資源簡介

6.3 數學建模案例(一):最佳視角
【學習目標】
了解視角的概念,運用所學知識解決實際測量的高度問題,掌握數學建模活動的完整過程.(數學建模)
【合作探究】
　　一、問題背景
1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出了一個十分有趣的問題:在地球表面的什么部位,一根垂直的懸桿呈現最長(即可見角最大)
將米勒問題轉化為一般數學問題:
在已知直線l的同側有A,B兩點,試在直線l上求一點D,使得D對A,B兩點的張角,即∠ADB最大
二、模型的建立與求解
1.建立數學模型
(1)最大視角問題可以抽象成下面的數學模型:如圖,樹頂A離地面a米,樹上另一點B離地面b米,在離地面c(c　　(2)模型求解
過點C作CD⊥AB,交AB于點D,如圖所示,
則AB=a-b,AD=a-c,BD=b-c,
設∠BCD=α,∠ACB=β,CD=x.
在△BCD中,tan α==,
在△ACD中,tan(α+β)==,
所以tan β=tan==≤=,
當且僅當x=,即x=時取等號,tan β取得最大值,即∠ACB=β最大,
所以當離此樹的水平距離為米時看A,B的視角最大.
2.模型的進一步討論
按照數學建模的流程,還需要對模型求解的正確性進行檢驗.以觀賞一幅懸掛在美術館墻面上的畫為例,參觀者腳步的左右移動和前后移動分別對應于通過腳步移動尋找人眼與畫作在橫向以及縱向上的最大張角.你可以選擇模型所得的最佳視角的位置以及其他的位置,體驗模型結果的合理性.
而從最佳視角問題本身來看,也可對上述問題做進一步拓展.例如:
(1)在電影或電視拍攝過程中,如果升降機的水平位置固定,現場指揮人員經常對他乘坐的升降機的高度進行調整以拍攝空中的場景.如何求出工作人員的位置使其觀看場景最清楚
(2)當人們眺望對面山頂的景物(如巖崖畫、觀光塔)時,可能位于水平地面上、有一定坡度的山坡上或者上述兩者兼而有之.如何找出視野最清楚的觀景位置
　　問題研究一:屏幕的視角問題
在觀察物體時,從物體上、下沿引出的光線在人眼處所成的夾角叫視角.研究表明,視角在[26°,30°]范圍內視覺效果最佳.某大廣場豎立的大屏幕,屏幕高20米,屏幕底部距離地面11.5米.站在大屏幕正前方,距離屏幕所在平面x米處的某人,眼睛位置距離地面高度1.5米,觀察屏幕的視角為θ(情景示意圖如圖所示).
(1)為探究視覺效果,請從sin θ,cos θ,tan θ中選擇一個作為y,并求y=f(x)的表達式;
(2)根據(1)的選擇,探究θ是否有達到最佳視角效果的可能.
問題研究二:最遠距離問題
如圖,有一壁畫,最高點A處離地面6米,最低點B處離地面3米.若從離地面高2米的點C處觀賞它,視角為θ.當點C離墻壁多遠時,視角θ最大
問題研究三:廣告牌的視角問題
某大型商場為迎接新年的到來,在自動扶梯AC(AC>5米)的點C的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE.如圖所示,廣告牌底部點E恰好為DC的中點,電梯AC的坡度∠CAB=30°.某人在扶梯上點P處(異于點C)觀察廣告牌的視角∠DPE=θ.當某人在扶梯上觀察廣告牌的視角θ最大時,求CP的長.
問題研究四:塔的視角問題
如圖,某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°,沿傾斜角為α的斜坡前進 km 后到達D處,休息后繼續行駛 km到達山頂B.山頂處有一塔CB= km,從點A到點D的登山途中,隊員在點P處測得塔的視角為θ(∠CPB=θ),若點P處的高度PF=x km,則x為何值時,視角θ最大
　
26.3 數學建模案例(一):最佳視角
【學習目標】
了解視角的概念,運用所學知識解決實際測量的高度問題,掌握數學建模活動的完整過程.(數學建模)
【合作探究】
　　一、問題背景
1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出了一個十分有趣的問題:在地球表面的什么部位,一根垂直的懸桿呈現最長(即可見角最大)
將米勒問題轉化為一般數學問題:
在已知直線l的同側有A,B兩點,試在直線l上求一點D,使得D對A,B兩點的張角,即∠ADB最大
二、模型的建立與求解
1.建立數學模型
(1)最大視角問題可以抽象成下面的數學模型:如圖,樹頂A離地面a米,樹上另一點B離地面b米,在離地面c(c　　(2)模型求解
過點C作CD⊥AB,交AB于點D,如圖所示,
則AB=a-b,AD=a-c,BD=b-c,
設∠BCD=α,∠ACB=β,CD=x.
在△BCD中,tan α==,
在△ACD中,tan(α+β)==,
所以tan β=tan==≤=,
當且僅當x=,即x=時取等號,tan β取得最大值,即∠ACB=β最大,
所以當離此樹的水平距離為米時看A,B的視角最大.
2.模型的進一步討論
按照數學建模的流程,還需要對模型求解的正確性進行檢驗.以觀賞一幅懸掛在美術館墻面上的畫為例,參觀者腳步的左右移動和前后移動分別對應于通過腳步移動尋找人眼與畫作在橫向以及縱向上的最大張角.你可以選擇模型所得的最佳視角的位置以及其他的位置,體驗模型結果的合理性.
而從最佳視角問題本身來看,也可對上述問題做進一步拓展.例如:
(1)在電影或電視拍攝過程中,如果升降機的水平位置固定,現場指揮人員經常對他乘坐的升降機的高度進行調整以拍攝空中的場景.如何求出工作人員的位置使其觀看場景最清楚
(2)當人們眺望對面山頂的景物(如巖崖畫、觀光塔)時,可能位于水平地面上、有一定坡度的山坡上或者上述兩者兼而有之.如何找出視野最清楚的觀景位置
　　問題研究一:屏幕的視角問題
在觀察物體時,從物體上、下沿引出的光線在人眼處所成的夾角叫視角.研究表明,視角在[26°,30°]范圍內視覺效果最佳.某大廣場豎立的大屏幕,屏幕高20米,屏幕底部距離地面11.5米.站在大屏幕正前方,距離屏幕所在平面x米處的某人,眼睛位置距離地面高度1.5米,觀察屏幕的視角為θ(情景示意圖如圖所示).
(1)為探究視覺效果,請從sin θ,cos θ,tan θ中選擇一個作為y,并求y=f(x)的表達式;
(2)根據(1)的選擇,探究θ是否有達到最佳視角效果的可能.
【解析】　過點A作AF⊥CE于點F,則EF=AB=1.5,DF=DE-EF=10,CF=30,設∠CAF=α,∠DAF=β.
(1)sin θ=sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=·-·
=.
(2)sin θ=≤=,
當且僅當x2=,即x=10時,
sin θ取到最大值,最大值為,
因為sin θ在(0,90°)上單調遞增,所以觀察屏幕視角的最大值為30°,且30°∈[26°,30°],
故θ有達到最佳視角效果的可能.
問題研究二:最遠距離問題
如圖,有一壁畫,最高點A處離地面6米,最低點B處離地面3米.若從離地面高2米的點C處觀賞它,視角為θ.當點C離墻壁多遠時,視角θ最大
【解析】　設∠ACD=α,∠BCD=β,則視角θ=α-β.
設點C到墻壁的距離為x米,則tan α=,tan β=,
所以tan θ=tan(α-β)====≤=當且僅當x=,即x=2時等號成立,
所以當x=2時,視角θ達到最大,
故當tan θ=時,點C到墻壁距離為2米,此時視角θ達到最大.
問題研究三:廣告牌的視角問題
某大型商場為迎接新年的到來,在自動扶梯AC(AC>5米)的點C的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE.如圖所示,廣告牌底部點E恰好為DC的中點,電梯AC的坡度∠CAB=30°.某人在扶梯上點P處(異于點C)觀察廣告牌的視角∠DPE=θ.當某人在扶梯上觀察廣告牌的視角θ最大時,求CP的長.
【解析】　過點P作PQ⊥BC于點Q,如圖所示,
設CQ=x,則PQ=x,CP=2x,
tan∠DPQ=,tan∠EPQ=,
當tan∠DPE取最大值時,即∠DPE取最大值,
tan∠DPE=tan(∠DPQ-∠EPQ)==≤=,
當且僅當4x=,即x=時等號成立,
所以CP=2x=5.
問題研究四:塔的視角問題
如圖,某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°,沿傾斜角為α的斜坡前進 km 后到達D處,休息后繼續行駛 km到達山頂B.山頂處有一塔CB= km,從點A到點D的登山途中,隊員在點P處測得塔的視角為θ(∠CPB=θ),若點P處的高度PF=x km,則x為何值時,視角θ最大
　　【解析】　如圖,過點P作PN⊥BE于點N,過點D作DG⊥AE于點G,因為PF=x,所以AF=3x,
因為點P在AD上,DG=1,所以x∈[0,1],
所以tan∠BPN==,tan∠CPN===,
所以tan θ=tan(∠CPN-∠BPN)
=
=
=,x∈[0,1],
令t=4-3x(t∈[1,4]),則x=,
所以tan θ==≤=,
當且僅當t=,即t=,x=時,tan θ取得最大值,
所以當x= km時,視角θ最大.
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