資源簡介

6.1 走進異彩紛呈的數學建模世界
【學習目標】
1.了解數學建模的意義,能夠將實際問題轉化為數學建模問題.(數學建模、數學運算)
2.了解數學建模活動的主要過程.(數學建模、數學運算)
3.進一步掌握數學建模的步驟.(數學建模、數學運算)
【合作探究】
　　現實世界的問題大致有三類:自然方面的問題(如大海的潮汐現象、放射物的衰變、蜂巢的結構),社會方面的問題(如養老院的合理布局、傳染病的傳播機理),生活方面的問題(如乘車路線的規劃、營養餐的配置).根據前人的研究我們已經知曉了很多事物的規律,但還有更多事物的規律需要探索.
問題1:針對上述這種日常生活中的現象,我們可以提出一些什么問題呢
【答案】　我們可以探討的問題有很多.例如針對蘋果腐爛的問題,我們可以探討:為什么會發生這樣的現象 什么情況下不會發生這樣的現象 能夠利用哪些技術手段進行食品保鮮存儲 哪種保鮮存儲方式的成本最低 等等.類似的這些問題,因為不僅僅涉及量的關系,所以如果只用數學手段研究,將是十分困難的.
問題2:課題研究的活動過程包括哪幾個環節
【答案】　包括選題→開題→做題→結題這四個環節.
新知運用
例1　我國是人口大國,人口規模是城市規劃和土地利用總體規劃中一項重要的控制性指標,預測人口模型的合理性,不僅影響到未來地區經濟和社會發展,還會影響到地區生態環境可持續發展.因此,建立合理的模型,準確地預測未來人口的發展趨勢,制定合理的人口規劃和人口布局方案具有重大的理論意義和現實意義.下面是我國1964~1999年人口統計表:
年份 1964 1969 1974 1979
人口數/億 7.04 8.06 9.08 9.79
年份 1984 1989 1994 1999
人口數/億 10.34 11.06 11.76 12.52
　　根據上表數據,在平面直角坐標系中畫出人口增長曲線圖,由圖可以看出人口數量不斷增加,各點近似在一條直線上,畫出一條與標出的8個點最接近的直線,再用待定系數法求出這條直線對應的一次函數,寫出它的【解析】式.
照這樣的增長趨勢,試估計2009年我國的人口數量.
1.確定參數、計算求解
設函數【解析】式為y1=kx+b,
因為函數圖象經過點(1964,7.04),(1994,11.76),
所以解得
所以函數【解析】式為y1=0.157x-301.308.
同理,因為函數圖象經過點(1984,10.34),(1969,8.06),所以函數【解析】式為y2=0.152x-291.228.
2.驗證結果、改進模型
照這樣的增長趨勢,我們來估計2009年我國的人口數量.
當x=2009時,y1=0.157×2009-301.308=14.105,
當x=2009時,y2=0.152×2009-291.228=14.14.
1982年憲法將計劃生育定為基本國策,實際到2009年我國人口總數約為13.347億.
人口的變化受到眾多方面因素的影響,因此對人口的預測與控制較復雜,很難在一個模型中綜合考慮到各個因素的影響.看下面二次函數模型.
(1)問題重述
根據某地區人口從1800年到2000年的人口數據(如下表),建立模型估計出該地區2010年的人口數量,同時畫出擬合效果的圖象.
該地區人口統計數據
年份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口數/億 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2
年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930
人口數/億 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1
年份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
人口數/億 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3
　　(2)分析問題、建立模型
從作圖可以看出,該地區人口數量y與年份x的關系可以近似看作二次函數的關系,即y=ax2+bx+c,利用已有數據擬合可得到參數a,b,c.
例如利用(1800,7.2),(1900,89.8),(2000,280.3)三組數據列方程組解得即y=0.005395x2-19.1355x+16971.3.
(3)驗證結果
作出函數y=0.005395x2-19.1355x+16971.3的圖象如圖所示:
從以上二次函數模型和原數據點的擬合效果可以看出,擬合效果在1940年之前還可以,但是對后期的數據擬合得不好.
(4)模型應用
我們經常在報刊上看見關于人口增長的預報,說到本世紀末,或到下世紀中葉,全世界(或某地區)的人口將達到多少億.你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預報在數字上有較大的區別,這顯然是用了不同的人口模型計算的結果.
關于人口模型這方面的內容是很豐富的,我國學者為了解決我國人口迅速增長的問題,作了大量的調查研究,建立了不少的人口模型,為我國政府制定相應的人口政策提供依據.
事實上,人口的預測是一個相當復雜的問題,影響人口增長的因素除了人口基數與可利用資源量外,還和醫療衛生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素有關,特別是在做中短期預測時,我們希望得到滿足一定預測精度的結果,比如在剛剛經歷過戰爭或是在特定的歷史條件下采納了特殊的人口政策等,這些因素本身以及由此引起的年齡結構變化就變得相當重要,所以也要予以考慮.
例2　某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5千美元~8千美元的地區銷售該公司A飲料的情況調查時發現:該飲料在人均GDP處于中等水平的地區銷售量最多,然后向兩邊遞減.
(1)給出下列幾個模擬函數:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷售量,單位:L).用哪個模擬函數來描述人均A飲料的銷售量與地區的人均GDP關系更合適 說明理由.
(2)當人均GDP為1千美元時,年人均A飲料的銷售量為2 L,當人均GDP為4千美元時,年人均A飲料的銷售量為5 L,把(1)中你所選的模擬函數求出來,并求出在各個地區中,年人均A飲料的銷售量最多是多少
【解析】　(1)用①來模擬比較合適.因為該飲料在人均GDP處于中等水平的地區銷售量最多,然后向兩邊遞減,而②③④表示的函數在區間上是單調函數,所以②③④都不合適,故用①來模擬比較合適.
(2)因為當人均GDP為1千美元時,年人均A飲料的銷售量為2 L,當人均GDP為4千美元時,年人均A飲料的銷售量為5 L,
把分別代入y=ax2+bx,得
解得
所以函數的【解析】式為y=-x2+x(x∈[0.5,8]).
因為y=-x2+x=-+,所以當x=時,年人均A飲料的銷售量最多是 L.
【方法總結】　　函數擬合與預測的一般步驟:(1)根據原始數據、表格,繪出散點圖;(2)通過觀察散點圖,畫出擬合直線或擬合曲線;(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式;(4)利用函數關系式,根據條件對所給問題進行預測和控制,為決策和管理提供依據.
1.蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物,不僅可以美化居室、凈化空氣,還可以美容保健,因此深受人們歡迎,在國內占有很大的市場.某人準備進軍蘆薈市場,栽培蘆薈,為了了解行情,進行市場調研,從4月1日起,蘆薈的種植成本Q(單位:元/10千克)與上市時間t(單位:天)的數據情況如表所示:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根據上表數據,從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt.求出所選函數的【解析】式.
(2)利用你選擇的函數,求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本.
【解析】　(1)由所提供的數據可知,反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數不可能是常數函數,若用函數Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt中的任意一個來反映時都應有a≠0,且上述三個函數均為單調函數,這與表格所提供的數據不符合,所以應選用二次函數Q=at2+bt+c進行描述.
將表格所提供的三組數據分別代入函數Q=at2+bt+c,可得解得
所以反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數為Q=t2-t+.
(2)當上市天數t=-=150天時,蘆薈種植成本最低,最低為Q=×1502-×150+=100(元/10千克).
2.據調查,人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據測,2015年,2016年和2017年大氣中的CO2濃度分別比2014年增加了1個單位,3個單位和6個單位.若用一個函數模擬每年CO2濃度比2014年增加的單位數y與年份增加數x的關系,模擬函數可選用二次函數y=px2+qx+r(其中p,q,r為常數)或函數y=a·bx+c(其中a,b,c為常數),又知2018年大氣中的CO2濃度比2014年增加了16.5個單位,請問用以上哪個函數作模擬函數較好
【解析】　若以f(x)=px2+qx+r作模擬函數,
則依題意得
∴f(x)=x2+x.
若以g(x)=a·bx+c作模擬函數,
則 ∴g(x)=·-3.
利用f(x),g(x)對2018年CO2濃度作估算,
則其數值分別為f(4)=10單位,g(4)=10.5單位,
∵|f(4)-16.5|>|g(4)-16.5|,
∴g(x)=·-3作模擬函數與2018年的實際數據較為接近,故用g(x)=·-3作模擬函數較好.
3.某個體經營者經營了A,B兩種商品,逐月投資金額與所獲純利潤列表如下:
投資A種 商品金額/ 萬元 1 2 3 4 5 6
獲純利潤/ 萬元 0.65 1.39 1.85 2.00 1.84 1.40
投資B種 商品金額/ 萬元 1 2 3 4 5 6
獲純利潤/ 萬元 0.25 0.49 0.76 1.00 1.26 1.51
該經營者準備第七個月投入12萬元經營這兩種商品,但不知投入A,B兩種商品各多少萬元才劃算.請你幫助制定一個資金投入方案,使得該經營者能獲得最大利潤,并按你的方案求出該經營者第七個月可獲得的最大純利潤(結果保留兩位有效數字).
【解析】　以投資額為橫坐標,純利潤為縱坐標,在平面直角坐標系中畫出A,B兩種商品的散點圖,如圖①②所示.
觀察散點圖可以看出,A種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規律可以用二次函數模型進行模擬.
取點(4,2)為最高點,則y=a(x-4)2+2,
再把點(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,
解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.
B種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規律可以用一次函數模型進行模擬.
設y=kx+b,取點(1,0.25)和點(4,1),
代入得解得所以y=0.25x.
故前六個月所獲純利潤y關于月投資A種商品的金額x的函數關系式是y=-0.15(x-4)2+2,前六個月所獲純利潤y關于月投資B種商品的金額x的函數關系式是y=0.25x.
設第七個月投入A,B兩種商品的資金分別為xA,xB(萬元),總利潤為W(萬元),
則
所以W=-0.15+0.15×+2.6.
所以當xA≈3.2時,W最大,最大約為4.1,此時xB≈8.8.
故該經營者第七個月把12萬元中的3.2萬元投資A種商品,8.8萬元投資B種商品,可獲得最大利潤約為4.1萬元.
問題研究:測量學校墻外一座高不可及,但在學校操場可以看得見的高大寫字樓(或其他可見的高大建筑)的高度.
課題 測量校外一座看得見,但從底部看不到頂部的寫字樓的高度
本課題成員與分工(全班共分了六組,這是其中一組)
成員姓名 分工 主要工作與貢獻
學生甲、乙 測量
學生丙 計數
學生丁 計算
測量工具:測角器和皮尺、計算器
所需時間:2小時
續表
測量的數學模型 　　如圖,設測角器高l,在地面上選擇一點C,測得看得見的寫字樓AB的仰角∠ACB=α,再向建筑物前進a到達點E,測得對建筑物AB的仰角∠AEB=β.設BE=x,則消去x得AB=. 故建筑物的高h=AB+l=+l
測量數據和計算結果
測量數據 項目 l CE 角α 角β 計算高度
第一次 1.2 50 29.6° 74.8°
第二次 1.2 50 29.2° 74.2°
平均 1.2 50 29.4° 74.5° 34
與本次測量相關的待研究的問題
　　測量從底部看不到頂部的建筑物高度,除了上述方法外,還有什么方法 　　如果備有測角器和皮尺.如圖所示,設測角器高l,地面上選擇與建筑物AB不在同一直線上的兩測點C,E,在點C測得對建筑物AB的仰角∠ACB=α,并測得∠ACE=β,在點E測得∠AEC=γ,量出CE=a,如何求建筑物的高度 提示:在△ACE中,由正弦定理得=,AC=.在Rt△ACB中,AB=ACsin α=.故建筑物的高度h=+l
總結 　　這次實踐活動中,我們成功地運用了三角知識解決實際問題.通過實踐,我們發現任何事情并不是想象中那么簡單.在實踐之前,不僅要制定理論上的方案,還要把很多實際因素考慮進去,包括周圍的地形、天氣、儀器、可行度等都是制定計劃時需要考慮的重要因素.這次活動是我們首次將理論運用于實踐,紙上得來終覺淺,凡事不容易,身躬力行才能體會其中的滋味
26.1 走進異彩紛呈的數學建模世界
【學習目標】
1.了解數學建模的意義,能夠將實際問題轉化為數學建模問題.(數學建模、數學運算)
2.了解數學建模活動的主要過程.(數學建模、數學運算)
3.進一步掌握數學建模的步驟.(數學建模、數學運算)
【合作探究】
　　現實世界的問題大致有三類:自然方面的問題(如大海的潮汐現象、放射物的衰變、蜂巢的結構),社會方面的問題(如養老院的合理布局、傳染病的傳播機理),生活方面的問題(如乘車路線的規劃、營養餐的配置).根據前人的研究我們已經知曉了很多事物的規律,但還有更多事物的規律需要探索.
問題1:針對上述這種日常生活中的現象,我們可以提出一些什么問題呢
問題2:課題研究的活動過程包括哪幾個環節
新知運用
例1　我國是人口大國,人口規模是城市規劃和土地利用總體規劃中一項重要的控制性指標,預測人口模型的合理性,不僅影響到未來地區經濟和社會發展,還會影響到地區生態環境可持續發展.因此,建立合理的模型,準確地預測未來人口的發展趨勢,制定合理的人口規劃和人口布局方案具有重大的理論意義和現實意義.下面是我國1964~1999年人口統計表:
年份 1964 1969 1974 1979
人口數/億 7.04 8.06 9.08 9.79
年份 1984 1989 1994 1999
人口數/億 10.34 11.06 11.76 12.52
　　根據上表數據,在平面直角坐標系中畫出人口增長曲線圖,由圖可以看出人口數量不斷增加,各點近似在一條直線上,畫出一條與標出的8個點最接近的直線,再用待定系數法求出這條直線對應的一次函數,寫出它的【解析】式.
照這樣的增長趨勢,試估計2009年我國的人口數量.
1.確定參數、計算求解
設函數【解析】式為y1=kx+b,
因為函數圖象經過點(1964,7.04),(1994,11.76),
所以解得
所以函數【解析】式為y1=0.157x-301.308.
同理,因為函數圖象經過點(1984,10.34),(1969,8.06),所以函數【解析】式為y2=0.152x-291.228.
2.驗證結果、改進模型
照這樣的增長趨勢,我們來估計2009年我國的人口數量.
當x=2009時,y1=0.157×2009-301.308=14.105,
當x=2009時,y2=0.152×2009-291.228=14.14.
1982年憲法將計劃生育定為基本國策,實際到2009年我國人口總數約為13.347億.
人口的變化受到眾多方面因素的影響,因此對人口的預測與控制較復雜,很難在一個模型中綜合考慮到各個因素的影響.看下面二次函數模型.
(1)問題重述
根據某地區人口從1800年到2000年的人口數據(如下表),建立模型估計出該地區2010年的人口數量,同時畫出擬合效果的圖象.
該地區人口統計數據
年份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口數/億 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2
年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930
人口數/億 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1
年份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
人口數/億 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3
　　(2)分析問題、建立模型
從作圖可以看出,該地區人口數量y與年份x的關系可以近似看作二次函數的關系,即y=ax2+bx+c,利用已有數據擬合可得到參數a,b,c.
例如利用(1800,7.2),(1900,89.8),(2000,280.3)三組數據列方程組解得即y=0.005395x2-19.1355x+16971.3.
(3)驗證結果
作出函數y=0.005395x2-19.1355x+16971.3的圖象如圖所示:
從以上二次函數模型和原數據點的擬合效果可以看出,擬合效果在1940年之前還可以,但是對后期的數據擬合得不好.
(4)模型應用
我們經常在報刊上看見關于人口增長的預報,說到本世紀末,或到下世紀中葉,全世界(或某地區)的人口將達到多少億.你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預報在數字上有較大的區別,這顯然是用了不同的人口模型計算的結果.
關于人口模型這方面的內容是很豐富的,我國學者為了解決我國人口迅速增長的問題,作了大量的調查研究,建立了不少的人口模型,為我國政府制定相應的人口政策提供依據.
事實上,人口的預測是一個相當復雜的問題,影響人口增長的因素除了人口基數與可利用資源量外,還和醫療衛生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素有關,特別是在做中短期預測時,我們希望得到滿足一定預測精度的結果,比如在剛剛經歷過戰爭或是在特定的歷史條件下采納了特殊的人口政策等,這些因素本身以及由此引起的年齡結構變化就變得相當重要,所以也要予以考慮.
例2　某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5千美元~8千美元的地區銷售該公司A飲料的情況調查時發現:該飲料在人均GDP處于中等水平的地區銷售量最多,然后向兩邊遞減.
(1)給出下列幾個模擬函數:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷售量,單位:L).用哪個模擬函數來描述人均A飲料的銷售量與地區的人均GDP關系更合適 說明理由.
(2)當人均GDP為1千美元時,年人均A飲料的銷售量為2 L,當人均GDP為4千美元時,年人均A飲料的銷售量為5 L,把(1)中你所選的模擬函數求出來,并求出在各個地區中,年人均A飲料的銷售量最多是多少
【方法總結】　　函數擬合與預測的一般步驟:(1)根據原始數據、表格,繪出散點圖;(2)通過觀察散點圖,畫出擬合直線或擬合曲線;(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式;(4)利用函數關系式,根據條件對所給問題進行預測和控制,為決策和管理提供依據.
1.蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物,不僅可以美化居室、凈化空氣,還可以美容保健,因此深受人們歡迎,在國內占有很大的市場.某人準備進軍蘆薈市場,栽培蘆薈,為了了解行情,進行市場調研,從4月1日起,蘆薈的種植成本Q(單位:元/10千克)與上市時間t(單位:天)的數據情況如表所示:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根據上表數據,從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt.求出所選函數的【解析】式.
(2)利用你選擇的函數,求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本.
2.據調查,人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據測,2015年,2016年和2017年大氣中的CO2濃度分別比2014年增加了1個單位,3個單位和6個單位.若用一個函數模擬每年CO2濃度比2014年增加的單位數y與年份增加數x的關系,模擬函數可選用二次函數y=px2+qx+r(其中p,q,r為常數)或函數y=a·bx+c(其中a,b,c為常數),又知2018年大氣中的CO2濃度比2014年增加了16.5個單位,請問用以上哪個函數作模擬函數較好
3.某個體經營者經營了A,B兩種商品,逐月投資金額與所獲純利潤列表如下:
投資A種 商品金額/ 萬元 1 2 3 4 5 6
獲純利潤/ 萬元 0.65 1.39 1.85 2.00 1.84 1.40
投資B種 商品金額/ 萬元 1 2 3 4 5 6
獲純利潤/ 萬元 0.25 0.49 0.76 1.00 1.26 1.51
該經營者準備第七個月投入12萬元經營這兩種商品,但不知投入A,B兩種商品各多少萬元才劃算.請你幫助制定一個資金投入方案,使得該經營者能獲得最大利潤,并按你的方案求出該經營者第七個月可獲得的最大純利潤(結果保留兩位有效數字).
問題研究:測量學校墻外一座高不可及,但在學校操場可以看得見的高大寫字樓(或其他可見的高大建筑)的高度.
課題 測量校外一座看得見,但從底部看不到頂部的寫字樓的高度
本課題成員與分工(全班共分了六組,這是其中一組)
成員姓名 分工 主要工作與貢獻
學生甲、乙 測量
學生丙 計數
學生丁 計算
測量工具:測角器和皮尺、計算器
所需時間:2小時
續表
測量的數學模型 　　如圖,設測角器高l,在地面上選擇一點C,測得看得見的寫字樓AB的仰角∠ACB=α,再向建筑物前進a到達點E,測得對建筑物AB的仰角∠AEB=β.設BE=x,則消去x得AB=. 故建筑物的高h=AB+l=+l
測量數據和計算結果
測量數據 項目 l CE 角α 角β 計算高度
第一次 1.2 50 29.6° 74.8°
第二次 1.2 50 29.2° 74.2°
平均 1.2 50 29.4° 74.5° 34
與本次測量相關的待研究的問題
　　測量從底部看不到頂部的建筑物高度,除了上述方法外,還有什么方法 　　如果備有測角器和皮尺.如圖所示,設測角器高l,地面上選擇與建筑物AB不在同一直線上的兩測點C,E,在點C測得對建筑物AB的仰角∠ACB=α,并測得∠ACE=β,在點E測得∠AEC=γ,量出CE=a,如何求建筑物的高度 提示:在△ACE中,由正弦定理得=,AC=.在Rt△ACB中,AB=ACsin α=.故建筑物的高度h=+l
總結 　　這次實踐活動中,我們成功地運用了三角知識解決實際問題.通過實踐,我們發現任何事情并不是想象中那么簡單.在實踐之前,不僅要制定理論上的方案,還要把很多實際因素考慮進去,包括周圍的地形、天氣、儀器、可行度等都是制定計劃時需要考慮的重要因素.這次活動是我們首次將理論運用于實踐,紙上得來終覺淺,凡事不容易,身躬力行才能體會其中的滋味
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