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【全國(guó)通用】2024中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（重難點(diǎn)題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.4 阿氏圓模型
最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足 PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點(diǎn) A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
考向一　阿氏圓模型（1）
例1．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是___________．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出AD得到PA的最小值．
【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，
∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，
∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），
而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．
例2．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，，的半徑為2，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_______．的最小值_______
【答案】
【分析】①在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性質(zhì)推出，得到，由，推出當(dāng)D、P、G共線時(shí)，PD+PC的值最小，最小值為DG，再利用特殊角的三角函數(shù)值以及勾股定理求解即可；②連接BD，在BD上取一點(diǎn)M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性質(zhì)推出，當(dāng)M、P、C共線時(shí)，的值最小，最小值為CM，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可．
【詳解】①如圖，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1，連接PB、PG、GD，
作DF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于F．
∵，，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴當(dāng)D、P、G共線時(shí)，PD+PC的值最小，最小值為DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD sin60°=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG，故答案為：；
②如圖，連接BD，在BD上取一點(diǎn)M，使得BM=，連接PB、PM、MC，過M作MN⊥BC于N．
∵四邊形ABCD是菱形，且，　
∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，
∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，
∴，，∴，
且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，
∴，∴當(dāng)M、P、C共線時(shí)，的值最小，最小值為CM，
在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，
∴CN=4-，∴MC=，∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓綜合題、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．
例3．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．

【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為
(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或 或(3)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸，，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸，，∴，
將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；
將代入，得，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在點(diǎn)，∵直線的解析式為，拋物線對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
∴當(dāng)時(shí)，，∴，
①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，
得，解得，∴直線的解析式為，
解方程組，得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將代入，
得，解得，∴直線的解析式為，
解方程組，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 或
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或 或；
（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，∵，∴，∵，、∴，
又∵，∴，∴，即，∴，
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，
∵，∴，∴的最小值．

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
考向二　阿氏圓模型（2）
例1．（2023春·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 ．
【答案】2
【分析】解法1，如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，連接、，推得，因?yàn)椋蟪黾纯汕蟪龃鸢福?br/>解法2：如圖：連接、、，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，接著推導(dǎo)出，最后證明，即可求解．
【詳解】解法1：如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，
∴，，四邊形正方形，
又，
在與中，
故答案為：2．
解法2 如圖：連接、、 根據(jù)題意正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2
，
在上做點(diǎn)，使，則，連接
在與中，，則
在上做點(diǎn)，使，則，連接
在與中，
，則 如圖所示連接
在與中，，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)，難度較大，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用是解題關(guān)鍵．
例2．（2023·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為上一點(diǎn)，且，N為邊上一動(dòng)點(diǎn)．連接，將沿翻折得到，點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，連接，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】由折疊的性質(zhì)可得，點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，在線段上取一點(diǎn)，使得，利用相似三角形的性質(zhì)得到，從而得到，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：∴點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，
在線段上取一點(diǎn)，使得，則

∵，∴
又∵∴∴∴
∴
如下圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值
，∴的最小值為：故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，通過轉(zhuǎn)化思想把轉(zhuǎn)化為是解決此題的關(guān)鍵．
例3．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期中）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB=12，⊙C半徑為6，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=3，則有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．
（2）自主探索：如圖1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB=3，AP+PC的最小值為．（3）拓展延伸：如圖2，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
【答案】（1）AP+BP的最小值為3；（2）AP+PC的值最小值為5；（3）2PA+PB的最小值為，見解析.
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的長(zhǎng)；
（2）在AB上截取BF=1，連接PF，PC，由，可證△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，則當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延長(zhǎng)OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過點(diǎn)F作FB⊥OD于點(diǎn)M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，則當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．
【詳解】解：（1）解：（1）如圖1，
連結(jié)AD，過點(diǎn)A作AF⊥CB于點(diǎn)F，∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，
∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=6，AF=6
∴DF=CF-CD=6-3=3∴AD==3∴AP+BP的最小值為3
（2）如圖，在AB上截取BF=1，連接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1
∴，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF=AP∴AP+PC=PF+PC，
∴當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC的值最小，
∴CF===5∴AP+PC的值最小值為5，
（3）如圖，延長(zhǎng)OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過點(diǎn)F作FB⊥OD于點(diǎn)M，
∵OC=4，F(xiàn)C=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，∴，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF
∴∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，∴當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小，
∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，F(xiàn)M⊥OM∴OM=4，F(xiàn)M=4∴MB=OM+OB=4+3=7
∴FB==∴2PA+PB的最小值為．
【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，極值的確定，還考查了學(xué)生的閱讀理解能力，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)材料中的思路構(gòu)造出相似三角形，也是解本題的難點(diǎn).
例4．（2022·廣東·二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點(diǎn)且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC PB的最大值．
【答案】（1）見解析；（2）10；（3）
【分析】（1）證明△PAQ∽△BAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明PB=2PQ；
（2）在AB上取一點(diǎn)Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當(dāng)點(diǎn)P在CQ交⊙A的點(diǎn)P′時(shí)，PC PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC PB的最大值．
【詳解】解：（1）證明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如圖，在AB上取一點(diǎn)Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PQ的值最?。?br/>∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值為10．
（3）如圖，在AB上取一點(diǎn)Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ，延長(zhǎng)CQ交⊙A于點(diǎn)P′，過點(diǎn)C作CH垂直AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC PB=2PC 2PQ=2(PC PQ) ，
∵PC PQ≤QC，∴當(dāng)點(diǎn)P在CQ交⊙A的點(diǎn)P′時(shí)，PC PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC PB=2(PC PQ)≤2．∴2PC PB的最大值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓有關(guān)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決．
例5．（2022·廣東·廣州市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則4PD+2PC的最小值為_______．
【答案】
【分析】取一點(diǎn)，連接OP，PT，TD，首先利用四點(diǎn)共圓證明，再利用相似三角形的性質(zhì)證明，推出，根據(jù)，過點(diǎn)D作交OC于點(diǎn)E，即可求出DT的最小值，即可得．
【詳解】解：如圖所示，取一點(diǎn)，連接OP，PT，TD，
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O(shè)為圓心，OA為半徑作，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)Q，連接QB，QA，
∵，，∴，
∴A，P，B，Q四點(diǎn)共圓，∴，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，過點(diǎn)D作交OC于點(diǎn)E，
∵D的坐標(biāo)為（5，3），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0），TE=4，∴
∵，∴，∴的最小值是，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓，相似三角形，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
一、選擇題
1．（2023春·浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．
答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．
2．（2023·江蘇·蘇州九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，則2AP+BP的最小值為（　?。?br/>A．2 B．12 C． D．8
【答案】A
【分析】首先連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連結(jié)AD，則有；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△PCD∽△BCP，即可推得，AP+BP=AP+PD，即2AP+BP=2(AP+PD)，再應(yīng)用勾股定理，求出AP+BP的最小值為多少即可．
【詳解】解： 如圖，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連結(jié)AD，
，
∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，∴2AP+BP=2(AP+PD)
要使2AP+BP最小，只要AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+AD最小，
即：AP+BP=AP+PD最小值為AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，
∴AD==，2AP+BP的最小值為2，故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了最短路線問題，圓周角定理的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握.
3．（2022·浙江·舟山九年級(jí)期末）如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)P是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接BP，取BE的中點(diǎn)G，連接PG，通過兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，證明，得到，則，當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，求出DG的長(zhǎng)得到最小值．
【詳解】解：如圖，連接BP，取BE的中點(diǎn)G，連接PG，
∵，，∴，
∵G是BE的中點(diǎn)，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
則，當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即DG長(zhǎng)，
．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形和圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)換成，再根據(jù)三點(diǎn)共線求出最小值．
4．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
【答案】A
【分析】如圖（見解析），在AD邊上取點(diǎn)H，使得，連接EH、FH，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可得，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短可得取得最小值時(shí)，點(diǎn)E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．
【詳解】如圖，在AD邊上取點(diǎn)H，使得，連接EH、FH
四邊形ABCD是正方形，
，，即
又，即
由三角形的三邊關(guān)系定理得：
由題意得：點(diǎn)E的軌跡是在以點(diǎn)A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的圓上
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E位于FH與圓A的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，最小值為
，
在中，由勾股定理得
即的最小值為 故選：A．
【點(diǎn)睛】本題是一道較難的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．
5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，4個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作圓，點(diǎn)C是⊙上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取E（-10，0），證明△AEC∽△ACD，得到CE=CD，則可將BC+CD的最小值轉(zhuǎn)化為BE的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】解：∵A（-12，0），B（0，4），D（-4，0），∴OA=12，OD=4，則AD=8，AC=4，
取E（-10，0），則AE=2，DE=6，在△AEC和△ACD中，∠CAE=∠DAC，，
∴△AEC∽△ACD，∴，即CE=CD，則BC+CD=BC+CE≥BE，
即BC+CD的最小值為BE的長(zhǎng)，即為=，故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短原理，值得強(qiáng)調(diào)的是，本題是一類典型幾何最值問題，構(gòu)造“子母型相似”是解答此問題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2023·廣西·南寧市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是_____．
【答案】
【分析】如圖，取一點(diǎn)T（1，0），連接OP，PT，TD．首先利用四點(diǎn)共圓證明OP=2，再利用相似三角形的性質(zhì)證明PT=PC，推出2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），根據(jù)PD+PT≥DT，求出DT即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取一點(diǎn)T（1，0），連接OP，PT，TD．
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O(shè)為圓心OA為半徑作⊙O，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)Q，連接QB，QA，
∵∠Q=∠AOB=45°，∠APB=135°，∴∠Q+∠APB=180°，
∴A，P，B，Q四點(diǎn)共圓，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC OT，
∴，∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，
∴，∴PT=PC，∴2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT=，∴2PD+PC≥，
∴2PD+PC的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何問題的最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
7．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半徑為2，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值______________的最小值_______
【答案】
【分析】①在BC上取點(diǎn)D，使CD=BC=1，利用相似三角形的判定和性質(zhì)推出，得到，即可求得的最小值A(chǔ)D的長(zhǎng)；
②在AC上取點(diǎn)E，使CE=，同①的方法即可求得的最小值BE的長(zhǎng)．
【詳解】①在BC上取點(diǎn)D，使CD=BC=1，連接AD，PD，PC，由題意知：PC=2，
∵，∠PCD=∠BCP，∴，∴，
且，∴，
∴的最小值為，故答案為：；
②在AC上取點(diǎn)E，使CE=，連接PE，BE，PC，
∵，，∴，且∠PCE=∠ACP，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)材料中的思路構(gòu)造出相似三角形，也是解本題的難點(diǎn)．
8．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】延長(zhǎng)到，使得，連接，，利用相似三角形的性質(zhì)證明，求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．求出即可判斷．
【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，連接，．
，，，，，
，，，，
，又在中，，，，
，，
的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
9．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】取點(diǎn)，連接，．根據(jù)，有，即可證明，即有，進(jìn)而可得，則有，利用勾股定理可得，則有，問題得解．
【詳解】解：如圖，取點(diǎn)，連接，．
，，，，，，
，，，
，，，
，，，，
，（當(dāng)B、P、T三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）
的最小值為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
10．（2023·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，，點(diǎn)C與點(diǎn)D在的同側(cè)，且，，，，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】連接，先利用勾股定理求得，，在上截取，過作于，于，求得，，，進(jìn)而求得，證明求得，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，即可求解．
【詳解】解：連接，∵為的直徑，，∴，
∵在中，，∴，，
在上截取，過作于，于，連接、，
∴四邊形是矩形，，
∴，，∴，
在中，，
∵，是公共角，∴，
∴，則， ∴，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本概念、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是截取在上截取，構(gòu)造相似三角形求得是關(guān)鍵．
11．（2023.廣西·一模）圖所示，在半徑為 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，點(diǎn) D ，E 分別在半徑 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，點(diǎn)F 是弧BC 上的動(dòng)點(diǎn)，連接DF，EF，則DF＋EF 的最小值為 ．
【答案】
【分析】連結(jié)AF，延長(zhǎng)AC到G使CG=3，連結(jié)GF，過G作AH⊥AB于H，先證△FAE∽△GAF，得出，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短得出FG+FD≥GD，即，當(dāng)點(diǎn)G，F(xiàn),D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)GF+FD最短即最短=DG，然后利用30°直角三角形先證求出AH=，利用銳角三角函數(shù)求出GH=AG·cos30°=，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：連結(jié)AF，延長(zhǎng)AC到G使CG=3，連結(jié)GF，過G作AH⊥AB于H，
∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，
∵，，∴，∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，
∴，∴，∴FG+FD≥GD，即
當(dāng)點(diǎn)G，F(xiàn),D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)GF+FD最短即最短=DG，
在Rt△GHA中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，
∴AH=，GH=AG·cos30°=，
∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=，
∴GD=，∴．故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查圓與相似，解直角三角形聯(lián)合應(yīng)用，最短路徑問題，勾股定理，利用輔助線構(gòu)造三角形相似是解題關(guān)鍵．
12．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為8，，圓的半徑為4，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】連接，在上取一點(diǎn)，使得，連接，，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．先證明，即有，可得，再根據(jù)，（當(dāng)P、G、D三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）即可求解．
【詳解】解：連接，在上取一點(diǎn)，使得，連接，，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．
，，，，，，
，，，，
四邊形是菱形，，，
，，即，
，，，
，（當(dāng)P、G、D三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）
，的最大值為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
13．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，的半徑為2，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為？
【答案】
【分析】在BC上取點(diǎn)D，使 ，連接AD，PC，可得 ，從而得到△PCD∽△BCP，可得到 ，從而，進(jìn)而的最小值為AD，即可求解．
【詳解】解：如圖，在BC上取點(diǎn)D，使 ，連接AD，PC，
由題意得：PC=2，∵CD=1，BC=4∴ ，
∵∠PCB=∠PCD，∴△PCD∽△BCP，∴ ，
∴ ，∴，∵AP+PD≥AD，∴的最小值為AD，
∵ ，∴的最小值為． 故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．
【答案】
【分析】連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．由題意易證，即得出，從而得出，由此可知當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)，最后在中利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可．
【詳解】如圖，連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．
∵C是OA的中點(diǎn)，∴．
∴在△OPC和△OEP中，，∴，
∴，即，∴，.
∴當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為DE的長(zhǎng)，如圖，
在中， ，∴ 的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)．正確作出輔助線并理解當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．
15．（2022·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以點(diǎn)B為圓心作圓與AC相切，圓C的半徑為，點(diǎn)P為圓B上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【答案】
【分析】作于，取的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)切線的性質(zhì)得為的半徑，接著證明，得到，所以，而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出得到的最小值．
【詳解】解：如圖所示，作于，取的中點(diǎn)，連接，，，
為切線，為的半徑，，
，，而，，
，，，
而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），
而，∴的最小值為，即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段．
16．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知：

圖1 圖2 圖3
（1）初步思考：如圖1， 在中，已知，BC=4，N為BC上一點(diǎn)且，試說明：
（2）問題提出：如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．（3）推廣運(yùn)用：如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B﹦60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．
【答案】（1）詳見解析；（2）5；（3）最大值
【分析】（1）利用兩邊成比例，夾角相等，證明∽，得到，即可得到結(jié)論成立；（2）在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1，由△PBG∽△CBP，得到，當(dāng)D、P、G共線時(shí)，的值最小，即可得到答案；（3）在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，與（2）同理得到，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，，即可得到答案.
【詳解】（1）證明：∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：如圖，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴；
∵，∴當(dāng)D、P、G共線時(shí)，的值最小，∴最小值為：；
（3）如圖，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，
與（2）同理，可證，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD sin60°=，CF=2，在Rt△GDF中，DG=，
∴，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，，
∴最大值為：.
【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．
17．（2022·江蘇·無錫市九年級(jí)階段練習(xí)）問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，求的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使，則．又，所以∽．所以．
所以，所以．
請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；
（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點(diǎn)，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）13．
【分析】（1）根據(jù)題意可知最小值為AD長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出AD長(zhǎng)度．
（2）連接CP，在CA上取一點(diǎn)D，使，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BD長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出BD長(zhǎng)度．
（3）延長(zhǎng)OC到E，使，連接PE，OP，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BE長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出BE長(zhǎng)度．
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值．　故答案為：．
（2）連接CP，在CA上取一點(diǎn)D，使，則有，
∵，∴∽，得，
∴，故，僅當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，
的最小值．
（3）延長(zhǎng)OC到E，使，連接PE，OP，
則，∵，∴∽，∴，
∴，∴，僅當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，
，即的最小值為13．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)閱讀材料的思路構(gòu)造出∽和∽是解題的關(guān)鍵．本題較難．
18．（2024·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說明當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可；
②由，即可求出結(jié)果；
③在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說明當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可；
④由，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：①如圖，在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．
∵，，，∴．又∵，∴，
∴，即，∴，
∴當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．
∵在中，．∴的最小值為；
②∵，∴的最小值為；
③如圖，在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．
∵，，，∴．
又∵，∴，∴，即，∴，
∴當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．
∵在中，．∴的最小值為；
④∵，∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線，并且理解三點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）
【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，點(diǎn)P在半徑為2的⊙O上，求的最小值．
【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點(diǎn)C使得OC=1，這樣可得，又因?yàn)椤螩OP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得
所以．
又因?yàn)?，所以最小值? ．
【思路點(diǎn)撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點(diǎn)之間線段”最短”求出CP+ BP的最小值．【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，點(diǎn)P是半徑為6的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求最小值．【能力提升】如圖5，∠ABC=120°， BA= BC=8，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)且BD= 3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為 ．
【答案】[問題解決]；[嘗試應(yīng)用]，見詳解；[能力提升]
【分析】[問題解決]利用勾股定理即可求出，最小值為；
[嘗試應(yīng)用]在上取一點(diǎn)C使OC=4，通過證明得到，，所以，再求出AC的值，問題即可求解；
[能力提升]由BD= 3CD確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，過點(diǎn)D作于G，若△ABD面積的最大，則DG最大，所以DG過圓心，進(jìn)而求解本題.
【詳解】解：[問題解決]如圖，在中，，
的最小值為，故答案為：；
[嘗試應(yīng)用]如圖，在OB上取一點(diǎn)C，使OC=6，連續(xù)PO，PC，AC
，，，
，，，，
過點(diǎn)C作于D，sin，
，，
在中，，最小值為；
[能力提升]在BC上取一點(diǎn)E，使BE=6，延長(zhǎng)BC到F，使BF=12，則，
，，，，
連接DE，DF，由，
點(diǎn)E，F(xiàn)到BD，CD的距離相等，，DE，DF是的內(nèi)，外角平分線，，
點(diǎn)D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在以EF為直徑的圓O上，
過點(diǎn)O作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交圓O于點(diǎn)D，則DG是直線AB到圓上的最大距離，此時(shí)的面積最大，，EO=3，
在中，，
，，
，△ABD面積的最大值為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了圓和相似三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角直角，角平分線的判定，最短路徑，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，構(gòu)造輔助線是角本題的關(guān)鍵.
20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，若有，則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B、C、D、E均在小正方形的格點(diǎn)上，則點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)______的勾股點(diǎn)；若點(diǎn)在格點(diǎn)上，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵觯?2)如圖3，菱形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；
③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長(zhǎng)．
(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．
【答案】(1)C；見解析(2)①見解析；②；③或(3)
【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到，則點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)；根據(jù)勾股定理結(jié)合定義得到，據(jù)此畫圖即可；
（2）①根據(jù)定義可得，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理可得，即可證明；②利用勾股定理求出，則點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，即可當(dāng)（點(diǎn)O在）三點(diǎn)共線時(shí)，最大，據(jù)此求解即可；如圖3，由②可知點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，連接．先證明，過點(diǎn)作，求出，，過點(diǎn)作，則四邊形為正方形，則，，即可得到；當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，同理求解即可．
（3）如圖4，在上取點(diǎn)，使，則，先求出，進(jìn)而證明，得到，則，故當(dāng)A、E、F共線時(shí)，值最小，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，，，
∴，∴點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)；
∵點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，∴
∵，∴，如圖所示，即為所求；
（2）解：①∵點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，∴，
∵菱形中，，∴在中，，∴；
②∵，，∴在中，，∴，
∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)（點(diǎn)O在）三點(diǎn)共線時(shí)，最大，最大值為；
③如圖3，由②可知點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，連接．當(dāng)時(shí)，∵，∴，
過點(diǎn)作，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，即，
∴，，
過點(diǎn)作，則四邊形為正方形，
∴，∴，∴．
當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，可得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴∴或
（3）解：如圖4，在上取點(diǎn)，使，則，
∵是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，∴，
在中，，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，∴當(dāng)A、E、F共線時(shí)，值最小，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
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【全國(guó)通用】2024中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（重難點(diǎn)題型突破）
專題05 幾何最值問題-5.4 阿氏圓模型
最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足 PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點(diǎn) A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
考向一　阿氏圓模型（1）
例1．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是___________．
例2．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，，的半徑為2，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_______．的最小值_______
例3．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．

考向二　阿氏圓模型（2）
例1．（2023春·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 ．
例2．（2023·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為上一點(diǎn)，且，N為邊上一動(dòng)點(diǎn)．連接，將沿翻折得到，點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，連接，則的最小值為 ．

例3．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期中）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB=12，⊙C半徑為6，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=3，則有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．
（2）自主探索：如圖1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB=3，AP+PC的最小值為．（3）拓展延伸：如圖2，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
例4．（2022·廣東·二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點(diǎn)且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC PB的最大值．
例5．（2022·廣東·廣州市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則4PD+2PC的最小值為_______．
一、選擇題
1．（2023春·浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7 B．5 C． D．
2．（2023·江蘇·蘇州九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，則2AP+BP的最小值為（　?。?br/>A．2 B．12 C． D．8
3．（2022·浙江·舟山九年級(jí)期末）如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)P是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，4個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作圓，點(diǎn)C是⊙上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．（2023·廣西·南寧市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是_____．
7．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半徑為2，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值______________的最小值_______
8．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
9．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是 ．
10．（2023·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，，點(diǎn)C與點(diǎn)D在的同側(cè)，且，，，，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
11．（2023.廣西·一模）圖所示，在半徑為 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，點(diǎn) D ，E 分別在半徑 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，點(diǎn)F 是弧BC 上的動(dòng)點(diǎn)，連接DF，EF，則DF＋EF 的最小值為 ．
12．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為8，，圓的半徑為4，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ．
三、解答題
13．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，的半徑為2，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為？
14．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．
15．（2022·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以點(diǎn)B為圓心作圓與AC相切，圓C的半徑為，點(diǎn)P為圓B上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
16．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知：

圖1 圖2 圖3
（1）初步思考：如圖1， 在中，已知，BC=4，N為BC上一點(diǎn)且，試說明：
（2）問題提出：如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．（3）推廣運(yùn)用：如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B﹦60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．
17．（2022·江蘇·無錫市九年級(jí)階段練習(xí)）問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，求的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使，則．又，所以∽．所以．
所以，所以．
請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；
（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點(diǎn)，求的最小值．
18．（2024·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
19．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)校考開學(xué)考試）
【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，點(diǎn)P在半徑為2的⊙O上，求的最小值．
【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點(diǎn)C使得OC=1，這樣可得，又因?yàn)椤螩OP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得
所以．
又因?yàn)椋宰钚≈禐? ．
【思路點(diǎn)撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點(diǎn)之間線段”最短”求出CP+ BP的最小值．【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，點(diǎn)P是半徑為6的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求最小值．【能力提升】如圖5，∠ABC=120°， BA= BC=8，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)且BD= 3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為 ．
20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，若有，則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B、C、D、E均在小正方形的格點(diǎn)上，則點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)______的勾股點(diǎn)；若點(diǎn)在格點(diǎn)上，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵觯?2)如圖3，菱形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；
③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長(zhǎng)．
(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．
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