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第3章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 復數的基本概念
例1　設z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),求當m取何值時,
(1)z是純虛數;
(2)z是實數.
【解析】　(1)若z為純虛數,則
即解得
所以當m=3時,z是純虛數.
(2)若z是實數,則
解得
所以當m=-1或m=-2時,z是實數.
【方法總結】　　復數相關概念的應用技巧
(1)正確確定復數的實、虛部是準確理解復數的有關概念(如實數、虛數、純虛數、相等復數、共軛復數、復數的模)的前提.
(2)兩個復數相等的充要條件是復數問題轉化為實數問題的依據.
題型2 復數的四則運算
例2　(1)(2023年新高考全國Ⅰ卷)已知z=,則z-=(　　).
A.-i　　　　　B.i　　　　　C.0　　　　　D.1
(2)(2023年全國甲卷)若復數(a+i)(1-ai)=2,a∈R,則a=(　　).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(3)(2022年新高考全國Ⅰ卷)若i(1-z)=1,則z+=(　　).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】　(1)A　(2)C　(3)D
【解析】　(1)∵z===-i,∴=i,∴z-=-i-i=-i.故選A.
(2)∵(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i=2,∴2a=2且1-a2=0,解得a=1.故選C.
(3)∵i(1-z)=1,∴z=1-=1+i,∴=1-i,∴z+=2.故選D.
【方法總結】　　利用復數的四則運算求復數的一般思路
(1)復數的加、減、乘法運算:滿足多項式的加、減、乘法法則,利用法則后將實部與虛部分別寫出即可,注意多項式乘法公式的運算.
(2)復數的除法運算:主要是利用分子、分母同時乘以分母的共軛復數進行運算化簡.
題型3 共軛復數,復數的模
例3　(1)(2022年全國甲卷)若z=1+i,則|iz+3|=(　　).
A.4 B.4 C.2 D.2
(2)(2022年北京卷)若復數z滿足i·z=3-4i,則|z|=(　　).
A.1 B.5 C.7 D.25
【答案】　(1)D　(2)B
【解析】　(1)因為z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,所以|iz+3|==2.故選D.
(2)由題意有z===-4-3i,故|z|==5.故選B.
【方法總結】　　化復為實,利用復數模的定義將復數模的條件轉化為其實、虛部滿足的條件,是一種復數問題實數化的思想.根據復數模的意義,可以簡化計算.
題型4 復數的幾何意義及其應用
例4　已知z是復數,z+2i,均為實數,且(z+ai)2在復平面內對應的點在第一象限,求實數a的取值范圍.
【解析】　設z=x+yi(x,y∈R),
則z+2i=x+(y+2)i為實數,∴y=-2.
又==(x-2i)(2+i)
=(2x+2)+(x-4)i為實數,
∴x=4,∴z=4-2i.
又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在復平面內對應的點在第一象限,
∴解得2∴實數a的取值范圍是(2,6).
【方法總結】　　1.任何一個復數z=a+bi(a,b∈R)與復平面內一點Z(a,b)對應,而任一點Z(a,b)又可以與以原點為起點,點Z(a,b)為終點的向量對應,這些對應都是一一對應,即
2.設z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2∈R),其對應的復平面內的點分別為Z1(x1,y1),Z2(x2,y2),所以點Z1,Z2之間的距離為|Z1Z2|=||=|Z2-Z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|= .
題型5 復數的三角形式(*)
例5　把下列復數轉化為三角形式:
(1)-1;(2)2i;(3)-i.
【解析】　(1)r==1,輻角的主值為θ=arg(-1)=π,所以-1=cos π+isin π.
(2)r==2,輻角的主值為θ=arg(2i)=,所以2i=2.
(3)r==2,由tan θ==-和點(,-1)在第四象限,得輻角的主值θ=arg(-i)=2π-=,
所以-i=2.
【方法總結】　　復數的代數形式化為三角形式的步驟:
(1)復數的模r=;
(2)由tan θ=及點(a,b)所在象限求出復數的一個輻角(一般情況下,只需求出復數的輻角的主值即可);
(3)根據公式寫出復數的三角形式.
題型6 關于復數的方程問題
例6　已知關于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0.
(1)若方程有實數根,求銳角θ和實數根;
(2)證明:對任意θ≠kπ+(k∈Z),方程無純虛數根.
【解析】　(1)設實數根是a,
則a2-(tan θ+i)a-(2+i)=0,
即a2-atan θ-2-(a+1)i=0.
∵a,tan θ∈R,∴
∴a=-1,且tan θ=1.
又0<θ<,∴θ=.
(2)若方程存在純虛數根,設為x=bi(b∈R,b≠0),則(bi)2-(tan θ+i)bi-(2+i)=0,
即此方程組無實數解.
∴對任意θ≠kπ+(k∈Z),方程無純虛數根.
【方法總結】　　解關于復數的方程的依據是復數相等的條件,由此建立方程(組)求解.
【拓展延伸】
歐拉公式
歐拉公式是什么 為什么歐拉公式被稱為世界上最完美的公式 下面讓我們一起來了解一下吧.
歐拉公式又稱為歐拉定理,也稱為尤拉公式,是用于復分析領域的公式,它將三角函數與復數、指數函數相關聯.之所以稱它為歐拉公式,是因為歐拉公式是由萊昂哈德·歐拉提出來的,所以用他的名字命名.歐拉公式提出,對任意實數x,都存在eix=cos x+isin x,其中e是自然對數的底數,i是虛數單位,而cos和sin 則是余弦、正弦對應的三角函數,參數x則是以弧度為單位.這一復數指數函數有時還寫作{cis}(x)(英語:cosine plus i sine,余弦加i正弦).因為該公式在x為復數時仍然成立,所以也有人將這一更通用的版本稱為尤拉公式.
萊昂哈德·歐拉出生于1707年4月15日,是一位來自瑞士的數學家和物理學家,是近代著名的數學家之一,此外,他還在力學、光學和天文學上都作出了重大的貢獻.
萊昂哈德·歐拉對微分方程理論作出了重要貢獻,他還是歐拉近似法的創始人,這些計算法被用于計算力學中,其中最有名的被稱為歐拉方法.
在數論里他引入了歐拉函數.正整數n的歐拉函數φ(n)被定義為小于或等于n的數中與n互質的數的個數.
在計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法也正是以歐拉函數為基礎的.
在分析領域,歐拉綜合了戈特弗里德·威廉·萊布尼茨的微分與艾薩克·牛頓的流數.
在1735年,歐拉因解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲:
ζ(2)==++++…=,
其中ζ(s)是黎曼函數.
歐拉將虛數的冪定義為如下公式:eix=cos x+isin x.
這就是歐拉公式,它成為指數函數的中心.在初等分析中,從本質上來說,要么是指數函數的變種,要么是多項式,兩者必居其一.被理查德·費曼稱為“最卓越的數學公式”的則是歐拉公式的一個簡單推論(通常被稱為歐拉恒等式):eiπ=-1或eiπ+1=0.
他在1735年定義了微分方程中的歐拉-馬斯刻若尼常數γ,也是歐拉-麥克勞林求和公式的發現者之一,這一公式在處理難以計算的積分、求和與級數的時候極為有效:
γ=1++++…+-ln n.
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