資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題 2 從對(duì)稱(chēng)的角度來(lái)解決圓的問(wèn)題
知識(shí)解讀：
古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形.”圓的美體現(xiàn)在它既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，而且繞圓心旋轉(zhuǎn)任意的角度都能與自身重合.由圓的對(duì)稱(chēng)性研究了很多重要的定理：同圓或等圓的半徑相等；垂徑定理及其推論；同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系；圓周角定理等.這些性質(zhì)在證明或計(jì)算時(shí)往往通過(guò)構(gòu)造直角三角形，使其三邊分別為“弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑，圓心到弦的距離”，常與勾股定理相結(jié)合.巧用圓的對(duì)稱(chēng)性能妙解許多問(wèn)題，可使解題方法更靈活，思想更豐富，敘述更簡(jiǎn)潔，答案更完整.
培優(yōu)學(xué)案
典例示范
例1 P是半徑為5的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3，則過(guò)點(diǎn) P 的所有弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦一共有 條.【提示】過(guò)點(diǎn) P的最長(zhǎng)弦是直徑AB，最短的弦是與OP垂直的弦CD.
跟蹤訓(xùn)練》
1.已知⊙O的直徑AB=10cm,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足為M,且CD=8cm,則AC的長(zhǎng)為 cm.
【提示】如圖 1-2-1，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，符合條件的弦CD 應(yīng)該有兩條.連接OC，通過(guò)解 Rt△CMO 和Rt△ACM使問(wèn)題獲解.
2.如圖1-2-2,MN是半徑為1的⊙O 的直徑,點(diǎn) A 在⊙O上,∠AMN=30°,B 為劣弧 的中點(diǎn)，P 是直徑MN 上一動(dòng)點(diǎn),則 PA+PB的最小值為 .
【提示】可以根據(jù)圓的軸對(duì)稱(chēng)性作出點(diǎn)A 或點(diǎn)B 關(guān)于MN 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后確定當(dāng)PA+PB 有最小值時(shí)點(diǎn)P的位置.
例2 如圖1-2-3,已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB=AC,點(diǎn)P是AB的中點(diǎn),連接PA,PB,PC.
(1)如圖①,若∠BPC=60°,求證:
(2)如圖②,若 ,求 tan∠PAB 的值.
【提示】(1)證明△APC是含30°角的直角三角形;
(2)將∠PAB 轉(zhuǎn)化為∠PCB.
【解答】
跟蹤訓(xùn)練
已知⊙O的直徑為10,點(diǎn)A,B,C在⊙O上,∠CAB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D.
(1)如圖1-2-4①,若BC為⊙O的直徑,AB=6,求AC,BD,CD的長(zhǎng);
(2)如圖1-2-4②,若∠CAB=60°,求 BD的長(zhǎng).
【提示】(1)利用直徑所對(duì)的圓周角為直角這一性質(zhì)，將待求的線(xiàn)段放置于直角三角形中求解；
(2)利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的兩倍，將待求的線(xiàn)段放置于等邊三角形中求解.
【解答】
例3 如圖1-2-5，兩個(gè)同心圓，大圓半徑為5cm，小圓的半徑為3cm，若大圓的弦AB與小圓相交，則弦 AB 的取值范圍是 .
【提示】抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：①當(dāng)弦AB與小圓相切時(shí)最短；②當(dāng)弦AB過(guò)圓心O時(shí)最長(zhǎng).
眼蹤訓(xùn)練
1.如圖1-2-6,在半徑為5 的圓O中,AB,CD 是互相垂直的兩條弦,垂足為 P,且AB=CD=8,則OP 的長(zhǎng)為 ( )
A.3 B.4 C.3 D.4
2.如圖1-2-7,在半徑為 5 的⊙A 中,弦 BC,ED 所對(duì)的圓心角分別是∠BAC,∠EAD.已知 DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,則弦 BC 的弦心距等于 ( )
C.4 D.3
3.如圖1-2-8,在半徑為6cm的⊙O中,C,D為直徑AB 的三等分點(diǎn),點(diǎn)E,F 分別在AB 兩側(cè)的半圓上,∠BCE=∠BDF=60°,連接AE,BF,則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為 cm .
【提示】延長(zhǎng)EC交⊙O于點(diǎn)G，連接AG.根據(jù)條件和圓的軸對(duì)稱(chēng)性，要求的陰影部分的面積和等于△AEG的面積，只要求出△AEG的面積即可.
例 4 如圖1-2-9,在半徑為2 的扇形 AOB 中,∠AOB=90°,點(diǎn)C 是. 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分別為 D,E.
(1)當(dāng)BC=1時(shí),求線(xiàn)段OD的長(zhǎng);
(2)在△DOE 中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊 如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)設(shè) BD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.
【提示】(1)在△DOB 中運(yùn)用垂徑定理和勾股定理求解；(2)不難發(fā)現(xiàn)，D，E是中點(diǎn)，聯(lián)想三角形的中位線(xiàn)定理， 不變；(3)選擇OE 作為底，作出OE 邊上的高，設(shè)法將△DOE的底和高用x表示出來(lái).
【解答】
跟蹤訓(xùn)練
如圖1-2-10,等圓⊙O 與⊙O 相交于A,B 兩點(diǎn),⊙O 經(jīng)過(guò)⊙O 的圓心O ,點(diǎn)A 在x軸的正半軸上,兩圓分別與x軸交于C，D兩點(diǎn)，y軸與⊙O 相切于點(diǎn) O ，點(diǎn) O 在y軸的負(fù)半軸上.
①四邊形 AO BO 為菱形;
②點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是點(diǎn)O 的橫坐標(biāo)的兩倍；
③∠ADB=60°;
④△BCD的外接圓的圓心是線(xiàn)段O O 的中點(diǎn).
以上結(jié)論正確的是 .(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
【提示】①根據(jù)題意較容易觀察出. 所以四邊形 為菱形；②過(guò)點(diǎn)O 作O E⊥AD，根據(jù)垂徑定理得：E為AD 中點(diǎn)，所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是點(diǎn)O 的橫坐標(biāo)的兩倍是錯(cuò)的；③根據(jù)題意較容易觀察出△BO O 與△AO O 是等邊三角形，所以 的度數(shù)為120°，根據(jù)圓周角定理即可求出∠ADB的大小；④根據(jù)題意知，O O 是△DCB的中位線(xiàn)，而中位線(xiàn)的中點(diǎn)不是三角形的外接圓的圓心.
例5 如圖1-2-11,已知⊙O上依次有A,B,C,D 四個(gè)點(diǎn), 連接AB,AD,BD,弦AB 不經(jīng)過(guò)圓心O.延長(zhǎng)AB到E,使BE=AB.連接EC,F是EC 的中點(diǎn),連接BF.
(1)若⊙O的半徑為3,∠DAB=120°,求劣弧 的長(zhǎng)；
(2)求證:
(3)設(shè)G是BD 的中點(diǎn).探索：在⊙O上是否存在點(diǎn)P(不同于點(diǎn) B)，使得PG=PF
【提示】(1)根據(jù)∠DAB 可得優(yōu)弧 所對(duì)圓心角的度數(shù)為 即可求得劣弧 的長(zhǎng)；(2)根據(jù)條件可以構(gòu)造 BF為△EAC的中位線(xiàn)，則 又由條件可得 BD=AC，進(jìn)而解決問(wèn)題；(3)不妨過(guò)點(diǎn)B作AE 的垂線(xiàn)，與⊙O的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.再根據(jù)條件證得△PBG與 全等，則有PG=PF.
【解答】
培優(yōu)訓(xùn)練
1.如圖1-2-15,點(diǎn) A,B,C均在6×6的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上,過(guò)A,B,C三點(diǎn)的外接圓除經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)外還能經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)數(shù)為 .
2.在半徑為1的⊙O中,弦AB,AC 的長(zhǎng)分別為1和 則∠BAC 的度數(shù)為 .
3.如圖1-2-16,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,CO的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB 于點(diǎn)D.
(1)求證:AO平分∠BAC;
(2)若 求 AC和CD的長(zhǎng).
4.將一副三角板 與 (其中 )如圖1-2-17擺放， 中∠D 所對(duì)的直角邊與 的斜邊恰好重合.以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與AD 相交于點(diǎn) E,分別連接EB,EC.
(1)求證:EC平分.
(2)求 的值.

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