資源簡介

5.2 課時2 概率的運算
【學習目標】
1.掌握互斥事件的概率加法公式、對立事件的概率.(數學抽象、數學運算)
2.掌握一般概率加法公式.(數學抽象、數學運算)
3.會用概率的運算解決實際問題.(數學建模)
【自主預習】
1.概率的性質有哪些
【答案】　(1)對任意的事件A,0≤P(A)≤1;(2)必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0;(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
2.如果事件A與事件B不互斥,那么P(A∪B)與P(A),P(B)有什么關系
【答案】　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
3.如果事件A與事件B為對立事件,那么P(A)與P(B)有什么關系
【答案】　如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若事件A與B互斥,則P(A)+P(B)=1. (　　)
(2)必然事件的概率一定為1. (　　)
(3)某產品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級屬于次品,若生產中出現乙級品的概率為0.03,丙級品的概率為0.01,則隨機抽查一件產品,恰好是正品的概率為0.96. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.在擲骰子的游戲中,向上的點數是5或6的概率是(　　).
A. B. C. D.1
【答案】　B
【解析】　事件“向上的點數是5”與事件“向上的點數是6”為互斥事件,且二者發生的概率都是,
所以“向上的點數是5或6”的概率是+=.
3.甲、乙兩隊進行足球比賽,若兩隊戰平的概率是,乙隊獲勝的概率是,則甲隊獲勝的概率是　　　　.
【答案】　
【解析】　由對立事件的概率公式可得,甲隊獲勝的概率P=1-+=.
4.某乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加運動會的乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為,乙奪得冠軍的概率為,那么該隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為　　　　.
【答案】　
【解析】　設A=“甲奪得冠軍”,B=“乙奪得冠軍”,則該隊奪得單打冠軍為事件A+B,
∵事件A與事件B互斥,
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
【合作探究】
探究1　互斥事件、對立事件的概率
　　將僅有顏色不同而大小質地相同的7個紅球、2個綠球、1個黃球放入一個盒子中.現從中任取一個球,記事件A=“取出的球是紅球”,事件B=“取出的球是綠球”,事件C=“取出的球是紅球或綠球”.
問題1:事件A,B,C中各有幾個基本事件
【答案】　事件A有7個基本事件;事件B有2個基本事件;事件C有9個基本事件.
問題2:事件A,B,C的關系是什么
【答案】　A∩B= ,A∩C=A,B∩C=B.
問題3:計算P(A),P(B),P(C).
【答案】　P(A)=,P(B)==,P(C)=.
問題4:觀察P(C),P(A∪B)和P(A)+P(B)三者有何關系
【答案】　P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B).
新知生成
1.概率加法公式:若Ω中的事件A,B互斥,則P(A∪B)=　P(A)+P(B)　.
把概率加法公式反映的性質稱為概率的可加性.
2.對立事件的概率:P()=1-P(A).
新知運用
例1　備戰奧運會射擊隊的某一選手射擊一次,其命中環數的概率如表所示:
命中環數 10環 9環 8環 7環
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
　　求該選手射擊一次,
(1)命中9環或10環的概率;
(2)至少命中8環的概率;
(3)命中不足8環的概率.
【解析】　記“射擊一次,命中k環”為事件Ak(k=7,8,9,10),“至少命中8環”為事件B,“命中不足8環”為事件C.
(1)因為A9與A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)因為B=A8+A9+A10,又A8,A9,A10兩兩互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)因為事件C與事件B是對立事件,所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
【方法總結】　　互斥、對立事件概率的求解步驟:解決事件概率問題,先結合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或對立事件,再選擇概率公式進行計算.
一盒中裝有除顏色外其他都相同的球12個,其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球.從中隨機取出1球,求:
(1)取出1球是紅球或黑球的概率;
(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.
【解析】　(法一:利用互斥事件求概率)
記事件A1={任取1球為紅球},
A2={任取1球為黑球},
A3={任取1球為白球},
A4={任取1球為綠球},
則P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.
根據題意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式得
(1)取出1球是紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=+=.
(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.
(法二:利用對立事件求概率)
(1)由題意知,取出1球是紅球或黑球的對立事件為取出1球是白球或綠球,即A1∪A2的對立事件為A3∪A4,所以取出1球是紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1--==.
(2)因為A1∪A2∪A3的對立事件為A4,
所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-=.
探究2　一般概率加法公式
　　擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子,事件A={紅骰子的點數大于3},事件B={藍骰子的點數大于3}.
問題1:事件A和事件B是互斥事件嗎 能用互斥事件的概率加法公式計算嗎
【答案】　不是,不能.
問題2:設事件A發生的概率為P(A),事件B發生的概率為P(B),那么事件A∪B發生的概率是P(A)+P(B)嗎
【答案】　不一定.當事件A與B互斥時,P(A∪B)=P(A)+P(B);當事件A與B不互斥時,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
問題3:你能推導一般概率加法公式嗎
【答案】　設A,B是Ω的兩個事件(如圖).
由圖可以看出,A∪B中的樣本點個數等于A中的樣本點個數加上B中的樣本點個數,并減去A∩B中的樣本點個數,所以P(A∪B)=
=
=P(A)+P(B)-P(A∩B).
特別地,當事件A,B為互斥事件時,A∩B= ,即P(A∩B)=0,則有P(A∪B)=P(A)+P(B).
新知生成
設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=　P(A)+P(B)-P(A∩B)　.
新知運用
例2　甲、乙、丙、丁四人參加4×100米接力賽,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
方法指導　由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的,故此試驗是古典概型,可以利用概率的一般加法公式求解.
【解析】　設事件A為“甲跑第一棒”,事件B為“乙跑第四棒”,則P(A)=,P(B)=.記甲跑第x棒,乙跑第y棒,則結果可記為(x,y),有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12種結果.
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一種可能,故P(A∩B)=.
所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
【方法總結】　　在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件;在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.可借助Venn圖直觀理解.
在對200家公司的最新調查中發現,40%的公司在大力研究廣告效果,50%的公司在進行短期銷售預測,而30%的公司在從事這兩項研究.假設從這200家公司中任選一家,記事件A為“該公司在研究廣告效果”,事件B為“該公司在進行短期銷售預測”,求P(A),P(B),P(A∪B).
【解析】　P(A)=40%=0.4,P(B)=50%=0.5,又已知P(A∩B)=30%=0.3,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.5-0.3=0.6.
探究3　復雜事件概率的求法
例3　某學校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員,某些隊員不止參加了一支球隊,具體情況如圖所示,現從中隨機抽取一名隊員,求:
(1)該隊員只屬于一支球隊的概率;
(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率.
【解析】　令“抽取一名隊員只屬于籃球隊”為事件A,“抽取一名隊員只屬于羽毛球隊”為事件B,“抽取一名隊員只屬于乒乓球隊”為事件C.由圖知3支球隊共有球員20名.
則P(A)=,P(B)=,P(C)==.
(1)令“抽取一名隊員,該隊員只屬于一支球隊”為事件D,
則D=A+B+C.因為事件A,B,C兩兩互斥,
所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=.
(2)令“抽取一名隊員,該隊員最多屬于2支球隊”為事件E,則為“抽取一名隊員,該隊員屬于3支球隊”,所以P(E)=1-P()=1-=.
【方法總結】　　求復雜事件的概率常見的兩種方法:(1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件;(2)若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時,需要分類太多,而其對立面的分類較少,可考慮利用對立事件的概率公式,即
“正難則反”,它常用來求“至少…”或“至多…”型事件的概率.這一過程滲透了數學運算素養、邏輯推理素養的培養.
一個盒子里有三張卡片,分別標記數字1,2,3,這三張卡片除標記的數字外完全相同.隨機有放回地抽取3次,每次抽取一張,將抽取的卡片上的數字依次記為a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的數字a,b,c不完全相同”的概率.
【解析】　(1)由題意知,(a,b,c)所有的可能結果為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.
設“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”為事件A,則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種,所以P(A)==,即“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”的概率為.
(2)設“抽取的卡片上的數字a,b,c不完全相同”為事件B,則事件B的對立事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種,所以P(B)=1-P()=1-=,即“抽取的卡片上的數字a,b,c不完全相同”的概率為.
【隨堂檢測】
1.若P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,P(A∩B)=0.1,則P(B)=(　　).
A.0.3 B.0.4 C.0.1 D.1
【答案】　B
【解析】　由題意得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.5,
∴P(B)=0.5-0.2+0.1=0.4.
2.(多選題)若事件A,B為兩個互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,則下列結論正確的是(　　).
A.P(AB)=0 B.P(B)=[1-P(A)]P(B)
C.P(∪)=1 D.P(A∪B)=P(A)+P(B)
【答案】　ACD
【解析】　∵事件A,B為兩個互斥事件,A∩B= ,∴P(AB)=0,故A正確;
∵事件A,B為兩個互斥事件,則B ,∴P(B)=P(B),故B錯誤;
P(∪)=1-P(AB)=1-0=1,故C正確;
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),故D正確.故選ACD.
3.同時擲兩枚質地均勻的骰子,沒有5點或6點的概率為,則至少有一個5點或6點的概率是　　　　.
【答案】　
【解析】　記“沒有5點或6點”為事件A,則P(A)=,“至少有一個5點或6點”為事件B.因為A∩B= ,A∪B為必然事件,所以A與B是對立事件,
則P(B)=1-P(A)=1-=,故至少有一個5點或6點的概率為.
4.甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為0.2,兩人下成和棋的概率為0.4,則甲不輸的概率是　　　　.
【答案】　0.6
【解析】　若設甲獲勝為事件A,兩人下成和棋為事件B,則甲不輸為A∪B.因為A,B為互斥事件,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.4=0.6.
25.2 課時2 概率的運算
【學習目標】
1.掌握互斥事件的概率加法公式、對立事件的概率.(數學抽象、數學運算)
2.掌握一般概率加法公式.(數學抽象、數學運算)
3.會用概率的運算解決實際問題.(數學建模)
【自主預習】
1.概率的性質有哪些
2.如果事件A與事件B不互斥,那么P(A∪B)與P(A),P(B)有什么關系
3.如果事件A與事件B為對立事件,那么P(A)與P(B)有什么關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若事件A與B互斥,則P(A)+P(B)=1. (　　)
(2)必然事件的概率一定為1. (　　)
(3)某產品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級屬于次品,若生產中出現乙級品的概率為0.03,丙級品的概率為0.01,則隨機抽查一件產品,恰好是正品的概率為0.96. (　　)
2.在擲骰子的游戲中,向上的點數是5或6的概率是(　　).
A. B. C. D.1
3.甲、乙兩隊進行足球比賽,若兩隊戰平的概率是,乙隊獲勝的概率是,則甲隊獲勝的概率是　　　　.
4.某乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加運動會的乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為,乙奪得冠軍的概率為,那么該隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為　　　　.
【合作探究】
探究1　互斥事件、對立事件的概率
　　將僅有顏色不同而大小質地相同的7個紅球、2個綠球、1個黃球放入一個盒子中.現從中任取一個球,記事件A=“取出的球是紅球”,事件B=“取出的球是綠球”,事件C=“取出的球是紅球或綠球”.
問題1:事件A,B,C中各有幾個基本事件
問題2:事件A,B,C的關系是什么
問題3:計算P(A),P(B),P(C).
問題4:觀察P(C),P(A∪B)和P(A)+P(B)三者有何關系
新知生成
1.概率加法公式:若Ω中的事件A,B互斥,則P(A∪B)=　P(A)+P(B)　.
把概率加法公式反映的性質稱為概率的可加性.
2.對立事件的概率:P()=1-P(A).
新知運用
例1　備戰奧運會射擊隊的某一選手射擊一次,其命中環數的概率如表所示:
命中環數 10環 9環 8環 7環
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
　　求該選手射擊一次,
(1)命中9環或10環的概率;
(2)至少命中8環的概率;
(3)命中不足8環的概率.
【方法總結】　　互斥、對立事件概率的求解步驟:解決事件概率問題,先結合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或對立事件,再選擇概率公式進行計算.
一盒中裝有除顏色外其他都相同的球12個,其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球.從中隨機取出1球,求:
(1)取出1球是紅球或黑球的概率;
(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.
探究2　一般概率加法公式
　　擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子,事件A={紅骰子的點數大于3},事件B={藍骰子的點數大于3}.
問題1:事件A和事件B是互斥事件嗎 能用互斥事件的概率加法公式計算嗎
問題2:設事件A發生的概率為P(A),事件B發生的概率為P(B),那么事件A∪B發生的概率是P(A)+P(B)嗎
問題3:你能推導一般概率加法公式嗎
新知生成
設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=　P(A)+P(B)-P(A∩B)　.
新知運用
例2　甲、乙、丙、丁四人參加4×100米接力賽,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
方法指導　由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的,故此試驗是古典概型,可以利用概率的一般加法公式求解.
【方法總結】　　在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件;在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.可借助Venn圖直觀理解.
在對200家公司的最新調查中發現,40%的公司在大力研究廣告效果,50%的公司在進行短期銷售預測,而30%的公司在從事這兩項研究.假設從這200家公司中任選一家,記事件A為“該公司在研究廣告效果”,事件B為“該公司在進行短期銷售預測”,求P(A),P(B),P(A∪B).
探究3　復雜事件概率的求法
例3　某學校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員,某些隊員不止參加了一支球隊,具體情況如圖所示,現從中隨機抽取一名隊員,求:
(1)該隊員只屬于一支球隊的概率;
(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率.
【方法總結】　　求復雜事件的概率常見的兩種方法:(1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件;(2)若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時,需要分類太多,而其對立面的分類較少,可考慮利用對立事件的概率公式,即
“正難則反”,它常用來求“至少…”或“至多…”型事件的概率.這一過程滲透了數學運算素養、邏輯推理素養的培養.
一個盒子里有三張卡片,分別標記數字1,2,3,這三張卡片除標記的數字外完全相同.隨機有放回地抽取3次,每次抽取一張,將抽取的卡片上的數字依次記為a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的數字a,b,c不完全相同”的概率.
【隨堂檢測】
1.若P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,P(A∩B)=0.1,則P(B)=(　　).
A.0.3 B.0.4 C.0.1 D.1
2.(多選題)若事件A,B為兩個互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,則下列結論正確的是(　　).
A.P(AB)=0 B.P(B)=[1-P(A)]P(B)
C.P(∪)=1 D.P(A∪B)=P(A)+P(B)
3.同時擲兩枚質地均勻的骰子,沒有5點或6點的概率為,則至少有一個5點或6點的概率是　　　　.
4.甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為0.2,兩人下成和棋的概率為0.4,則甲不輸的概率是　　　　.
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