資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.7 隱圓模型
隱圓是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中常考題，題目常以動態問題出現，有點、線的運動，或者圖形的折疊、旋轉等，大部分學生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見形式：動點定長、定弦對直角、定弦對定角、四點共圓等，上述四種動態問題的軌跡是圓。題目具體表現為折疊問題、旋轉問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強，隱蔽性強,很容易造成同學們的丟分。本專題就隱圓模型的相關問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
1）動點定長模型（圓的定義）
若P為動點，且AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑
圓的定義：平面內到定點的距離等于定值的所有點構成的集合．
尋找隱圓技巧：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧．
2）定邊對直角模型（直角對直徑）
固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A、B、C三點共圓，AB為直徑
尋找隱圓技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧．
3）定邊對定角模型（定弦定角模型）
固定線段AB所對同側動角∠P=∠C，則A、B、C、P四點共圓
根據圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相．
尋找隱圓技巧：AB為定值，∠P為定角，則P點軌跡是一個圓．
4）四點共圓模型
四點共圓模型我們在上一專題中已經詳細講解了，本專題就不再贅述了。在此就針對幾類考查頻率高的模型作相應練習即可。
1）若平面上A、B、C、D四個點滿足，則A、B、C、D四點共圓．
條件：1）四邊形對角互補；2）四邊形外角等于內對角．
2）若平面上A、B、C、D四個點滿足，則A、B、C、D四點共圓．
條件：線段同側張角相等．
考向一　動點定長模型（圓的定義）
例1．（2023·山東泰安·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
例2．（2023·廣東清遠·統考三模）如圖，在，，E為邊上的任意一點，把沿折疊，得到，連接．若，，則的最小值為 ．
例3．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，正方形ABCD中，，E是的中點．以點C為圓心，長為半徑畫圓，點P是上一動點，點F是邊上一動點，連接，若點Q是的中點，連接，，則的最小值為 ．
考向二　定邊對直角模型（直角對直徑）
例1．（2023·山東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為 ．

例2．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）如圖，以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，點E為上一動點，作于點F．當點E從點B出發，順時針旋轉到點D時，點F所經過的路徑長為（ ）

A． B． C． D．
例3．（2022·內蒙古·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點從點出發，在內運動且始終保持，當，兩點距離最小時，動點的運動路徑長為______．
例4．（2023·廣東·九年級課時練習）如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點P為CA上的動點，連BP，過點A作AM⊥BP于M．當點P從點C運動到點A時，線段BM的中點N運動的路徑長為（ ）
A．π B．π C．π D．2π
考向三　定邊對定角模型（定弦定角模型）
例1.（2023·四川自貢·統考中考真題）如圖，分別經過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊上自A向C運動，點F在邊上自C向B運動，且運動速度相同，連接交于點P，連接，在運動過程中，點P的運動路徑長為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·成都市·九年級專題練習）如圖所示，在扇形中，，，點是上的動點，以為邊作正方形，當點從點移動至點時，求點經過的路徑長．

例4．（2023上·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2，點C是優弧AB上的一動點，BD⊥BC交直線AC于點D，當點C從△ABC面積最大時運動到BC最長時，點D所經過的路徑長為 ．
考向四　四點共圓模型
例1．（2023·安徽阜陽·九年級校考期中）如圖，O為線段的中點，點A，C，D到點O的距離相等，則∠A與∠C的數量關系為（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山西臨汾·九年級統考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
例3．（2023·江蘇鎮江·校聯考一模）如圖，菱形的邊長為，，點為邊的中點．點從點出發，以每秒個單位的速度向點運動，點同時從點出發，以每秒個單位的速度向點運動，連接，過點作于點．當點到達點時，點也停止運動，則點的運動路徑長是（ ）
A． B．12 C． D．
例4．（2023.江蘇九年級期末）如圖，在中，，，，點P為平面內一點，且，過C作交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為 ．
一、選擇題
1．（2023上·江蘇南通·九年級校考階段練習）如圖，等邊三角形ABC與等邊三角形EFB共端點B，BC＝2，BF＝，△EFB繞點B旋轉，∠BCF的最大度數（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2023上·安徽六安·九年級校考期末）如圖，是等邊三角形，，點是內一點，且，連接，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·廣西·中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（　　）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江杭州·九年級校聯考期中）如圖，點在線段上，，以為圓心，為半徑作，點在上運動，連接，以為一邊作等邊，連接，則長度的最小值為（　　）

A． B． C． D．
5．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，C，N的坐標分別為，，，以點C為圓心，3為半徑畫，點P在上運動，連接，交于點Q，點M為線段的中點，連接，則線段的最小值為（ ）
A．7 B．10 C． D．
6．（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南·二模）如圖，正方形中，，，點坐標為，連接，點為邊上一個動點，連接，過點作于點，連接，當取最小值時，點的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．的最小值為
二、填空題
9．（2023上·浙江麗水·九年級統考期中）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，是弧上的一個動點，連結，過點點作于點，連結，在點移動的過程中．（1） ；（2）的最小值是 ．
10．（2023上·山東日照·九年級校考期中）如圖，中，，過點作的平行線為直線上一動點，為的外接圓，直線交于點，則的最小值為 ．
11．（2023.湖北九年級期中）如圖，在中，，，，點在以為直徑的半圓上運動，由點運動到點，連接，點是的中點，則點經過的路徑長為 　　．
12．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，在矩形中，已知，，點是邊上一動點點不與點，重合，連接，作點關于直線的對稱點，連接，則的最小值為 ．
13．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，點是邊上一動點，連結，以為直徑的圓交于點，則長度的最小值是 ．

14．（2021·廣東·統考中考真題）在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為 ．
15．（2023·浙江·一模）如圖，在中，，．分別以、為斜邊，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，則和面積之和為 ；連接，則線段的最大值為 ．
16．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點，連接DE，則線段DE長度的最小值為______．
17．（2023陜西中考模擬）如圖，在等邊中，，點P為AB上一動點，于點D，于點E，則DE的最小值為_____．
三、解答題
18．（2023上·江蘇宿遷·九年級統考期中）如圖1，點是直徑上一點，，，過點作弦，點在上運動，連接．(1)求的長．(2)如圖，連接，作的角平分線交于點，在點運動的過程中，的長度是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不會發生變化，請求出其值．(3)如圖，過點作于，連接，求的最小值．

19．（2023下·廣東廣州·九年級校校考階段練習）如圖，為等邊三角形，點P是線段上一動點（點P不與A，C重合），連接，過點A作直線的垂線段，垂足為點D，將線段繞點A逆時針旋轉得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，延長交于點F，若的邊長為2；①求的最小值；②求的最大值．
20．（2023·陜西延安·九年級統考期末）問題提出
（1）如圖①，內接于半徑為4的，是的中位線，則的最大值是_________；
問題探究（2）如圖②，在等腰中，，，邊上的中線，求等腰外接圓的半徑；
問題解決（3）如圖③，工人師傅現要在一張足夠大的板材上剪裁出一個形狀為的部件，已知的部件要滿足，邊上的中線，且邊與邊之和要最大，是否能剪裁出滿足要求的三角形部件？若能，請求出的最大值；若不能，請說明理由．
21．（2023·江蘇鹽城·九年級統考期中）【實驗操作】
已知線段BC＝2，用量角器作，合作學習小組通過操作、觀察、討論后發現：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），小麗同學畫出了符合要求的一條圓弧（圖1）．
(1)請你幫助解決小麗同學提出的問題：
①該弧所在圓的半徑長為______；②面積的最大值為______；
(2)【類比探究】小亮同學所畫的角的頂點在圖1所示的弓形內部，記為，請你證明；
(3)【問題拓展】結合以上探究活動經驗，解決新問題：如圖2，在平面直角坐標系的第一象限內有一點，過點B作軸，軸，垂足分別為A、C，若點P在線段上滑動（點P可以與點A、B重合），使得的位置有兩個，求m的取值范圍．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.7 隱圓模型
隱圓是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中常考題，題目常以動態問題出現，有點、線的運動，或者圖形的折疊、旋轉等，大部分學生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見形式：動點定長、定弦對直角、定弦對定角、四點共圓等，上述四種動態問題的軌跡是圓。題目具體表現為折疊問題、旋轉問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強，隱蔽性強,很容易造成同學們的丟分。本專題就隱圓模型的相關問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
1）動點定長模型（圓的定義）
若P為動點，且AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑
圓的定義：平面內到定點的距離等于定值的所有點構成的集合．
尋找隱圓技巧：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧．
2）定邊對直角模型（直角對直徑）
固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A、B、C三點共圓，AB為直徑
尋找隱圓技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧．
3）定邊對定角模型（定弦定角模型）
固定線段AB所對同側動角∠P=∠C，則A、B、C、P四點共圓
根據圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相．
尋找隱圓技巧：AB為定值，∠P為定角，則P點軌跡是一個圓．
4）四點共圓模型
四點共圓模型我們在上一專題中已經詳細講解了，本專題就不再贅述了。在此就針對幾類考查頻率高的模型作相應練習即可。
1）若平面上A、B、C、D四個點滿足，則A、B、C、D四點共圓．
條件：1）四邊形對角互補；2）四邊形外角等于內對角．
2）若平面上A、B、C、D四個點滿足，則A、B、C、D四點共圓．
條件：線段同側張角相等．
考向一　動點定長模型（圓的定義）
例1．（2023·山東泰安·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如圖所示，延長到E，使得，連接，根據點A的坐標為得到，再證明是的中位線，得到；解得到，進一步求出點C在以O為圓心，半徑為4的圓上運動，則當點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，據此求出的最小值，即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，延長到E，使得，連接，
∵的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為，
∴，∴，∴，
∵點M為中點，點A為中點，∴是的中位線，∴；
在中，，∴，
∵將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，∴點C在以O為圓心，半徑為4的圓上運動，
∴當點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，
∵，∴的最小值為，∴的最小值為3，故選A．

【點睛】本題主要考查了一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．
例2．（2023·廣東清遠·統考三模）如圖，在，，E為邊上的任意一點，把沿折疊，得到，連接．若，，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】本題考查翻折變換，最短路線問題，勾股定理，先確定點的運動路線，并確定最小時點所在位置，再求出的長度即可．確定點的運動路線是解題的關鍵．
【詳解】解：∵沿折疊，得到，∴，
∴點F在以B為圓心6為半徑的圓上，設以B為圓心6為半徑的圓與交于點，
則，的最小值為的長；
在中，∵，，∴，
∴，∴的最小值為4，故答案為：4．
例3．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，正方形ABCD中，，E是的中點．以點C為圓心，長為半徑畫圓，點P是上一動點，點F是邊上一動點，連接，若點Q是的中點，連接，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】取點關于直線的對稱點，連接、兩線交于點，連接，，，過作于點，則，所以點在以為圓心，為半徑的上運動，求出，則，由勾股定理得，由，所以當、、、四點共線時，的值最小，所以的最小值為．
【詳解】解：取點關于直線的對稱點，連接、兩線交于點，連接，，，過作于點，

正方形ABCD中，，E是的中點，，
點是的中點，點是的中點，，
點在以為圓心，為半徑的上運動，
四邊形是正方形，，，，
，，，，
當、、、四點共線時，的值最小，
的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查圓的有關性質的應用，正方形的性質，兩點之間線段最短公理的應用，勾股定理，解題的關鍵是正確確定點的運動路徑．
考向二　定邊對直角模型（直角對直徑）
例1．（2023·山東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為 ．

【答案】/
【分析】設的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設與的交點為點，證明，可知點F在以為直徑的半圓上運動，當點F運動到與的交點時，線段有最小值，據此求解即可．
【詳解】解：設的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設與的交點為點，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴點F在以為直徑的半圓上運動，
∴當點F運動到與的交點時，線段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據題意分析得到點F的運動軌跡是解題的關鍵．
例2．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）如圖，以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，點E為上一動點，作于點F．當點E從點B出發，順時針旋轉到點D時，點F所經過的路徑長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，，，先由圓周角定理得到點F的運動軌跡是以為直徑的圓上，且點O在圓上，進而得到當點E從點B出發，順時針旋轉到點D時，點F所經過的路徑長為的長；根據勾股定理和銳角三角函數求得，，則所對的圓心角的度數為，利用弧長公式求得的長即可求解．
【詳解】解：連接，，，∵，∴，

∴點F的運動軌跡是以為直徑的圓上，且點O在圓上，當點E在點B處時，，點F與O重合；當點E在點D處時，∵以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，∴即，點F與A重合，
∴當點E從點B出發，順時針旋轉到點D時，點F所經過的路徑長為的長；
∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，則所對的圓心角的度數為，
∴的長為，即點F所經過的路徑長為，故選：B．
【點睛】本題考查圓周角定理、解直角三角形、弧長公式、坐標與圖形等知識，正確得到點F的運動軌跡以及點F所經過的路徑長為的長是解答的關鍵．
例3．（2022·內蒙古·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點從點出發，在內運動且始終保持，當，兩點距離最小時，動點的運動路徑長為______．
【答案】
【分析】根據題中的條件可先確定點P的運動軌跡，然后根據三角形三邊關系確定CP的長最小時點P的位置，進而求出點P的運動路徑長．
【詳解】解：為的直徑，
∴點P在以AB為直徑的圓上運動，且在△ABC的內部，
如圖，記以AB為直徑的圓的圓心為，連接交于點，連接
∴當點三點共線時，即點P在點處時，CP有最小值，
∵∴ 在中，
∴∠∴∴兩點距離最小時，點P的運動路徑長為
【點睛】本題主要考查了直徑所對圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點P的路徑是解答本題的關鍵．
例4．（2023·廣東·九年級課時練習）如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點P為CA上的動點，連BP，過點A作AM⊥BP于M．當點P從點C運動到點A時，線段BM的中點N運動的路徑長為（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】A
【詳解】解：設AB的中點為Q，連接NQ，如圖所示：
∵N為BM的中點，Q為AB的中點，∴NQ為△BAM的中位線，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴點N的路徑是以QB的中點O為圓心，AB長為半徑的圓交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴為⊙O的周長，∴線段BM的中點N運動的路徑長為：π，故選：A．
在中，點、為、的中點，，，
，即，點在以為直徑的半圓上，
，點的運動路徑長為，故答案為：．
考向三　定邊對定角模型（定弦定角模型）
1.（2023·四川自貢·統考中考真題）如圖，分別經過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，，得出的軌跡是圓，取點，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當與相切時，最大，則正弦值最大，據此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過點作軸于點，則，
則的橫坐標為，縱坐標為，∴，
取點，則是的中位線，∴，
∵，∴點在半徑為的上運動，∵是的中位線，∴，
∴，當與相切時，最大，則正弦值最大，
在中，，
過點作軸，過點作于點，過點作于點， 則
∵與相切，∴，∴，
∴，∴，∴
設，,則∴∴
∴解得：∴
∴的最大值為，故選：A．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，求正弦，等邊三角形的性質。圓周角定理，得出點的軌跡是解題的關鍵．
例2．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊上自A向C運動，點F在邊上自C向B運動，且運動速度相同，連接交于點P，連接，在運動過程中，點P的運動路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點A作于A，作于，連接，交于，證明，得，再證明，可得，確定點的運動路徑是以點為圓心，以為半徑的弧，再由弧長公式求解即可．
【詳解】解：如圖，過點A作于A，作于，連接，交于，
是等邊三角形，，，，
，，是的垂直平分線，，
在中，，，，
，，，
，，，
點的運動路徑是以點為圓心，以為半徑的弧，
點P的運動路徑長為．故選：A．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判定，扇形的面積，動點的運動軌跡等知識，確定點的運動軌跡是解本題的關鍵．
例3．（2023·成都市·九年級專題練習）如圖所示，在扇形中，，，點是上的動點，以為邊作正方形，當點從點移動至點時，求點經過的路徑長．

【答案】點經過的路徑長為．
【分析】如圖，由此BO交⊙O于F，取的中點H，連接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝∠FHB，推出點D在⊙H上運動，軌跡是（圖中紅線），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3，利用弧長公式即可解決問題．
【詳解】解：如圖，由此BO交⊙O于F，取的中點H，連接FH、HB、BD．

易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，
∵∠FDB＝45°＝∠FHB，∴點D在⊙H上運動，軌跡是（圖中紅線），
易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3，
∴點D的運動軌跡的長為＝2π．
【點睛】本題考查軌跡、弧長公式、圓的有關知識、正方形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找點D的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．
例4．（2023上·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2，點C是優弧AB上的一動點，BD⊥BC交直線AC于點D，當點C從△ABC面積最大時運動到BC最長時，點D所經過的路徑長為 ．
【答案】π
【分析】如圖，以AB為邊向上作等邊三角形△ABF，連接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．說明點D的運動軌跡是以F為圓心，FA為半徑的圓，再利用弧長公式求解即可．
【詳解】如圖，以AB為邊向上作等邊三角形△ABF，連接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．
∵FA=FB，OA=OB，∴OF⊥AB，AH=BH=，∴sin∠BOH=，
∴∠BOH=∠AOH=60°，∴∠AOB=120°∴∠C=∠AOB=60°，
∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴∠CDB=30°，
∵∠AFB=60°，∴∠ADB=∠AFB，∴點D的運動軌跡是以F為圓心，FA為半徑的圓，
∵當點C從△ABC面積最大時運動到BC最長時，BC繞點B順時針旋轉了30°，
∴BD繞點B也旋轉了30°，∴點D的軌跡所對的圓心角為60°，
∴運動路徑的長，故答案為：．
【點睛】本題考查軌跡，垂徑定理，等邊三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
考向四　四點共圓模型
例1．（2023·安徽阜陽·九年級校考期中）如圖，O為線段的中點，點A，C，D到點O的距離相等，則∠A與∠C的數量關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意可得四邊形為的圓內接四邊形，即可求解．
【詳解】解∶∵O為線段的中點，點A，C，D到點O的距離相等，
∴點A，B，C，D到點O的距離相等，
∴點A，B，C，D在以O為圓心的圓上，即四邊形為的圓內接四邊形，
∴．故選：D
【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓內接四邊形的性質是解題的關鍵．
例2．（2023·山西臨汾·九年級統考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據題意得到點A，B，C，D四點共圓，然后證明出，進而得到，然后利用直角三角形的性質得到，進而求解即可．
【詳解】如圖所示，∵ ∴點A，B，C，D四點共圓，

∵∴∵∴∴
∵，∴ ∴∴．故選：D．
【點睛】此題考查了四點共圓，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
例3．（2023·江蘇鎮江·校聯考一模）如圖，菱形的邊長為，，點為邊的中點．點從點出發，以每秒個單位的速度向點運動，點同時從點出發，以每秒個單位的速度向點運動，連接，過點作于點．當點到達點時，點也停止運動，則點的運動路徑長是（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】如圖，連接、、，設、交于點，交于點，連接，設中點為，連接、，根據菱形及等邊三角形得性質可得，，可得出，可得必經過點，根據，可得點在以為直徑的圓上，根據、的速度及菱形性質可得當點達到點時，點達到點，，可得點點運動路徑長是的長，利用勾股定理可求出的長，根據圓周角定理可得，利用弧長公式即可得答案．
【詳解】如圖，連接、、，設、交于點，交于點，連接，設中點為，連接、，
∵菱形的邊長為，，∴，是等邊三角形，
∵點為邊的中點，∴，，，
∵點的速度為每秒個單位，點的速度為每秒個單位，∴，
∵，∴，∴，
∴，，∴必經過點，
∵，，∴點在以為直徑的圓上，且、、、四點共圓，
∵當點達到點時，點達到點，，∴點點運動路徑長是的長，
∵，，∴，
∴，即點點運動路徑長是．故選：D．
【點睛】本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、四點共圓的證明、勾股定理、圓周角定理及弧長公式，正確得出點的運動軌跡是解題關鍵．
例4．（2023.江蘇九年級期末）如圖，在中，，，，點P為平面內一點，且，過C作交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可得A、B、C、P四點共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關，當PC最大時CQ即取最大值．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四點共圓，AB為圓的直徑，AB=
∵∴∴△ABC∽△PQC
∴， ，即 ∴當PC取得最大值時，CQ即為最大值
∴當PC=AB=5時，CQ取得最大值為故選：B．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質以及四點共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等確定四點共圓，利用相似三角形性質得到線段間等量關系是解題關鍵．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為 ．
【答案】/
【分析】過點B作交的延長線于點H，過點D作于點E，過點D作于點F，點A,M,B,C四點共圓，得，解直角三角形，，面積法求解，，得．
【詳解】解析：過點B作交的延長線于點H，過點D作于點E，過點D作于點F，如圖所示：
∵∴點A,M,B,C四點共圓
∵∴∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴
【點睛】本題考查四點共圓，圓周角定理，解直角三角形，角平分線性質定理，添加輔助構造直角三角形是解題的關鍵．
一、選擇題
1．（2023上·江蘇南通·九年級校考階段練習）如圖，等邊三角形ABC與等邊三角形EFB共端點B，BC＝2，BF＝，△EFB繞點B旋轉，∠BCF的最大度數（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】由旋轉的性質可得點F在以點B為圓心，BF長為半徑的圓上，可得當CF'與⊙B相切時，∠BCF'的度數有最大值，由三邊關系得△CBF′是含30度角的直角三角形，即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵△EFB繞點B旋轉，∴點F在以點B為圓心，BF長為半徑的圓上，
∴當CF'與⊙B相切時，∠BCF'的度數有最大值，連接BF'，∴∠CF'B＝90°，
∵BC＝2，BF′＝BF＝，∴CF′＝＝1＝BC，
∴∠CBF′＝30°，∴∠BCF'＝60°，故選：C．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質以及直線與圓的位置關系，確定點F的運動軌跡是本題的關鍵．
2．（2023上·安徽六安·九年級校考期末）如圖，是等邊三角形，，點是內一點，且，連接，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據等邊三角形的性質得到，，繼而推出，可得點P在以為直徑的圓上，得知當C，D，P三點共線時，最小，再利用等邊三角形的性質和勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，
∵，∴，
整理得：，則，∴點P在以為直徑的圓上，
如圖，設的中點為D，連接，即長度不變，

∴，∴當C，D，P三點共線時，最小，此時，
∵，∴，，
∴的最小值為，故選D．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，圓周角定理，三角形三邊關系的應用，解題的關鍵是根據已知條件推出，得到點P在以為直徑的圓上．
3．（2023·廣西·中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．
∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圓A上，
∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，
∵FB是⊙A的直徑，∴∠FDB=90°，∴BD= = 故選B
4．（2023上·浙江杭州·九年級校聯考期中）如圖，點在線段上，，以為圓心，為半徑作，點在上運動，連接，以為一邊作等邊，連接，則長度的最小值為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以為邊，在的上面作等邊，使，，連接，，，根據全等三家巷的性質得到，連接并延長，交于點，則的最小值為，過作于，根據勾股定理即可得到答案．
【詳解】解：如圖，以為邊，在的上面作等邊，使，，連接，，，
，
，，
在和中，，，
，點的運動軌跡為以點為圓心，2為半徑的圓，
連接并延長，交于點，則的最小值為，過作于，
，，
，，
，長度的最小值為，故選：B．
【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
5．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，C，N的坐標分別為，，，以點C為圓心，3為半徑畫，點P在上運動，連接，交于點Q，點M為線段的中點，連接，則線段的最小值為（ ）
A．7 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了坐標與圖形的性質，掌握垂徑定理，勾股定理，兩點間的距離公式，直角三角形斜邊上中線的性質，三點共線等知識是解決問題的關鍵．
連接，，由垂徑定理得出，由直角三角形的性質得出，進而得出點M在以O為圓心，以3為半徑的上，得出當O、M、N三點共線時，有最小值，由，求出，進而求出，即線段的最小值為7．
【詳解】解：如圖1，連接，，
，，，O是的中點，
是的中點，，，，
∴點M在以O為圓心，以3為半徑的上，如圖2，當O、M、N三點共線時，有最小值，
，，，，
∴線段的最小值為7，故選：A．
6．（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖所示，以為斜邊，在右側作等腰直角，過點O作交延長線于E，連接，則，，先證明點B在以O為圓心，為半徑的圓周上運動（右側），故當點O在線段上時，最大，再求出的長，進而利用勾股定理求出的長即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，以為斜邊，在右側作等腰直角，過點O作交延長線于E，連接，∴，，
∵，∴點B在以O為圓心，為半徑的圓周上運動（右側），
∴當點O在線段上時，最大，∵是以為邊的等腰直角三角形，
∴，，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，在中，由勾股定理得，∴的最大值，故選D．
【點睛】不能退主要考查了圓外一點到圓上一點距離的最大值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，正確作出輔助線確定點B的軌跡是解題的關鍵．
7．（2023·河南·二模）如圖，正方形中，，，點坐標為，連接，點為邊上一個動點，連接，過點作于點，連接，當取最小值時，點的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取CD的中點為O1，連接EO1，所以點E的運動軌跡在以點O1為圓心，EO1為半徑的圓上，證明當O1、E、A三點共線時，AE最小，作，，再證明，利用相似性質及已知條件求解即可．
【詳解】解：∵，∴，
取CD的中點為O1，連接EO1，則，∴點E的運動軌跡在以點O1為圓心，EO1為半徑的圓上，
∵點為邊上一個動點，∴E從O運動到C（逆時針），
∴當O1、E、A三點共線時，AE最小，作，，
∵，，點坐標為且OABC為正方形，∴，
∵O1為CD中點，∴，，，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，即，解得：．故選：B
【點睛】本題考查動點問題，勾股定理，相似三角形的判定及性質，解題的關鍵是找出當O1、E、A三點共線時，AE最小．
8．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．的最小值為
【答案】D
【分析】先證明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，得DF=CE，判斷A項答案正確，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判斷B項答案正確，證△BEG△CEB得 ，即可判斷C項答案正確，由，BC=1，得點G在以線段BC為弦的弧BC上，易得當點G在等邊△ABC的內心處時，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判斷D項錯誤．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，故A項答案正確，∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項答案正確，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，
∴ ，∴，∵，∴，故C項答案正確，
∵，BC=1，點G在以線段BC為弦的弧BC上，
∴當點G在等邊△ABC的內心處時，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D項錯誤，故應選：D
【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質、等邊三角形的判定及性質、圓周角定理，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
二、填空題
9．（2023上·浙江麗水·九年級統考期中）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，是弧上的一個動點，連結，過點點作于點，連結，在點移動的過程中．（1） ；（2）的最小值是 ．
【答案】 2 /
【分析】（1）連接，因為是直徑，則，所以，所以；
（2）以為直徑作圓，連接、，在點移動的過程中，點在以為直徑的圓上運動，當、、共線時，的值最小，最小值為，利用勾股定理求出即可解決問題．
【詳解】解：（1）如圖，連接，是直徑，，
，，．故答案為：2；
（2）如圖，以為直徑作圓，連接，，，
在點移動的過程中，點在以為直徑的圓上運動，
在中，，，，
，，在中，，
，當、、共線時，的值最小，最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理、點與圓的位置關系，兩點之間線段最短，解題的關鍵是確定點的運動路徑是以為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中的壓軸題．
10．（2023上·山東日照·九年級校考期中）如圖，中，，過點作的平行線為直線上一動點，為的外接圓，直線交于點，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質、圓周角定理、勾股定理，點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是添加常用輔助線，構造輔助圓解決問題．
如圖，連接．首先證明，由此推出點在以為圓心，為半徑的上運動，連接交于，此時的值最小．
【詳解】解：如圖，連接．
∵，∴，∴，
∴，∴點在以為圓心，為半徑的上運動，
連接交于，此時的值最小．此時與交點為．
∵∴所對圓周角為，∴，
∵是等腰三角形，，∴，
∵，∴，
故答案為：．
11．（2023.湖北九年級期中）如圖，在中，，，，點在以為直徑的半圓上運動，由點運動到點，連接，點是的中點，則點經過的路徑長為 　　．
解：，，，，
連接，，是直徑，，即，
取，的中點和，連接，，，
在中，，為、的中點，，，
12．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，在矩形中，已知，，點是邊上一動點點不與點，重合，連接，作點關于直線的對稱點，連接，則的最小值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查圓外一點到圓上一點的最值，軸對稱的性質，矩形的性質．連接，得到，進而得到點在以點為圓心，為半徑的圓上，當，，三點共線時，線段的長度最小，求出此時的長度即可．解題的關鍵是確定點的運動軌跡．
【詳解】解：連接，點和關于對稱，，
在以圓心，為半徑的圓上，當，，三點共線時，最短，
，，，故答案為：．
13．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，點是邊上一動點，連結，以為直徑的圓交于點，則長度的最小值是 ．

【答案】/
【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質，圓周角定理，等腰直角三角形的性質，熟練掌握圓周角定理和等腰直角三角形的性質，確定點的運動軌跡，從而把問題轉化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題是解答本題的關鍵．
連接，根據圓周角定理，由為直徑，得到，由得到點在以為直徑的⊙上，當點、、共線時，最小，利用勾股定理求出，進而求得線段長度的最小值．
【詳解】解：如圖，連接，

為直徑，，，點在以為直徑的⊙上，
⊙的半徑為，當點、、共線時，最小，
在中，，，，
，即線段長度的最小值為．故答案為：．
14．（2021·廣東·統考中考真題）在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為 ．
【答案】
【分析】由已知，，根據定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知，點在以為圓心為半徑的圓上，線段長度的最小值為．
【詳解】如圖： 以為半徑作圓，過圓心作，
以為圓心為半徑作圓，則點在圓上，
,
線段長度的最小值為: ．故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角與圓心角的關系，圓外一點到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．
15．（2023·浙江·一模）如圖，在中，，．分別以、為斜邊，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，則和面積之和為 ；連接，則線段的最大值為 ．
【答案】 1
【分析】（1）設兩等腰直角三角形的腰長，然后用勾股定理，三角形面積公式即可求解；
（2）取AB中點F，設的外接圓為，因為A、F為定點，又可知為定值，所以D為圓上一動點，可知為一定圓，設點C在上時，可以確定圓心O的位置，然后BD的最大值迎刃而解．
【詳解】（1）、均是等腰直角三角形，設，，
，，即，=1．故答案為：1．
（2）如圖1，取AB中點F，連接DF，CF，
則AF=CF=BF=1，又AD=CD，DF垂直平分AC，，
設的外接圓為，A、F為圓上兩定點，點D為動點，又為定值，
為一位置與大小確定的定圓，當點C運動到上時（如圖2），
，，，，
為等腰直角三角形，四邊形AFCD為正方形，
的圓心O在此時正方形AFCD的中心處，
取AF中點G，連接OG，則OG=GF=，的半徑r=OF=，
，當BD過點O時（如圖3），BD最大，
此時BD的最大值為BO+r=+=．故答案為：．
【點睛】此題考查以直角三角形為背景的一道幾何綜合題，熟練運用勾股定理與三角形面積公式是解第一問的關鍵．第二問考查綜合運用幾何知識解決問題的能力，如何確定經過A、D、F三點的是一個定圓，且如何確定圓心O的位置，這是難點，而且難度較大．
16．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點，連接DE，則線段DE長度的最小值為______．
【答案】
【分析】先判斷出四邊形ABCD是圓內接四邊形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根據題意知點E在以FG為直徑的⊙P上，連接PD交⊙P于點E，此時DE長度取得最小值，證明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性質求解即可．
【詳解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是圓內接四邊形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，
分別取AB、AD的中點F、G，并連接FG，EF，EG，
∵E是AC的中點，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，∴點E在以FG為直徑的⊙P上，如圖：
當點E恰好在線段PD上，此時DE的長度取得最小值，連接PA，
∵F、G分別是AB、AD的中點∴FG∥BD，FG=BD=2，∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，∴△APG是等邊三角形，∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，
∴PD=，∴DE長度的最小值為() ．故答案為：()．
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，得到點E在以FG為直徑的⊙P上是解題的關鍵．
17．（2023陜西中考模擬）如圖，在等邊中，，點P為AB上一動點，于點D，于點E，則DE的最小值為_____．
【答案】
【詳解】如解圖，，故四邊形PDCE對角互補，故P、D、C、E四點共圓，，故，要使得DE最小，則要使圓的半徑R最小，故直徑PC最小，當時，PC最短為，故，故．
．
三、解答題
18．（2023上·江蘇宿遷·九年級統考期中）如圖1，點是直徑上一點，，，過點作弦，點在上運動，連接．(1)求的長．(2)如圖，連接，作的角平分線交于點，在點運動的過程中，的長度是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不會發生變化，請求出其值．(3)如圖，過點作于，連接，求的最小值．

【答案】(1)8(2)的長度不發生變化；(3)
【分析】（1）連接，根據，，確定圓的半徑為5，結合，據垂徑定理，得到，得．（2）連接，據垂徑定理，得到，利用三角形外角性質，圓周角定理，證明即可．（3）根據題意，點H的運動軌跡是以為直徑的上的，當D、H、N三點共線時，取得最小值，計算即可．
【詳解】（1）如圖，連接，∵，，∴，∴圓的半徑為5，

∵，∴，∴．
（2）的長度不發生變化；．理由如下：如圖，連接，
∵直徑，，，弦，，
∴，∴，
∵的角平分線交于點，∴，
∵，，
∴，∴，∴，故的長度不發生變化；．
（3）如圖，連接，∵，
∴點H的運動軌跡是以為直徑的上的，當D、H、N三點共線時，取得最小值，
連接，交于點M，故當H與M重合時，取得最小值，
∵，，，∴，
∴，過點N作于點F，則，∴，
∵，∴，，，
∴，∴，故最小值為．
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形外角性質，直角所對的弦是直徑，點圓最值，中位線定理，熟練掌握垂徑定理，圓的最值性質是解題的關鍵．
19．（2023下·廣東廣州·九年級校校考階段練習）如圖，為等邊三角形，點P是線段上一動點（點P不與A，C重合），連接，過點A作直線的垂線段，垂足為點D，將線段繞點A逆時針旋轉得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，延長交于點F，若的邊長為2；①求的最小值；②求的最大值．
【答案】(1)見解析(2)①，②2
【分析】（1）根據旋轉的性質可得，，根據等邊三角形的性質可得，，進而得出，即可求證，即可求證；
（2）①根據題意可得，則點D在以為直徑的圓上運動，連接，與相交于點D，此時最小，求解即可；②過點C作，交的延長線于點G，通過證明得出點F是中點，再根據，得出點A，點F，點C，點E四點在以為直徑的圓上，即可求解，當為直徑時，取得最大值，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵線段繞點A逆時針旋轉得到線段，∴，，
∵為等邊三角形，∴，，
∴，即，
在和中，，∴，∴．
（2）解：①∵，∴，∴點D在以為直徑的圓上運動，
連接，與相交于點D，此時最小，
∵為等邊三角形，為直徑，∴，
根據勾股定理可得：，∴．
②如圖，過點C作，交的延長線于點G，
∵，，∴，
∵，∴，由（1）可得，
∴，∴，
∴，∴，∴，且，
∴，∴，即點F是中點，
連接∵是等邊三角形，∴，∴，
∴，∴點A，點F，點C，點E四點在以為直徑的圓上
∴最大為直徑，即最大值為2．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，直徑所對的圓周角為直角，添加適當的輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
20．（2023·陜西延安·九年級統考期末）問題提出
（1）如圖①，內接于半徑為4的，是的中位線，則的最大值是_________；
問題探究（2）如圖②，在等腰中，，，邊上的中線，求等腰外接圓的半徑；
問題解決（3）如圖③，工人師傅現要在一張足夠大的板材上剪裁出一個形狀為的部件，已知的部件要滿足，邊上的中線，且邊與邊之和要最大，是否能剪裁出滿足要求的三角形部件？若能，請求出的最大值；若不能，請說明理由．
【答案】（1）4；（2）等腰外接圓的半徑為4；（3）的最大值為
【分析】（1）利用三角形的中位線定理解決問題即可．
（2）由題意AD垂直平分線段BC，推出△ABC的外接圓的圓心在線段AD上，設圓心為O，連接OB，OC．由題意∠BOC=2∠BAC=90°，設OA=OB=OC=r，則BC=r，OD=BD=CD=r，根據，構建方程求出r即可．（3）延長AD到E，使得DE=AD，連接EC，延長AC到F，使得CF=CE，連接EF，證明∠F=60°，因為，推出AE=30，推出點F的運動軌跡是圖中優弧AE，由題意，推出當AF是直徑時，AB+AC的值最大，由此即可解決問題．
【詳解】解：（1）∵是的中位線，∴MN=BC，
∵BC是⊙O的弦，且圓的半徑為4，∴BC≤8，
∴BC是最大值為8，∴MN的最大值為4．故答案為：4；
（2）∵，是邊上的中線，
∴垂直平分線段．∴的外接圓的圓心在線段上．
如圖，設圓心為，連接，．∴，
設，則，，
∵，∴，解得．∴等腰外接圓的半徑為4；
（3）如圖，延長到，使得，連接，延長到，使得，連接．
∵，，，∴．
∴，，∴，∴．
∵，∴是等邊三角形．∴．
∵，∴．∴點的運動軌跡是解圖中的優弧．
∵，∴當為直徑時，的值最大，
此時．∴，∴．∴，即，
∴，∴．∴的最大值為．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了三角形的中位線定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．
21．（2023·江蘇鹽城·九年級統考期中）【實驗操作】
已知線段BC＝2，用量角器作，合作學習小組通過操作、觀察、討論后發現：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），小麗同學畫出了符合要求的一條圓弧（圖1）．
(1)請你幫助解決小麗同學提出的問題：
①該弧所在圓的半徑長為______；②面積的最大值為______；
(2)【類比探究】小亮同學所畫的角的頂點在圖1所示的弓形內部，記為，請你證明；
(3)【問題拓展】結合以上探究活動經驗，解決新問題：如圖2，在平面直角坐標系的第一象限內有一點，過點B作軸，軸，垂足分別為A、C，若點P在線段上滑動（點P可以與點A、B重合），使得的位置有兩個，求m的取值范圍．
【答案】(1)①；②(2)見解析(3)
∵，∴，
又∵，∴是等邊三角形，
∴，即半徑為，故答案為：
②∵以為底邊，，
∴當點到的距離最大時，的面積最大，
如圖1，過點作的垂線，垂足為，延長，交圓于，
∴，，∴∴，
∴的最大面積為故答案為：
（2）解：如圖，延長，交圓于點，連接，∵，∴，
∵，∴，
∴，即；
（3）解：如圖2，以為邊作等腰直角三角形，以點為圓心，為半徑作圓，
（，），∴，，
∴當點在上方的圓上時，，
當點或點在圓上時，，即，
當與圓相切時，，∴．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，三角形的外角的性質，圓的有關知識，解題關鍵是理解題意，正確尋找點的運動軌跡．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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