資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.4.3余弦定理、正弦定理（五）
余弦定理、正弦定理應用舉例
班級 姓名
學習目標
1．能將實際問題轉化為解三角形問題．
2．能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關的實際應用問題．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
公式默寫 1、正弦定理(1)正弦定理： ＝ ＝ ＝2R(R是三角形外接圓的半徑)．(2)正弦定理的其他形式①a＝ ，b＝ ，c＝ ；②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；③a∶b∶c＝ .2、余弦定理(1)余弦定理：a2＝ ，b2＝ ，c2＝ .(2)余弦定理推論：cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝ .
閱讀教材，完成右邊的內容 實際測量中的有關名稱、術語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內，視線在水平線上方時與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內，視線在水平線下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)方位角從正北的方向線按順時針到目標方向線所轉過的水平角
測量距離問題 例1、(1)如下左圖，A，B兩地之間隔著一個山崗，現選擇另一點C，測得CA＝10 km，CB＝10 km，角C＝60°，則A，B兩點之間的距離為________km.(2)如圖在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離為________千米．(3)如下右圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40米的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B兩點之間的距離是
測量高度問題 例2、(1)如圖，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10 m，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高AB等于 (2)某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進1 000 m后到達D處，又測得山頂的仰角為65°，則山的高度約為________m．(取＝1.41，sin 35°＝0.57，精確到1 m)
角度問題 例3、在海岸A處發現北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．例4、甲船在A處發現乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時a海里，問甲船應沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？
課后作業
一、基礎訓練題
1．學校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4 m，∠A＝30°，則其跨度AB的長為(　　)
A．12 m　　　 B．8 m　　　
C．3 m　　　 D．4 m
2．一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　)
A． n mile/h B．34 n mile/h
C． n mile/h D．34 n mile/h
3．我艦在敵島A處南偏西50°的B處，且A，B距離為12海里，發現敵艦正離開島沿北偏西10°的方向以每小時10海里的速度航行，若我艦要用2小時追上敵艦，則速度大小為(　　)
A．28海里/時 B．14海里/時
C．14海里/時 D．20海里/時
4．在某個位置測得某山峰仰角為θ，迎著山峰在地面上前進600 m后測得仰角為2θ，繼續在地面上前進200 m以后測得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為(　　)
A．200 m B．300 m
C．400 m D．100 m
5．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長________千米．
6．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點20 m，則建筑物高度為________ m．
7．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于________ m．(用四舍五入法將結果精確到個位．
參考數據：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
8．一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由點A開始做勻速直線運動，到達點B時，發現足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動，如圖所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則該機器人最快可在距A點________ dm的C處截住足球．
9．如圖，A，B，C，D都在同一個鉛垂面內(與水平面垂直的平面)，B，D為海島上兩座燈塔的塔頂．測量船于A處測得點B和點D的仰角分別為75°，30°，于C處測得點B和點D的仰角均為60°，AC＝1 km，求點B，D間的距離．
二、綜合訓練題
10．如圖，某建筑物的高度BC＝300m，一架無人機Q(無人機的大小忽略不計)上的儀器觀測到建筑物頂部C的仰角為15°，地面某處A的俯角為45°，且∠BAC＝60°，則此無人機距離地面的高度PQ為(　　)
A．100 m B．200 m
C．300 m D．400 m
11．(多選)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12 n mile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離8 n mile.貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是(　　)
A．A處與D處之間的距離是24 n mile
B．燈塔C與D處之間的距離是16 n mile
C．燈塔C在D處的西偏南60°
D．D在燈塔B的北偏西30°
三、能力提升題
12．如圖，為了測量B，C兩點間的距離，選取同一平面上的A，D兩點，已知∠ADC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，BD＝2，DC＝4，則BC的長為(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
13．臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區為危險區，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區內的時間為________小時．
6.4.3余弦定理、正弦定理（五）
參考答案
例1、(1)【答案】10
【解析】由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C
＝(10)2＋102－2×10×10×＝800－100.
∴AB＝10.
(2)【答案】
【解析】由題意知C＝180°－A－B＝45°，
由正弦定理得＝，∴AC＝×＝(千米)．
(3)【答案】D
【解析】在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝＝40.
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°，
由正弦定理，得AC＝＝20.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝BC2＋AC2－2BC×AC×cos∠BCA＝(40)2＋(20)2－2×40×20cos 60°＝2 400，
∴AB＝20，
故A，B兩點之間的距離為20 米．
例2、(1)【答案】D
【解析】方法一：設AB＝x m，則BC＝x m.∴BD＝(10＋x)m.
∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5(＋1)m.
∴A點離地面的高AB等于5(＋1)m.
方法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin 30°＝(m)．
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)(m)．
(2)【答案】804
【解析】如圖，過點D作DE∥AC交BC于點E，
因為∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，
得AB＝＝＝1 000(m)．
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈804(m)．
所以山的高度約為804 m.　
例3、【解】如圖，設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，
則CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝(－1)2＋22－2(－1)×2cos 120°＝6，
∴BC＝.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
又∵∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，
∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°，
∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛．
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，
∴t＝小時≈15分鐘．
∴緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．
例4、【解】　如圖，設經過t小時兩船在C點相遇，
則在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，B＝90°＋30°＝120°，
由＝，得sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船應沿著北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇．
1、【答案】D
【解析】由題意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，即AB＝＝＝4m．
2、【答案】A
【解析】如圖所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝ n mile/h．
3、【答案】B
【解析】如圖，設我艦在C處追上敵艦，速度為v，
在△ABC中，AC＝10×2＝20 海里，
AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，
∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小時．
4、【答案】B
【解析】如圖，△BED，△BDC為等腰三角形，
BD＝ED＝600 m，BC＝DC＝200 m.
在△BCD中，由余弦定理可得
cos 2θ＝＝，
∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，AB＝BCsin 4θ＝200×＝300(m)．
5、【答案】
【解析】如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．
在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝(千米)．
6、【答案】40
【解析】如圖，設O為頂端在地面的射影，
在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，則BD＝40，OD＝20．
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．
7、【答案】60
【解析】根據題圖可得AB＝.
在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，
由正弦定理，得＝.所以BC≈2××0.60＝60 (m)．
8、【答案】7
【解析】設機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上，
設BC＝x dm，由題意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x) dm．
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝．
∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)．
∴該機器人最快可在線段AD上距A點7 dm的點C處截住足球．
9、[解]　法一：在△ACD中，∠ADC＝60°－∠DAC＝60°－30°＝30°．
由正弦定理，得AD＝＝．在△ABC中，∠ABC＝75°－60°＝15°，∠ACB＝60°，
由正弦定理，得AB＝＝．在△ADB中，∠BAD＝180°－75°－30°＝75°，
由余弦定理，得BD＝
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)＋\r(6),2)))＋3－2×\f(3\r(2)＋\r(6),2)×\r(3)cos 75°)＝．
即點B，D間的距離為km．
法二：如圖，記AD與BC的交點為M．
由外角定理，得∠CDA＝60°－∠DAC＝60°－30°＝30°，所以AC＝DC．
又易知∠MCD＝∠MCA＝60°，所以△AMC≌△DMC，
所以M為AD的中點，所以BA＝BD．
又AB＝＝，所以BD＝．
所以點B，D間的距離為km．
10、【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC＝＝＝200．
在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
∴∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°．由正弦定理，得＝，
得AQ＝＝200．在Rt△APQ中，PQ＝AQsin 45°＝200×＝200，
故此無人機距離地面的高度為200 m，故選B．
11、【答案】AC
【解析】由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，
所以∠B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12 n mile，AC＝8 n mile，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
所以AD＝＝24(n mile)，故A正確；
在△ACD中，由余弦定理得CD＝，
即CD＝ ＝8(n mile)，故B錯誤；
因為CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；
由∠ADB＝60°，D在燈塔B的北偏西60°處，故D錯誤．故選AC.
12、【答案】A
【解析】在△ABD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠ADB＝·sin A＝×＝，又∠ADC＝90°，
∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，
在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC
＝(2)2＋(4)2－2×2×4×＝48.
∴BC＝4.
13、【答案】1　
【解析】設A地東北方向上存在點P到B的距離為30千米，
AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，
即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，化簡得x2－40x＋700＝0，
|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，
即圖中的CD＝20(千米)，故t＝＝＝1(小時)．
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