資源簡介

6.4 數學建模案例(二):曼哈頓距離
【學習目標】
了解曼哈頓距離,掌握建立數學模型的方法以及模型求解的方法.(數學建模)
【合作探究】
一、問題背景
在解析幾何里最常用的一種計算方法,即已知平面兩點A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=,但是計算起來比較復雜,要平方,加和,再開方,而人們在空間幾何中度量距離很多場合其實是可以做一些簡化的,曼哈頓距離就是由19世紀著名的德國猶太數學家赫爾曼·閔可夫斯基發明的距離簡化計算所得到.
在平面內兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的曼哈頓距離為d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.
曼哈頓距離也叫出租車距離,出租車司機計算從一個位置到另一個位置的距離,通常直接用街區的兩個坐標分別相減,再相加,這個結果就是他即將開車通過的街區數量,而完全沒有必要用兩點間的距離公式來求解.
曼哈頓距離中的距離計算公式比歐氏距離的計算公式看起來簡潔很多,只需要把兩個點坐標的橫坐標相減取絕對值,縱坐標相減取絕對值,再加和.
從曼哈頓距離的概念來說,只能上、下、左、右四個方向進行移動,而且兩點之間的曼哈頓距離是兩點之間的最短距離(在只能向上、下、左、右四個方向進行移動的前提下).為什么呢 假設從一點到達另一點(只能向上、下、左、右四個方向進行移動,下同),要使路程最短,就只能每一步都有用(使之與另一點的南北距離或東西距離縮短).
不難驗證,對于平面上任意三點A,B,C,曼哈頓距離滿足d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).一般情況下,設平面上點A(x,y),以及點Bi(xi,yi)(i=1,2,…,n),則點A到點Bi(i=1,2,…,n)的曼哈頓距離Z定義為點A到n個點Bi(i=1,2,…,n)的曼哈頓距離之和,即Z=d(A,Bi).
二、問題解析
1.模型的建立與求解
先考慮一個簡單的數學建模.
問題:某地街道呈現東-西、南-北向的網格狀,相鄰街距都為1,兩街道相交的點稱為格點.若以互相垂直的兩條街道為坐標軸建立平面直角坐標系,現有下述格點(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5)為報刊零售點.為使5個零售點沿街道到發行站之間路程的和最短,試確定發行站的位置使其到5個零售點的曼哈頓距離最短.
(1)建立數學模型
設發行站的位置為P(x,y),y≥0,零售點到發行站的距離為Z,
Z=d(x,y)=2|x+2|+|y-2|+2|x-3|+|y-1|+|y-4|+|y-3|+|x-4|+|y-5|=(2|x+2|+2|x-3|+|x-4|)+(|y-2|+|y-1|+|y-4|+|y-3|+|y-5|).
(2)模型求解
因為水平方向與垂直方向的距離分別為
X=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|,Y=|y-2|+|y-1|+|y-4|+|y-3|+|y-5|,它們互不影響,則Z=X+Y,
所以Zmin=Xmin+Ymin,
這五個點的橫坐標與縱坐標的平均值分別為
==,
==3.
記A,畫圖可知發行站的位置應該在點A附近,
代入附近的點的坐標進行比較可知,在(3,3)處Z取得最小值.
2.模型的進一步討論
在實際生活中,還有許多的問題可以歸結為基于曼哈頓距離的數學模型來求解.以設置機器零件檢驗臺的位置為例來說明.
如圖,工作效率相同的n臺機器位于一條直線上,每臺機器生產的零件均需送到同一個檢驗臺上檢驗,檢驗合格后才能進入下一道工序.已知零件在這條直線上的傳送速度均相同,問檢驗臺的位置設在哪里可以使得零件傳送時的距離最小
上述問題的數學模型為y=|x-A1|+|x-A2|+…+|x-An|,其中Ak(k=1,2,…,n)是第k個零件的位置,x是待求的檢驗臺位置,y是零件傳送的總距離.
將n個常數A1,A2,…,An從小到大排列,則有
(1)當n=2m+1(m∈N+),x=Am+1時,y取得最小值,且最小值為(Am+k+1-Ak);
(2)當n=2m(m∈N+),x∈[Am,Am+1]時,y取得最小值,且最小值為(Am+k-Ak).
除了上面描述的曼哈頓距離外,許多實際問題還可以轉化為以其他距離最值為約束條件的數學模型來解決.
問題研究一:確定垃圾集中回收站的位置
垃圾分類可以提高垃圾的資源價值和經濟價值,具有社會、經濟、生態等幾方面的效益,某街道呈現東-西、南-北向的網格狀,相鄰街距都為1,兩街道相交的點稱為格點.若以互相垂直的兩條街道為坐標軸建立平面直角坐標系,現有下述格點(-2,2),(2,1),(2,3),(-2,4),(4,5),(6,6)為垃圾回收點.請確定一個格點(除回收點外)為垃圾集中回收站,使這6個回收點沿街道到回收站之間路程的和最短.
【解析】　設格點的坐標為(x,y),則-2≤x≤6,1≤y≤6,
根據含絕對值三角不等式+≥可知橫軸方向的距離和d(x)=2|x+2|+2|x-2|+|x-4|+|x-6|=(|x+2|+|x-6|)+(|x+2|+|x-4|)+2|x-2|≥++2×0=14,
此時d(x)的最小值是14,等號成立的條件是所以當x=2時,d(x)的最小值是14,
縱軸方向的距離和d(y)=+++++≥++=9,
此時d(y)的最小值是9,等號成立的條件是即y=3或y=4,
當y=3時,此時格點的位置是(2,3),是垃圾回收點,舍去,所以y=4,此時格點坐標是(2,4).
問題研究二:曼哈頓距離的應用
對于一個具有正南正北、正東正西方向規則布局的城鎮街道,從一點到另一點的距離是在南北方向上行進的距離加上在東西方向上行進的距離,這種距離即“曼哈頓距離”,也叫“出租車距離”.對于在平面直角坐標系中的點P1(x1,y1)和P2(x2,y2),兩點間的“曼哈頓距離”d(P1,P2)=|x1-x2|+|y1-y2|.
(1)如圖,若O為坐標原點,A,B兩點的坐標分別為(2,3)和(4,1),求d(O,A),d(O,B),d(A,B);
(2)若點P滿足d(O,P)=5,試在圖中畫出點P的軌跡,并求該軌跡所圍成的圖形的面積;
(3)已知函數f(x)=,x∈[1,2],試在f(x)的圖象上找一點M,使得d(O,M)最小,并求出此時點M的坐標.
【解析】　(1)由題意得d(O,A)=|0-2|+|0-3|=5,
d(O,B)=|0-4|+|0-1|=5,
d(A,B)=|2-4|+|3-1|=4.
(2)設點P的坐標為(x,y),因為點P滿足d(O,P)=5,
所以|x|+|y|=5,點P的軌跡為如圖所示的正方形(說明:畫出圖形即可,不用說明理由),
該軌跡所圍成的圖形的面積S=×5×5×4=50.
(3)設點M的坐標為,則d(O,M)=|x|+,因為x∈[1,2],所以d(O,M)=x+.
設g(x)=x+,任取x1,x2∈[1,2],且x1則g(x1)-g(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2),
因為x1,x2∈[1,2],且x10,
所以g(x1)-g(x2)>0,所以g(x)在[1,2]上是減函數,
所以當x=2,即點M的坐標為(2,2)時,g(x)min=g(2)=4,即d(O,M)最小,最小值為4.
26.4 數學建模案例(二):曼哈頓距離
【學習目標】
了解曼哈頓距離,掌握建立數學模型的方法以及模型求解的方法.(數學建模)
【合作探究】
一、問題背景
在解析幾何里最常用的一種計算方法,即已知平面兩點A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=,但是計算起來比較復雜,要平方,加和,再開方,而人們在空間幾何中度量距離很多場合其實是可以做一些簡化的,曼哈頓距離就是由19世紀著名的德國猶太數學家赫爾曼·閔可夫斯基發明的距離簡化計算所得到.
在平面內兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的曼哈頓距離為d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.
曼哈頓距離也叫出租車距離,出租車司機計算從一個位置到另一個位置的距離,通常直接用街區的兩個坐標分別相減,再相加,這個結果就是他即將開車通過的街區數量,而完全沒有必要用兩點間的距離公式來求解.
曼哈頓距離中的距離計算公式比歐氏距離的計算公式看起來簡潔很多,只需要把兩個點坐標的橫坐標相減取絕對值,縱坐標相減取絕對值,再加和.
從曼哈頓距離的概念來說,只能上、下、左、右四個方向進行移動,而且兩點之間的曼哈頓距離是兩點之間的最短距離(在只能向上、下、左、右四個方向進行移動的前提下).為什么呢 假設從一點到達另一點(只能向上、下、左、右四個方向進行移動,下同),要使路程最短,就只能每一步都有用(使之與另一點的南北距離或東西距離縮短).
不難驗證,對于平面上任意三點A,B,C,曼哈頓距離滿足d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).一般情況下,設平面上點A(x,y),以及點Bi(xi,yi)(i=1,2,…,n),則點A到點Bi(i=1,2,…,n)的曼哈頓距離Z定義為點A到n個點Bi(i=1,2,…,n)的曼哈頓距離之和,即Z=d(A,Bi).
二、問題解析
1.模型的建立與求解
先考慮一個簡單的數學建模.
問題:某地街道呈現東-西、南-北向的網格狀,相鄰街距都為1,兩街道相交的點稱為格點.若以互相垂直的兩條街道為坐標軸建立平面直角坐標系,現有下述格點(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5)為報刊零售點.為使5個零售點沿街道到發行站之間路程的和最短,試確定發行站的位置使其到5個零售點的曼哈頓距離最短.
(1)建立數學模型
設發行站的位置為P(x,y),y≥0,零售點到發行站的距離為Z,
Z=d(x,y)=2|x+2|+|y-2|+2|x-3|+|y-1|+|y-4|+|y-3|+|x-4|+|y-5|=(2|x+2|+2|x-3|+|x-4|)+(|y-2|+|y-1|+|y-4|+|y-3|+|y-5|).
(2)模型求解
因為水平方向與垂直方向的距離分別為
X=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|,Y=|y-2|+|y-1|+|y-4|+|y-3|+|y-5|,它們互不影響,則Z=X+Y,
所以Zmin=Xmin+Ymin,
這五個點的橫坐標與縱坐標的平均值分別為
==,
==3.
記A,畫圖可知發行站的位置應該在點A附近,
代入附近的點的坐標進行比較可知,在(3,3)處Z取得最小值.
2.模型的進一步討論
在實際生活中,還有許多的問題可以歸結為基于曼哈頓距離的數學模型來求解.以設置機器零件檢驗臺的位置為例來說明.
如圖,工作效率相同的n臺機器位于一條直線上,每臺機器生產的零件均需送到同一個檢驗臺上檢驗,檢驗合格后才能進入下一道工序.已知零件在這條直線上的傳送速度均相同,問檢驗臺的位置設在哪里可以使得零件傳送時的距離最小
上述問題的數學模型為y=|x-A1|+|x-A2|+…+|x-An|,其中Ak(k=1,2,…,n)是第k個零件的位置,x是待求的檢驗臺位置,y是零件傳送的總距離.
將n個常數A1,A2,…,An從小到大排列,則有
(1)當n=2m+1(m∈N+),x=Am+1時,y取得最小值,且最小值為(Am+k+1-Ak);
(2)當n=2m(m∈N+),x∈[Am,Am+1]時,y取得最小值,且最小值為(Am+k-Ak).
除了上面描述的曼哈頓距離外,許多實際問題還可以轉化為以其他距離最值為約束條件的數學模型來解決.
問題研究一:確定垃圾集中回收站的位置
垃圾分類可以提高垃圾的資源價值和經濟價值,具有社會、經濟、生態等幾方面的效益,某街道呈現東-西、南-北向的網格狀,相鄰街距都為1,兩街道相交的點稱為格點.若以互相垂直的兩條街道為坐標軸建立平面直角坐標系,現有下述格點(-2,2),(2,1),(2,3),(-2,4),(4,5),(6,6)為垃圾回收點.請確定一個格點(除回收點外)為垃圾集中回收站,使這6個回收點沿街道到回收站之間路程的和最短.
問題研究二:曼哈頓距離的應用
對于一個具有正南正北、正東正西方向規則布局的城鎮街道,從一點到另一點的距離是在南北方向上行進的距離加上在東西方向上行進的距離,這種距離即“曼哈頓距離”,也叫“出租車距離”.對于在平面直角坐標系中的點P1(x1,y1)和P2(x2,y2),兩點間的“曼哈頓距離”d(P1,P2)=|x1-x2|+|y1-y2|.
(1)如圖,若O為坐標原點,A,B兩點的坐標分別為(2,3)和(4,1),求d(O,A),d(O,B),d(A,B);
(2)若點P滿足d(O,P)=5,試在圖中畫出點P的軌跡,并求該軌跡所圍成的圖形的面積;
(3)已知函數f(x)=,x∈[1,2],試在f(x)的圖象上找一點M,使得d(O,M)最小,并求出此時點M的坐標.
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