資源簡(jiǎn)介

5.4 隨機(jī)事件的獨(dú)立性
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合有限樣本空間,了解兩個(gè)事件獨(dú)立性的含義.(數(shù)學(xué)抽象)
2.能進(jìn)行一些與事件獨(dú)立有關(guān)的概率的計(jì)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
　　我們知道,積事件AB就是事件A與事件B同時(shí)發(fā)生.因此,積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A,B發(fā)生的概率有關(guān).
1.上述這種關(guān)系會(huì)是怎樣的呢
2.事件的相互獨(dú)立性的定義是什么
3.相互獨(dú)立事件有哪些性質(zhì)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立. (　　)
(2)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立. (　　)
(3)若兩個(gè)事件互斥,則這兩個(gè)事件相互獨(dú)立. (　　)
2.若隨機(jī)事件A,B滿足P(AB)=,P(A)=,P(B)=,則事件A與B的關(guān)系是(　　).
A.互斥 B.相互獨(dú)立
C.互為對(duì)立 D.互斥且獨(dú)立
3.甲袋中有8個(gè)白球、4個(gè)紅球,乙袋中有6個(gè)白球、6個(gè)紅球,從每袋中任取1個(gè)球,則取到相同顏色的球的概率是　　　　.
4.青年大學(xué)習(xí)是共青團(tuán)中央發(fā)起的青年學(xué)習(xí)行動(dòng),每期視頻學(xué)習(xí)過(guò)程中一般有兩個(gè)問(wèn)題需要點(diǎn)擊回答.假設(shè)某期學(xué)習(xí)中,小華同學(xué)答對(duì)第一、二個(gè)問(wèn)題的概率分別為,,且兩題是否答對(duì)相互之間沒有影響.
(1)求恰好答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率;
(2)求至少答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率.
　
【合作探究】
探究1　相互獨(dú)立事件
　　在相同的條件下分別拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)A=“甲正面朝上”,B=“乙正面朝上”,則A∩B表示“甲、乙都正面朝上”.
問(wèn)題1:事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎
問(wèn)題2:分別計(jì)算P(A),P(B),P(A∩B),你有什么發(fā)現(xiàn)
新知生成
1.相互獨(dú)立事件的概念
設(shè)A,B為兩個(gè)事件,若P(A∩B)=P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.
2.對(duì)事件A與B相互獨(dú)立的理解
(1)從定義上看,只有符合P(A∩B)=P(A)P(B)的規(guī)律,才能稱事件A,B相互獨(dú)立.
(2)從直觀上看,事件A,B相互獨(dú)立,即其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.
(3)在實(shí)際應(yīng)用時(shí),如果根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景,可以判定事件A(B)是否發(fā)生對(duì)事件B(A)發(fā)生的概率沒有影響,那么可以說(shuō)事件A,B獨(dú)立.
新知運(yùn)用
例1　有6個(gè)除顏色外完全相同的小球,其中1個(gè)黑色,2個(gè)藍(lán)色,3個(gè)紅色.采用有放回的方式從中隨機(jī)取兩次球,每次取1個(gè)球,甲表示事件“第一次取紅球”,乙表示事件“第二次取藍(lán)球”,丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”,丁表示事件“兩次取出相同顏色的球”,則(　　).
A.甲與乙相互獨(dú)立
B.甲與丙相互獨(dú)立
C.乙與丙相互獨(dú)立
D.乙與丁相互獨(dú)立
【方法總結(jié)】　　判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法:(1)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì),從直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概率,若沒有影響,則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件;(2)定義法,通過(guò)式子P(A∩B)=P(A)P(B)來(lái)判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立,若上式成立,則事件A,B相互獨(dú)立,這是定量判斷.
　　(多選題)口袋里裝有2個(gè)紅色,2個(gè)白色共4個(gè)除顏色外完全相同的小球,從中不放回地依次取出2個(gè)球,事件A=“取出的2個(gè)球同色”,B=“第1次取出的是紅球”,C=“第2次取出的是紅球”,D=“取出的2個(gè)球不同色”,則下列判斷正確的(　　).
A.A與B相互獨(dú)立 B.A與D互為對(duì)立
C.B與C互斥 D.B與D相互獨(dú)立
探究2　相互獨(dú)立事件的概率
　　問(wèn)題1:不可能事件與任何事件相互獨(dú)立嗎 必然事件呢
問(wèn)題2:如果事件A,B相互獨(dú)立,那么事件A與事件,事件與事件B,事件與事件各是什么關(guān)系
問(wèn)題3:如果事件A,B相互獨(dú)立,事件AB的對(duì)立事件是嗎
新知生成
1.相互獨(dú)立事件的性質(zhì)
性質(zhì)1:必然事件Ω、不可能事件 與任意事件相互獨(dú)立.
性質(zhì)2:如果事件A與B相互獨(dú)立,那么A與,與B,與也相互獨(dú)立.
2.相互獨(dú)立事件的概率
已知兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立,它們的概率分別為P(A),P(B),則
事件 表示 概率
A,B同時(shí)發(fā)生 AB P(AB)=P(A)P(B)
A,B都不發(fā)生 P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]
續(xù)表
事件 表示 概率
A,B恰有一個(gè)發(fā)生 A∪B P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()·P(B)
A,B中至少有一個(gè)發(fā)生 A∪B∪AB P(A∪B∪AB)=P(A)+P(B)+P(AB) 或P(A∪B∪AB)=1-P()
A,B中至多有一個(gè)發(fā)生 A∪B∪ P(A∪B∪)=P(A)+P(B)+P() 或P(A∪B∪)=1-P(AB)
3.兩個(gè)事件獨(dú)立性的推廣
(1)兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念也可以推廣到有限個(gè)事件,對(duì)于n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響,那么稱事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立.
(2)如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An),并且上式中任意多個(gè)事件Ai(i=1,2,…,n)換成其對(duì)立事件后等式仍成立,如P(A1∩∩…∩An)=P(A1)P()…P()P(An).
新知運(yùn)用
一、相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
例2　甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能譯出密碼的概率分別為和,求
(1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率;
(2)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率;
(3)恰有一個(gè)人譯出密碼的概率.
方法指導(dǎo)　首先判斷事件是否相互獨(dú)立,然后利用相互獨(dú)立事件的性質(zhì),互斥事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算.
【方法總結(jié)】　　求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟
(1)①首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的;
②確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生;
③求出每個(gè)事件的概率,再求積.
(2)使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí),要掌握公式的適用條件,即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的,而且它們能同時(shí)發(fā)生.
　　為推廣滑雪運(yùn)動(dòng),某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi),超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)滑雪,設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開的概率分別為,;1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開的概率分別為,;兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率.
二、相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率的應(yīng)用
例3　三個(gè)元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為,,,將它們中的某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路,如圖所示,求電路不發(fā)生故障的概率.
【方法總結(jié)】　　求復(fù)雜事件概率的兩種常見方法
(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件.
(2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí),需要的分類太多,而其對(duì)立面的分類較少,則可考慮利用對(duì)立事件的概率公式,即“正難則反”,它常用來(lái)求“至少”或“至多”型事件的概率.
計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作考試兩部分進(jìn)行,每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”,若兩部分考試都“合格”者,則通過(guò)計(jì)算機(jī)考試,并授予合格證書.已知甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為,,,在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為,,,所有考試是否合格相互之間沒有影響.
(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試,誰(shuí)獲得合格證書的可能性最大
(2)這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后,求恰有兩人獲得合格證書的概率.
【隨堂檢測(cè)】
1.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次,記事作A為“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,B為“第二次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,則有(　　).
A.A與B相互獨(dú)立
B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.A與B互斥
D.P(AB)=
2.甲、乙兩人獨(dú)立解答一道趣味題,已知他們答對(duì)的概率分別為,,則恰有一人答對(duì)的概率為(　　).
A. B. C. D.
3.已知A,B是相互獨(dú)立事件,且P(A)=,P(B)=,則P(A∩)=　　　　;P(∩)=　　　　.
4.在同一時(shí)間內(nèi),甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)分別預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率為,.在同一時(shí)間內(nèi),求:
(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣都準(zhǔn)確的概率;
(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率.
25.4 隨機(jī)事件的獨(dú)立性
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合有限樣本空間,了解兩個(gè)事件獨(dú)立性的含義.(數(shù)學(xué)抽象)
2.能進(jìn)行一些與事件獨(dú)立有關(guān)的概率的計(jì)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
　　我們知道,積事件AB就是事件A與事件B同時(shí)發(fā)生.因此,積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A,B發(fā)生的概率有關(guān).
1.上述這種關(guān)系會(huì)是怎樣的呢
2.事件的相互獨(dú)立性的定義是什么
3.相互獨(dú)立事件有哪些性質(zhì)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立. (　　)
(2)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立. (　　)
(3)若兩個(gè)事件互斥,則這兩個(gè)事件相互獨(dú)立. (　　)
2.若隨機(jī)事件A,B滿足P(AB)=,P(A)=,P(B)=,則事件A與B的關(guān)系是(　　).
A.互斥 B.相互獨(dú)立
C.互為對(duì)立 D.互斥且獨(dú)立
3.甲袋中有8個(gè)白球、4個(gè)紅球,乙袋中有6個(gè)白球、6個(gè)紅球,從每袋中任取1個(gè)球,則取到相同顏色的球的概率是　　　　.
4.青年大學(xué)習(xí)是共青團(tuán)中央發(fā)起的青年學(xué)習(xí)行動(dòng),每期視頻學(xué)習(xí)過(guò)程中一般有兩個(gè)問(wèn)題需要點(diǎn)擊回答.假設(shè)某期學(xué)習(xí)中,小華同學(xué)答對(duì)第一、二個(gè)問(wèn)題的概率分別為,,且兩題是否答對(duì)相互之間沒有影響.
(1)求恰好答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率;
(2)求至少答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率.
　
【合作探究】
探究1　相互獨(dú)立事件
　　在相同的條件下分別拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)A=“甲正面朝上”,B=“乙正面朝上”,則A∩B表示“甲、乙都正面朝上”.
問(wèn)題1:事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎
問(wèn)題2:分別計(jì)算P(A),P(B),P(A∩B),你有什么發(fā)現(xiàn)
新知生成
1.相互獨(dú)立事件的概念
設(shè)A,B為兩個(gè)事件,若P(A∩B)=P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.
2.對(duì)事件A與B相互獨(dú)立的理解
(1)從定義上看,只有符合P(A∩B)=P(A)P(B)的規(guī)律,才能稱事件A,B相互獨(dú)立.
(2)從直觀上看,事件A,B相互獨(dú)立,即其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.
(3)在實(shí)際應(yīng)用時(shí),如果根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景,可以判定事件A(B)是否發(fā)生對(duì)事件B(A)發(fā)生的概率沒有影響,那么可以說(shuō)事件A,B獨(dú)立.
新知運(yùn)用
例1　有6個(gè)除顏色外完全相同的小球,其中1個(gè)黑色,2個(gè)藍(lán)色,3個(gè)紅色.采用有放回的方式從中隨機(jī)取兩次球,每次取1個(gè)球,甲表示事件“第一次取紅球”,乙表示事件“第二次取藍(lán)球”,丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”,丁表示事件“兩次取出相同顏色的球”,則(　　).
A.甲與乙相互獨(dú)立
B.甲與丙相互獨(dú)立
C.乙與丙相互獨(dú)立
D.乙與丁相互獨(dú)立
【方法總結(jié)】　　判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法:(1)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì),從直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概率,若沒有影響,則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件;(2)定義法,通過(guò)式子P(A∩B)=P(A)P(B)來(lái)判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立,若上式成立,則事件A,B相互獨(dú)立,這是定量判斷.
　　(多選題)口袋里裝有2個(gè)紅色,2個(gè)白色共4個(gè)除顏色外完全相同的小球,從中不放回地依次取出2個(gè)球,事件A=“取出的2個(gè)球同色”,B=“第1次取出的是紅球”,C=“第2次取出的是紅球”,D=“取出的2個(gè)球不同色”,則下列判斷正確的(　　).
A.A與B相互獨(dú)立 B.A與D互為對(duì)立
C.B與C互斥 D.B與D相互獨(dú)立
探究2　相互獨(dú)立事件的概率
　　問(wèn)題1:不可能事件與任何事件相互獨(dú)立嗎 必然事件呢
問(wèn)題2:如果事件A,B相互獨(dú)立,那么事件A與事件,事件與事件B,事件與事件各是什么關(guān)系
問(wèn)題3:如果事件A,B相互獨(dú)立,事件AB的對(duì)立事件是嗎
新知生成
1.相互獨(dú)立事件的性質(zhì)
性質(zhì)1:必然事件Ω、不可能事件 與任意事件相互獨(dú)立.
性質(zhì)2:如果事件A與B相互獨(dú)立,那么A與,與B,與也相互獨(dú)立.
2.相互獨(dú)立事件的概率
已知兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立,它們的概率分別為P(A),P(B),則
事件 表示 概率
A,B同時(shí)發(fā)生 AB P(AB)=P(A)P(B)
A,B都不發(fā)生 P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]
續(xù)表
事件 表示 概率
A,B恰有一個(gè)發(fā)生 A∪B P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()·P(B)
A,B中至少有一個(gè)發(fā)生 A∪B∪AB P(A∪B∪AB)=P(A)+P(B)+P(AB) 或P(A∪B∪AB)=1-P()
A,B中至多有一個(gè)發(fā)生 A∪B∪ P(A∪B∪)=P(A)+P(B)+P() 或P(A∪B∪)=1-P(AB)
3.兩個(gè)事件獨(dú)立性的推廣
(1)兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念也可以推廣到有限個(gè)事件,對(duì)于n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響,那么稱事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立.
(2)如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An),并且上式中任意多個(gè)事件Ai(i=1,2,…,n)換成其對(duì)立事件后等式仍成立,如P(A1∩∩…∩An)=P(A1)P()…P()P(An).
新知運(yùn)用
一、相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
例2　甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能譯出密碼的概率分別為和,求
(1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率;
(2)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率;
(3)恰有一個(gè)人譯出密碼的概率.
方法指導(dǎo)　首先判斷事件是否相互獨(dú)立,然后利用相互獨(dú)立事件的性質(zhì),互斥事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算.
【方法總結(jié)】　　求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟
(1)①首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的;
②確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生;
③求出每個(gè)事件的概率,再求積.
(2)使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí),要掌握公式的適用條件,即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的,而且它們能同時(shí)發(fā)生.
　　為推廣滑雪運(yùn)動(dòng),某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi),超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)滑雪,設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開的概率分別為,;1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開的概率分別為,;兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率.
二、相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率的應(yīng)用
例3　三個(gè)元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為,,,將它們中的某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路,如圖所示,求電路不發(fā)生故障的概率.
【方法總結(jié)】　　求復(fù)雜事件概率的兩種常見方法
(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件.
(2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí),需要的分類太多,而其對(duì)立面的分類較少,則可考慮利用對(duì)立事件的概率公式,即“正難則反”,它常用來(lái)求“至少”或“至多”型事件的概率.
計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作考試兩部分進(jìn)行,每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”,若兩部分考試都“合格”者,則通過(guò)計(jì)算機(jī)考試,并授予合格證書.已知甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為,,,在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為,,,所有考試是否合格相互之間沒有影響.
(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試,誰(shuí)獲得合格證書的可能性最大
(2)這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后,求恰有兩人獲得合格證書的概率.
【隨堂檢測(cè)】
1.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次,記事作A為“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,B為“第二次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,則有(　　).
A.A與B相互獨(dú)立
B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.A與B互斥
D.P(AB)=
2.甲、乙兩人獨(dú)立解答一道趣味題,已知他們答對(duì)的概率分別為,,則恰有一人答對(duì)的概率為(　　).
A. B. C. D.
3.已知A,B是相互獨(dú)立事件,且P(A)=,P(B)=,則P(A∩)=　　　　;P(∩)=　　　　.
4.在同一時(shí)間內(nèi),甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)分別預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率為,.在同一時(shí)間內(nèi),求:
(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣都準(zhǔn)確的概率;
(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率.
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