），再乘小正方形的個數即可求解；由于搭建一個更大的正方體，更大一點的正方體每條棱長都有3個小正方體組成，即一共需要3×3×3＝27（個）小正方體，由于已經有5個，再需要27－5＝22（個）即可。
【詳解】5×5＝25（分米2）
4＋3＋4
＝7＋4
＝11（個）
25×11＝275（分米2）
由于更大的正方體每條棱上是3個小正方體。
3×3×3－5
＝9×3－5
＝27－5
＝22（個）
露在外面的面的面積一共是275分米2，在此基礎上要把它堆成一個大正方體，至少還要22個這樣的正方體紙箱。
【分析】本題主要考查組合體的表面積以及正方體的體積公式，熟練掌握正方體的體積公式并靈活運用。
12． 減少 16
【分析】將3個棱長2分米的正方體拼成一個長方體，會有4個面拼到里面，則這個長方體的表面積比原來3個正方體的表面積之和減少了4個正方形的面積。根據正方形的面積＝邊長×邊長，即可求出減少的面積。
【詳解】2×2×4＝16（平方分米）
這個長方體的表面積比原來3個正方體的表面積之和減少16平方分米。
【分析】本題考查立體圖形的切拼。明確“3個正方體拼成一個長方體，表面積減少了4個正方形的面積”是解題的關鍵。
13．0.81
【分析】上下兩層的長方體儲物柜，又加了一層變成了正方體，每層高0.3米，證明正方體的棱長為0.3×3＝0.9（米），根據正方形的面積公式：S＝a2，把數據代入公式解答。
【詳解】0.9×0.9＝0.81（平方米）
這個儲物柜現在占地0.81平方米。
【分析】此題主要考查正方形的面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
14．(1)56
(2)80
【分析】（1）根據圖分析，A面是一個長方形，寬是5cm，面積是40cm2，長方形面積公式：面積＝長×寬，代入數據求出A面的長是多少。A面的長，也是B面的長，同時也是整個長方體的長，B面的寬為7cm，代入長方形面積公式可求B面面積。
（2）根據長方體的特征，它有12條棱，分為3組，每組4條棱的長度相等，長方體棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，從圖上可知該長方體高為5cm，寬為7cm，再利用上一問求出的長方體的長，計算即可。
【詳解】（1）（1）40÷5＝8（cm）
8×7＝56（cm2）
B面的面積是56cm2。
（2）（8＋7＋5）×4
＝（15＋5）×4
＝20×4
＝80（cm）
要做這個長方體框架，至少需要80cm的鐵絲。
【分析】本題主要考查了長方形的面積公式和長方體的特征及棱長總和的計算方法，根據棱長總和的計算方法解決問題。
15． 900 630
【分析】通過觀察圖形可知，把一個棱長15厘米的正方體分成3個相同長方體，表面積增加4個截面的面積，每個乘長方體的長是（15÷3）厘米，寬和高都是15厘米，根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數據代入公式解答。
【詳解】15×15×4
＝225×4
＝900（平方厘米）
（5×15＋5×15＋15×15）×2
＝（75＋75＋225）×2
＝375×2
＝750（平方厘米）
表面積增加了900平方厘米，每個小長方體的表面積是750平方厘米。
【分析】此題主要考查正方體、長方體表面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
16． 450平方厘米/450 300平方厘米/300
【分析】如圖，四個相同的正方體拼成一個長方體，有兩種情況：
①②
由圖可知，第一種情況減少了6個面的面積，第二種情況減少了8個面的面積，原來四個正方體公有（6×4）個面，根據已知條件，先分別求出兩種情況下一個面的面積，再用一個面的面積乘剩下的面的個數即可求得拼成的長方體的表面積。
【詳解】第一種情況：
150÷6×（6×4－6）
＝25×（24－6）
＝25×18
＝450（平方厘米）
第二種情況：
150÷8×（6×4－8）
＝18.75×（24－8）
＝18.75×16
＝300（平方厘米）
【分析】本題主要考查立體圖形的拼組，明確兩種情況下減少的面的個數是解答的關鍵。
17．×
【分析】
長方體棱長總和÷4＝一組長、寬、高之和，據此列式計算。
【詳解】36÷4＝9（厘米）
一個長方體的棱長之和是36厘米，它的一組長、寬、高之和是9厘米，所以原題說法錯誤。
故答案為：×
18．√
【分析】根據正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“1－4－1”型，折成正方體后，“保”與“條”相對，“護”與“例”相對，“渭”與“河”相對；據此解答。
【詳解】根據分析可知，下圖是一個正方體的平面展開圖，與漢字“渭”相對面上的的漢字是“河”。
故答案為：√
【分析】熟練掌握正方體展開圖的特征是解答本題的關鍵。
19．×
【分析】
由于是無蓋的，即這個長方體的表面積是求5個面的面積和，根據無蓋長方體表面積公式：表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數據，求出這個無蓋水桶的表面積，即做這個水桶需要的鐵皮面積，即可解答。
【詳解】4×3＋（4×5＋3×5）×2
＝12＋（20＋15）×2
＝12＋35×2
＝12＋70
＝82（平方分米）
一個長方體的無蓋水桶，長4分米，寬3分米，高5分米，做這個水桶至少需要82平方分米的鐵皮。
原題干說法錯誤。
故答案為：×
【分析】熟練掌握長方體表面積公式是解答本題的關鍵。
20．×
【分析】大正方體挖去一個小正方體，仔細觀察，凹下去圖形是4個面的面積，而原來缺失的是2個面的面積，所以大正方體的表面積和以前相比，多了2個面的面積，據此解答。
【詳解】根據分析，這個組合體的表面積與之前相比，表面積增加了。所以原題的說法是錯誤的。
故答案為：×
【分析】從一個立體圖形中挖去部分后，再觀察這個立體圖形的表面積有什么變化，這種題有一定的難度，需要同學們仔細看圖、認真分析，培養空間觀察和想象能力。
21．150平方厘米
【分析】在長方體上面放一個小正方體，則表面積比長方體多了4個正方形面，根據長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方形的面積＝邊長×邊長，用（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4即可求出這個立體圖形的表面積。
【詳解】（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4
＝（24＋24＋9）×2＋3×3×4
＝57×2＋3×3×4
＝114＋36
＝150（平方厘米）
立體圖形的表面積是150平方厘米。
22．見詳解
【分析】觀察已知5個面可知：圖形符合正方體展開圖的3－3型或3－2－1型；據此解答。
【詳解】畫圖如下：

【分析】本題主要考查正方體展開圖的認識。
23．（1）30；15；5；
（2）450平方厘米
【分析】
（1）從圖中可知，在長方形紙板的四個角上分別剪去邊長為5厘米的正方形，然后把四邊折起來即可做成一個無蓋長方體紙盒，那么這個長方體的長是（40－5－5）厘米，寬是（25－5－5）厘米，高是5厘米。
（2）物體的底面積叫做占地面積。把長方體紙盒面積最大的面放在地上，就是占地最多的面積。
【詳解】
（1）長：40－5－5＝30（厘米）
寬：25－5－5＝15（厘米）
這個紙盒的長是30厘米，寬是15厘米，高是5厘米。
（2）30×15＞30×5＞15×5
30×15＝450（平方厘米）
答：最多占地450平方厘米。
24．（1）420厘米
（2）35厘米
【分析】
（1）求制作這個長方體框架至少需要木條的長度，就是求長方體的棱長總和；根據長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，代入數據計算求解。
（2）已知用同樣長的木條制作一個正方體框架，那么正方體的棱長總和等于這些木條的長度之和，即上一題中長方體的棱長總和；根據正方體的棱長總和＝棱長×12可知，正方體的棱長＝棱長總和÷12，據此求解。
【詳解】
（1）4分米＝40厘米
（40＋23＋42）×4
＝105×4
＝420（厘米）
答：制作這個長方體框架至少需要420厘米木條。
（2）420÷12＝35（厘米）
答：正方體框架的棱長是35厘米。
25．5個
【分析】通過觀察圖形可知，捆扎一個這樣的禮品盒需要繩子的長度等于這個長方體的2條長，加2條寬，加4條高，再加上結頭處要用的繩子25厘米，據此可以求出捆扎一個禮品盒需要繩子的長度，然后根據“包含”除法的意義，用除法解答。
【詳解】6米＝600厘米
10×2＋15×2＋8×4＋25
＝20＋30＋32＋25
＝107（厘米）
600÷107＝5（個）……65（厘米）
答：這根繩子最多可以捆扎5個這樣的禮盒。
【分析】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征，以及長方體棱長總和的計算方法及應用。
26．977平方厘米
【分析】求至少需要多大的面積的包裝紙，就是把三本書面積最大的面重合起來，重合后長方體的長是14厘米，寬是23厘米，高是1.5×3＝4.5厘米，根據長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答。
【詳解】包裝后長方體的長是14厘米，寬是23厘米，高是1.5×3＝4.5（厘米）
（14×23＋14×4.5＋23×4.5）×2
＝（322＋63＋103.5）×2
＝（385＋103.5）×2
＝488.5×2
＝977（平方厘米）
答：至少需要977平方厘米大面積的包裝紙。
【分析】本題考查長方體的表面積，明確用包裝紙最少得包裝方式是解題的關鍵。
27．320000元
【分析】根據題意，要求“水立方”的頂部和外墻面的貼膜面積，即是求長方體除底面外的5個面的面積之和，則要清洗的面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，據此代入數據求出要清洗的面積。再乘每平方米清洗的費用即可求出一共需要清洗費多少元。
【詳解】200×200＋（200×30＋200×30）×2
＝40000＋（6000＋6000）×2
＝40000＋24000
＝64000（平方米）
64000×5＝320000（元）
答：一共需要清洗費320000元。
【分析】本題主要考查長方體表面積的應用。根據實際情況，靈活運用長方體的表面積公式是解題的關鍵。
28．將2盒糖果的25×20面相粘合，最節約包裝紙；2800平方厘米
【分析】將長方體最大的面連接在一起最節約包裝紙，如圖：，則該長方體的長為25厘米，寬為20厘米，高為10×2＝20厘米，然后根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，據此代入數值進行計算即可。
【詳解】[25×20＋25×（10×2）＋20×（10×2）]×2
＝[500＋500＋400]×2
＝1400×2
＝2800（平方厘米）
答：將2盒糖果的25×20面相粘合，最節約包裝紙，至少需要2800平方厘米的包裝紙。
【分析】本題考查長方體的表面積，熟記公式是解題的關鍵。
29．128平方分米
【分析】如圖，因為小積木的下底面的四個頂點，恰好是大積木的上底面各邊的中點，所以大正方體一個面的面積是小正方體一個面的面積的2倍，因此，這個立方體圖形的表面積＝大正方體的表面積＋小正方體四個側面的面積；據此解答。
【詳解】由分析得：
6×4×4＋4×（4×4÷2）
＝96＋4×8
＝96＋32
＝128（平方分米）
答：那么這個立體圖形的表面積是128平方分米。
【分析】本題主要考查組合體的表面積計算，關鍵是明確大正方體一個面的面積是小正方體一個面的面積的2倍。

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