資源簡介

5.2 課時1 古典概型
【學習目標】
1.理解概率的意義,利用概率知識正確理解現實生活中的實際問題.(數學抽象)
2.理解和掌握古典概型的樣本空間的基本特點,會根據實際問題建立古典概率模型,并能運用古典概型的概率計算公式求一些事件的概率.(數據分析)
3.通過對一些古典概型問題的分析,理解概率的三個基本性質.(邏輯推理)
【自主預習】
1.什么是古典概型
2.古典概型有哪些特征
3.古典概型的計算公式是什么
4.概率有哪些基本性質
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)任何一個事件都是一個基本事件. (　　)
(2)古典概型中每一個基本事件出現的可能性相等. (　　)
(3)古典概型中的任何兩個基本事件都是互斥的. (　　)
(4)古典概型中的樣本點出現的可能性有可能不同. (　　)
2.先后拋擲兩顆質地均勻的骰子,所得點數之和為7的概率為(　　).
A. B. C. D.
3.下列試驗是古典概型的為 　　　　(填序號).
①從6名同學中選出4人參加數學競賽,每人被選中的可能性的大小;
②同時擲兩枚骰子,點數之和為7的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率.
4.某棋社有20名愛好象棋的棋友.已知社團中棋藝技能分為高級、中級和初級三個等級,其中中級棋友有11人,現從棋社中抽取一名棋友,若抽取到高級棋友的概率是0.2,則抽取到初級棋友的概率是　　　　.
【合作探究】
探究1　古典概型的定義
　　小明擲一枚質地均勻的硬幣兩次,觀察哪一面向上.
問題1:這個試驗共有哪幾種結果 基本事件總數是多少
問題2:事件A={恰有一次正面向上}包含哪些試驗結果
問題3:我們討論過彩票搖號試驗、拋擲一枚均勻硬幣的試驗及擲一枚質地均勻骰子的試驗,它們的共同特征有哪些
新知生成
1.隨機事件的概率
把隨機事件A發生的　可能性大小　叫作隨機事件A的概率,記作　P(A)　.
2.古典概型
設試驗的樣本空間Ω有n個樣本點,且每個樣本點發生的可能性相同.當Ω中的事件A包含了m個樣本點時,稱P(A)=為事件A發生的概率,簡稱為A的概率,并把上述定義描述的概率模型稱為古典概率模型,簡稱為古典概型.
3.古典概型的特點
(1)樣本空間中只有　有限　個樣本點;
(2)每個樣本點出現的可能性　相等　.
新知運用
例1　某袋中有除顏色不同其他都相同的3個白球,2個紅球,2個黃球,每個球有一個區別于其他球的編號,從中隨機摸出1個球.
(1)把每個球的編號看作一個樣本點建立的概率模型是不是古典概型
(2)把球的顏色作為劃分樣本點的依據,有多少個樣本點 以這些樣本點建立的概率模型是不是古典概型
【方法總結】　　判斷一個試驗是否為古典概型的依據
一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——樣本點的有限性和等可能性.
下列概率模型中,古典概型的個數為(　　).
①從區間[1,10]內任取一個數,求取到1的概率;
②從1,2,3,…,10中任取一個數,求取到1的概率;
③在正方形ABCD內畫一點P,求點P恰好為正方形中心的概率;
④向上拋擲一枚質地不均勻的硬幣,求出現反面朝上的概率.
A.1 B.2 C.3 D.4
探究2　古典概型公式
　　考慮下面兩個隨機試驗:(1)一個班級中有18名男生,22名女生.采用抽簽的方式,從中隨機選擇一名學生,事件A=“抽到男生”;(2)拋擲一枚質地均勻的硬幣3次,事件B=“恰好1次正面朝上”.
問題1:如何度量事件A和事件B發生的可能性大小
問題2:若一次試驗的結果所包含的樣本點的個數為有限個,則該試驗是古典概型嗎
新知生成
1.古典概型公式
對于古典概型,事件A的概率計算公式為P(A)=.
2.概率的基本性質
(1)0≤P(A)≤1.(概率總是[0,1]中的數)
(2)P(Ω)=1.(必然事件的概率為1)
(3)P( )=0.(不可能事件的概率為零)
新知運用
例2　現有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學從中任取2道題解答.試求:
(1)所取的2道題都是甲類題的概率;
(2)所取的2道題不是同一類題的概率.
【方法總結】　　(1)古典概型概率的求法步驟:①確定等可能樣本點總數n;②確定所求事件包含的樣本點數m;③計算P(A)=.
(2)使用古典概型概率公式的注意點:①確定是否為古典概型;②A事件是什么,包含的樣本點有哪些.
從1,2,3,4,5這5個數字中任取3個不同的數字,求下列事件的概率:
(1)事件A={3個數字中不含1或5};
(2)事件B={3個數字中含1或5}.
探究3　較復雜古典概型的求解
例3　某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次,每次
轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區域中的數.設兩次記錄的數分別為x,y.獎勵規則如下:
①若xy≤3,則獎勵玩具一個;②若xy≥8,則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設轉盤質地均勻,四個區域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.
(1)求小亮獲得玩具的概率;
(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.
方法指導　寫出試驗的
樣本空間→計算所求概
率事件的樣
本點數→應用古典概
型概率公式
計算概率
【方法總結】　　(1)當樣本點個數沒有很明顯的規律,并且涉及的樣本點又不是太多時,我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來,這是進行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點,并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況.
(2)在求概率時,若樣本點可以表示成有序數對的形式,則可以把全部樣本點用平面直角坐標系中的點表示,即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數.故采用數形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀,給問題的解決帶來方便.
將一枚質地均勻的骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數,并分別記為x,y.
(1)若記“x+y=5”為事件A,求事件A發生的概率;
(2)若記“x2+y2≤10”為事件B,求事件B發生的概率.
【隨堂檢測】
1.下列關于古典概型的說法中正確的是(　　).
①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;②每個事件出現的可能性相等;③每個基本事件出現的可能性相等;④基本事件的總數為n,隨機事件A若包含k個基本事件,則P(A)=.
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
2.從1,2,3,4這四個數字中,任取兩個不同的數字構成一個兩位數,則這個兩位數大于30的概率為(　　).
A. B. C. D.
3.某學校高二年級組織開展了“勞動美”社會實踐活動,倡導學生回家幫父母做家務,體驗父母的艱辛.某同學要在周一至周五任選兩天做家務,則該同學連續兩天做家務的概率為(　　).
A. B. C. D.
4.某城市有8個商場A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O排成如圖所示的格局,其中每個小方格為正方形,某人從網格中隨機地選擇一條最短路徑,欲從商場A前往商場H,則他經過市中心O的概率為　　　　.
25.2 課時1 古典概型
【學習目標】
1.理解概率的意義,利用概率知識正確理解現實生活中的實際問題.(數學抽象)
2.理解和掌握古典概型的樣本空間的基本特點,會根據實際問題建立古典概率模型,并能運用古典概型的概率計算公式求一些事件的概率.(數據分析)
3.通過對一些古典概型問題的分析,理解概率的三個基本性質.(邏輯推理)
【自主預習】
1.什么是古典概型
【答案】　具有有限性、等可能性特征的試驗叫作古典概型.
2.古典概型有哪些特征
【答案】　古典概型的兩個特征:有限性和等可能性.
3.古典概型的計算公式是什么
【答案】　P(A)=.
4.概率有哪些基本性質
【答案】　(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1;(3)P( )=0.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)任何一個事件都是一個基本事件. (　　)
(2)古典概型中每一個基本事件出現的可能性相等. (　　)
(3)古典概型中的任何兩個基本事件都是互斥的. (　　)
(4)古典概型中的樣本點出現的可能性有可能不同. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.先后拋擲兩顆質地均勻的骰子,所得點數之和為7的概率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　拋擲兩顆質地均勻的骰子,一共有36種結果,其中點數之和為7的共有6種結果,根據古典概型的概率公式,得P=.
3.下列試驗是古典概型的為 　　　　(填序號).
①從6名同學中選出4人參加數學競賽,每人被選中的可能性的大小;
②同時擲兩枚骰子,點數之和為7的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率.
【答案】　①②④
【解析】　①②④是古典概型,因為符合古典概型的定義和特點.③不是古典概型,因為不符合等可能性,近三天中是否降雨受多方面因素影響.
4.某棋社有20名愛好象棋的棋友.已知社團中棋藝技能分為高級、中級和初級三個等級,其中中級棋友有11人,現從棋社中抽取一名棋友,若抽取到高級棋友的概率是0.2,則抽取到初級棋友的概率是　　　　.
【答案】　0.25
【解析】　由題意知,高級棋友有20×0.2=4(人),∴初級棋友有20-11-4=5(人),
∴從棋社中抽取到初級棋友的概率是=0.25.
【合作探究】
探究1　古典概型的定義
　　小明擲一枚質地均勻的硬幣兩次,觀察哪一面向上.
問題1:這個試驗共有哪幾種結果 基本事件總數是多少
【答案】　共有正正、正反、反正、反反四種結果,基本事件總數是4.
問題2:事件A={恰有一次正面向上}包含哪些試驗結果
【答案】　正反、反正.
問題3:我們討論過彩票搖號試驗、拋擲一枚均勻硬幣的試驗及擲一枚質地均勻骰子的試驗,它們的共同特征有哪些
【答案】　可以發現,它們具有如下共同特征:
①有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;
②等可能性:每個樣本點發生的可能性相等.
新知生成
1.隨機事件的概率
把隨機事件A發生的　可能性大小　叫作隨機事件A的概率,記作　P(A)　.
2.古典概型
設試驗的樣本空間Ω有n個樣本點,且每個樣本點發生的可能性相同.當Ω中的事件A包含了m個樣本點時,稱P(A)=為事件A發生的概率,簡稱為A的概率,并把上述定義描述的概率模型稱為古典概率模型,簡稱為古典概型.
3.古典概型的特點
(1)樣本空間中只有　有限　個樣本點;
(2)每個樣本點出現的可能性　相等　.
新知運用
例1　某袋中有除顏色不同其他都相同的3個白球,2個紅球,2個黃球,每個球有一個區別于其他球的編號,從中隨機摸出1個球.
(1)把每個球的編號看作一個樣本點建立的概率模型是不是古典概型
(2)把球的顏色作為劃分樣本點的依據,有多少個樣本點 以這些樣本點建立的概率模型是不是古典概型
【解析】　(1)因為樣本點的個數有限,而且每個樣本點發生的可能性相同,所以是古典概型.
(2)把球的顏色作為劃分樣本點的依據,可得到“取得一個白色球”“取得一個紅色球”“取得一個黃色球”,共3個樣本點.這些樣本點個數有限,但“取得一個白色球”的概率與“取得一個紅色球”或“取得一個黃色球”的概率不相等,即不滿足等可能性,故不是古典概型.
【方法總結】　　判斷一個試驗是否為古典概型的依據
一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——樣本點的有限性和等可能性.
下列概率模型中,古典概型的個數為(　　).
①從區間[1,10]內任取一個數,求取到1的概率;
②從1,2,3,…,10中任取一個數,求取到1的概率;
③在正方形ABCD內畫一點P,求點P恰好為正方形中心的概率;
④向上拋擲一枚質地不均勻的硬幣,求出現反面朝上的概率.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　A
【解析】　古典概型的特征是樣本空間中樣本點的個數是有限的,并且每個樣本點發生的可能性相等,故②是古典概型;①和③中的樣本空間中樣本點的個數不是有限的,故不是古典概型;④由于硬幣質地不均勻,樣本點發生的可能性不相等,故④不是古典概型.
探究2　古典概型公式
　　考慮下面兩個隨機試驗:(1)一個班級中有18名男生,22名女生.采用抽簽的方式,從中隨機選擇一名學生,事件A=“抽到男生”;(2)拋擲一枚質地均勻的硬幣3次,事件B=“恰好1次正面朝上”.
問題1:如何度量事件A和事件B發生的可能性大小
【答案】　(1)抽到男生的可能性大小,取決于男生數在班級學生數中所占的比例大小.
(2)事件B發生的可能性大小,取決于這個事件包含的樣本點在樣本空間包含的樣本點中所占的比例大小.
問題2:若一次試驗的結果所包含的樣本點的個數為有限個,則該試驗是古典概型嗎
【答案】　不一定是古典概型,還必須滿足每個樣本點出現的可能性相等才是古典概型.
新知生成
1.古典概型公式
對于古典概型,事件A的概率計算公式為P(A)=.
2.概率的基本性質
(1)0≤P(A)≤1.(概率總是[0,1]中的數)
(2)P(Ω)=1.(必然事件的概率為1)
(3)P( )=0.(不可能事件的概率為零)
新知運用
例2　現有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學從中任取2道題解答.試求:
(1)所取的2道題都是甲類題的概率;
(2)所取的2道題不是同一類題的概率.
【解析】　(1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4;2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題,這個試驗的樣本空間Ω=
{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15個樣本點,且每個樣本點出現的可能性是相等的,可用古典概型概率公式來計算概率.
用A表示“所取的2道題都是甲類題”這一事件,則A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6個樣本點,所以P(A)==.
(2)由(1)知試驗的樣本空間共有15個樣本點,用B表示“所取的2道題不是同一類題”,則B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共8個樣本點,所以P(B)=.
【方法總結】　　(1)古典概型概率的求法步驟:①確定等可能樣本點總數n;②確定所求事件包含的樣本點數m;③計算P(A)=.
(2)使用古典概型概率公式的注意點:①確定是否為古典概型;②A事件是什么,包含的樣本點有哪些.
從1,2,3,4,5這5個數字中任取3個不同的數字,求下列事件的概率:
(1)事件A={3個數字中不含1或5};
(2)事件B={3個數字中含1或5}.
【解析】　這個試驗的樣本空間Ω=
{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},樣本點總數n=10,這10個樣本點發生的可能性是相等的.
(1)因為事件A={(2,3,4)},所以事件A包含的樣本點數m=1.
所以P(A)==.
(2)因為事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},
所以事件B包含的樣本點數m=9,所以P(B)==.
探究3　較復雜古典概型的求解
例3　某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次,每次
轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區域中的數.設兩次記錄的數分別為x,y.獎勵規則如下:
①若xy≤3,則獎勵玩具一個;②若xy≥8,則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設轉盤質地均勻,四個區域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.
(1)求小亮獲得玩具的概率;
(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.
方法指導　寫出試驗的
樣本空間→計算所求概
率事件的樣
本點數→應用古典概
型概率公式
計算概率
【解析】　用數對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數,
則樣本空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應.
因為S中元素的個數是4×4=16,所以樣本點總數n=16.
(1)記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的樣本點共5個,即A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}.
所以P(A)=,即小亮獲得玩具的概率為.
(2)記“xy≥8”為事件B,“3則事件B包含的樣本點共6個,即B={(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}.
所以P(B)==.
事件C包含的樣本點共5個,即C={(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)}.
所以P(C)=.因為>,所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.
【方法總結】　　(1)當樣本點個數沒有很明顯的規律,并且涉及的樣本點又不是太多時,我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來,這是進行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點,并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況.
(2)在求概率時,若樣本點可以表示成有序數對的形式,則可以把全部樣本點用平面直角坐標系中的點表示,即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數.故采用數形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀,給問題的解決帶來方便.
將一枚質地均勻的骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數,并分別記為x,y.
(1)若記“x+y=5”為事件A,求事件A發生的概率;
(2)若記“x2+y2≤10”為事件B,求事件B發生的概率.
【解析】　將一枚質地均勻的骰子拋擲1次,它的點數有1,2,3,4,5,6這6種結果,
拋擲第2次,它的點數有1,2,3,4,5,6這6種結果,
因為骰子共拋擲2次,所以共有6×6=36種結果.
(1)事件A發生的樣本點有(1,4),(2,3),(4,1),(3,2),共4種結果,
所以事件A發生的概率為P(A)==.
(2)事件B發生的樣本點有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6種結果,所以事件B發生的概率為P(B)==.
【隨堂檢測】
1.下列關于古典概型的說法中正確的是(　　).
①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;②每個事件出現的可能性相等;③每個基本事件出現的可能性相等;④基本事件的總數為n,隨機事件A若包含k個基本事件,則P(A)=.
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
【答案】　B
【解析】　根據古典概型的特征與公式進行判斷,①③④正確,②不正確.
2.從1,2,3,4這四個數字中,任取兩個不同的數字構成一個兩位數,則這個兩位數大于30的概率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　從1,2,3,4中任取兩個不同數字構成一個兩位數,共有12種不同取法,其中大于30的為31,32,34,41,42,43,共6種.故所求的概率為=.
3.某學校高二年級組織開展了“勞動美”社會實踐活動,倡導學生回家幫父母做家務,體驗父母的艱辛.某同學要在周一至周五任選兩天做家務,則該同學連續兩天做家務的概率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　周一至周五任選兩天的所有情況為(周一、周二)、(周一、周三)、(周一、周四)、(周一、周五)、(周二、周三)、(周二、周四)、(周二、周五)、(周三、周四)、(周三、周五)、(周四、周五),共10種,其中連續兩天的有4種,故所求概率為=.
4.某城市有8個商場A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O排成如圖所示的格局,其中每個小方格為正方形,某人從網格中隨機地選擇一條最短路徑,欲從商場A前往商場H,則他經過市中心O的概率為　　　　.
【答案】　
【解析】　此人從商場A前往商場H的所有最短路徑有A→B→C→E→H,A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,A→D→F→G→H,共6條,其中經過市中心O的有4條,所以經過市中心O的概率為.
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