資源簡介

專題1 發掘題目中的隱圓來解題
知識解讀
在處理平面幾何中的許多問題時，常常需要借助圓的性質，問題才能解決.而有時候我們需要的圓并不存在，這就需要我們能利用已知的條件，借助圖形的特點把實際存在的圓找出來，從而運用圓的性質來解決問題，往往有事半功倍的效果，使問題獲得巧解或簡解，這是我們解題必須要掌握的技巧.
作輔助圓的常用依據有以下幾種：
①圓的定義：若幾個點到某個固定點的距離相等，則這幾個點在同一個圓上；
②有公共斜邊的兩個直角三角形的頂點在同一個圓上；
③對角互補的四邊形四個頂點在同一個圓上，簡記為對角互補，四點共圓；
④若兩個三角形有一條公共邊，且這條邊所對的角相等，并且在公共邊的同側，則這兩個三角形有公共的外接圓.簡記為同旁張等角，四點共圓.
培優學案
典例示范
例1 將線段AB 繞點A 逆時針旋轉60°得到線段 AC，繼續旋轉( 得到線段 AD,連接CD.
(1)連接BD.
①如圖1-1-1①,若α=80°,則∠BDC的度數為 ;
②在第二次旋轉過程中，請探究∠BDC的大小是否改變 若不變，求出∠BDC的度數；若改變，請說明理由.
(2)如圖1-1-1②,以AB為斜邊作 Rt△ABE,使得∠B=∠ACD,連接CE,DE.若∠CED=90°,求α的值.
【提示】(1)①∠BDC=∠ADC-∠ADB,利用“等邊對等角及三角形內角和為180°”可求出∠BDC 為 30°;
②由題意知，AB=AC=AD，則點B，C，D在以A 為圓心，AB為半徑的圓上，利用“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然為 30°；
(2)過點A 作AM⊥CD 于點M,連接EM,證明“點A,C,D在以M為圓心,MC為半徑的圓上”.
【解答】
跟蹤訓練
如圖1-1-2,在菱形ABCD中,∠B=60°,點E在邊BC上,點 F 在邊CD 上.若∠EAF=60°,求證:△AEF 是等邊三角形.
【提示】不難發現 ,所以點A,E,C,F共圓,再利用“同弧所對的圓周角相等”獲證.
【解答】
例2 (1)如圖1-1-3①,在正方形 ABCD 中,點 E 是BC 邊上的任意一點, ，且EF 交正方形外角平分線CF 于點F.求證:AE=EF.
(2)若把(1)中的條件“點 E 是BC 邊上的任意一點”，改為“點E 是 BC 邊延長線上的一點”，其余條件不變，如圖1-1-3②，那么結論 AE=EF是否還成立 若成立，請證明；若不成立，請說明理由.
【提示】連接AC,AF,顯然∠ACF=∠AEF=90°,所以A,E,C,F 四點在以AF 為直徑的圓上.
(1)如圖1-1-4①,當點E在BC 邊上時,∠AFE=∠ACE=45°,于是△AEF 是等腰直角三角形,. 獲證；
(2)如圖1-1-4②,當點E 在BC 邊的延長線上時, 于是 是等腰直角三角形，AE=EF 獲證.
【拓展】本題將“正方形”改為“正三角形”,“∠AEF=90°”相應改為“ ，仍然可以運用構造“輔助圓”的思路.還可進一步拓展為“正n邊形， 仍然可延續這種思路，讀者可自己完成.
【解答】
跟蹤訓練
將一副三角板(Rt△ABC和 Rt△DEF)如圖1-1-5①擺放,點 E,A,D,B在一條直線上,且D 是AB 的中點.將Rt△DEF 繞點D 順時針方向旋轉角。 在旋轉過程中，直線DE，AC相交于點M，直線DF，BC相交于點N，分別過點 M，N作直線AB 的垂線，垂足為G，H.
(1)如圖1-1-5②,當 時,求證:AG=DH;
(2)如圖1-1-5③，當α=60°時，(1)中的結論是否成立 請寫出你的結論，并說明理由；
(3)當 時，(1)中的結論是否成立 請寫出你的結論，并根據圖1-1-5④說明理由.
【提示】本題除了常規解法外，還可以考慮構造“輔助圓”.
【解答】
例3 在△ABC中，AB=AC，過A點的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點A 按順時針方向旋轉角θ，直線a交BC 邊于點P(點 P 不與點B,點 C重合), 的邊MN 始終在直線a上(點M在點 N 的上方)，且BM=BN,連接CN.
(1)當 時.
①如圖 1-1-6①,當θ=45°時,∠ANC的度數為 ;
②如圖1-1-6②,當( 時，①中的結論是否發生變化 說明理由；
(2)如圖 1-1-6③,當. 時，請直接寫出 與 之間的數量關系，不必證明.
【提示】由于在旋轉過程中不變的關系是： 易知 由 可知A，B，N，C 四個點在同一個圓上(如圖 則 這樣思考，所有問題都會迎刃而解.
【解答】
跟蹤訓練
在△ABC中, ，M是AC 的中點，P 是線段BM上的動點，將線段 PA 繞點P 順時針旋轉2α得到線段PQ.
(1)若 且點 P 與點M 重合(如圖1-1-8①)，線段CQ的延長線交射線BM 于點D，請補全圖形，并寫出 的度數；
(2)在圖1-1-8②中,點 P不與點B,M重合,線段 CQ的延長線與射線BM 交于點D,猜想 的大小(用含α的代數式表示)，并加以證明；
(3)對于適當大小的α，當點 P 在線段BM 上運動到某一位置(不與點 B，M重合)時，能使得線段 CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出α的取值范圍.
【解答】
例4 如圖1-1-9,點A 與點B 的坐標分別是(1,0),(5,0),點 P 是該平面直角坐標系內的一個動點.
(1)使∠APB=30°的點 P 有 個.
(2)若點 P在y軸上,且∠APB=30°,求滿足條件的點 P 的坐標.
(3)當點 P在y軸上移動時，∠APB 是否有最大值 若有，求點 P 的坐標，并說明此時∠APB 最大的理由；若沒有，也請說明理由.
【提示】(1)已知點A,點B 是定點,要使∠APB=30°,只需點 P 在過點A,點 B的圓上，且 所對的圓心角為60°即可，顯然符合條件的點 P有無數個.
(2)結合(1)中的分析可知：當點P在y軸的正半軸上時，點P 是(1)中的圓與y軸的交點，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質、勾股定理等知識即可求出符合條件的點P 的坐標；當點P 在y軸的負半軸上時，同理可求出符合條件的點P 的坐標.
(3)由三角形外角的性質可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要 最大，只需構造過點A，點B且與y軸相切的圓，切點就是使得∠APB最大的點P，然后結合切線的性質、三角形外角的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識即可解決問題.
【解答】
跟綜訓練
如圖1-1-10①,∠MON=60°,點A,B為射線OM,ON上的動點(點A,B不與點O重合),且. 在∠MON的內部、△AOB的外部有一點P,且AP=BP,∠APB=120°.
(1)求AP的長;
(2)求證:點 P在∠MON的平分線上;
(3)如圖1-1-10②,點C,D,E,F分別是四邊形AOBP 的邊 AO,OB,BP,PA的中點,連接CD,DE,EF,FC,OP.若四邊形CDEF 的周長用t表示，請寫出t的取值范圍.
【解答】

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