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第2章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 三角函數求值問題
例1　(1)(2023年新高考全國Ⅱ卷)已知α為銳角,cos α=,則sin =(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)(2023年新高考全國Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,則cos(2α+2β)=(　　).
A. B. C.- D.-
(3)(2022年浙江卷)若3sin α-sin β=,α+β=,則sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.
答案　(1)D　(2)B　(3)　
解析　(1)由cos α==1-2sin2,得sin2===2,又α為銳角,所以sin >0,所以sin =.故選D.
(2)依題意得
所以sin αcos β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=,
所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×2=.故選B.
(3)(法一:利用輔助角公式處理)∵α+β=,∴sin β=cos α,即3sin α-cos α=,即sin α-cos α=,
令sin θ=,則cos θ=,則sin(α-θ)=,
∴α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,
∴sin α=sinθ++2kπ=cos θ=,
則cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
(法二:直接用同角三角函數關系式解方程)∵α+β=,∴sin β=cos α,即3sin α-cos α=.
又sin2α+cos2α=1,將cos α=3sin α-代入得10sin2α-6sin α+9=0,解得sin α=,
∴cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
小結　解決三角函數求值問題的基本方法:將待求式用已知三角函數表示,將已知條件轉化,推出可用的結論.其中“湊角法”是解決此類問題的常用技巧.解題時,首先是分析已知式與待求式之間角、函數、結構間的差異,有目的地將已知式、待求式的一方或兩方加以變換,找出它們之間的聯系,最后求出待求式的值.
題型2 三角函數的化簡與證明
例2　化簡:-.
解析　原式=+
=+
=+
=+
==.
小結　三角函數式的化簡與證明,主要從三個方面尋求思路:(1)觀察函數的特點,已知和所求中包含什么函數,它們可以怎樣聯系;(2)觀察角的特點,它們之間可通過何種形式聯系起來;(3)觀察結構的特點,它們之間經過怎樣的變形可達到統一.
題型3 三角恒等變換的應用
例3　
如圖所示,已知DOE是半徑為,中心角為的扇形,P為弧上一動點,四邊形PQMN是矩形,∠POD=x0解析　因為∠POD=x0所以QM=PN=sin x,則OM==sin x.
又ON=cos x,所以MN=ON-OM=cos x-sin x,
所以f(x)=MN·PN=3sin xcos x-sin2x=sin 2x-=sin 2x+cos 2x-=sin2x+-0因為0所以當2x+=,即x=時,函數f(x)=sin2x+-取得最大值,f(x)max=-=.
小結　三角恒等變換的應用,在具體過程中體現的是化歸思想,是一個“化異為同”的過程,涉及切弦互化,即“函數名”的“化同”;角的變換,即“單角化倍角”“單角化復角”“復角化復角”等.
題型4 三角恒等變換與三角函數的綜合問題
例4　(2021年浙江卷)設函數f(x)=sin x+cos x(x∈R).
(1)求函數y=fx+2的最小正周期;
(2)求函數y=f(x)fx-在0,上的最大值.
解析　(1)由輔助角公式得f(x)=sin x+cos x=sinx+,
則y=fx+2=sinx+2=2sin2x+=1-cos2x+=1-sin 2x,
所以該函數的最小正周期T==π.
(2)由題意得y=f(x)fx-=sinx+·sin x=2sinx+sin x=2sin x·sin x+cos x=sin2x+sin xcos x=·+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,
由x∈0,,可得2x-∈-,,
所以當2x-=,即x=時,函數取得最大值,最大值為1+.
小結　這類問題以三角恒等變換為主要的化簡手段,考查三角函數的性質.當給出的三角函數關系式較為復雜時,我們要先通過三角恒等變換,將三角函數的表達式變形化簡,將函數表達式變形為y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式,然后再根據化簡后的三角函數,討論其圖象和性質.
題型5 三角恒等變換與解三角形的綜合
例5　(2022年新高考全國Ⅰ卷)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知=.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
解析　(1)∵C=,∴cos B≠0.由===,得cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cos C=sin B=.
∵B∈0,,∴B=.
(2)由(1)得-cos C=sin B>0,∴C>且C=+B,
∴A=π-B-C=-2B,∴====4cos2B+-5.
由得0∴≥2-5=4-5,
當且僅當cos2B=時取“=”,∴的最小值為4-5.
小結　此類題目仍考查誘導公式、兩角和差公式及二倍角公式,但需要注意題目中的隱含條件,如A+B+C=π.
【拓展延伸】
兩角和與差的三角函數公式在三角形中的應用
在鈍角三角形ABC中,已知C為鈍角,A,B都是銳角,試探究P=sin(A+B),Q=sin A+sin B,R=cos A+cos B的大小,并把P,Q,R按從小到大的順序排列起來.
1.當A=30°,B=30°時,求P,Q,R的值,并比較它們的大小.
解析　當A=30°,B=30°時,
P=sin(30°+30°)=sin 60°=,
Q=sin 30°+sin 30°=2sin 30°=1,
R=cos 30°+cos 30°=2cos 30°=,
∴P2.當A=30°,B=45°時,求P,Q,R的值,并比較它們的大小.
解析　當A=30°,B=45°時,
P=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=×+×=,
Q=sin 30°+sin 45°=+=,
R=cos 30°+cos 45°=+=.
∵P-Q=-=<0,
∴P∵Q-R=-=<0,
∴Q3.由問題1,2你能得到什么結論 并證明你的結論.
解析　由問題1,2猜想P∵C為鈍角,∴0∴A<-B,B<-A,
∴cos A>cos-B=sin B,cos B>cos-A=sin A,
∴R-Q=cos A+cos B-sin A-sin B>sin B+sin A-sin A-sin B=0,即R>Q.
∵P-Q=sin(A+B)-sin A-sin B=sin Acos B+cos Asin B-sin A-sin B=sin A(cos B-1)+sin B(cos A-1)<0,∴P綜上所述,P4.若將△ABC為鈍角三角形改為△ABC為銳角三角形,P,Q,R的大小關系又如何
解析　∵P-R=sin(A+B)-cos A-cos B=sin Acos B+cos Asin B-cos A-cos B=(sin A-1)cos B+(sin B-1)cos A<0,∴P∵△ABC為銳角三角形,∴0,∴-B∴R-Q=cos A+cos B-sin A-sin B綜上所述,P已知A,B,C是△ABC的三個內角,y=tan+,若任意交換兩個角的位置,y的值是否變化 證明你的結論.
解析　任意交換兩個角的位置,y的值不變.證明如下:
∵A,B,C是△ABC的三個內角,
∴A+B+C=π,∴=-.
∴y=tan+
=tan+
=tan+
=tan+tan+tan,
因此任意交換兩個角的位置,y的值不變.
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