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第1章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 向量的線性運算
例1　(1)(2022年新高考全國Ⅰ卷)在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記=m,=n,則=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)
如圖,在平行四邊形ABCD中,點E,F分別滿足=2,=2,EF與AC交于點G,設=λ,則λ=　　　　.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)=+=+3=+3(+)=-2+3=-2m+3n.故選B.
(2)設H是BC上除點E外的另一個三等分點,連接FH,連接BD交AC于點O,則BD∥FH.在△CFH中,G是邊CH,FH中線的交點,故G是△CFH的重心,結合==可知=.由于O是AC的中點,故=,所以λ==.
小結　向量線性運算求解策略
(1)向量是一個有“形”的幾何量,因此在進行向量線性運算時,一定要結合圖形,這是研究平面向量的重要方法與技巧.
(2)字符表示下的線性運算的常用技巧:首尾相接用加法的三角形法則,如+=;共起點兩個向量作差用減法的幾何意義,如-=.
題型2 平面向量數量積的運算
例2　(1)(2023年新高考全國Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
(2)(2023年全國乙卷)正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點,則·=(　　).
A. B.3 C.2 D.5
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)因為a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因為(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故選D.
(2)以A為坐標原點,,的方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系(圖略),則E(1,0),C(2,2),D(0,2),則=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3,故選B.
小結　向量數量積的求解策略
(1)利用數量積的定義、運算律求解.
(2)借助零向量,即圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量,再進行向量的移項以及平方等變形,求解數量積.
(3)借助平行向量與垂直向量,即將向量拆分,把待求的數量積轉化為有垂直關系或平行關系的向量的數量積,借助若a⊥b,則a·b=0或若a∥b,則a·b=±|a||b|解決問題.
(4)建立坐標系,利用坐標運算求解數量積.
題型3 平面向量中的最值問題
例3　
如圖,正△ABC的邊長為2,D是線段BC上一點,過點C作直線AD的垂線,交線段AD的延長線于點E,則|AD|·|DE|的最大值為　　　　.
方法指導　設=λ(0≤λ≤1),根據向量的線性運算及數量積定義,即可求得|AD|·|DE|的最大值.
答案　
解析　設=λ(0≤λ≤1),
則=(1-λ)=(1-λ)(-).
因為AE⊥CE,所以·=0.
由向量的數量積定義可知,
|AD|·|DE|==·=·(+)=·+·=·,
·=||||cos =2×2×=2,
||2=||2=2×2=4.
根據向量線性運算可知,
=+=+λ=+λ(-)
=(1-λ)+λ.
故|AD|·|DE|=·
=[(1-λ)+λ]·[(1-λ)(-)]
=(1-λ)2·-(1-λ)2+λ(1-λ)-λ(1-λ)·
=2(1-λ)2-4(1-λ)2+4λ(1-λ)-2λ(1-λ)
=-4λ2+6λ-2=-4+(0≤λ≤1),
所以當λ=時,|AD|·|DE|取得最大值,最大值為.
小結　求解向量數量積最值問題的兩種思路:(1)直接利用數量積公式得出代數式,依據代數式求最值;(2)建立平面直角坐標系,通過坐標運算得出函數式,轉化為求函數的最值.
題型4 向量的模、夾角的問題
例4　(1)(2022年新高考全國Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,則t=(　　).
A.-6 B.-5 C.5 D.6
(2)(2023年新高考全國Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,則|b|=　　　　.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)由已知得c=(3+t,4), cos=cos,故=,解得t=5.故選C.
(2)由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3,　①
由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得3a2-6a·b=0,
結合①,得3a2-3(a2+b2-3)=0,整理得b2=3,所以|b|=.
小結　解決向量模的問題的常用策略
(1)應用公式:|a|=(其中a=(x,y)).
(2)應用三角形法則或平行四邊形法則.
(3)應用向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
(4)利用模的平方|a±b|2=(a±b)2.
求向量夾角利用數量積公式即可.
題型5 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例5　(2023年新高考全國Ⅱ卷)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為,D為BC的中點,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
解析　(1)因為D為BC的中點,
所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=,解得DC=2,
所以BD=DC=2,a=4.
因為∠ADC=,所以∠ADB=.
在△ABD中,由余弦定理,得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=.
在△ADC中,由余弦定理,得b2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC=1+4-2=3,所以b=.
在△ABC中,由余弦定理,得cos B===,所以sin B==.
所以tan B==.
(2)因為D為BC的中點,所以BC=2BD.
在△ABD與△ABC中,由余弦定理,得cos B==,
整理得2BD2=b2+c2-2=6,
得BD=,所以a=2.
在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC===-,
所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc
=bc==,
解得bc=4.
則由解得b=c=2.
小結　關于解三角形問題,一般要用到三角形內角和定理、正弦定理、余弦定理及其他有關三角形的性質,常見的三角變換方法和原則都適用.同時,要注意“三統一”,即“統一角、統一函數、統一結構”,這是使問題獲得解決的突破口.
題型6 正弦定理、余弦定理的應用
例6　
如圖,甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處,此時兩船相距10 海里;當甲船航行20分鐘到達A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時兩船相距10海里.
(1)求乙船的速度.
(2)若乙船在B2處的航行速度提高到每小時30 海里,甲船的航行速度不變,試問甲、乙兩船是否會相遇,若相遇,求出甲船從 A2處到相遇處所用的時間;若不相遇,請說明理由.
解析　(1)連接A1B2,由題意可得,A2B2=10,A1A2=×30=10,
因為A1A2=A2B2=10,∠B2A2A1=180°-120°=60°,
所以△A1A2B2為等邊三角形,
所以∠B1A1B2=105°-∠A2A1B2=45°.
在△A1B1B2中,A1B2=10,A1B1=10,∠B1A1B2=45°,
由余弦定理可得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2·cos 45°=100,故B1B2=10,
所以乙船的速度為×60=30(海里/小時).
(2)會相遇.分別延長A1A2,B1B2交于點C,
由(1)得B1B2=A1B2=10,所以∠A1B1C=∠B1A1B2=45°.
故∠C=180°-∠CB1A1-∠B1A1C=30°,則∠A2B2C=180°-∠B2A2C-∠C=30°,
所以A2C=A2B2=10.
在△A2B2C中,
由正弦定理可得=,故B2C==10,
因為==,==,所以兩船會相遇,且甲船從A2處到相遇處所用的時間為小時.
小結　目標分析法解決測量方案設計問題的思路:先明確要測量的元素(長度、高度或角度),然后放入相應的三角形中,分析哪些元素是需要的,哪些是可以測量的,從而確定測量的量,最后用正弦定理或余弦定理求解,其求解的具體步驟如下:
(1)明確目標,讀題及畫出圖形,明確所求元素及所求元素所在的三角形或多邊形;
(2)依據定理分析元素,在相應的三角形中依據正弦定理或余弦定理分析所需要的元素,再確定哪些可求;
(3)確定方案,依據分析,將確定要測量的量代入求解,得到結論.
題型7 數形結合思想
例7　已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m為實數,O為原點,當兩向量夾角在之間變動時,實數m的取值范圍是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(0,1) B.
C.∪(1,) D.(1,)
方法指導　數形結合,通過構造相應的圖形分析,獲得直觀的解法.
答案　C
解析　
如圖,作=a,則A(1,1).作,,使∠AOB1=∠AOB2=,則∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,).
又a與b的夾角不為0,故m≠1.
由圖易知實數m的取值范圍是∪(1,).
小結　向量既有大小,又有方向,可以用幾何法表示,又可以用坐標表示,集數與形于一身.解決向量問題時常把幾何圖形放到適當的坐標系中,賦予有關點與向量具體的坐標,這樣就能進行相應的代數運算和向量運算,從而解決問題,體現了直觀想象的數學素養.
【拓展延伸】
向量加法三角形法則的推廣
2018年6月,加拿大蒙特利爾舉辦了機器人足球世界杯比賽.在最終決賽中,中國浙江大學隊以4∶0的比分戰勝了美國卡耐基梅隆大學隊,獲得了冠軍.機器人在賽場上能“多人協作”進行斷球、傳球,能夠做出假動作迷惑對手,還可以通過人工智能技術對球場局勢進行相應的判斷.
在比賽過程中,中國浙江大學隊的機器人甲采用迂回戰術帶球射門,行走的路線如圖①,從點A開始繞灰色區域走一圈,最終騙過對方隊員,成功踢進一球,這名射手激動地跳起了如圖②所示的正多邊形舞,跳舞的方式是從點P開始,沿正東方向行進1米,逆時針方向旋轉角α,繼續按直線向前行進1米,再逆時針方向旋轉角α,按直線向前行進1米,…,最終回到起點.
成功踢入一球后,甲、乙、丙、丁四名射手按圖③的路線組織傳球,又進了一球.最終中國浙江大學隊踢進4球,以4∶0的成績獲得了機器人足球世界杯冠軍!
1.當α=45°時,請畫出射手甲的跳舞軌跡,并說明跳多少步時位移為0,請作圖說明(假設機器人跳1步為1米).
解析　射手甲的跳舞軌跡為如圖所示的正八邊形,其中邊長為1 m,跳8步時,射手回到起點,所以當射手跳8n(n∈N*)步時,射手的位移為0.
2.要使射手甲恰好能回到出發點,跳舞時設定的α應滿足什么條件
解析　要使射手甲能回到出發點,只需射手甲的位移為零.按上述方式作圖,則所作圖形是內角為180°-α的正多邊形,由多邊形的內角和定理可得n(180°-α)=(n-2)·180°,解得α=,且n≥3,n∈N*.故α應滿足的條件為α=,且n≥3,n∈N*.
甲、乙、丙、丁四名射手按下列路線組織傳球:甲機器人按北偏東30°的方向將球傳2 m給機器人乙,然后機器人乙按南偏東30°的方向將球傳2 m給機器人丙,機器人丙再按西南方向傳 m給機器人丁,利用向量加法求出球的位移向量,并確定此向量模的大小.
解析　根據題意畫出示意圖,如圖,用A,B,C,D分別表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置,則球的位移為++=,故球的最終位移為,依題意知△ABC為正三角形,故||=||=AC=2 m.
又因為∠ACD=45°,CD= m,所以∠ADC=90°,所以△ACD為等腰直角三角形,所以||= m.
2

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