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普通高中
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復(fù)習(xí)指南
數(shù)學(xué)
第4講 函數(shù)的概念和性質(zhì)（二）
必修第一冊(cè)
<
>
增
增
單調(diào)遞增或單調(diào)遞減
(嚴(yán)格的)單調(diào)性
≤
≥
f(x0)＝M
縱坐標(biāo)
縱坐標(biāo)
f(b)
f(a)
f(a)
f(b)
f(－x)＝f(x)
y軸
f(－x)＝－f(x)
原點(diǎn)
單調(diào)遞增
一致(相同)
單調(diào)遞減
相反
探究點(diǎn)一：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
探究點(diǎn)二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
探究點(diǎn)三：求函數(shù)的最值(值域)
探究點(diǎn)四：函數(shù)的奇偶性
探究點(diǎn)五：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用
探究點(diǎn)一： 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
【變式題】
探究點(diǎn)二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【變式題】
探究點(diǎn)三：求函數(shù)的最值(值域)
【變式題】
探究點(diǎn)四：函數(shù)的奇偶性
【變式題】
【變式題】
探究點(diǎn)五：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用
【變式題】
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第4講 函數(shù)的概念與性質(zhì)（二）
1.函數(shù)的單調(diào)性
前提條件 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I
條件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)①__f(x2) 都有f(x1)②__f(x2)
圖示
結(jié)論 f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增 f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減
特殊情況 當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是③__函數(shù) 當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是④__函數(shù)
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上⑤ ，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有⑥ ，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.
2.函數(shù)的最大值與最小值
最大值 最小值
條件 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： x∈I，都有
f(x)⑦_(dá)_M f(x)⑧__M
x0∈I，使得⑨__________
結(jié)論 稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值 稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值
幾何意義 f(x)圖象上最高點(diǎn)的⑩______ f(x)圖象上最低點(diǎn)的 ______
3.求函數(shù)最值的常用方法
(1)圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(小)值.
(2)運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域.
(3)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性：若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則ymax＝ ____，ymin＝ __；
若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則ymax＝ ____，ymin＝ ____.
(4)分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個(gè).
4.函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ____________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于 ____對(duì)稱
奇函數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ____________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于 ____對(duì)稱
5.用奇偶性求解析式
如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間[a，b]上的解析式，求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為
(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).
(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x).
6.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性
(1)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a(2)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
【例1】證明：函數(shù)f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上是減函數(shù).
證明：在x∈(－∞，0)上任取x1，x2，設(shè)x1則f(x1)－f(x2)＝x＋1－(x＋1)＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2).
因?yàn)閤10，
所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減.
【變式題】利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x)＝在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減.
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減.
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
【變式題】求f(x)＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)區(qū)間.
求函數(shù)的最值(值域)
【例3】已知函數(shù)y＝f(x)(x∈[－2，6])的圖象如圖.據(jù)圖象寫(xiě)出：
(1)函數(shù)y＝f(x)的最大值；
(2)使f(x)＝1的x值.
【變式題】已知函數(shù)f(x)＝x＋.
(1)求證f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
函數(shù)的奇偶性
【例4】已知函數(shù)f(x)＝x＋(x≠0).
(1)求f(2)的值；
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由.
【變式題】(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(　　)
A.y＝2x2－3 B.y＝x3 C.y＝x2(x∈[0，1]) D.y＝x
(2)(2021·湖南省學(xué)考節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝x(x－a)(x－2)(x－3)的零點(diǎn)之和等于4.
①求a的值；
②令g(x)＝f(x＋1)，證明：g(x)是偶函數(shù).
函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用
【例5】已知f(x)是定義在[－2，0)∪(0，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的值域是____.
【變式題】(2020·湖南省學(xué)考) 已知定義在[－3，3]上的函數(shù)y ＝f(x)的圖象如圖所示.下述四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇－2，2];
②函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，1]；
③函數(shù)y＝f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
④存在實(shí)數(shù)a滿足f(a)＋f(－a)＝0.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
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第4講 函數(shù)的概念與性質(zhì)（二）
1.函數(shù)的單調(diào)性
前提條件 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I
條件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)①__f(x2) 都有f(x1)②__f(x2)
圖示
結(jié)論 f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增 f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減
特殊情況 當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是③__函數(shù) 當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是④__函數(shù)
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上⑤ ，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有⑥ ，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.
2.函數(shù)的最大值與最小值
最大值 最小值
條件 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： x∈I，都有
f(x)⑦_(dá)_M f(x)⑧__M
x0∈I，使得⑨__________
結(jié)論 稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值 稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值
幾何意義 f(x)圖象上最高點(diǎn)的⑩______ f(x)圖象上最低點(diǎn)的 ______
3.求函數(shù)最值的常用方法
(1)圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(小)值.
(2)運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域.
(3)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性：若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則ymax＝ ____，ymin＝ __；
若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則ymax＝ ____，ymin＝ ____.
(4)分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個(gè).
4.函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ____________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于 ____對(duì)稱
奇函數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ____________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于 ____對(duì)稱
5.用奇偶性求解析式
如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間[a，b]上的解析式，求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為
(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).
(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x).
6.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性
(1)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a(2)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a參考答案：①<；②>；③增；④減；⑤單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；⑥(嚴(yán)格的)單調(diào)性；⑦≤；⑧≥；⑨f(x0)＝M；⑩縱坐標(biāo)； 縱坐標(biāo)； f(b)； f(a)； f(a)； f(b)； f(－x)＝f(x)； y軸； f(－x)＝－f(x)； 原點(diǎn)； 單調(diào)遞增；一致(相同)；單調(diào)遞減；相反
函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
【例1】證明：函數(shù)f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上是減函數(shù).
證明：在x∈(－∞，0)上任取x1，x2，設(shè)x1則f(x1)－f(x2)＝x＋1－(x＋1)＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2).
因?yàn)閤10，
所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減.
【變式題】利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x)＝在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減.
證明：設(shè)x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1因?yàn)椋?0，x1＋1>0，x2＋1>0，所以>0，
即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).
所以f(x)＝在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減.
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減.
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
解析：(1)函數(shù)f(x)＝－的單調(diào)區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，
所以f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，1)，[1，＋∞)，
并且函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增.
【變式題】求f(x)＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)區(qū)間.
解析：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，對(duì)稱軸為x＝1，
則函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－(x＋1)2＋4，對(duì)稱軸為x＝－1，
則函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在[－1，0)上單調(diào)遞減，
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，[0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，0)，(1，＋∞).
求函數(shù)的最值(值域)
【例3】已知函數(shù)y＝f(x)(x∈[－2，6])的圖象如圖.據(jù)圖象寫(xiě)出：
(1)函數(shù)y＝f(x)的最大值；
(2)使f(x)＝1的x值.
解析：(1)根據(jù)圖象可得函數(shù)y＝f(x)的最大值為2，此時(shí)x＝6.
(2)由y＝f(x)的圖象可知，當(dāng)y＝1時(shí)，x＝－1或5.
【變式題】已知函數(shù)f(x)＝x＋.
(1)求證f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
解析：(1)證明：設(shè)1≤x1則f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝.
因?yàn)?≤x11，
所以x1x2－1>0，所以<0，
即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增.
(2)由(1)可知f(x)在[1，4]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(1)＝2，
當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為f(4)＝.
綜上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2.
函數(shù)的奇偶性
【例4】已知函數(shù)f(x)＝x＋(x≠0).
(1)求f(2)的值；
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由.
解析：(1)f(2)＝2＋＝.
(2)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，
因?yàn)閒(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數(shù).
【變式題】(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(　　)
A.y＝2x2－3 B.y＝x3 C.y＝x2(x∈[0，1]) D.y＝x
(2)(2021·湖南省學(xué)考節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝x(x－a)(x－2)(x－3)的零點(diǎn)之和等于4.
①求a的值；
②令g(x)＝f(x＋1)，證明：g(x)是偶函數(shù).
解析：(2)①由題意可得，f(x)的零點(diǎn)為0，a，2，3，
又因?yàn)閒(x)的零點(diǎn)和為4，
所以0＋a＋2＋3＝4，解得a＝－1.
②證明：因?yàn)間(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)＝(x2－1)(x2－4)，
所以g(x)為偶函數(shù).
答案：(1)A
函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用
【例5】已知f(x)是定義在[－2，0)∪(0，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的值域是____.
解析：由圖象可得，當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，f(x)∈(2，3]，
又因?yàn)閒(x)是定義在[－2，0)∪(0，2]上的奇函數(shù)，
故當(dāng)f(x)∈[－2，0)時(shí)，f(x)∈[－3，－2).
故f(x)的值域是[－3，－2)∪(2，3].
答案：[－3，－2)∪(2，3]
【變式題】(2020·湖南省學(xué)考) 已知定義在[－3，3]上的函數(shù)y ＝f(x)的圖象如圖所示.下述四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇－2，2];
②函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，1]；
③函數(shù)y＝f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
④存在實(shí)數(shù)a滿足f(a)＋f(－a)＝0.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析：由圖象可知函數(shù)的最大值大于2，最小值小于－2，所以①錯(cuò)誤；
由圖象可知函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，1]，所以②正確；
由圖象可知其圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以③錯(cuò)誤；
當(dāng)a＝1時(shí)，有f(a)＋f(－a)＝f(1)＋f(－1)＝－2＋2＝0，所以④正確.故選D.
答案：D
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