資源簡介

利用函數模型解決幾何問題
必備思路
利用函數模型解決幾何問題的一般方法
①由函數解析式得到幾何圖形上某些特殊點的坐標；
②利用這些坐標確定幾何圖形在平面直角坐標系中的位置；
③利用幾何圖形的性質得到幾何圖形上其他關鍵點的坐標；
④把無法直接求解的圖形的面積轉換為可以求解的幾個圖形的面積和或差再進行計算.
典例剖析
典例1 基礎型
如圖，△ABC 是邊長為4的等邊三角形，動點 E，F 分別以每秒1個單位長度的速度同時從點 A 出發，點 E 沿折線A→B→C方向運動，點 F 沿折線A→C→B 方向運動，當兩者相遇時停止運動.設運動時間為t(秒)，點 E，F 的距離為y.
(1)請寫出y關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍.
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質.
(3)結合函數圖象，寫出點E，F 相距3個單位長度時t的值.
方法點撥
第(1)問:
分段討論:動點 E(F)從點 A 出發運動到點 B(C)的過程，利用等邊三角形的性質寫出此時 y 關于t的函數表達式；從點 B(C)運動到兩動點相遇的過程，根據點 E，F 間的距離等于△ABC的周長與兩動點路程之和的差寫出此時 y關于t的函數表達式.
第(2)問:
可從對稱性、增減性、最值等方面寫該函數 的 性質，在寫 增減性 時，要 注 意 自 變 量 的 取 值范圍.
典例②進階型
小亮在學習中遇到這樣一個問題：如圖1，點D 是弧 上一動點,線段 BC=8cm,點 A 是線段BC 的中點,過點 C 作 CF∥BD,交 DA 的延長線于點 F.當△DCF 為等腰三角形時，求線段 BD 的長度.
小亮分析發現，此問題很難通過常規的推理計算徹底解決，于是嘗試結合學習函數的經驗研究此問題，請將下面的探究過程補充完整.
(1)根據點 D 在弧 上的不同位置，畫出相應的圖形，測量線段BD，CD，FD 的長度，得到下表中的幾組數據.
BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0
FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0
操作中發現：
①“當點 D 為弧 的中點時,BD=5.0 cm.”則表中 a 的值是 ;
②“線段 CF 的長度無需測量即可得到.”請簡要說明理由.
(2)將線段 BD 的長度作為自變量x(cm),CD 和FD 的長度都是關于x(cm)的函數，分別記為 ycD和yFD，并在平面直角坐標系xOy 中畫出了函數yFD的圖象，如圖 2 所示.請在同一平面直角坐標系中畫出函數 ycD的圖象.
(3)繼續在同一平面直角坐標系中畫出所需的函數圖象，并結合圖象寫出當△DCF 為等腰三角形時，線段 BD 長度的近似值.(結果保留一位小數)
方法點撥
第(3)問:
當△DCF 為等腰三角形時，分CF=CD,CF=FD,CD=FD三種情況，BD 的長度依次對應的是函數 ycF與 ycD圖象交點的橫坐標,函數 yCF 與 yFD圖象交點的橫坐標,函數 yCD與 yFD圖象交點的橫坐標。
注意:當點 D 與點 B 或點 C 重合時，△DCF 不存在
壓軸突破練
1.如圖，Q 是弧 與弦AB 所圍成的圖形的內部的一定點，P 是弦AB 上一動點，連接 PQ 并延長交弧 于點C,連接AC.已知. 6cm,設A,P 兩點間的距離為xcm,P,C 兩點間的距離為y cm,A,C 兩點間的距離為y cm.
小騰根據學習函數的經驗，分別對因變量 y ，y 隨自變量 x的變化而變化的規律進行了探究. 下面是小騰的探究過程，請補充完整.
(1)按照下表中自變量x的值進行取點，畫圖并測量，得到了 與x 的幾組對應值，將下表補充完整.
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y /cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37
y /cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11
(2)在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數值所對應的點( 并畫出函數 y 的圖象.
(3)結合函數圖象，解決問題：當△APC 為等腰三角形時，AP 的長度約為 cm.(精確到 0.1)
2.如圖，P 是弧/ 與弦AB 所圍成的圖形的外部的一定點，C 是弧 上一動點,連接 PC 交弦AB 于點D.
小騰根據學習函數的經驗，對線段 PC，PD，AD 的長度之間的關系進行了探究.
下面是小騰的探究過程，請補充完整.
(1)對于點 C 在弧 上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段 PC，PD，AD 的長度的幾組值，如下表.
位置 1 位置 2 位置3 位置 4 位置 5 位置 6 位置7 位置 8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.72
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在線段 PC，PD，AD 的長度這三個量中，確定 的長度是自變量， 的長度和 的長度都是這個自變量的因變量.
(2)在同一平面直角坐標系xOy中，畫出(1)中所確定的函數的圖象.
(3)結合函數圖象，解決問題：當PC=2PD時，線段AD 的長度約為 cm.(精確到0.01)
3.在 Rt△ABC 中,. 將 繞點A順時針旋轉，角的兩邊分別交射線 BC 于 D，E 兩點，F 為 AE 上一點，連接CF,且 (當點 B,D 重合時,點C,F 也重合).設 B,D 兩點間的距離為 A,F 兩點間的距離為 y cm.
小剛根據學習函數的經驗，對因變量y 隨著自變量x的變化而變化的規律進行了探究.
下面是小剛的探究過程，請補充完整.
(1)列表：根據表中 B，D 兩點間的距離x的值進行取點、畫圖、測量，得到了 x 與y 的幾組對應值.
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8
y/cm 6.00 5.76 5.53 5.31 5.09 4.88 4.69 4.50 4.33 4.17 4.02 3.79 3.65
請你通過計算補全表格.
(2)描點、連線：在平面直角坐標系xOy中，描出表中各組數值所對應的點(x，y)，并畫出函數 y關于x的圖象.
(3)探究性質：隨著自變量 x的不斷增大，寫出因變量 y 的變化趨勢.
(4)解決問題：當 時，求 BD 的長度大約是多少.(結果保留兩位小數)

展開更多......

收起↑