資源簡介

第二單元 認識三角形和四邊形
一、圖形分類
1、平面圖形是圖形所表示的各個部分都在同一平面內。如圓（曲線）和三角形、四邊形（由線段組成）。
2、立體圖形是圖形各部分不在同一平面內的幾何圖形，由一個或多個面圍成的可以存在于現實生活中的三維圖形。
3、三角形具有穩定性，平行四邊形具有不穩定性。
二、三角形分類
1、三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。
銳角三角形的三個角都是銳角；直角三角形中有一個角是直角；鈍角三角形中有一個角是鈍角。
2、三角形按邊，可以分為不等邊三角形、等邊三角形和等腰三角形。
等邊三角形的三條邊相等，三個角相等;等腰三角形的兩條腰相等，兩個底角相等。
三、探索與發現：三角形的內角和
1、三角形的內角和是180°。
2、三角形的內角和的應用。
已知三角形的兩個角的度數，可以根據三角形的內角和計算出第三個角的度數，從而判斷出該三角形是什么三角形。
3、多邊形的內角和＝（n-2)×180°
四、探索與發現：三角形邊的關系
1、三角形任意兩邊之和大于第三邊。
2、判斷三條線段是否能圍成三角形，只要把較短的兩條邊相加與最長邊比較即可。
五、四邊形分類
1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；只有一組對邊平行的四邊形是梯形。
2、正方形、長方形和平行四邊形的關系:
正方形是特殊的長方形;正方形、長方形是特殊的平行四邊形。
一、選擇題
1．如圖，斜拉橋是現代大跨度橋梁的重要結構形式，斜拉橋的外觀設計中，運用了三角形的知識，是因為三角形具有（ ）。
A．靈活性 B．不穩定性 C．穩定性
2．在下面的圖形上只剪一刀，可以得到兩個鈍角三角形的是（ ）。
A． B．
C． D．
3．一個等腰三角形其中一個角是56度，那么另外兩個角可能是（ ）。
A．56°，68° B．62°，62°
C．90°，34° D．56°，68°或62°，62°
4．我們佩戴的紅領巾是中國少年先鋒隊隊員的標志，也是紅旗的一角。它的頂角是，底角是（ ）。
A． B． C． D．不能確定
5．一個三角形三條邊總長96毫米，三條邊長度相等，每條邊長（ ）毫米。
A．90 B．288 C．32
6．如圖是小亮用5根小棒搭成的小房子，現在我們用這些材料中任意三根來首尾相連搭成三角形，能搭成（ ）種不同的三角形。
A．2 B．3 C．4 D．5
7．淘氣家、笑笑家和學校的位置在地圖上可構成一個三角形，其中淘氣家距離學校3千米，笑笑家距離學校15千米，那么淘氣家和笑笑家的距離（ ）。
A．可能是13千米 B．可能小于12千米
C．一定大于15千米 D．可能大于18千米
8．下面說法中錯誤的是（ ）。
A．正方形是特殊的長方形
B．等邊三角形都是等腰三角形
C．等腰三角形都是銳角三角形
D．長方形和正方形是特殊的平行四邊形
二、填空題
9．奇思的課桌松動了，可以在桌子腳的位置釘一根木條，因為( )具有( )。
10．
圖中有( )個三角形。
11．找一找，填一填。
銳角三角形有( ) 直角三角形有( ) 鈍角三角形有( )
12．如果將一根81分米長的鐵絲圍成一個最大的等邊三角形，那么這個等邊三角形的邊長是( )分米；如果將這根鐵絲改圍成一個底邊長為17分米的等腰三角形，那么這個等腰三角形的腰長是( )分米。
13．仔細觀察，找找規律：
圖形 ……
內角和 180° 360° 540° ……
(1)第四個圖形（六邊形）的內角和是( )°。
(2)內角和是1260°的圖形是( )邊形。
14．淘氣有一根7厘米和一根9厘米長的小棒，他想再找一根小棒圍成三角形，他找的這根小棒最長可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。（填整數）
15．笑笑家的太陽能熱水器支架損壞了，需要更換一根新的鋼條，鋼條的長度可能是( )。（填序號）
①2.7米 ②0.3米 ③0.9米
太陽能熱水器的支架采用了三角形具有( )這一特點，生活中( )也是運用了這一特性。
16．下圖是一個平面圖形，由大小兩個長方形和連接對應頂點的兩條線組成。連接兩個長方形的對應頂點而成。數一數，下圖中共有( )個梯形。

三、判斷題
17．一個等腰三角形的一個底角是45°，這個三角形一定是等腰直角三角形。( )
18．一個三角形中最多有一個角是直角或鈍角。( )
19．在一個直角三角形中，如果其中一個銳角是34°，那么另一個銳角是66°。( )
20．長度為10厘米、5厘米、4厘米的三根小棒，能圍成三角形。( )
四、計算題
21．根據條件，求出三角形未知內角的度數。
五、作圖題
22．按要求在點子圖上畫圖。
平行四邊形 等腰梯形 鈍角三角形 等腰直角三角形
六、解答題
23．如圖所示，用火柴棒擺了五個三角形。
（1）拿走兩根，剩下2個三角形，應該怎么拿？
（2）拿走兩根，剩下3個三角形，應該怎么拿？
24．用一條60厘米長的鐵絲圍成一個底為10厘米的等腰三角形，如果接頭處忽略不計，那么腰是多少厘米？
25．一個等邊三角形的周長與一個邊長為21厘米的正方形周長相等，這個等邊三角形的邊長是多少厘米？
26．學校舉行風箏比賽，奇思做了一個風箏，風箏的造型是等腰三角形。其中有一個角是40°，其它兩個角各是多少度？
27．我們佩戴的紅領巾的顏色是國旗紅，可用布、綢、緞等材料按照標準制作。分為小號、大號兩個規格。小號：底邊長100厘米、腰邊長60厘米。大號：底邊長120厘米、腰邊長72厘米。紅領巾中最大的角是120°。
（1）算式“100＋60×2”解決的問題是：
（2）紅領巾中另外兩個的角分別是多少度？
28．淘氣為了估測學校噴泉兩邊A、B之間的距離（如圖），在噴泉的一側選取一點O，測得OA＝9米，OB＝6米。根據以上信息，淘氣說：“A、B之間的距離不可能是16米?！蹦阏J為淘氣說得對嗎？請寫出你的理由。
29．在下圖中，AB與AE互相垂直。
（1）請畫出點C到直線AE的距離CD，并量出CD＝（ ）毫米。
（2）線段AB與CD互相（ ）。
（3）連接BC，發現四邊形ABCD是一個（ ）形。
（4）以點E為角的頂點，AE為角的一邊，用你喜歡的方法畫一個135°的角。
參考答案
1．C
【分析】
三角形是由三條線段首尾順次相連圍成的封閉圖形，這種結構使得三角形在承受力時不易變形，具有穩固、堅定、耐壓的特點，據此解答。
【詳解】三角形具有穩定性，斜拉橋設計成三角形樣式可使建筑更穩定。
故答案為：C
2．D
【分析】鈍角三角形中最大的角是鈍角，要大于90度，長方形里沒有鈍角，等邊三角形也沒有鈍角；梯形的上面有2個鈍角，平行四邊形有2個鈍角，據此畫一畫解答。
【詳解】解：如圖：可以得到兩個鈍角三角形。
A．根據分析可得，長方形剪一刀要想剪出兩個三角形，只能沿著對角線剪，而這不能剪出兩個鈍角三角形。
B．根據分析可得，正三角形剪一刀要想剪出兩個三角形，只能沿著高來剪，而這不能剪出兩個鈍角三角形。
C．根據分析可得，等腰梯形要想剪一刀要想剪出兩個三角形，只能沿著對角線剪，而這不能剪出兩個鈍角三角形。
D．如圖：可以得到兩個鈍角三角形。
故答案選：D。
【分析】本題考查了鈍角三角形的特征及圖形的劃分。
3．D
【分析】等腰三角形的兩個底角相等，根據三角形的內角和為180°可知，當這個角是底角時，則它的另外兩個角的度數是：一個是56°，另一個是180°－56°×2。當這個角是頂角時，它的另外兩個角的度數都是（180°－56°）÷2。
【詳解】（1）當這個角是底角時，則它的另外兩個角的度數是：一個是56°，另一個是：
180°－56°×2
＝180°－112°
＝68°
（2）當這個角是頂角時，則它的另外兩個角的度數都是：
（180°－56°）÷2
＝124°÷2
＝62°
另外兩個角可能是56°，68°或62°，62°。
故答案為：D
【分析】本題考查等腰三角形的特征和三角形的內角和定理，關鍵是按照這個角是頂角或者底角兩種情況進行分析解答。
4．B
【分析】
紅領巾是一個等腰三角形，兩個底角相等，因此用三角形的內角和180°減頂角的度數后，再除以2即可，依此解答。
【詳解】（180°－110°）÷2
＝70°÷2
＝35°
底角是35°。
故答案為：B
5．C
【分析】三角形的周長等于三邊之和，如果一個三角形的三條邊長度相等，則這個三角形是等邊三角形，等邊三角形的邊長＝等邊三角形的周長÷3，據此列式解答。
【詳解】96÷3＝32（毫米）。
故答案為：C
【分析】解答此題的關鍵是明白等邊三角形的三條邊相等。
6．C
【分析】
從這5根小棒選出3根來組成三角形，只需要滿足三角形三邊的關系即可（較短兩邊之和大于第三邊）。
【詳解】如果選的3根小棒長度分別為4cm，4cm和6cm。因為4＋4＞6，所以這三根小棒可組成三角形；
如果選的3根小棒長度分別為4cm，4cm和8cm。因為4＋4＝8，所以這三根小棒不可組成三角形；
如果選的3根小棒長度分別為4cm，6cm和8cm。因為4＋6＞8，所以這三根小棒可組成三角形；
如果選的3根小棒長度分別為4cm，8cm和8cm。因為4＋8＞8，所以這三根小棒可組成三角形；
如果選的3根小棒長度分別為6cm，8cm和8cm。因為6＋8＞8，所以這三根小棒可組成三角形；
所以一共能搭成4種不同的三角形。
故答案為：C
7．A
【分析】由于淘氣家、笑笑家和學校的位置在地圖上可構成一個三角形，已知淘氣家距離學校3千米，笑笑家距離學校15千米，根據在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，先求出淘氣家和笑笑家的距離的取值范圍，再解答即可。
【詳解】15＋3＝18（千米）
15－3＝12（千米）
所以淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米；
A．18＜13＜12；此選項符合題意；
B．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此此選項不符合題意；
C．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此可能大于15千米，也可能小于15千米；此選項不符合題意；
D．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此此選項不符合題意；
故答案為：A
8．C
【分析】（1）正方形的有4個直角，4條邊相等。長方形有4個直角，兩組對邊相等。則正方形是特殊的長方形。
（2）等腰三角形的兩條腰相等，等邊三角形的三條邊相等，則等邊三角形是特殊的等腰三角形。
（3）等腰三角形的頂角是直角時，這個三角形是直角三角形。頂角是鈍角，這個三角形是鈍角三角形。頂角是銳角，這個三角形是銳角三角形。
（4）平行四邊形的兩組對邊平行且相等，有4個角。則長方形是特殊的平行四邊形。正方形是特殊的長方形，那么長方形和正方形是特殊的平行四邊形。
【詳解】A．正方形是特殊的長方形，說法正確；
B．等邊三角形是特殊的等腰三角形，說法正確；
C．等腰三角形可以是銳角三角形，可以是直角三角形，可以是銳角三角形，說法錯誤；
D．長方形和正方形都是特殊的平行四邊形，說法正確。
故答案為：C
【分析】本題考查四邊形的關系、三角形的分類以及等腰三角形和等邊三角形的關系，需熟練掌握。等腰三角形的兩條腰相等，頂角的類型不確定，三角形按角分的類型也就不確定。
9． 三角形 穩定性
【分析】
三角形具有穩定性，不易變形，人們在生活中經常來利用三角形的穩定性加固物件，例如自行車的三角形，自行車的三角形車架、三角形房架、矩形門框的斜拉條、起重機的三角形吊臂車架，都是利用了三角形的穩定性，起到加固作用，據此即可解答。
【詳解】根據分析可知，奇思的課桌松動了，可以在桌子腳的位置釘一根木條，因為三角形具有穩定性。
10．12
【分析】
要數出圖中一共有多少個三角形，需做到不重復不遺漏。
【詳解】由圖可知：三角形內部第一層有3個三角形，2個小三角形和由2個小三角形組合而成的1個大三角形（如下圖）。
三角形內部第二層有5個三角形，如下圖：
還可將三角形兩層聯合一起來找三角形，有4個三角形，如下圖。
所以圖中有12個三角形。
【分析】本題數三角形時，需有一定的步驟和方法，要做到不重不漏。
11． ①④⑥⑨ ③⑤⑦ ②⑧
【分析】有些三角形的三個角都是銳角，這類三角形就是銳角三角形；有些三角形有一個直角，這類三角形就是直角三角形；有些三角形有一個鈍角，這類三角形就是鈍角三角形。
【詳解】銳角三角形有①④⑥⑨ 直角三角形有③⑤⑦ 鈍角三角形有②⑧
【分析】熟練掌握三角形的分類知識是解答的關鍵。
12． 27 32
【分析】圍成最大的等邊三角形，即鐵絲沒有剩余，那么三角形的周長是81分米，81除以3即可求出三角形的邊長；圍成等腰三角形，即等腰三角形的周長是81分米，等腰三角形的兩腰相等，81減17可以求出兩腰的和，再用和除以2即可求出其腰長。
【詳解】81÷3＝27（分米），等邊三角形的邊長是27分米。
（81－17）÷2
＝64÷2
＝32（分米）
等腰三角形的腰長是32分米。
【分析】等邊三角形三條邊相等，三個角都是60°。等腰三角形兩腰相等，兩底角相等。
13．(1)720
(2)九
【分析】（1）三角形內角和180°，多邊形邊數－2＝三角形個數，三角形個數×三角形內角和＝多邊形內角和，據此列式計算；
（2）多邊形內角和÷180°＋2＝多邊形邊數，據此分析。
【詳解】（1）（6－2）×180°
＝4×180°
＝720°
第四個圖形（六邊形）的內角和是720°。
（2）1260÷180°＋2
＝7＋2
＝9（條）
內角和是1260°的圖形是九邊形。
【分析】關鍵是掌握三角形內角和，通過將多邊形分割成三角形可以求出多邊形內角和。
14． 15 3
【分析】
三角形的三邊關系為三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差一定小于第三邊；據此解答即可。
【詳解】
7＋9＝16（厘米）
9－7＝2（厘米）
第三根小棒的長度應比16厘米短，比2厘米長，最長可以是15厘米，最短可以是3厘米。
15． ③ 穩定性 自行車三角架
【分析】
三角形任意兩邊的長度之和大于第三邊，任意兩邊的長度之差小于第三邊；
只要三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了，這個性質叫做三角形的穩定性；依此解答即可。
【詳解】1.2＋1.5＝2.7（米），1.5－1.2＝0.3（米）
①2.7米＝2.7米，即鋼條的長度不可能是2.7米；
②0.3米＝0.3米，即鋼條的長度不可能是0.3米；
③0.3米＜0.9米＜2.7米，即鋼條的長度可能是0.9米；
鋼條的長度可能是③，太陽能熱水器的支架采用了三角形具有穩定性這一特點；
生活中自行車三角架（答案不唯一）也是運用了這一特性。
16．2
【分析】如下圖，圖中共有2個梯形，據此即可解答。

【詳解】根據分析可知，圖中共有2個梯形。
【分析】本題主要考查學生對梯形定義和特征的掌握。
17．√
【分析】
已知一個等腰三角形的一個底角是45°，根據等腰三角形的特征“等腰三角形的兩個底角相等”可知，另一個底角也是45°；
用三角形的內角和180°減去兩個底角的度數，即是頂角的度數，再根據三角形按角的分類，確定這個三角形的類型。
【詳解】180°－45°×2
＝180°－90°
＝90°
這個三角形一定是等腰直角三角形。
原題說法正確。
故答案為：√
18．√
【分析】
銳角三角形有3個銳角，直角三角形有1個直角和2個銳角，鈍角三角形有1個鈍角和2個銳角。一個三角形中最少有2個角是銳角，最多有一個角是直角或鈍角。
【詳解】一個三角形中最多有一個角是直角或鈍角。
故答案為：√
19．×
【分析】直角三角形的兩個銳角的和是90°，90°減34°即可求出另一個銳角的度數。
【詳解】90°－34°＝56°
另一個銳角是56°，原說法錯誤。
故答案為：×
【分析】本題考查了三角形的內角和以及直角三角形的特征，注意直角三角形中的直角是90度。
20．×
【分析】三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以較小的兩根小棒長度和大于最長的小棒，則三根小棒能圍成三角形，否則不能圍成三角形，據此即可解答。
【詳解】5厘米＋4厘米＜10厘米，這三根小棒不能圍成三角形，原說法錯誤。
故答案為：×
【分析】熟練掌握三角形三邊間的關系是解答本題的關鍵。
21．∠B＝150°；∠C＝70°，∠A＝40°；∠C＝40°
【分析】（1）180°減兩個已知角的度數即等于∠B的度數；
（2）等腰三角形的兩個底角相等，所以∠C等于∠B，180°減∠C、∠B的度數等于∠A的度數；
（3）直角三角形兩銳角和等于90°，90°減∠A等于∠C。
【詳解】（1）∠B＝180°－10°－20°
＝170°－20°
＝150°
（2）∠C＝∠B＝70°
∠A＝180°－70°×2
＝180°－140°
＝40°
（3）∠C＝90°－50°＝40°
22．見詳解
【分析】兩組對邊分別平行且相等的四邊形叫做平行四邊形。只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形，兩腰相等的梯形叫等腰梯形。有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。有一個角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，
【詳解】
【分析】熟記常見平面圖形的特征是解題關鍵。
23．（1）拿走中間小三角形的兩根火柴棒。
（2）拿走大三角形三個角上（任意一個角）的小三角形最外面的兩根火柴棒。
【分析】
（1）拿走兩根火柴棒，剩下2個三角形。如果同時拿大三角形三個角上（任意一個角）的小三角形最外面的兩根火柴棒，都會剩下3個三角形。所以只能拿中間小三角形的兩根火柴棒，這時剩下一個小三角形和一個大三角形，滿足題意；
（2）如果拿走大三角形三個角上（任意一個角）的小三角形最外面的兩根火柴棒，這時剩下3個小三角形，滿足題意。
【詳解】
（1）拿走中間小三角形的兩根火柴棒后，如圖：
這時剩下一個小三角形和一個大三角形，滿足題意。
答：拿走中間小三角形的兩根火柴棒。
（2）拿走大三角形三個角上（任意一個角）的小三角形最外面的兩根火柴棒后，如圖：
這時還剩下3個小三角形，滿足題意。
答：拿走大三角形三個角上（任意一個角）的小三角形最外面的兩根火柴棒。
24．25厘米
【分析】用一條60厘米長的鐵絲圍成一個等腰三角形，鐵絲長度就是這個等腰三角形的周長。等腰三角形兩腰相等，這根鐵絲的長度減去這個等腰三角形的底再除以2，即可算出腰是多少厘米。
【詳解】（60－10）÷2
＝50÷2
＝25（厘米）
答：腰是25厘米。
【分析】熟記等腰三角形的特征是解題關鍵。
25．28厘米
【分析】用21乘4，求出正方形的周長；因為等邊三角形的三條邊都相等，用正方形的周長除以3，求出這個等邊三角形的邊長是多少厘米。
【詳解】21×4÷3
＝84÷3
＝28（厘米）
答：這個等邊三角形的邊長是28厘米。
【分析】解答此題的關鍵是明確等邊三角形的三條邊都相等，再進一步解答。
26．70°，70°或40°，100°
【分析】三角形的內角和等于180°，等腰三角形的兩個底角相等，該題主要分兩種情況，一種情況是頂角是40°，用180°減去頂角的度數，再除以2即可求出底角的度數；另一種情況是當底角是40°，用180°減去兩個底角的度數，即可求出頂角的度數，據此解答即可。
【詳解】當頂角是40°時：
（180°－40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
當底角是40°時：
180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
答：其它兩個角都是70°或一個角是40°，另一個角是100°。
【分析】解答此題的關鍵是熟練掌握三角形的內角和的知識以及等腰三角形的性質。
27．（1）小號紅領巾的周長是多少厘米？
（2）30度
【分析】（1）紅領巾是等腰三角形，兩條腰的長度相等，在小號紅領巾中100厘米是底邊的長度，60厘米是腰的長度，100＋60×2表示小號紅領巾的周長是多少厘米。
（2）三角形的內角和是180度，等腰三角形的兩個底角相等，先用三角形的內角和減去頂角的度數，求出兩個底角的和，再除以2，即可求出紅領巾的另外兩個的角分別是多少度。
【詳解】（1）算式“100＋60×2”解決的問題是：小號紅領巾的周長是多少厘米？
（2）（180－120）÷2
＝60÷2
＝30（度）
答：紅領巾中另外兩個的角都是30度。
【分析】解決本題的關鍵是熟知等腰三角形的特點，以及三角形的內角和定理。
28．說得對；理由見解析
【分析】根據三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可。
【詳解】9－6＜A、B之間的距離＜9＋6，
3＜A、B之間的距離＜15，
即A、B之間的距離取值大于3米，小于15米之間。
所以A、B之間的距離不可能是16米，淘氣說得對。
答：淘氣說得對。
【分析】解答本題的關鍵是根據三角形三邊關系進行分析、解答即可。
29．（1）圖示見詳解，CD＝13毫米；
（2）平行；
（3）梯；
（4）見詳解
【分析】（1）畫出點C到AE的距離，即作點C到AE的垂線，垂足為D，然后用直尺量出點C到點D的長度即可。
（2）兩直線垂直于同一條直線，則這兩條直線互相平行，據此解答。
（3）連接BC，畫出圖形，觀察圖形類型。
（4）先讓AE與量角器的零刻度線重合，點E與量角器中心重合；在量角器135°刻度線處點一個點，將這個點與點E相連，即可畫出135°的角。
【詳解】（1）作圖如下，利用直尺測得CD＝13毫米。
（2）由分析可知，AB⊥AE，CD⊥AE，所以AB∥CD，即線段AB與CD互相平行。
（3）連接BC，得到圖示如下，發現四邊形ABCD是一個梯形。
（4）作圖如下：

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