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第5章章末小結(jié)
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【題型探究】
題型1 事件的關(guān)系與運(yùn)算
例1　(多選題)一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地摸球兩次,每次摸出1個(gè)球,設(shè)事件S=“第一次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,M=“摸出的2個(gè)球顏色相同”,N=“摸出的2個(gè)球顏色不同”,則(　　).
A.S R B.R∩G=M
C.R∪G=M D.M=
小結(jié)　(1)利用事件間運(yùn)算的定義,列出同一條件下試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.(2)利用Venn圖,借助集合間運(yùn)算的思想,分析同一條件下試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,并把這些結(jié)果在圖中列出,進(jìn)行運(yùn)算.
題型2 互斥事件、對(duì)立事件的概率
例2　某公務(wù)員去開會(huì),他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火車或乘飛機(jī)去的概率;
(2)求他不乘輪船去的概率;
(3)如果他乘某種交通工具的概率為0.5,請(qǐng)問他有可能乘哪種交通工具
小結(jié)　(1)互斥事件與對(duì)立事件的概率計(jì)算
①若事件A1,A2,…,An彼此互斥,
則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
②設(shè)事件A的對(duì)立事件是,則P(A)=1-P().
(2)求復(fù)雜事件的概率常用的兩種方法
①將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和.
②先求其對(duì)立事件的概率,然后應(yīng)用公式P(A)=1-P()求解.
題型3 古典概型的求法
例3　(2022年全國(guó)甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(　　).
A. B.
C. D.
小結(jié)　古典概型是一種最基本的概率模型,也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ),在高考題中,經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目.解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征,即有限性和等可能性.在應(yīng)用公式P(A)=時(shí),關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系,求出n,m.但列舉時(shí)必須按某一順序做到不重復(fù)、不遺漏.
題型4 相互獨(dú)立事件的判斷
例4　有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(　　).
A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立
C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立
小結(jié)　判斷事件A,B是否獨(dú)立,先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率,再判斷P(A)P(B)=P(AB)是否成立.
題型5 相互獨(dú)立事件的概率
例5　(2022年全國(guó)乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則(　　).
A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)
B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大
C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大
D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大
小結(jié)　與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問題的求解策略:明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義,然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算.
題型6 頻率與概率
例6　對(duì)一批U盤進(jìn)行抽檢,結(jié)果如下表:
抽取件數(shù)a 50 100 200 300 400 500
次品件數(shù)b 3 4 5 5 8 9
次品頻率
(1)計(jì)算表中次品的頻率.
(2)從這批U盤中任意抽取一個(gè),是次品的概率約是多少
(3)為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換,要銷售2000個(gè)U盤,至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤
方法指導(dǎo)　結(jié)合頻率的定義進(jìn)行計(jì)算填表,并用頻率估計(jì)概率.
小結(jié)　概率是個(gè)常數(shù).但除了幾類概型,概率并不易知,故可用頻率來估計(jì).
題型7 數(shù)形結(jié)合思想在求解概率中的應(yīng)用
例7　口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,這4個(gè)球除顏色外完全相同,四個(gè)人按順序依次從中摸出1個(gè)球(不放回),試求“第二個(gè)人摸到白球”的概率.
方法指導(dǎo)　利用樹狀圖法列出總的事件和基本事件,代入古典概型公式求解.
小結(jié)　當(dāng)事件個(gè)數(shù)沒有很明顯的規(guī)律,且涉及的基本事件不多時(shí),我們可借助樹狀圖直觀地將其表示出來,這有助于我們有條理地進(jìn)行思考和表達(dá),也體現(xiàn)了直觀想象的素養(yǎng).
【拓展延伸】
概率論的發(fā)展
概率問題在早期的研究中,逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概念,并確定了它們的基本性質(zhì).
后來,人們提出了許多社會(huì)問題和工程技術(shù)問題,如:人口統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)理論、天文觀測(cè)、誤差理論、產(chǎn)品檢驗(yàn)和質(zhì)量控制等.這些問題的提出,均促進(jìn)了概率論的發(fā)展,從17世紀(jì)到19世紀(jì),貝努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切比雪夫、馬爾科夫等著名數(shù)學(xué)家都對(duì)概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻(xiàn).
在這段時(shí)間里,概率論的發(fā)展簡(jiǎn)直到了使人著迷的程度.但是,隨著概率論在各個(gè)領(lǐng)域獲得大量成果,以及概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用,由拉普拉斯給出的概率定義的局限性很快便暴露了出來,甚至無法適用于一般的隨機(jī)現(xiàn)象.因此可以說,到20世紀(jì)初,概率論的一些基本概念,諸如概率等尚沒有確切的定義,概率論作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支,缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).
概率論的第一本專著是1713年問世的雅各·貝努利的《推測(cè)術(shù)》.經(jīng)過二十多年的艱難研究,貝努利在該書中表述并證明了著名的“大數(shù)定律”.所謂“大數(shù)定律”,簡(jiǎn)單地說就是,當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)度量之間建立了演繹關(guān)系,構(gòu)建了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁.因此貝努利被稱為概率論的奠基人.
為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫.1933年,他發(fā)表了著名的《概率論基礎(chǔ)》,用公理化結(jié)構(gòu)明確定義了概率論中的基本概念,成為概率論發(fā)展史上的一個(gè)里程碑,這為以后概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ).
人們對(duì)偶然現(xiàn)象(即隨機(jī)現(xiàn)象)規(guī)律性的探求,經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的歷史時(shí)期,甚至可以追溯到遠(yuǎn)古的原始社會(huì).最早,人們對(duì)事物的偶然性并不重視,他們認(rèn)為這是“微不足道的”,因而只注意那些有一定必然規(guī)律的現(xiàn)象.但是,嚴(yán)酷的現(xiàn)實(shí)使人們感到這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的,因?yàn)榛馂?zāi)、水災(zāi)、地震等偶然現(xiàn)象一旦發(fā)生,便給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來不可估量的損失.隨之,人們又認(rèn)為偶然現(xiàn)象是“可怕的”“嚴(yán)重的”.但是在實(shí)踐中人們又發(fā)現(xiàn),事物的偶然性不僅有可怕的一面,也有造福于人類的一面,例如久旱后偶遇甘霖,就是大喜之事.
這樣,人們開始探討偶然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律性.由于生產(chǎn)力水平,科學(xué)文化知識(shí)所限,長(zhǎng)期以來人們對(duì)偶然現(xiàn)象的規(guī)律性探求進(jìn)展十分緩慢,甚至有人提出它是“神秘的”“不可捉摸的”.直到唯物辯證法產(chǎn)生,才開始從研究偶然性與必然性這一對(duì)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一中加深了認(rèn)識(shí).
恩格斯在《路德維希·費(fèi)爾巴哈和德國(guó)古典哲學(xué)的終結(jié)》一文中指出:“在表面上是偶然性起作用的地方,這種偶然性始終是受內(nèi)部的隱蔽著的規(guī)律支配的,而我們的問題是發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律.”馬克思主義的認(rèn)識(shí)論,給人們指出了認(rèn)識(shí)偶然性的正確方法.
到了19世紀(jì),概率論的研究開始朝著系統(tǒng)化的方向發(fā)展,其中貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家有法國(guó)的拉普拉斯、泊松,德國(guó)的高斯,俄國(guó)的切比雪夫、馬爾科夫等.
拉普拉斯,1749年3月23日生于法國(guó)西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日,曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授.1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授,后又在高等師范學(xué)校任教授.1799年他還擔(dān)任過法國(guó)經(jīng)度局局長(zhǎng),并在拿破侖政府中擔(dān)任過6個(gè)星期的內(nèi)政部長(zhǎng).1816年被選為法蘭西學(xué)院院士,1817年擔(dān)任該院院長(zhǎng).1827年3月5日卒于巴黎.拉普拉斯一生寫過好幾本概率論專著,其中《分析概率論》(1812年)被譽(yù)為古典概率論系統(tǒng)理論的經(jīng)典之作,全面總結(jié)了前一時(shí)期的研究成果,并予以嚴(yán)密而又系統(tǒng)的表述,給出了“棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理”的理論證明,建立了觀察誤差的理論和最小二乘法.
1917年,數(shù)學(xué)家伯恩斯坦首先給出了概率論的公理體系.
1933年,柯爾莫哥洛夫以莫斯科學(xué)派所擅長(zhǎng)的實(shí)變函數(shù)論和測(cè)度論為基礎(chǔ),又給出了概率論的一個(gè)公理體系.這一體系與伯恩斯坦的相比,不僅使現(xiàn)代意義下的概率論理論更加嚴(yán)密完備,而且為論述無限隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列和一般隨機(jī)過程提供了足夠的邏輯基礎(chǔ).因此,柯爾莫哥洛夫和他的工作稱為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)史上最光輝的一頁.
2第5章章末小結(jié)
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【題型探究】
題型1 事件的關(guān)系與運(yùn)算
例1　(多選題)一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地摸球兩次,每次摸出1個(gè)球,設(shè)事件S=“第一次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,M=“摸出的2個(gè)球顏色相同”,N=“摸出的2個(gè)球顏色不同”,則(　　).
A.S R B.R∩G=M
C.R∪G=M D.M=
【答案】　CD
【解析】　因?yàn)镾=“第一次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,所以R S,故A錯(cuò)誤;
因?yàn)镽=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,所以兩個(gè)事件沒有公共的基本事件,所以R∩G= ,故B錯(cuò)誤;
由R=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,M=“摸出的2個(gè)球顏色相同”,得R或G表示摸出的2個(gè)球的顏色相同,即R∪G=M,故C正確;
M=“摸出的2個(gè)球顏色相同”,N=“摸出的2個(gè)球顏色不同”,由對(duì)立事件的定義知M=,故D正確.
小結(jié)　(1)利用事件間運(yùn)算的定義,列出同一條件下試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.(2)利用Venn圖,借助集合間運(yùn)算的思想,分析同一條件下試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,并把這些結(jié)果在圖中列出,進(jìn)行運(yùn)算.
題型2 互斥事件、對(duì)立事件的概率
例2　某公務(wù)員去開會(huì),他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火車或乘飛機(jī)去的概率;
(2)求他不乘輪船去的概率;
(3)如果他乘某種交通工具的概率為0.5,請(qǐng)問他有可能乘哪種交通工具
【解析】　記“他乘火車去”為事件A1,“他乘輪船去”為事件A2,“他乘汽車去”為事件A3,“他乘飛機(jī)去”為事件A4,這四個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,故它們彼此互斥.由題意得P(A1)=0.3,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1,P(A4)=0.4.
(1)P(A1∪A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.
故他乘火車或乘飛機(jī)去的概率為0.7.
(2)設(shè)他不乘輪船去的概率為P,
則P=1-P(A2)=1-0.2=0.8,
所以他不乘輪船去的概率為0.8.
(3)由于P(A1)+P(A2)=0.3+0.2=0.5,
P(A3)+P(A4)=0.1+0.4=0.5,
故他可能乘火車或乘輪船去,也有可能乘汽車或乘飛機(jī)去.
小結(jié)　(1)互斥事件與對(duì)立事件的概率計(jì)算
①若事件A1,A2,…,An彼此互斥,
則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
②設(shè)事件A的對(duì)立事件是,則P(A)=1-P().
(2)求復(fù)雜事件的概率常用的兩種方法
①將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和.
②先求其對(duì)立事件的概率,然后應(yīng)用公式P(A)=1-P()求解.
題型3 古典概型的求法
例3　(2022年全國(guó)甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(　　).
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　從6張卡片中無放回抽取2張,有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種情況,其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6種情況,故概率為=.故選C.
小結(jié)　古典概型是一種最基本的概率模型,也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ),在高考題中,經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目.解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征,即有限性和等可能性.在應(yīng)用公式P(A)=時(shí),關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系,求出n,m.但列舉時(shí)必須按某一順序做到不重復(fù)、不遺漏.
題型4 相互獨(dú)立事件的判斷
例4　有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(　　).
A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立
C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立
【答案】　B
【解析】　因?yàn)镻(甲)==,P(乙)==,P(丙)=,P(丁)==,
所以P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),
P(甲丁)==P(甲)P(丁),
P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),
P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁).故選B.
小結(jié)　判斷事件A,B是否獨(dú)立,先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率,再判斷P(A)P(B)=P(AB)是否成立.
題型5 相互獨(dú)立事件的概率
例5　(2022年全國(guó)乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則(　　).
A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)
B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大
C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大
D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大
【答案】　D
【解析】　若該棋手連勝兩盤,則第二盤為必勝盤,
記該棋手在第二盤與甲比賽,比賽順序?yàn)椤耙壹妆奔啊氨滓摇钡母怕示鶠?則此時(shí)連勝兩盤的概率為p甲,
則p甲=[(1-p2)p1p3+p2p1(1-p3)]+[(1-p3)p1p2+p3p1(1-p2)]=p1(p2+p3)-2p1p2p3.
記該棋手在第二盤與乙比賽,且連勝兩盤的概率為p乙,
則p乙=(1-p1)p2p3+p1p2(1-p3)=p2(p1+p3)-2p1p2p3.
記該棋手在第二盤與丙比賽,且連勝兩盤的概率為p丙,
則p丙=(1-p1)p3p2+p1p3(1-p2)=p3(p1+p2)-2p1p2p3.
則p甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-[p2(p1+p3)-2p1p2p3]=(p1-p2)p3<0,
p乙-p丙=p2(p1+p3)-2p1p2p3-[p3(p1+p2)-2p1p2p3]=(p2-p3)p1<0,
即p甲則該棋手在第二盤與丙比賽,p最大,D正確,B,C錯(cuò)誤;
p與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān),A錯(cuò)誤.
小結(jié)　與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問題的求解策略:明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義,然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算.
題型6 頻率與概率
例6　對(duì)一批U盤進(jìn)行抽檢,結(jié)果如下表:
抽取件數(shù)a 50 100 200 300 400 500
次品件數(shù)b 3 4 5 5 8 9
次品頻率
(1)計(jì)算表中次品的頻率.
(2)從這批U盤中任意抽取一個(gè),是次品的概率約是多少
(3)為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換,要銷售2000個(gè)U盤,至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤
方法指導(dǎo)　結(jié)合頻率的定義進(jìn)行計(jì)算填表,并用頻率估計(jì)概率.
【解析】　(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí),出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動(dòng),所以從這批U盤中任意抽取一個(gè),是次品的概率約是0.02.
(3)設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)U盤,為保證其中有2000個(gè)正品U盤,則x(1-0.02)≥2000,因?yàn)閤是正整數(shù),
所以x≥2041,即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤.
小結(jié)　概率是個(gè)常數(shù).但除了幾類概型,概率并不易知,故可用頻率來估計(jì).
題型7 數(shù)形結(jié)合思想在求解概率中的應(yīng)用
例7　口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,這4個(gè)球除顏色外完全相同,四個(gè)人按順序依次從中摸出1個(gè)球(不放回),試求“第二個(gè)人摸到白球”的概率.
方法指導(dǎo)　利用樹狀圖法列出總的事件和基本事件,代入古典概型公式求解.
【解析】　把四個(gè)人依次編號(hào)為甲、乙、丙、丁,把2個(gè)白球編上序號(hào)1,2,把2個(gè)黑球也編上序號(hào)1,2,于是四個(gè)人按順序依次從袋內(nèi)摸出1個(gè)球的所有可能結(jié)果,可用樹形圖直觀地表示出來,如圖所示.
從上面的樹形圖可以看出,試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24.第二人摸到白球的結(jié)果有12種,記第二個(gè)人摸到白球?yàn)槭录嗀,則P(A)==.
小結(jié)　當(dāng)事件個(gè)數(shù)沒有很明顯的規(guī)律,且涉及的基本事件不多時(shí),我們可借助樹狀圖直觀地將其表示出來,這有助于我們有條理地進(jìn)行思考和表達(dá),也體現(xiàn)了直觀想象的素養(yǎng).
【拓展延伸】
概率論的發(fā)展
概率問題在早期的研究中,逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概念,并確定了它們的基本性質(zhì).
后來,人們提出了許多社會(huì)問題和工程技術(shù)問題,如:人口統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)理論、天文觀測(cè)、誤差理論、產(chǎn)品檢驗(yàn)和質(zhì)量控制等.這些問題的提出,均促進(jìn)了概率論的發(fā)展,從17世紀(jì)到19世紀(jì),貝努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切比雪夫、馬爾科夫等著名數(shù)學(xué)家都對(duì)概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻(xiàn).
在這段時(shí)間里,概率論的發(fā)展簡(jiǎn)直到了使人著迷的程度.但是,隨著概率論在各個(gè)領(lǐng)域獲得大量成果,以及概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用,由拉普拉斯給出的概率定義的局限性很快便暴露了出來,甚至無法適用于一般的隨機(jī)現(xiàn)象.因此可以說,到20世紀(jì)初,概率論的一些基本概念,諸如概率等尚沒有確切的定義,概率論作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支,缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).
概率論的第一本專著是1713年問世的雅各·貝努利的《推測(cè)術(shù)》.經(jīng)過二十多年的艱難研究,貝努利在該書中表述并證明了著名的“大數(shù)定律”.所謂“大數(shù)定律”,簡(jiǎn)單地說就是,當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)度量之間建立了演繹關(guān)系,構(gòu)建了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁.因此貝努利被稱為概率論的奠基人.
為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫.1933年,他發(fā)表了著名的《概率論基礎(chǔ)》,用公理化結(jié)構(gòu)明確定義了概率論中的基本概念,成為概率論發(fā)展史上的一個(gè)里程碑,這為以后概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ).
人們對(duì)偶然現(xiàn)象(即隨機(jī)現(xiàn)象)規(guī)律性的探求,經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的歷史時(shí)期,甚至可以追溯到遠(yuǎn)古的原始社會(huì).最早,人們對(duì)事物的偶然性并不重視,他們認(rèn)為這是“微不足道的”,因而只注意那些有一定必然規(guī)律的現(xiàn)象.但是,嚴(yán)酷的現(xiàn)實(shí)使人們感到這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的,因?yàn)榛馂?zāi)、水災(zāi)、地震等偶然現(xiàn)象一旦發(fā)生,便給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來不可估量的損失.隨之,人們又認(rèn)為偶然現(xiàn)象是“可怕的”“嚴(yán)重的”.但是在實(shí)踐中人們又發(fā)現(xiàn),事物的偶然性不僅有可怕的一面,也有造福于人類的一面,例如久旱后偶遇甘霖,就是大喜之事.
這樣,人們開始探討偶然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律性.由于生產(chǎn)力水平,科學(xué)文化知識(shí)所限,長(zhǎng)期以來人們對(duì)偶然現(xiàn)象的規(guī)律性探求進(jìn)展十分緩慢,甚至有人提出它是“神秘的”“不可捉摸的”.直到唯物辯證法產(chǎn)生,才開始從研究偶然性與必然性這一對(duì)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一中加深了認(rèn)識(shí).
恩格斯在《路德維希·費(fèi)爾巴哈和德國(guó)古典哲學(xué)的終結(jié)》一文中指出:“在表面上是偶然性起作用的地方,這種偶然性始終是受內(nèi)部的隱蔽著的規(guī)律支配的,而我們的問題是發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律.”馬克思主義的認(rèn)識(shí)論,給人們指出了認(rèn)識(shí)偶然性的正確方法.
到了19世紀(jì),概率論的研究開始朝著系統(tǒng)化的方向發(fā)展,其中貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家有法國(guó)的拉普拉斯、泊松,德國(guó)的高斯,俄國(guó)的切比雪夫、馬爾科夫等.
拉普拉斯,1749年3月23日生于法國(guó)西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日,曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授.1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授,后又在高等師范學(xué)校任教授.1799年他還擔(dān)任過法國(guó)經(jīng)度局局長(zhǎng),并在拿破侖政府中擔(dān)任過6個(gè)星期的內(nèi)政部長(zhǎng).1816年被選為法蘭西學(xué)院院士,1817年擔(dān)任該院院長(zhǎng).1827年3月5日卒于巴黎.拉普拉斯一生寫過好幾本概率論專著,其中《分析概率論》(1812年)被譽(yù)為古典概率論系統(tǒng)理論的經(jīng)典之作,全面總結(jié)了前一時(shí)期的研究成果,并予以嚴(yán)密而又系統(tǒng)的表述,給出了“棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理”的理論證明,建立了觀察誤差的理論和最小二乘法.
1917年,數(shù)學(xué)家伯恩斯坦首先給出了概率論的公理體系.
1933年,柯爾莫哥洛夫以莫斯科學(xué)派所擅長(zhǎng)的實(shí)變函數(shù)論和測(cè)度論為基礎(chǔ),又給出了概率論的一個(gè)公理體系.這一體系與伯恩斯坦的相比,不僅使現(xiàn)代意義下的概率論理論更加嚴(yán)密完備,而且為論述無限隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列和一般隨機(jī)過程提供了足夠的邏輯基礎(chǔ).因此,柯爾莫哥洛夫和他的工作稱為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)史上最光輝的一頁.
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