資源簡介

6.2 數(shù)學建模——從自然走向理性之路
【學習目標】
經(jīng)歷從實際問題建立數(shù)學模型、運算求解、驗證模型、改進模型的全過程,掌握建模方法.(數(shù)學建模)
【合作探究】
　　決定蘋果的最佳出售時間點.
1.問題描述
市場上某一種蔬菜、水果等價格會隨著季節(jié)呈現(xiàn)周期性變化,比如蘋果,剛上市時價格比較高,隨著大量上市,價格越來越低,這時若利用一定的技術(shù)手段將蘋果進行保鮮存儲,等到市面上的蘋果變少、價格上升之后再出售,則同樣多的蘋果就可以獲得相對較高的銷售收入.不過,需要注意的是,保鮮存儲是有成本的,而且成本會隨著時間的延長而增大.
2.模型假設(shè)
經(jīng)濟學家:為什么會發(fā)生這種“囤積居奇”的現(xiàn)象 什么情況下不會發(fā)生這種現(xiàn)象
生物學家:能夠利用哪些技術(shù)手段進行保鮮存儲 哪種保鮮存儲的成本最低
消費者:什么時候是買蘋果的最佳時間
營銷者:什么時候是賣蘋果的最佳時間
(1)明確問題
蘋果的最佳售出時間點就是獲得最大收益的時間點.
(2)必要假設(shè),簡化問題
①除儲存成本外,無其他成本;
②蘋果數(shù)量是個定值;(如:果園產(chǎn)量為定值)
③蘋果都能售出.
(3)分析變量間的關(guān)系
①收益=價格-成本;
②價格與市場上蘋果數(shù)量的關(guān)系;
③市場上蘋果數(shù)量與時間的關(guān)系;
④成本即儲存成本與時間的關(guān)系.
因為時間會影響儲存成本和市面上蘋果的數(shù)量,而蘋果數(shù)量又影響了蘋果的價格,所以最終是時間決定了收益.
3.模型建立
設(shè)保鮮存儲時間為t,市面上蘋果的數(shù)量為x萬噸,蘋果的單價為y元,單位數(shù)量蘋果的儲存成本為C,單位數(shù)量蘋果的收益為z.
(1)z=y-C;
(2)y=f(x)是一個減函數(shù),可設(shè)為一次函數(shù)f(x)=k1x+l1;
(3)x=h(t)可設(shè)為二次函數(shù)h(t)=at2+bt+c;
(4)C=g(t)是一個增函數(shù),可設(shè)為一次函數(shù)g(t)=k2t+l2.
綜上,我們可以建立一個z關(guān)于t的函數(shù)z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2.
4.模型求解
確定參數(shù)、計算求解
(1)收集數(shù)據(jù)
x/萬噸 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/萬噸 9.462 9.328 9.198
　　(2)代入確定參數(shù)
利用待定系數(shù)法,根據(jù)前面的假設(shè)就可以列出如下方程組:
計算出參數(shù)k1,l1,k2,l2,a,b,c.
(3)確定函數(shù)模型
確定函數(shù)y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=0.01t+0.1,x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,
因此,我們可以得到收益關(guān)于時間的函數(shù)z=-0.001t2+0.06t+0.1.
(4)計算求解
z=-0.001(t-30)2+1,當t=30時,z取得最大值,最大值為1,
也就是說,在上述情況下,當保鮮儲存30天時,單位數(shù)量蘋果所獲得的利潤最大,最大利潤為1元.
5.模型的分析與檢驗
(1)還原到實際問題上,結(jié)果有偏差
(2)原因分析
①簡化問題,減少了變量;
②因為數(shù)據(jù)與所學有限,函數(shù)模型過于簡單,所以可從以上兩點改進模型.
6.推廣應(yīng)用
(1)數(shù)學建模的概念
數(shù)學建模就是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題.數(shù)學建模過程主要包括:在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、驗證結(jié)果、改進模型,最終解決實際問題.
(2)數(shù)學建模與應(yīng)用題的異同
數(shù)學建模與我們以往做的應(yīng)用題都是用數(shù)學方法解決實際問題,但是應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系是確定的,答案當然也是確定的,相比應(yīng)用題,數(shù)學建模有以下幾個特點:
①問題是自己發(fā)現(xiàn)和提出的;
②數(shù)量關(guān)系是自己分析出來的;
③數(shù)據(jù)是自己收集的;
④函數(shù)關(guān)系或者說數(shù)學模型是自己建立的.
(3)用框圖表示數(shù)學建模的基本過程
　　某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.該家庭有20萬元資金全部用于理財投資,怎么分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元
26.2 數(shù)學建模——從自然走向理性之路
【學習目標】
經(jīng)歷從實際問題建立數(shù)學模型、運算求解、驗證模型、改進模型的全過程,掌握建模方法.(數(shù)學建模)
【合作探究】
　　決定蘋果的最佳出售時間點.
1.問題描述
市場上某一種蔬菜、水果等價格會隨著季節(jié)呈現(xiàn)周期性變化,比如蘋果,剛上市時價格比較高,隨著大量上市,價格越來越低,這時若利用一定的技術(shù)手段將蘋果進行保鮮存儲,等到市面上的蘋果變少、價格上升之后再出售,則同樣多的蘋果就可以獲得相對較高的銷售收入.不過,需要注意的是,保鮮存儲是有成本的,而且成本會隨著時間的延長而增大.
2.模型假設(shè)
經(jīng)濟學家:為什么會發(fā)生這種“囤積居奇”的現(xiàn)象 什么情況下不會發(fā)生這種現(xiàn)象
生物學家:能夠利用哪些技術(shù)手段進行保鮮存儲 哪種保鮮存儲的成本最低
消費者:什么時候是買蘋果的最佳時間
營銷者:什么時候是賣蘋果的最佳時間
(1)明確問題
蘋果的最佳售出時間點就是獲得最大收益的時間點.
(2)必要假設(shè),簡化問題
①除儲存成本外,無其他成本;
②蘋果數(shù)量是個定值;(如:果園產(chǎn)量為定值)
③蘋果都能售出.
(3)分析變量間的關(guān)系
①收益=價格-成本;
②價格與市場上蘋果數(shù)量的關(guān)系;
③市場上蘋果數(shù)量與時間的關(guān)系;
④成本即儲存成本與時間的關(guān)系.
因為時間會影響儲存成本和市面上蘋果的數(shù)量,而蘋果數(shù)量又影響了蘋果的價格,所以最終是時間決定了收益.
3.模型建立
設(shè)保鮮存儲時間為t,市面上蘋果的數(shù)量為x萬噸,蘋果的單價為y元,單位數(shù)量蘋果的儲存成本為C,單位數(shù)量蘋果的收益為z.
(1)z=y-C;
(2)y=f(x)是一個減函數(shù),可設(shè)為一次函數(shù)f(x)=k1x+l1;
(3)x=h(t)可設(shè)為二次函數(shù)h(t)=at2+bt+c;
(4)C=g(t)是一個增函數(shù),可設(shè)為一次函數(shù)g(t)=k2t+l2.
綜上,我們可以建立一個z關(guān)于t的函數(shù)z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2.
4.模型求解
確定參數(shù)、計算求解
(1)收集數(shù)據(jù)
x/萬噸 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/萬噸 9.462 9.328 9.198
　　(2)代入確定參數(shù)
利用待定系數(shù)法,根據(jù)前面的假設(shè)就可以列出如下方程組:
計算出參數(shù)k1,l1,k2,l2,a,b,c.
(3)確定函數(shù)模型
確定函數(shù)y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=0.01t+0.1,x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,
因此,我們可以得到收益關(guān)于時間的函數(shù)z=-0.001t2+0.06t+0.1.
(4)計算求解
z=-0.001(t-30)2+1,當t=30時,z取得最大值,最大值為1,
也就是說,在上述情況下,當保鮮儲存30天時,單位數(shù)量蘋果所獲得的利潤最大,最大利潤為1元.
5.模型的分析與檢驗
(1)還原到實際問題上,結(jié)果有偏差
(2)原因分析
①簡化問題,減少了變量;
②因為數(shù)據(jù)與所學有限,函數(shù)模型過于簡單,所以可從以上兩點改進模型.
6.推廣應(yīng)用
(1)數(shù)學建模的概念
數(shù)學建模就是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題.數(shù)學建模過程主要包括:在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、驗證結(jié)果、改進模型,最終解決實際問題.
(2)數(shù)學建模與應(yīng)用題的異同
數(shù)學建模與我們以往做的應(yīng)用題都是用數(shù)學方法解決實際問題,但是應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系是確定的,答案當然也是確定的,相比應(yīng)用題,數(shù)學建模有以下幾個特點:
①問題是自己發(fā)現(xiàn)和提出的;
②數(shù)量關(guān)系是自己分析出來的;
③數(shù)據(jù)是自己收集的;
④函數(shù)關(guān)系或者說數(shù)學模型是自己建立的.
(3)用框圖表示數(shù)學建模的基本過程
　　某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.該家庭有20萬元資金全部用于理財投資,怎么分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元
【解析】　設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f(x)=k1x,g(x)=k2.
由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
設(shè)投資債券類產(chǎn)品為x萬元,則投資股票類產(chǎn)品為(20-x)萬元,
依題意得y=f(x)+g(20-x)=x+(0≤x≤20),
令t=(0≤t≤2),則y=+t=-(t-2)2+3,
所以當t=2,即x=16時,收益最大,故當投資債券16萬元,投資股票4萬元時,獲得最大收益,最大收益為3萬元.
2

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