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專題3 與圓有關的角度問題
知識解讀：
1.圓周角常用結論
(1)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；
(2)同弧或等弧所對的圓周角相等；
(3)同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；
(4)直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；
(5)圓內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角.
2.弦切角
(1)頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角.
(2)弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角.
培優學案
典例示范
1.圓周角
例 1 正方形ABCD 的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點.
(1)如圖1-3-1①,當點 E 在AB上時,求證:i
(2)如圖1-3-1②,當點 E在AD上時, 是否為定值 若是，求出這個定值；若不是，說明理由.
【解答】
跟蹤訓練
如圖1-3-2,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB 的中點,以 DC為直徑的⊙O交 的三邊，交點分別是G,F,E. GE,CD的交點為M,且
(1)求證:∠GEF=∠A;
(2)求⊙O的直徑CD的長.
【解答】
2.圓內接四邊形的外角
例2 如圖1-3-3,A,P,B,C是⊙O上的四點,∠APC=∠BPC=60°,過點A作⊙O的切線交 BP 的延長線于點D.
(1)求證:△ADP∽△BDA;
(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；
(3)若AD=2,PD=1,求線段BC的長.
【提示】(1)通過圓的切線,證明∠PAD=∠ABD 即可;
(2)利用“截長”或“補短”的原理，證明三條線段PA，PB，PC之間具有和差關系；
(3)利用相似三角形的性質，先求出BD的長，再利用相似三角形或銳角三角函數求等邊三角形ABC的邊長.
【解答】
【拓展】本題容易出錯的地方是想當然地認為∠D=90°，∠PAD=30°，作直徑AE后，沒有作任何推理就直接下結論AE是BC的垂直平分線.
本題的三個小題，每個小題都有很多種做法，下面略作介紹：
第(1)問：先證明△ABC是等邊三角形.
①如圖1-3-4①,作直徑AE,連接BE,得 Rt△ABE,由∠2=∠ACB=60°,得∠1=30°,從而∠BAD=
②如圖1-3-4②,連接OA,OB,由∠3=2∠ACB=120°得∠1=∠2=30°,從而
③如圖1-3-4③,連接OA,OB,OC,證明△OAB≌△OAC,得∠1=∠2=30°,從而 第(2)問:
①如圖1-3-5①,在PC上截取PG=PA,連接AG,先證△APG為等邊三角形,再證△APB≌△AGC;或者在 PC上截取CG=PB,連接AG,先證. 得 ，再證△APG為等邊三角形.
②如圖1-3-5②,在 PA的延長線上截取AG=PB(延長 PA 到點G,使AG=PB),連接CG,證△ACG≌△BCP,得∠G=∠4=60°,再證△CPG為等邊三角形.
③如圖1-3-5③,在AP的延長線上截取PH=PB(延長AP到點H,使PH=PB),連接BH,證△ABH≌△CBP,得∠H=∠4=60°,再證△BPH 為等邊三角形.
第(3)問:由第(1)問△ADP∽△BDA,先求出 BD=4.
①如圖1-3-6①,作DK⊥AB 于點K,在Rt△ADK 中,由 AD=2和∠DAB=60°,求得AK,DK 的長,再在 Rt△BDK 中,由DK,BD 求得BK 的長,從而 BC=AB=AK+BK.
②如圖1-3-6②,作DM⊥AP 于點M,在Rt△PDM中,由PD=1和∠DPM=60°,求得 PM,DM的長,再在Rt△ADM中,由DM,AD求得AM的長,從而AP=AM+PM;由第(1)問△ADP∽△BDA,可求得AB的長,得BC的長.
③如圖1-3-6③,若直徑 AE 交 BC 于點F,則 再作 DH⊥BC 于點 H,可得矩形 ADHF,則 設BF=x,則BC=2x,BH=x-2,在Rt△BDH 中,根據勾股定理構建方程,求得x的值,進而得到BC的長.
跟蹤訓練》
如圖1-3-7，由矩形ABCD 的頂點D 引一條直線分別交 BC 及AB 的延長線于F，G，連接AF 并延長交△BGF的外接圓于H,連接GH,BH.
(1)求證:△DFA∽△HBG;
(2)過 A點引圓的切線AE,E為切點, ,求 AB的長;
(3)在(2)的條件下,又知AD=6,求 tan∠HBC的值.
【解答】

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