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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.6 瓜豆模型
動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為直線型和曲線型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。
主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆。“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。
1、運動軌跡為直線
1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？
解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．
理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．
2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？
解析：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。
理由：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。
3）確定動點軌跡的方法（重點）
①當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；
②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；
③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線；
④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；
⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。
2、運動軌跡為曲線
1）如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？
如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
2）如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？
如圖，連結AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
考向一　瓜豆模型（直線軌跡）-已知軌跡
例1．（2022·湖南湘西·統考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】B
【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進而可確定當MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進而可求解．
【詳解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中點，∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴當GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，
∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，確定GH的值是解題的關鍵．
例2．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，點H、G分別是邊CD、BC上的動點．連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF則EF的最大值與最小值的差為__________．
【答案】
【分析】取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再證明∠ACD=90°，求出AC=2、AN=；然后由三角形中位線定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
【詳解】解：如圖：取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD= 120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等邊三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30° ∴∠ACD=90° ∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2,∠ACN=∠DAC=30° ∴AN=AC=
∵AE=EH，GF=FH∴EF=AG∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長
∵AG的最大值為2，最小值為 ∴EF的最大值為，最小值為
∴EF的最大值與最小值的差為-=．故答案為．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質、直角三角形30度角性質、垂線段最短等知識，正確添加輔助線和證得∠ACD=90是解答本題的關鍵．
例3．（2023·四川雅安·統考中考真題）如圖，在中，．P為邊上一動點，作于點D，于點E，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據矩形的對角線相等可得，再根據垂線段最短可得時，線段的值最小，然后根據直角三角形的面積公式列出方程求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，

∵于點D，于點E，，∴四邊形是矩形，∴，
由垂線段最短可得時，線段的值最小，此時線段的值最小，
此時，，代入數據：，
∴，∴的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，垂線段最短的性質，勾股定理，判斷出時，線段的值最小是解題的關鍵．
例4．（2023·廣東·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為10，E為BA延長線上一動點，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為__________．
【答案】5
【分析】以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，由“SAS”可證△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂線段最短可得當EH⊥AB時，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，
∵△DEF是等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA，
在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH，
∴當EH⊥AB時，EH有最小值，即AF有最小值，
∵∠EAH＝90° ∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值為5，故答案為：5．
【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，垂線段最短，含30°直角三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
考向二　瓜豆模型（直線軌跡）-未知軌跡
例1．（2023·黑龍江綏化·統考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根據題意，證明，進而得出點在射線上運動，作點關于的對稱點，連接，設交于點，則，則當三點共線時，取得最小值，即，進而求得，即可求解．
【詳解】解：∵為高上的動點．∴
∵將繞點順時針旋轉得到．是邊長為的等邊三角形，
∴∴
∴，∴點在射線上運動，如圖所示，

作點關于的對稱點，連接，設交于點，則
在中，，則，
則當三點共線時，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周長的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質與判定以及軸對稱的性質是解題的關鍵．
例2．（2023·江蘇·一模）如圖，正方形ABCD的邊長為7，E為BC上一點，且BE＝，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為_____．
【答案】
【分析】根據等邊△EFG，EF＝EG，把△EBF繞點E順時針旋轉60°得到△EHG，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，從而得出矩形HEPQ，從而找到最短CG，再利用30°角所對直角邊為斜邊一半，從而得解．
【詳解】∵△EFG為等邊三角形，∴EF＝EG，把△EBF繞點E順時針旋轉60°得到△EHG，如圖，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G點在過H點且垂直于EH的線段HM上，
易得四邊形HEPQ為矩形，∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°，
∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝，
∴CQ＝CP+PQ＝+＝．∴CG的最小值為．故答案為．
【點睛】本題考查了等邊三角形性質，旋轉圖形的性質，全等三角形的性質，30°角所對直角邊為斜邊一半，牢固掌握幾何相關知識點，靈活添加輔助線構造矩形是解題關鍵
例3．（2022·山東泰安·統考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，則當F與D重合時，CG有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，
∴當F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故選B．
【點睛】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，確定點G的運動軌跡是本題的關鍵．
例4．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉90°，得到點，連接，則的最小值為(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形構造全等三角形，求出旋轉后Q′的坐標，然后根據勾股定理并利用二次函數的性質即可解決問題．
【詳解】解：方法一：作QM⊥x軸于點M，Q′N⊥x軸于N，
設Q(，)，則PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
當m=2時，OQ′2有最小值為5，∴OQ′的最小值為，故選：B．
方法二：由方法一知：Q′(，)，故得到點Q′的運動軌跡為直線l：y=2x-5.
∴當OQ′垂直于直線l時，OQ′取的最小值。
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的性質，三角形全等的判定和性質，坐標與圖形的變換-旋轉，勾股定理，表示出點的坐標是解題的關鍵．
考向三　瓜豆模型（曲線軌跡）
例1.（2023.重慶九年級期末）如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．
【答案】1.5
【解析】由題意可知M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．
∵C是BM中點，可知C點軌跡為取BP中點F，以F為圓心，FC為半徑作圓，
即為點C軌跡，如圖所示：由題中數據可知OP＝5，
又∵點A、F分別是OB、BP的中點，∴AF是△BPO的中位線，∴AF＝2.5，
當M運動到如圖位置時，AC的值最小，此時A、C、O三點共線，∴AC＝2.5－1＝1.5.
例2．（2023·四川廣元·統考一模）如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為 ．
【答案】/
【分析】作，使得，，則，，，由，推出，即（定長），由點是定點，是定長，點在半徑為1的上，由此即可解決問題．
【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，
，，，，，
，即（定長），
點是定點，是定長，點在半徑為1的上，
，的最大值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、兩圓的位置關系、軌跡等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
例3．（2023·四川宜賓·統考中考真題）如圖，是正方形邊的中點，是正方形內一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉得到線段，連接．若，，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】連接，將以中心，逆時針旋轉，點的對應點為，由 的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據“圓外一定點到圓上任一點的距離，在圓心、定點、動點，三點共線時定點與動點之間的距離最短”，所以當、、三點共線時，的值最小，可求，從而可求解．
【詳解】解，如圖，連接，將以中心，逆時針旋轉，點的對應點為，

的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，
如圖，當、、三點共線時，的值最小，
四邊形是正方形，，，
是的中點，，，
由旋轉得：，，
，的值最小為．故答案：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理，動點產生的線段最小值問題，掌握相關的性質，根據題意找出動點的運動軌跡是解題的關鍵．
例4．（2023·山東泰安·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如圖所示，延長到E，使得，連接，根據點A的坐標為得到，再證明是的中位線，得到；解得到，進一步求出點C在以O為圓心，半徑為4的圓上運動，則當點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，據此求出的最小值，即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，延長到E，使得，連接，
∵的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為，
∴，∴，∴，
∵點M為中點，點A為中點，∴是的中位線，∴；
在中，，∴，
∵將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，∴點C在以O為圓心，半徑為4的圓上運動，
∴當點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，
∵，∴的最小值為，∴的最小值為3，故選A．

另解：取BO的中點為Q（-3,0），根據中位線可確定，
故點M為以Q為圓心，MQ為半徑的圓上運動，故AM的最小值為AQ-MQ=3
【點睛】本題主要考查了一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．
一、選擇題
1．（2023春·山東八年級期末）如圖，已知點，，，，為直線上一動點，則的對角線的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】連接，設交于點，根據平行四邊形的性質得出點，進而根據點到直線的距離，垂線段最短，可知當時，取得最小值，勾股定理即可求解．
【詳解】解：連接，設交于點，如圖所示，
∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，
∴當取得最小值時，取得最小值，∴當時，取得最小值，
∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，
∴此時是直角三角形，且是斜邊，
∵,∴，∴的對角線的最小值是，故選：A．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，平行四邊形的性質，勾股定理，點到直線的距離，垂線段最短，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．
2．（2023·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】以為邊向上作等邊三角形，連接，證明得到，分析出點D的運動軌跡是以點M為圓心，長為半徑的圓，在求出點D到線段的最大距離，即可求出面積的最大值．
【詳解】解：如圖，以為邊向上作等邊三角形，連接，
∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，
∴點D的運動軌跡是以點M為圓心，長為半徑的圓，要使的面積最大，則求出點D到線段的最大距離，∵是邊長為4的等邊三角形，∴點M到的距離為，
∴點D到的最大距離為，∴的面積最大值是，故選A．
【點睛】本題考查了動點軌跡是圓的問題，解決本題的關鍵是利用構造全等三角形找到動點D的軌跡圓，再求出圓上一點到定線段距離的最大值．
3．（2023·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長為的正方形中，是邊的中點，是邊上的一個動點不與重合，以線段為邊在正方形內作等邊，是邊的中點，連接，則在點運動過程中，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接AM，在點運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，所以當AM⊥PM時，PM取得最小值，據等邊三角形的性質得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，進而即可得PM最小值．
【詳解】解：∵P是邊AD的中點，AD=6，∴AP=3，如圖，連接AM，
∵等邊，是邊的中點，∴AM平分∠EAF，
∴在點運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，∴當AM⊥PM時，PM取得最小值，
∵是等邊的邊的中點，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故選：C．
【點睛】本題考查了正方形的性質，垂線段最短，等邊三角形的性質，推出在點E運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，是解題的關鍵．
4．（2023·安徽·合肥三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接BF交ED于點0，設EF與AC交于點G．根據菱形的性質可得點F在∠ABC的平分線上運動，從而得到當AF⊥BF時，AF的長最小．再證明△BEO∽△BAF，可得，再證明△AGE∽△ACB，，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點O，設EF與AC交于點G．
∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點F在∠ABC的平分線上運動，
∴當AF⊥BF時，AF的長最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，
在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，
∴，∴，∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故選：A
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，準確得到點F在∠ABC的平分線上運動是解題的關鍵．
5．（2023上·河南新鄉·九年級校考期中）如圖，中，，，，點E是邊上一點，將繞點B順時針旋轉到，連接，則長的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
【答案】B
【分析】取的中點為點D，連接，過點D作，垂足為H，在中，利用含30度角的直角三角形的性質可求出的長，的度數，再根據線段的中點定義可得，從而可得，然后利用旋轉的性質可得：，，從而利用等式的性質可得，進而利用證明，最后利用全等三角形的性質可得，再根據垂線段最短，即可解答．
【詳解】解：取的中點為點D，連接，過點D作，垂足為H，∴，
∵，，，∴，
∵點D是的中點，∴，∴，
由旋轉得：，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
當時，即當點E和點H重合時，有最小值，且最小值為2.5，
∴長的最小值是2.5，故選：B．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，垂線段最短，全等三角形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
6．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點D是邊的中點，點P是邊上一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，由題意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，進而可得△PCD≌△QED，則有∠PCD=∠QED=90°，然后可得點Q是在QE所在直線上運動，所以CQ的最小值為CQ⊥QE時，最后問題可求解．
【詳解】解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：
∵是等邊三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，點D是邊的中點，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴點Q是在QE所在直線上運動，
∴當CQ⊥QE時，CQ取的最小值，∴，∴；故選B．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質、含30°直角三角形的性質及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形的性質、含30°直角三角形的性質及最短路徑問題是解題的關鍵．
7.（2023上·江蘇揚州·九年級校聯考期中）如圖，正方形的邊長為4，點是正方形對角線所在直線上的一個動點，連接，以為斜邊作等腰（點，，按逆時針排序），則長的最小值為（　　）

A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據正方形的性質和題干給定的是以為斜邊作等腰直角三角形，證明，得到進一步證明，得到，由正方形的性質得點H為的中點，有點F在的垂直平分線上運動，當點F與點H重合時，的值最小．
【詳解】解：連接交于點G，連接并延長交于點H，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，，
∵是以為斜邊作等腰直角三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，∴，則，
∵，∴，∴，
∴，則，∴，
∵點G為正方形對角線的交點，∴點H為的中點，∴點F在的垂直平分線上運動，
∵，∴當點F與點H重合時，的值最小，此時．
即長的最小值為2．故答案選：D．
【點睛】此題考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質和垂線段最短，利用相似的邊長比證明對應三角形邊長的相似比，并找到點的運動軌跡是解題的關鍵．
8．（2023上·山西臨汾·九年級統考期中）如圖，在中，，，點，分別是，邊上的動點，連結，，分別是，的中點，則的最小值為（ ）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質．連接，作于點H．由三角形中位線的性質得，由垂線段最短可知當最小，即點E與點H重合時的值最小，然后利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：連接，作于點H．

∵點，分別是，邊上的動點，∴是的中位線，∴，
∴當最小，即點E與點H重合時的值最小．設，則，
∵，∴，∴，∴的最小值為4.8．故選D．
二、填空題
9．（2023·廣東·珠海市三模）如圖正方形的邊長為3，E是上一點且，F是線段上的動點．連接，將線段繞點C逆時針旋轉 90°得到，連接，則的最小值是_____．
【答案】
【分析】如圖，連接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因為∠CDF是定值，推出點G在射線BG上運動，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根據垂線段最短可知，當EG⊥BG時，EG的長最短．
【詳解】解：如圖，作射線BG．
∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，∴點G在射線BG上運動，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根據垂線段最短可知，當EG⊥BG時，EG的長最短，
此時tan∠EBG＝＝，設EG＝m，則BG＝3m，
在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，
∴m＝（負根已經舍棄），∴EG的最小值為，故答案為．
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，垂線段最短等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，垂線段最短是解答本題的關鍵．
10．（2023·河南洛陽·統考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點E在線段BC上運動（含B、C兩點）．連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉60°得到AF，連接DF，則線段DF長度的最小值為______．
【答案】
【分析】以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點H，過點D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性質證明∠AGF＝60°，得出點F在平行于AB的射線GH上運動，求出DM即可．
【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點H，過點D作DM⊥GH于M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，
∵△ABG是等邊三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，
∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，
∴點F在平行于AB的射線GH上運動，∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等邊三角形，
∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，
∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH sin60°，
根據垂線段最短可知，當點F與M重合時，DF的值最小，最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，旋轉變換，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點F的在射線GH上運動，屬于中考填空題中的壓軸題．
11．（2023江蘇揚州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉一周，則線段AF的最小值是______．
【答案】
【分析】過點F作GF∥CD，過點C作GC∥DF，二線交于點G，根據平行四邊形的性質，得到點F在以G為圓心，以CD長為半徑的圓上，利用圓的性質，確定最小值即可．
【詳解】如圖，過點F作GF∥CD，過點C作GC∥DF，二線交于點G，
∴ 四邊形DFGC是平行四邊形，∴GF=CD=4,
∴點F在以G為圓心，以CD長為半徑的圓上，∴當A、F、G三點共線時，AF最小，
∵四邊形DFGC是平行四邊形，四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四邊形ABGC是平行四邊形，
∵AB=AC，∴四邊形ABGC是菱形，∴AG，BC互相垂直平分，設交點為H，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°=，
∴AG=2AH=，∴AF=AG-FG=故答案為：．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，圓的最值性，特殊角的三角函數值，熟練菱形的判定和性質，圓的性質是解題的關鍵．
12．（2023上·湖北武漢·九年級校聯考期中）如圖，已知，B為上一點，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動點，連接，將繞點C順時針方向旋轉得，連接，若，則的最小值為 ．

【答案】/
【分析】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及垂線段最短的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等以及垂線段最短進行解答．連接，依據構造全等三角形，即，將的長轉化為的長，再依據垂線段最短得到當最短時，亦最短，根據，，即可求得的長的最小值．
【詳解】解：如圖，連接，

由題意可得，∴ ，
在和中，， ∴，∴，
當時，最短，此時也最短，
∵， ，∴，∴ ∴，
∴當時， ，∴的最小值為．故答案為：．
13．（2023上·湖南長沙·九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點C是y軸上一動點，設其坐標為，線段繞點C逆時針旋轉至線段，則點B的坐標為 ，連接，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】本題考查坐標與圖形變化一旋轉，全等三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是正確尋找點的運動軌跡，屬于中考常考題型．
設，過點作軸，垂足為點，證明，推出，可得點的坐標為，推出點的運動軌跡是直線，根據垂線段最短解決問題即可．
【詳解】設，過點作軸，垂足為點，

∵線段繞著點按逆時針方向旋轉至線段，
∵點，點，∴點的坐標為，∴點的運動軌跡是直線，
∵直線交軸于，交軸于，
過點作于．則，
根據垂線段最短可知，當點與點重合時，的值最小，最小值為，
故答案為：；．
14．（2022·貴州畢節·中考真題）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為______．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據平行四邊形的性質，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明利用對應線段的比得到的長度，繼而得到PQ的長度．
【詳解】解：∵，∴，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線，
∵,∴,
∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為，故答案為：．
【點睛】考查線段的最小值問題，結合了平行四邊形性質和相似三角形求線段長度，本題的關鍵是利用垂線段最短求解，學生要掌握轉換線段的方法才能解出本題．
15．（2023·內蒙古呼和浩特·統考一模）如圖在菱形中，為對角線與的交點，點為邊上的任一點（不與、重合），過點分別作，，、為垂足，則可以判斷四邊形的形狀為______．若菱形的邊長為，，則的最小值為____．（用含的式子表示）
【答案】 矩形 /
【分析】根據菱形的性質即可得到，根據，即可得到，根據矩形的判定方法即可判斷出四邊形是矩形；根據菱形的邊長為，即可求出，，的長度，根據四邊形是矩形即可得到，即可判斷出當時，取得最小值，也取得最小值，根
據三角形的面積計算方法，即可求出的最小值，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，連接
∵四邊形是菱形，∴，
∵，，∴，∴四邊形是矩形；
∵菱形的邊長為，，∴，，
∴是等邊三角形．∴，∴，∴，
∵四邊形是矩形，∴，
∴當時，取得最小值，也取得最小值，此時，
∴，∴的最小值為，故答案為：矩形，．
【點睛】本題考查矩形的判定及性質、垂線段最短以及菱形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題關鍵．
16．（2023·浙江紹興·九年級統考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點B為圓心，BD長為半徑作圓，點E為上的動點，連結EC，作FC⊥CE，垂足為C，點F在直線BC的上方，且滿足，連結BF．當點E與點D重合時，BF的值為 ．點E在上運動過程中，BF存在最大值為 ．
【答案】 /
【分析】根據題意可知當點E與點D重合時，點F在AC上，且可求出的長，從而可求出CF的長，即在中，利用勾股定理求出BF的長即可；連接AF、BE，由題意即可求出．再根據，，可得出，即證明，得出．從而可求出AF的長，即說明點F在以點A為圓心，半徑為1的圓上運動．則可知當點F在BA的延長線上時BF最大，最大值為．在中，利用勾股定理求出AB的值，即得出答案．
【詳解】根據題意可知，當點E與點D重合時，點F在AC上，如圖，
∵，∴．
∴在中，；如圖，連接AF、BE
∵，，∴．
∵，，∴，
∴，∴．
∵，∴，即AF的長為定值．∴點F在以點A為圓心，半徑為1的圓上運動．∴當點F在BA的延長線上時BF最大，且值為．
在中，，∴．故答案為：，．
【點睛】本題考查勾股定理，三角形相似的判定和性質，較難．利用數形結合的思想是解答本題的關鍵．在解決第二個空時，證明出點F在以點A為圓心，半徑為1的圓上運動是關鍵．
17．（2023·福建泉州·統考模擬預測）如圖，點是正方形的內部一個動點（含邊界），且，點在上，，則以下結論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是 ．

【答案】①②④
【分析】由題意可得點在以為圓心，為半徑的圓上運動，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，則當點在上時，有最小值為，當點在上時，有最小值為，故①②正確；由“”可證≌，可得，則當，，三點共線時，取得最小值，最小值為的長，由勾股定理可求的長，可判斷④正確；即可求解．
【詳解】解：在上截取，連接，，，如圖所示：
四邊形是正方形，，，，
，，，，
點在以為圓心，為半徑的圓上運動，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，
當點在上時，有最小值為，當點在上時，有最小值為，故①②正確；

在和中，，≌，，
當，，三點共線時，取得最小值，最小值為的長，
，故DE的最小值為，故④正確；
當點在上時，有最小值為，此時，與不一定相等，故③不一定正確；
故答案為：①②④．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，點與圓上點距離最值問題等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
三、解答題
18．（2023江西九江九年級期末）（1）回歸教材：北師大七年級下冊P44，如圖1所示，點P是直線m外一點，，點O是垂足，點A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發現了什么？
最短線段是______，于是，小明這樣總結：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，______．
（2）小試牛刀：如圖2所示，中，，，．則點P為AB邊上一動點，則CP的最小值為______．（3）嘗試應用：如圖3所示是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉60°得到BE，連接PE、DE、CE．
①請直接寫出DE的最小值．②在①的條件下求的面積．
（4）拓展提高：如圖4，頂點F在矩形ABCD的對角線AC上運動，連接AE．
．，，請求出AE的最小值．
【答案】（1）PO，垂線段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面積為；（4）AE的最小值為．
【分析】（1）根據垂線段的性質即可解答；（2）由（1）知當PC⊥AB時，PC取得最小值，利用面積法即可求解；（3）①根據旋轉的性質，旋轉前后的圖形對應線段、對應角相等，可證得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到點E在射線CE上，根據“垂線段最短”這一定理，當∠DEC=90°時，DE最短，據此求解即可；②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的長，即可求解；（4）作出如圖的輔助線，先判斷出點E在直線GH上運動，根據“垂線段最短”這一定理，當AE⊥GH時，AE最短，利用相似三角形的判定和性質、勾股定理以及三角形面積公式即可求解．
【詳解】解：（1）∵PO⊥直線m，∴從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．
故答案為：PO，垂線段最短；
（2）由（1）知當PC⊥AB時，PC取得最小值，S△ABC=ACBC=ABPC，
∴PC=，即CP的最小值為，故答案為：；
（3）①由旋轉知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，邊長為4，
∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，
∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；
∵點P為高AD上的一個動點，∴點E在射線CE上，
根據“垂線段最短”可知，當DE⊥CE時，DE最短．
∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=CD=1，即DE的最小值是1；
②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE，
在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=，∴PB=，
∴等邊三角形△PBE的高為，∴△BPE的面積為=；
（4）過點B作BH⊥AC于點H，則∠BHC=90°，
∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，
∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此時點F與點C重合，點E與點H重合，
∵AB=3，BC=4，∴AC=，
∵S△ABC=ABBC=ACBH，∴BH=，∴AH=，
取AB中點G，過點G作GI⊥AB交AC于點I，則∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，
∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此時點F與點I重合，點E與點G重合，
頂點F在矩形ABCD的對角線AC上運動，且，
四點共圓，
∴點E在直線GH上運動，
根據“垂線段最短”這一定理，當AE⊥GH時，AE最短，過點H作HP⊥AB于點P，
∴△APH△ABC，∴，即，
∴PH=，AP=，∴PG=AG-AP=，∴GH=，
∵S△AGH=AGPH=GHAE，∴AE=，∴AE的最小值為．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的性質與判定，垂線段最短，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，四點共圓的判定等知識，解決本題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題．
19．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角等于，連接．
(1)當點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當時，求的長；
(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．
【答案】(1)見詳解(2)或(3)
【分析】（1）證明即可得證．（2）分情況討論，當點E在BC上時，借助，在中求解；當點E在CD上時，過點E作EG⊥AB于點G，FH⊥AC于點H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當點E在BC和CD上時，點F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．
（1）如圖所示，由題意可知，，，
，由旋轉性質知：AE=AF，
在和中，，，．
（2）當點E在BC上時，在中，，，則，
在中，，，則，由（1）可得，，
在中，，，則，
當點E在CD上時，如圖，過點E作EG⊥AB于點G，FH⊥AC于點H，同（1）可得，
，由勾股定理得；
故CF的長為或．
（3）如圖1所示，當點E在BC邊上時，過點D作于點H，由（1）知，，
故點F在射線MF上運動，且點F與點H重合時，DH的值最小．
在與中，，，
，即，，，，
在與中，，，
，即，，故的最小值；
如圖2所示，當點E在線段CD上時，將線段AD繞點A順時針旋轉的度數，得到線段AR，連接FR，過點D作，，由題意可知，，
在與中，，，，
故點F在RF上運動，當點F與點K重合時，DF的值最小；
由于，，，故四邊形DQRK是矩形；
，，
，，
故此時DF的最小值為；由于，故DF的最小值為．
【點睛】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關鍵是各性質定理的綜合應用．
20．（2023上·福建廈門·八年級校考期中）如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點B的坐標是，點B在x軸上，且，點D是y軸上的一點，以為邊向下作等邊．
(1)如圖2，當點D在線段 上，且時，求證：平分；(2)如圖3，當點E落在y軸上時，求點E的坐標；(3)若點D從點A出發沿著y軸向下滑動，點E到原點的距離存在最小值嗎？若存在，證明并求出最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見詳解(2)(3)
【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到，證明，根據全等三角形的性質證明；（2）設，根據直角三角形的性質求出，得到答案；（3）在軸上取點，使，連接，證明，得到，得到答案．
【詳解】（1）證明：，，，，
是等邊三角形，，
在和中，，，，即平分；
（2）解：是等邊三角形，，
，設，則，，，
，，，
，解得，；
（3）證明：如圖，在軸上取點，使，連接，
∴是等邊三角形∴
，，
在和中，，，，
當在上滑動時，點總在與軸夾角為的直線上滑動．
當時，最短，在中，
【點睛】本題是三角形的綜合題，考查的是等邊三角形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
21．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．
(1)如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．
①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：(2)的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）①先根據定義和求出點的坐標，再根據點關于點的對稱點為求出點Q的坐標；②延長ON至點，連接AQ，利用AAS證明，得到，再計算出OA，OM，ON，即可求出；（2）連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，結合對稱的性質得出NM為的中位線，推出，得出，則．
(1)解：①點Q如下圖所示．
∵點，∴點向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點，∴，
∵點關于點的對稱點為，，∴點的橫坐標為：，縱坐標為：，
∴點，在坐標系內找出該點即可；
②證明：如圖延長ON至點，連接AQ，
∵ ，∴，在與中，
，∴，∴，
∵ ，，，∴，，，
∴，∴，∴；
(2)解：如圖所示，連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，
∵，點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，∴，
∵點關于點的對稱點為，∴，又∵，∴OM∥ST，
∴NM為的中位線，∴，，
∵，∴，∴，
在中，，結合題意，，，
∴，即長的最大值與最小值的差為．
【點睛】本題考查點的平移，對稱的性質，全等三角形的判定，兩點間距離，中位線的性質及線段的最值問題，第2問難度較大，根據題意，畫出點Q和點的軌跡是解題的關鍵．
22．（2023·重慶·統考中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點． 若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內得到． 連接，點為的中點，連接，當取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內得到，請直接寫出此時的值．

【答案】(1)(2)見解析(3)
【分析】（1）解，求得，根據即可求解；
（2）延長使得，連接，可得，根據，得出四點共圓，則，，得出，結合已知條件得出，可得，即可得證；（3）在取得最小值的條件下，即，設，則，，根據題意得出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取的中點，連接，則是的中位線，在半徑為的上運動，當取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，連接，交于點，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內得到，則，在中，勾股定理求得，進而即可求解．
【詳解】（1）解：在中，，，∴，
∵，∴；
（2）證明：如圖所示，延長使得，連接，

∵是的中點則，，，
∴，∴，∴，∴
∵是等邊三角形，∴，
∵，∴四點共圓，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）解：如圖所示，

在取得最小值的條件下，即，設，則，，
∴，，
∵將沿所在直線翻折至所在平面內得到．
∴∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，
取的中點，連接，則是的中位線，∴在半徑為的上運動，
當取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，∵是的中點，∴，
∴是等邊三角形，則，∴，
∵，，∴，
∴，，
∵，∴，如圖所示，連接，交于點，則四邊形是矩形，

∴，是的中點，∴
即是的中位線，同理可得是的中位線，
∴，
∵是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內得到，
∴∴
則
在中， ∴．
【點睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，三角形中位線的性質，折疊的性質，圓外一點到圓上距離的最值問題，垂線段最短，矩形的性質，等邊三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.6 瓜豆模型
動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為直線型和曲線型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。
主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆。“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。
1、運動軌跡為直線
1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？
解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．
理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．
2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？
解析：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。
理由：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。
3）確定動點軌跡的方法（重點）
①當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；
②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；
③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線；
④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；
⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。
2、運動軌跡為曲線
1）如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？
如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
2）如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？
如圖，連結AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
考向一　瓜豆模型（直線軌跡）-已知軌跡
例1．（2022·湖南湘西·統考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
例2．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，點H、G分別是邊CD、BC上的動點．連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF則EF的最大值與最小值的差為__________．
例3．（2023·四川雅安·統考中考真題）如圖，在中，．P為邊上一動點，作于點D，于點E，則的最小值為 ．

例4．（2023·廣東·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為10，E為BA延長線上一動點，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為__________．
考向二　瓜豆模型（直線軌跡）-未知軌跡
例1．（2023·黑龍江綏化·統考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

例2．（2023·江蘇·一模）如圖，正方形ABCD的邊長為7，E為BC上一點，且BE＝，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為_____．
例3．（2022·山東泰安·統考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（ ）
A． B． C．3 D．
例4．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉90°，得到點，連接，則的最小值為(　　)
A． B． C． D．
考向三　瓜豆模型（曲線軌跡）
例1.（2023.重慶九年級期末）如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．
例2．（2023·四川廣元·統考一模）如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為 ．
例3．（2023·四川宜賓·統考中考真題）如圖，是正方形邊的中點，是正方形內一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉得到線段，連接．若，，則的最小值為 ．

例4．（2023·山東泰安·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
一、選擇題
1．（2023春·山東八年級期末）如圖，已知點，，，，為直線上一動點，則的對角線的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
2．（2023·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．6
3．（2023·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長為的正方形中，是邊的中點，是邊上的一個動點不與重合，以線段為邊在正方形內作等邊，是邊的中點，連接，則在點運動過程中，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽·合肥三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河南新鄉·九年級校考期中）如圖，中，，，，點E是邊上一點，將繞點B順時針旋轉到，連接，則長的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
6．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點D是邊的中點，點P是邊上一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
7.（2023上·江蘇揚州·九年級校聯考期中）如圖，正方形的邊長為4，點是正方形對角線所在直線上的一個動點，連接，以為斜邊作等腰（點，，按逆時針排序），則長的最小值為（　　）

A． B． C．4 D．
8．（2023上·山西臨汾·九年級統考期中）如圖，在中，，，點，分別是，邊上的動點，連結，，分別是，的中點，則的最小值為（ ）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
二、填空題
9．（2023·廣東·珠海市三模）如圖正方形的邊長為3，E是上一點且，F是線段上的動點．連接，將線段繞點C逆時針旋轉 90°得到，連接，則的最小值是_____．
10．（2023·河南洛陽·統考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點E在線段BC上運動（含B、C兩點）．連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉60°得到AF，連接DF，則線段DF長度的最小值為______．
11．（2023江蘇揚州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉一周，則線段AF的最小值是______．
12．（2023上·湖北武漢·九年級校聯考期中）如圖，已知，B為上一點，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動點，連接，將繞點C順時針方向旋轉得，連接，若，則的最小值為 ．

13．（2023上·湖南長沙·九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點C是y軸上一動點，設其坐標為，線段繞點C逆時針旋轉至線段，則點B的坐標為 ，連接，則的最小值是 ．

14．（2022·貴州畢節·中考真題）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為______．
15．（2023·內蒙古呼和浩特·統考一模）如圖在菱形中，為對角線與的交點，點為邊上的任一點（不與、重合），過點分別作，，、為垂足，則可以判斷四邊形的形狀為______．若菱形的邊長為，，則的最小值為____．（用含的式子表示）
16．（2023·浙江紹興·九年級統考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點B為圓心，BD長為半徑作圓，點E為上的動點，連結EC，作FC⊥CE，垂足為C，點F在直線BC的上方，且滿足，連結BF．當點E與點D重合時，BF的值為 ．點E在上運動過程中，BF存在最大值為 ．
17．（2023·福建泉州·統考模擬預測）如圖，點是正方形的內部一個動點（含邊界），且，點在上，，則以下結論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是 ．

三、解答題
18．（2023江西九江九年級期末）（1）回歸教材：北師大七年級下冊P44，如圖1所示，點P是直線m外一點，，點O是垂足，點A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發現了什么？
最短線段是______，于是，小明這樣總結：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，______．
（2）小試牛刀：如圖2所示，中，，，．則點P為AB邊上一動點，則CP的最小值為______．（3）嘗試應用：如圖3所示是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉60°得到BE，連接PE、DE、CE．
①請直接寫出DE的最小值．②在①的條件下求的面積．
（4）拓展提高：如圖4，頂點F在矩形ABCD的對角線AC上運動，連接AE．
．，，請求出AE的最小值．
19．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角等于，連接．
(1)當點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當時，求的長；
(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．
20．（2023上·福建廈門·八年級校考期中）如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點B的坐標是，點B在x軸上，且，點D是y軸上的一點，以為邊向下作等邊．
(1)如圖2，當點D在線段 上，且時，求證：平分；(2)如圖3，當點E落在y軸上時，求點E的坐標；(3)若點D從點A出發沿著y軸向下滑動，點E到原點的距離存在最小值嗎？若存在，證明并求出最小值；若不存在，請說明理由．
21．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．
(1)如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．
①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：(2)的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）
22．（2023·重慶·統考中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點． 若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內得到． 連接，點為的中點，連接，當取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內得到，請直接寫出此時的值．

21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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