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第4章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 空間幾何體的結構特征
例1　根據下列對幾何體結構特征的描述,說出幾何體的名稱.
(1)由六個面圍成,其中一個面是凸五邊形,其余各面是有公共頂點的三角形;
(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉180°形成的封閉曲面所圍成的圖形;
(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體.
【解析】　(1)如圖①,因為該幾何體的五個面是有公共頂點的三角形,所以幾何體是棱錐,其底面又是凸五邊形,所以幾何體是五棱錐.
(2)如圖②,等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形旋轉180°形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺.
(3)如圖③,過直角梯形ABCD的頂點A作AO⊥CD于點O,將直角梯形分為一個直角三角形AOD和一個矩形AOCB,繞CD旋轉一周形成一個組合體,該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成.
小結　與空間幾何體的結構特征有關的解題技巧
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵,熟悉空間幾何體的結構特征,依據條件構建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素,然后依據題意判定.
(2)通過舉反例對結構特征進行辨析,要說明一個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可.
題型2 空間幾何體的體積和表面積
例2　如圖所示(單位:cm),求圖中陰影部分繞直線AB旋轉一周所形成的空間圖形的表面積和體積.
【解析】　由題意知,該平面圖形旋轉一周后所得的空間圖形是一個圓臺挖掉半個球,
所以所求空間圖形的表面積由三部分組成:圓臺的下底面面積、側面積和一半球面的表面積,
由AD=2 cm,BC=5 cm,AB=4 cm,可得CD==5 cm,所以S半球=×4π×22=8π cm2,S圓臺側=π×(2+5)×5=35π cm2,S圓臺底=25π cm2,
故所求空間圖形的表面積為68π cm2.
又V圓臺=×[π×22++π×52]×4=52π cm3,V半球=×23×= cm3,
所以所求空間圖形的體積為V圓臺-V半球=52π-=π cm3.
小結　空間幾何體的表面積與體積的求法
(1)多面體的表面積是各個面的面積之和,組合體的表面積注意銜接部分的處理.
(2)關于旋轉體的表面積的問題要注意其側面展開圖的應用.
(3)求復雜幾何體的體積常用割補法、等體積法求解.
題型3 與球有關的切、接問題
例3　(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為6,底面邊長為4,則該球的表面積為(　　).
A. B. C. D.16π
(2)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切,如果這個球的體積是,那么這個三棱柱的體積是(　　).
A.96 B.16 C.24 D.48
【答案】　(1)B　(2)D
【解析】　(1)如圖,設PE為正四棱錐P-ABCD的高,則正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直線上,延長PE交球面于一點F,連接AE,AF.
由球的性質可知△PAF為直角三角形且AE⊥PF,
又底面邊長為4,所以AE=2,而PE=6,所以側棱長PA====2.設球的半徑為R,則PF=2R.由三角形相似得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=,所以S=4πR2=4π×=,故選B.
(2)由球的體積公式可求得球的半徑R=2.設球的外切正三棱柱的底面邊長為a,高即側棱長,為h,則h=2R=4.在底面正三角形中,由正三棱柱的內切球特征,有×=R=2,解得a=4.故此三棱柱的體積V=××(4)2×4=48.
小結　與球相關問題的解題策略
(1)作適當的截面(如軸截面等)時,對于球內接長方體、正方體,截面一要過球心,二要過長方體或正方體的兩條體對角線,才有利于解題.
(2)對于“內切”和“外接”等問題,首先要弄清幾何體之間的相互關系,主要是指特殊的點、線、面之間的關系,然后把相關的元素放到這些關系中來解決.
題型4 空間點、線、面位置關系的判斷
例4　(2022年全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
【答案】　A
【解析】　如圖,對于選項A,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,從而EF⊥平面BDD1,又EF 平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故選項A正確;
對于選項B,因為平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由選項A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故選項B錯誤;
對于選項C,由題意知直線AA1與直線B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC不平行,故選項C錯誤;
對于選項D,連接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又因為平面AB1C與平面B1EF有公共點B1,所以平面A1C1D與平面B1EF不平行,故選項D錯誤.故選A.
小結　1.判斷直線與平面位置關系的常用方法
(1)借助線線、線面、面面位置關系的定義、定理、性質判斷.
(2)模型法:借助長方體等熟悉的幾何體進行判斷,有時可以起到事半功倍的作用.
(3)反證法:反設結論進行推導,得出矛盾,達到準確判斷位置關系的目的.
2.空間中兩直線位置關系的判定,主要是異面、平行和垂直關系的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法;平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質、基本事實4及線面平行與面面平行的性質定理;垂直關系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質來解決.
題型5 空間線面位置關系的證明
例5　(2022年全國乙卷)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.
(1)證明:平面BED⊥平面ACD.
(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當△AFC的面積最小時,求三棱錐F-ABC的體積.
【解析】　(1)因為AD=CD,E是AC的中點,
所以AC⊥DE.
因為
所以△ADB≌△CDB,
所以AB=CB,故AC⊥BE,
因為DE∩BE=E,DE 平面BED,BE 平面BED,
所以AC⊥平面BED,
因為AC 平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.
(2)因為AB=BC=2,∠ACB=60°,所以△ABC是等邊三角形,所以AC=2,AE=CE=1,BE=,
因為AD=CD,AD⊥CD,
所以△ACD是等腰直角三角形,
所以DE=1,DE⊥AC,
又BD=2,所以DE2+BE2=BD2,所以DE⊥BE,
因為AC∩BE=E,AC 平面ABC,BE 平面ABC,所以DE⊥平面ABC.
因為△ADB≌△CDB,所以∠FBA=∠FBC,
因為
所以△FBA≌△FBC,
所以AF=CF,所以EF⊥AC.
因為S△AFC=·AC·EF,所以當EF最短時,△AFC的面積最小.
過點E作EF⊥BD,垂足為F,此時EF最短,
在Rt△BED中,·BE·DE=·BD·EF,
解得EF=,
所以DF==,BF=2-DF=,
所以=.
過點F作FH⊥BE,垂足為H,則FH∥DE,
所以FH⊥平面ABC,且==,所以FH=,
所以VF-ABC=·S△ABC·FH=××2××=.
小結　證明空間線面平行或垂直需注意三點:①由已知想性質,由求證想判定;②適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一;③用定理時要先明確條件,再由定理得出相應結論.
題型6 空間角的計算
例6　如圖,正方體的棱長為1,B'C∩BC'=O,求:
(1)AO與A'C'所成角的大小;
(2)AO與平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB與平面AOC所成角的大小.
方法指導　(1)平移直線A'C'轉為解Rt△AOC的問題;(2)作OE⊥BC于點E,把線面角轉化為直角三角形的三角關系求解;(3)利用垂直關系求解.
【解析】　(1)∵A'C'∥AC,
∴AO與A'C'所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面B'BCC',OC 平面B'BCC',∴OC⊥AB.
又OC⊥BO,AB∩BO=B,∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO,∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,OC=,AC=,
∴sin∠OAC==,∴∠OAC=30°.
即AO與A'C'所成的角為30°.
(2)如圖,作OE⊥BC于點E,連接AE.
∵平面B'BCC'⊥平面ABCD,
∴OE⊥平面ABCD,
∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中,OE=,AE==,
∴tan∠OAE==.
(3)由(1)知OC⊥平面AOB,
又∵OC 平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.
小結　空間角的求法
求空間各種角的大小一般都轉化為平面角來計算:(1)求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角);(2)求直線與平面所成的角常用射影轉化法(作垂線、找射影);(3)二面角的平面角的作法有定義法、垂線法、垂面法.
題型7 利用化歸與轉化思想解決立體幾何問題
例7　如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD⊥底面ABCD,側棱PA=PD=,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD的中點.
(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值.
(2)線段AD上是否存在點Q,使得它到平面PCD的距離為 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
方法指導　(1)由已知可證BO∥CD,找到異面直線所成的角,在三角形中求解即可;(2)用體積法求得點A到平面PCD的距離,然后再根據體積比求解.
【解析】　(1)∵BC∥AD,AD=2AB=2BC=2,如圖,連接BO,
∴BC=OD,BC∥OD,∴四邊形BCDO是平行四邊形,∴BO∥CD,
∴異面直線PB與CD所成角是∠PBO或其補角.
又PA=PD,O是AD的中點,∴PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BO.
在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,得∠APD=90°,PO=1.
在Rt△ABO中,BO==.
在Rt△PBO中,PB==.
∴cos∠PBO=.
∴異面直線PB與CD所成角的余弦值為.
(2)連接OC,由(1)知CD=BO=,四邊形BAOC是正方形,CO=1,PC==,△PCD是正三角形,
∴S△PCD=×××sin 60°=,
S△ACD=×2×1=1.
設點A到平面PCD的距離為h,
由VA-PCD=VP-ACD,得S△PCD·h=S△ACD·PO,即h=1×1,解得h=.
∵>,∴線段AD上存在點Q,使得它到平面PCD的距離為,
且==,∴=.
小結　轉化與化歸思想的主要目的是將未知問題轉化為已知問題,復雜問題轉化為簡單問題,空間幾何問題轉化為平面幾何問題.本章中涉及轉化與化歸思想的知識如下:(1)位置關系的轉化,即平行與平行的轉化、垂直與垂直的轉化、平行與垂直的轉化;(2)量的轉化,如點到面距離的轉化;(3)幾何體的轉化,即幾何體補形與分割.
題型8 函數與方程思想在立體幾何中的應用
例8　如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,PB=2,M是線段AP的中點.
(1)證明:BM∥平面PCD.
(2)當PA為何值時,四棱錐P-ABCD的體積最大 并求此最大值.
方法指導　(1)取PD的中點N,連接MN,CN,證明四邊形MBCN是平行四邊形,可得出BM∥CN,然后利用線面平行的判定定理可證得BM∥平面PCD;(2)設PA為x,求出四棱錐P-ABCD的體積關于x的函數表達式,然后利用函數的性質可求出四棱錐P-ABCD的體積的最大值.
【解析】　(1)如圖,取PD的中點N,連接MN,CN,
∵M是AP的中點,∴MN∥AD且MN=AD,
∵AD∥BC,AD=2BC,∴MN∥BC,MN=BC,
∴四邊形MBCN是平行四邊形,
∴MB∥CN,
又BM 平面PCD,CN 平面PCD,∴BM∥平面PCD.
(2)設PA=x(0∵PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,∴PA⊥AB,
∵PB=2,∴AB=,
又∵AB⊥AD,AD=2BC=2,
∴VP-ABCD=S四邊形ABCD·PA=×(AD+BC)×AB×PA===≤2,
當且僅當x=2時取等號.
故當PA=2時,四棱錐P-ABCD的體積最大,最大值為2.
小結　幾何體的體積和截面積的計算,可以轉化為求函數的最值或方程(組)的解來解答.
【拓展延伸】
用模擬法探究兩點間的最短路徑
——空間幾何體的展開與拼接
爸爸出差前,留給小華一道題:
如圖,這是某地區的交通網.其中小圈代表城鎮,小圈間的連線代表道路,連線旁的a1表示該段道路的長度(單位:千米),請你選擇一條從A到B的最短路線.
爸爸還特意交給小華一個“錦囊”,囑咐他不到萬不得已不要拆開.小華是個要強的孩子,題目未解出來,他不會去看“錦囊”!
小華絞盡腦汁,想了一天還是沒有眉目.吃過晚飯,他信步走進小樹林,東瞅瞅,西瞧瞧,看到一張碩大的蜘蛛網,突然,一只小蟲撞到網上,小蟲奮力掙扎,于是便不斷地拉緊連到網中心的最短的那根絲,蜘蛛沿著那根絲,迅速出擊,抓住了小蟲.小華若有所悟,口里直嚷嚷:“有了!有了!”他想,只要用一種伸縮性很小的細線按交通網形狀和各條道路的長短比例編織一副真正的“交通網”,要求A,B兩地的最短路線,只需把網上相當于A,B兩地的網結各自向外拉,則由A到B的最短路線所通過的道路一定位于被拉緊的細線上.
小華高興地打開“錦囊”,妙極了,他和爸爸的解法完全一樣.爸爸的解法后面還有幾行字:“這種解法叫作模擬法,它是科學研究的一種重要方法,自然界中簡單的現象往往蘊含著深刻的道理,放開你的眼界打破學科的界限,努力去探索吧!”
1.如圖,圓錐的軸截面是等邊三角形,圓錐的底面半徑為2 cm,假如點B處有一只螞蟻只能沿圓錐的表面爬行,它要想吃到母線AC的中點P處的食物,求它需要爬行的最短路程.
【解析】　圓錐的底面半徑為2 cm,故底面圓的周長為4π cm,
圓錐的軸截面是等邊三角形,可知圓錐的母線長為4 cm,設圓錐側面展開后扇形的圓心角為α,根據圓錐底面圓的周長等于展開后扇形的弧長得4π=4α,解得α=π,如圖,故∠CAB'=,螞蟻沿表面爬行到P處的最短路程為B'P===2(cm).
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只螞蟻從點A出發沿表面爬行到點C1,求螞蟻爬行的最短路線長.
【解析】　沿長方體的一條棱剪開,使A和C1在同一平面上,求線段AC1的長即可,有如圖所示的三種剪法:
①若將C1D1剪開,使平面ABB1A1與平面A1B1C1D1共面,可求得AC1===4.
②若將AD剪開,使平面ABCD與平面BCC1B1共面,可求得AC1===3.
③若將CC1剪開,使平面BCC1B1與平面ABB1A1共面,可求得AC1==.
相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M為AA1的中點,P是BC上一點,且由點P沿棱柱的側面經過棱CC1到點M的最短路線長為,則PC的長為　　　　.
【答案】　2
【解析】　將正三棱柱ABC-A1B1C1沿CC1側面展開,如圖所示,
設PC=x,由題意得AM=2,AP1=3+x,MP1=,
在Rt△MAP1中,AM2+A=M,即22+(3+x)2=()2,解得x=2(負值已舍去),即PC=2.
2第4章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 空間幾何體的結構特征
例1　根據下列對幾何體結構特征的描述,說出幾何體的名稱.
(1)由六個面圍成,其中一個面是凸五邊形,其余各面是有公共頂點的三角形;
(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉180°形成的封閉曲面所圍成的圖形;
(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體.
小結　與空間幾何體的結構特征有關的解題技巧
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵,熟悉空間幾何體的結構特征,依據條件構建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素,然后依據題意判定.
(2)通過舉反例對結構特征進行辨析,要說明一個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可.
題型2 空間幾何體的體積和表面積
例2　如圖所示(單位:cm),求圖中陰影部分繞直線AB旋轉一周所形成的空間圖形的表面積和體積.
小結　空間幾何體的表面積與體積的求法
(1)多面體的表面積是各個面的面積之和,組合體的表面積注意銜接部分的處理.
(2)關于旋轉體的表面積的問題要注意其側面展開圖的應用.
(3)求復雜幾何體的體積常用割補法、等體積法求解.
題型3 與球有關的切、接問題
例3　(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為6,底面邊長為4,則該球的表面積為(　　).
A. B. C. D.16π
(2)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切,如果這個球的體積是,那么這個三棱柱的體積是(　　).
A.96 B.16 C.24 D.48
小結　與球相關問題的解題策略
(1)作適當的截面(如軸截面等)時,對于球內接長方體、正方體,截面一要過球心,二要過長方體或正方體的兩條體對角線,才有利于解題.
(2)對于“內切”和“外接”等問題,首先要弄清幾何體之間的相互關系,主要是指特殊的點、線、面之間的關系,然后把相關的元素放到這些關系中來解決.
題型4 空間點、線、面位置關系的判斷
例4　(2022年全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
小結　1.判斷直線與平面位置關系的常用方法
(1)借助線線、線面、面面位置關系的定義、定理、性質判斷.
(2)模型法:借助長方體等熟悉的幾何體進行判斷,有時可以起到事半功倍的作用.
(3)反證法:反設結論進行推導,得出矛盾,達到準確判斷位置關系的目的.
2.空間中兩直線位置關系的判定,主要是異面、平行和垂直關系的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法;平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質、基本事實4及線面平行與面面平行的性質定理;垂直關系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質來解決.
題型5 空間線面位置關系的證明
例5　(2022年全國乙卷)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.
(1)證明:平面BED⊥平面ACD.
(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當△AFC的面積最小時,求三棱錐F-ABC的體積.
小結　證明空間線面平行或垂直需注意三點:①由已知想性質,由求證想判定;②適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一;③用定理時要先明確條件,再由定理得出相應結論.
題型6 空間角的計算
例6　如圖,正方體的棱長為1,B'C∩BC'=O,求:
(1)AO與A'C'所成角的大小;
(2)AO與平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB與平面AOC所成角的大小.
方法指導　(1)平移直線A'C'轉為解Rt△AOC的問題;(2)作OE⊥BC于點E,把線面角轉化為直角三角形的三角關系求解;(3)利用垂直關系求解.
小結　空間角的求法
求空間各種角的大小一般都轉化為平面角來計算:(1)求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角);(2)求直線與平面所成的角常用射影轉化法(作垂線、找射影);(3)二面角的平面角的作法有定義法、垂線法、垂面法.
題型7 利用化歸與轉化思想解決立體幾何問題
例7　如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD⊥底面ABCD,側棱PA=PD=,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD的中點.
(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值.
(2)線段AD上是否存在點Q,使得它到平面PCD的距離為 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
方法指導　(1)由已知可證BO∥CD,找到異面直線所成的角,在三角形中求解即可;(2)用體積法求得點A到平面PCD的距離,然后再根據體積比求解.
小結　轉化與化歸思想的主要目的是將未知問題轉化為已知問題,復雜問題轉化為簡單問題,空間幾何問題轉化為平面幾何問題.本章中涉及轉化與化歸思想的知識如下:(1)位置關系的轉化,即平行與平行的轉化、垂直與垂直的轉化、平行與垂直的轉化;(2)量的轉化,如點到面距離的轉化;(3)幾何體的轉化,即幾何體補形與分割.
題型8 函數與方程思想在立體幾何中的應用
例8　如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,PB=2,M是線段AP的中點.
(1)證明:BM∥平面PCD.
(2)當PA為何值時,四棱錐P-ABCD的體積最大 并求此最大值.
方法指導　(1)取PD的中點N,連接MN,CN,證明四邊形MBCN是平行四邊形,可得出BM∥CN,然后利用線面平行的判定定理可證得BM∥平面PCD;(2)設PA為x,求出四棱錐P-ABCD的體積關于x的函數表達式,然后利用函數的性質可求出四棱錐P-ABCD的體積的最大值.
小結　幾何體的體積和截面積的計算,可以轉化為求函數的最值或方程(組)的解來解答.
【拓展延伸】
用模擬法探究兩點間的最短路徑
——空間幾何體的展開與拼接
爸爸出差前,留給小華一道題:
如圖,這是某地區的交通網.其中小圈代表城鎮,小圈間的連線代表道路,連線旁的a1表示該段道路的長度(單位:千米),請你選擇一條從A到B的最短路線.
爸爸還特意交給小華一個“錦囊”,囑咐他不到萬不得已不要拆開.小華是個要強的孩子,題目未解出來,他不會去看“錦囊”!
小華絞盡腦汁,想了一天還是沒有眉目.吃過晚飯,他信步走進小樹林,東瞅瞅,西瞧瞧,看到一張碩大的蜘蛛網,突然,一只小蟲撞到網上,小蟲奮力掙扎,于是便不斷地拉緊連到網中心的最短的那根絲,蜘蛛沿著那根絲,迅速出擊,抓住了小蟲.小華若有所悟,口里直嚷嚷:“有了!有了!”他想,只要用一種伸縮性很小的細線按交通網形狀和各條道路的長短比例編織一副真正的“交通網”,要求A,B兩地的最短路線,只需把網上相當于A,B兩地的網結各自向外拉,則由A到B的最短路線所通過的道路一定位于被拉緊的細線上.
小華高興地打開“錦囊”,妙極了,他和爸爸的解法完全一樣.爸爸的解法后面還有幾行字:“這種解法叫作模擬法,它是科學研究的一種重要方法,自然界中簡單的現象往往蘊含著深刻的道理,放開你的眼界打破學科的界限,努力去探索吧!”
1.如圖,圓錐的軸截面是等邊三角形,圓錐的底面半徑為2 cm,假如點B處有一只螞蟻只能沿圓錐的表面爬行,它要想吃到母線AC的中點P處的食物,求它需要爬行的最短路程.
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只螞蟻從點A出發沿表面爬行到點C1,求螞蟻爬行的最短路線長.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M為AA1的中點,P是BC上一點,且由點P沿棱柱的側面經過棱CC1到點M的最短路線長為,則PC的長為　　　　.
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