資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
解三角形題型歸納
班級 姓名
學習目標
1．熟記并能應用正、余弦定理的有關變形公式，解決三角形中的問題．
2．能利用正弦定理、三角恒等變換、三角形面積公式解決較為復雜的三角形問題．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
公式默寫 1、正弦定理(1)正弦定理： ＝ ＝ ＝2R(R是三角形外接圓的半徑)．(2)正弦定理的其他形式①a＝ ，b＝ ，c＝ ；②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；③a∶b∶c＝ .2、余弦定理(1)余弦定理：a2＝ ，b2＝ ，c2＝ .(2)余弦定理推論：cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝ .3、三角形中的常用公式及變式(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π，則A＝π－(B＋C)，＝－，則：sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ，sin＝ ， cos＝ . (2)射影定理：a＝ ，b＝ ，c＝ .
三角形的面積公式 4、三角形的面積公式任意三角形的面積公式為：(1)S△ABC＝ ＝ ＝ (2)S△ABC＝ah，其中a為△ABC的一邊長，而h為該邊上的高的長．(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長．【即時訓練】(1)在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積等于 (2)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，則b＝________．
題型一、利用正余弦定理求邊或角
例1-1、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.
(1)求； (2)若，求.
例1-2、如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝．
(1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長．
變式1、(多選題)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，則下列結論正確的是　　
A． B．
C． D．的面積為6
題型二、判斷三角形的形狀
例2-1、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，試判斷下列三角形的形狀：
(1)；(2)；(3)．
例2-2、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知
(1)求角的大小；
(2)若的面積，，求的值．
(3)若，試判斷的形狀．
變式2、(1)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知且滿足，則的形狀是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
(2)在△ABC中,若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，則△ABC的形狀為(　　)
A．等邊三角形　　 B．等腰直角三角形　　
C．等腰三角形或直角三角形　　 D．直角三角形
題型三、與三角形面積相關問題
例3-1、在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＋c＝2acos B.
(1)證明：A＝2B；
(2)若△ABC的面積S＝，求角A的大小．
例3-2、△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，
b＝2.
(1)求c；
(2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
題型四、幾何圖形中的解三角形問題
例4-1、如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD．
(1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA；
(2)若AD＝3AC，求AC．
例4-2、如圖，在平面四邊形ABCD中，0＜∠DAB＜，AD＝2，AB＝3，△ABD的面積為，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求BC的長．
*題型五、解三角形中的最值與范圍問題
例5-1、已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c＝2，
2sin＝。
(1)若a＝2，求角A；
(2)求△ABC面積的最大值。
例5-2、在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知2bsin A－a＝0。
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范圍。
變式3、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，的面積等于，則的取值范圍是　　
A．， B．，
C．， D．，
課后作業
一、基礎訓練題
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則　　
A． B． C． D．
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝，則cosB等于(　　)
A．－　　　　　　　　 B．　　　　　　　　
C．－　　　　　　　　 D．
3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝b，A＝2B，則cosB＝(　　)
A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　
C．　　　　　　　　 D．
4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，且，則　　
A． B．3
C． D．4
5．△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝120°，sin C＝，c＝2，則△ABC的面積等于(　　)
A． B．2
C． D．
6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則的值為　　
A． B．
C． D．
7．在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
8．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，則△ABC外接圓的面積為(　　)
A．16π B．8π
C．2π D．4π
9．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于(　　)
A． B．5
C．6 D．7
10．在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形　　 B．等腰直角三角形　　
C．等腰三角形或直角三角形　　 D．直角三角形
11．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，,,
( )
A．1 B．
C． D．
12．(多選題)中，根據下列條件解三角形，其中有一解的是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
13．(多選題)已知的內角，，所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的命題是　　
A．若，則一定是等邊三角形
B．若，則一定是等腰三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是銳角三角形
14．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，則cosC的值為________．
15．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2cos2A＋sin2A＝2，b＝1，S△ABC＝，則A＝________，＝________．
16．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________．
17．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點D為AB延長線上一點，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________．
18．如圖，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°.
(1)求AC的長；
(2)若CD＝5，求AD的長．
19．如圖，在中，是邊上一點，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，求和.
20．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．
21．如圖，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，點D在線段BC上．
(1)若∠ADC＝，求AD的長．
(2)若BD＝2DC，△ACD的面積為，求的值．
二、綜合訓練題
22．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，則△ABC為(　　)
A．等邊三角形　　 B．等腰直角三角形　　
C．銳角非等邊三角形　　 D．鈍角三角形
23．在△ABC中，C＝，AB＝3，則△ABC的周長為(　　)
A．6sin＋3　　　 B．6sin＋3　　　
C．2sin＋3　　　 D．2sin＋3
24．如圖，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cosA等于(　　)
A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　
C．　　　　　　　　 D．
25．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知三個向量m＝，n＝，p＝共線，則△ABC的形狀為(　　)
A．等邊三角形　　　　 B．等腰三角形　　　　
C．直角三角形　　　　 D．等腰直角三角形
26．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，
∠BCD＝135°，則BC的長為________．
27．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積為．
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長．
三、能力提升題
28．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，且，的外接圓半徑為，則面積的最大值為　　
A． B．
C． D．
29．(多選題)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，知，，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則 B．若該三角形有兩解
C．周長的最小值為12 D．面積的最大值
30．(多選題)如圖，△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，為鈍角，，，，，則下列結論正確的有　　
A． B．
C． D．的面積為
31．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，且，若的面積為，則的最小值為　 　．
32．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，且，.
（1）求；
（2）若，邊上中線，求的面積.
解三角形題型歸納參考答案
【即時訓練】(1)【答案】9
【解析】在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝＝＝6.
又因為C＝180°－120°－30°＝30°，所以S△ABC＝×6×6×＝9.
(2)【答案】2
【解析】∵cos C＝，∴C∈(0°，90°)，∴sin C＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))))＝，
又S△ABC＝absin C＝×3×b×＝4，∴b＝2．
題型一、利用正余弦定理求邊或角
例1-1、【解】(1)因為，所以，
因為，所以；
(2)因為，由正弦定理可得，
所以，
因為，所以，由正弦定理可得，.
例1-2、【解】(1)在△DAC中，由余弦定理的推論，得cos∠CAD＝＝＝，
所以cos∠CAD＝．
(3)因為∠BAD為四邊形內角，所以sin∠BAD＞0，且sin∠CAD＞0，
所以sin∠BAD＝＝，sin∠CAD＝＝，
所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－×＝＋＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，代入數據得BC＝×＝3．
變式1、【答案】ABD
【解析】，，則，故正確；
，．，
，
，又，，，故正確；
，，則由正弦定理得，故錯誤；
，故正確．
例2-1、【解】（1），，即，
，，或，即或，
為等腰三角形或直角三角形；
（2），，，
，，，
，，即．為等腰三角形．
（3）．邊化角，是等腰三角形或是直角角三角形．
例2-2、【解】（1）由得，
即，所以，所以．
（2）由，得．
又，知．由余弦定理可得：，
又由正弦定理得，．．
（3），即
即，，
由（1）得，所以，所以為等邊三角形．
變式2、【答案】B
【解析】，
解得，，；
，由正弦定理可得，
，
可得，
，，，，可得，可得是直角三角形．
(2)【答案】D【解析】法一：由＝＝＝2R，
則條件化為：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sinB·sinC·cosB·cosC．
又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0．又0°∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC為直角三角形．
法二：將已知等式變形為：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，
即b2＋c2－b2·2－c2·2＝2bc··，
即b2＋c2＝＝＝a2，∴A＝90°，∴△ABC為直角三角形．
例3-1、【解】(1)證明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝，得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因為sin B≠0，所以sin C＝cos B，又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
當B＋C＝時，A＝；當C－B＝時，A＝.
綜上，A＝或A＝.
例3-2、【解】(1)由已知條件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，或c＝4.
(2)法一：如圖，由題設可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，
故△ABD面積與△ACD面積的比值為＝1，
又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面積為.
法二：由余弦定理得cos C＝，在Rt△ACD中，cos C＝，
所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，
所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin C＝×＝.
法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos C＝，所以CD＝，所以AD＝，
所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.
例4-2、【解】(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，解得sin∠BCA＝．
(2)設AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝．
在△ABC中，由余弦定理的推論得，cos∠BAC＝＝．
又∠BAC＋∠CAD＝，所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3．
例4-2、【解】(1)因為△ABD的面積S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，
所以sin∠DAB＝.又0＜∠DAB＜，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos ＝.
由余弦定理得BD＝＝，
由正弦定理得sin∠ABD＝＝.
(2)因為AB⊥BC，所以∠ABC＝，
sin∠DBC＝sin(－∠ABD)＝cos∠ABD＝＝.
在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝.
由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，
可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－(舍去)．故BC的長為.
例5-1、【解】(1)因為2sin＝，所以sin＝，
又C∈，所以2C－∈，
所以2C－＝，即C＝，所以＝ sin A＝，
又a(2)在△ABC中，由c2＝a2＋b2－2abcos C，得12＝a2＋b2－ab≥ab，所以S△ABC＝absin C≤3，
當且僅當a＝b，即△ABC為等邊三角形時，上式等號成立，
所以△ABC面積的最大值是3。
例5-2、【解】(1)由正弦定理得2sin Bsin A＝sin A，
因為A∈，所以sin A≠0，故sin B＝，因為B∈，所以B＝。
(2)由A＋B＋C＝π得C＝－A，由△ABC是銳角三角形得A∈。
由cos C＝cos＝－cos A＋sin A得，
cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋＝sin＋。
因為A＋∈，所以sin∈，
則cos A＋cos B＋cos C∈，
故cos A＋cos B＋cos C的取值范圍是。
變式3、【答案】D
【解析】的面積，
，，，，
又，由正弦定理，可得，，
，
，，，可得，，
，．
課后作業
1、【答案】A
【解析】利用正弦定理：因為，所以．
2、【答案】B　
【解析】由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，由B∈(0，π)，所以B＝，
所以cosB＝cos＝．
3、【答案】B　
【解析】由正弦定理，得sinA＝sinB，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以cosB＝．
4、【答案】B
【解析】中，若，則，；
又，且，，，
化簡得，解得．
5、【答案】A
【解析】解法一：由正弦定理＝，得b＝＝＝。由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝a2＋4＋2a，解得a＝1或a＝－3(舍去)，所以S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝。
解法二：由正弦定理＝，得b＝＝＝。
因為sin C＝，0°所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝××2×＝。故選A。
6、【答案】B
【解析】在中，，可得：，
，解得：，①
由余弦定理，可得：，
可得：，②
聯立①②，解得：．
7、【答案】C
【解析】設△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，由題意可得a＝csin ＝c，則a＝c。
在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，則b＝c。
由余弦定理，可得cos A＝＝＝－。
8、【答案】D
【解析】設△ABC外接圓的半徑為R，因為acos B＋bcos A＝4sin C，
所以由正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos A＝，化簡得，sin(A＋B)＝，
在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圓的面積為S＝πR2＝4π.
9、【答案】B
【解析】連接BD(圖略)，在△BCD中，由已知條件，知∠DBC＝＝30°，
∴∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠C
＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，∴BD＝2，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5．
10、【答案】C　
【解析】∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，
∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，
∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，
∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC為等腰或直角三角形．
11、【答案】C
【解析】在中，由正弦定理得：，得，又．
，即，
，又，．
在中，，，
由余弦定理得．
12、【答案】ABD
【解析】、，，，又，
由正弦定理得：，只有一種情況，此時三角形只有一解，合題意；
、，，，
由正弦定理：得：，又，，
只有一解，合題意；
、，，，
由正弦定理得：，無解，不符合題意，
，，；
由正弦定理：得；此時 三角形只有一解，合題意．
13、【答案】AC
【解析】對于，若，則，
即，即，即是等邊三角形，故正確；
對于，若，則由正弦定理得，即，則或，即或，則為等腰三角形或直角三角形，故錯誤；
對于，若，，
即，則是等腰三角形，故正確；
對于，中，，角為銳角，但不一定是銳角三角形，故錯誤；
14．【答案】　
【解析】由sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，可得a∶b∶c＝3∶2∶3．
不妨設a＝3k，b＝2k，c＝3k(k＞0)，則cos C＝＝．
15、【答案】　2　
【解析】∵2cos2A＋sin2A＝2，∴cos2A＋sin2A＝1，∴sin＝，∵0∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝．∵b＝1，S△ABC＝＝bcsinA＝×1×c×，∴c＝2，
∴由余弦定理可得，a＝＝＝，∴＝＝＝2．
16、【答案】
【解析】在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝．
17、【答案】　
【解析】由余弦定理得cos∠ABC＝＝，
∴cos∠CBD＝－，sin∠CBD＝，∴S△BDC＝BD·BC·sin∠CBD＝×2×2×＝.
又cos∠ABC＝cos 2∠BDC＝2cos2∠BDC－1＝，0<∠BDC<，∴cos∠BDC＝.
18．【解】(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，
則AC＝＝＝3.
(2)因為∠ACB＝60°，所以∠ACD＝120°，
在△ACD中，由余弦定理得，AD＝＝ ＝7.
19、【解】（1）在中，因為，，，
所以.
因為，所以.
（2）因為，，所以.
在中，由余弦定理：，得.
由正弦定理，解得：.
20、【解】(1)由已知及正弦定理，得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.
因為C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝，所以C＝.
(2)由已知，得absin C＝.又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝7.
故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25，即a＋b＝5，所以△ABC的周長為5＋.
21、【解】(1)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝．∵∠ADC＝，∴∠ADB＝．
在△ABD中，由正弦定理可得＝，∴AD＝．
(2)∵BD＝2DC，△ACD的面積為，∴S△ABC＝3S△ACD，則4＝×2×BC×，
∴BC＝6，DC＝2．∴由余弦定理得AC＝＝4．
由正弦定理可得＝，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．
又∵＝，∴sin∠CAD＝sin∠ADC．
∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴＝4．
22、【答案】B　
【解析】由2acosB＝c 2a·＝c a2＝b2，所以a＝b．因為sinAsinB(2－cos C)＝sin2＋，
所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，
所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因為cosC≠2，所以sinAsinB＝，
因為a＝b，所以sin2A＝，所以A＝B＝，所以△ABC是等腰直角三角形，故選B．
【答案】C　
【解析】設△ABC的外接圓半徑為R，則2R＝＝2，于是BC＝2RsinA＝2sinA，
AC＝2RsinB＝2sin．于是△ABC的周長為2＋3＝2sin＋3．
24、【答案】C　
【解析】依題意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A．
在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，
由此解得cos A＝．
25、【答案】A　
【解析】∵向量m＝，n＝共線，∴acos＝bcos．
由正弦定理得sinAcos＝sinBcos．∴2sincoscos＝2sincoscos，
∴sin＝sin．∵0<<，0<<，∴＝，∴A＝B．同理可得B＝C，
∴△ABC為等邊三角形．故選A．
26、【答案】8　
【解析】在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
設BD＝x，則有142＝102＋x2－2×10xcos 60°，∴x2－10x－96＝0，
∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16．
在△BCD中，由正弦定理知，＝，∴BC＝·sin 30°＝8．
27、【解】(1)由題設得acsin B＝，即csin B＝．
由正弦定理得sin Csin B＝．故sin Bsin C＝．
(2)由題設及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，即cos(B＋C)＝－，
所以B＋C＝，故A＝．
法一：由題設得bcsin A＝，即bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝．
故△ABC的周長為a＋b＋c＝3＋．
法二：因為a＝3，所以2R＝＝2(R為△ABC外接圓的半徑)，
所以sin Bsin C＝·＝＝＝，則bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－2bc·cos＝9，即b2＋c2－bc＝9，
所以(b＋c)2－3bc＝9，所以(b＋c)2＝9＋3bc＝9＋3×8＝33，故b＋c＝．
所以△ABC的周長為a＋b＋c＝3＋．
28、【答案】D
【解析】的外接圓半徑為，
由正弦定理，可得，，
代入已知等式得，
即，，
由此可得，結合，得．
，
（當且僅當時，取等號），
面積為，
當且僅當時，的面積的最大值為．
29、【答案】ABD
【解析】對于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正確；對于B，由正弦定理得得，
所以，因為，則有兩個解，
所以該三角形有兩解，故B正確；對于C，由，
得，
所以，當且僅當時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，
周長為12，故C錯誤；
對于D，由選項C知，，當且僅當時取等號，
故,所以面積的最大值為，故D正確.
30、【答案】AC
【解析】由，得：，
又角為鈍角，解得：，
因為，，由余弦定理，得：，
解得，可知為等腰三角形，即，
所以，解得，故正確，
可得，
在中，，得，可得，故錯誤，
，可得，可得，故正確，
所以的面積為，故錯誤．
31、【答案】12
【解析】中，，
由正弦定理得，
即，，，；
又的面積為，；
再由余弦定理可得，
整理可得，
當且僅當時，取等號，，即的最小值為12．
32．【解】（1）由正弦定理有，
因為，有，
因為，故，；
（2）法一：在和中，，
因為，，則，
因為，所以，
所以；
法二：因為，
所以，有，
因為，所以，
所以；
法三：如圖，作交于，則是的中點，
所以，，，
即，解得，所以.
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