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函數(shù)圖象平移問(wèn)題
1.函數(shù)圖象平移對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式變化的規(guī)律
對(duì)應(yīng)規(guī)律 示例
函數(shù)圖象左右平移→自變量“左加右減” y=kx+b向左平移h→y=k(x+h)+b; y=ax +c 向右平移h→y=a(x-h) +c
函數(shù)圖象上下平移→含自變量的式子整體“上加下減” y=kx+b向上平移→y=kx+b+t; y=ax +c 向下平移t→y=ax +c-t
2.解決函數(shù)圖象平移問(wèn)題的一般方法
方法一：先寫(xiě)解析式，后作圖.
①確定原函數(shù)解析式；
②根據(jù)函數(shù)圖象平移對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式變化的規(guī)律寫(xiě)出平移后的新圖象對(duì)應(yīng)的新函數(shù)解析式；
③根據(jù)新函數(shù)解析式畫(huà)出新函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解決所求問(wèn)題.
方法二：先作圖，后寫(xiě)解析式.
①確定原函數(shù)圖象；
②作出平移后的新函數(shù)圖象，并確定新函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
③用待定系數(shù)法求出新函數(shù)的解析式，從而解決所求問(wèn)題.
典例剖析
典例① 基礎(chǔ)型
我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時(shí)知道：將一次函數(shù)y=2x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2x+1的圖象；將二次函數(shù) 的圖象向左平移 2個(gè)單位長(zhǎng)度得到 y= 的圖象.若將反比例函數(shù) 的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，如圖所示，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么
方法點(diǎn)撥
類比一次函數(shù)圖象平移對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式的變化，可知函數(shù)圖象上下平移，對(duì)應(yīng)函數(shù)等號(hào)右邊含自變量的式子整體“上加下減”，由此即可寫(xiě)出反比例函數(shù)圖象向下平移后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.
注意：當(dāng)不知道平移后的 圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式的形式時(shí)，是不能用待定系數(shù)法來(lái)求函數(shù)解析式的.
典例② 進(jìn)階型
如圖,拋物線過(guò)點(diǎn)O(0,0),E(10,0),矩形 ABCD 的邊 AB 在線段OE上(點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的左側(cè)),點(diǎn) C,D 在拋物線上,設(shè) B(t,0),當(dāng)t=2時(shí),BC=4.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD 的周長(zhǎng)有最大值 最大值是多少
(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD 不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形ABCD 的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH 平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.
方法點(diǎn)撥
第(3)問(wèn):
直線 GH 平分矩形ABCD 的面積,故矩 形 ABCD 對(duì)角線 的交點(diǎn)在直線GH 上.畫(huà)出草圖，找到點(diǎn) C 在平移后拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，它們之間 的距 離 即 拋 物線向右平移的距離.
壓軸突破練
1.已知( 是拋物線 (b為常數(shù))上的兩點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，總有
(1)求 b 的值.
(2)將拋物線 平移后得到拋物線 若拋物線 與拋物線 在 范圍內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，求m 的取值范圍.
2.如圖，正比例函數(shù) 的圖象和反比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A(m,2).
(1)求反比例函數(shù)的解析式.
(2)將直線OA 向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，與 y 軸交于點(diǎn) B，與 的圖象交于點(diǎn) C,連接AB,AC,求 的面積.
典例② 進(jìn)階型
已知關(guān)于 x 的函數(shù)
(1)若a=1,函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-4)和點(diǎn)(2,1),求該函數(shù)的表達(dá)式和最小值.
(2)若a=1,b=-2,c=m+1,函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn),求m 的取值范圍.
(3)閱讀材料.設(shè)a>0，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，若A，B 兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，探究系數(shù)a，b，c 應(yīng)滿足的條件，根據(jù)函數(shù)圖象，思考以下三個(gè)方面.
①因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以
②因?yàn)锳，B 兩點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，所以函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為0的點(diǎn)在x軸的上方,即c>0.
③上述兩個(gè)條件還不能確保A，B 兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，我們可以通過(guò)拋物線的對(duì)稱軸位置來(lái)進(jìn)一步限制拋物線的位置，即需
綜上所述，系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件可歸納 請(qǐng)類比上述材料，解決下面問(wèn)題.
若函數(shù) 的圖象在直線 x=1右側(cè)的部分與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a 的取值范圍.
題意分析第(3)問(wèn):
當(dāng)a>0 時(shí),該 函 數(shù) 為 二 次 函數(shù)，圖象為拋物線，拋物線開(kāi)口向上，根據(jù)交點(diǎn) A，B 的位置畫(huà)出草圖如下.
結(jié)合草圖更容易寫(xiě)出滿足題意的條件.
方法點(diǎn)撥
第(3)問(wèn):
函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程 的根.分情況 討 論 畫(huà) 出 符 合 題 意 的 草圖，寫(xiě)出 限 制函 數(shù) 圖象位置的條件，即可求解a 的取值范圍.注意：題目未限制a≠0，故函數(shù)可能是二次函數(shù)，也可能是一次函數(shù).
壓軸突破練
1.如圖,已知坐標(biāo)軸上A(0,4),B(2,0)兩點(diǎn),連接AB,過(guò)點(diǎn) B 作 ，交反比例函數(shù) 位于第一象限的圖象于點(diǎn)C(a，1).
(1)求反比例函數(shù) 和直線OC 的表達(dá)式.
(2)將直線OC 向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l，求直線 l與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).
2.如圖1，某興趣小組計(jì)劃開(kāi)墾一個(gè)面積為 的矩形地塊 ABCD 種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長(zhǎng)為a m.
【問(wèn)題提出】
小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：若a=10，能否圍出面積為( 的矩形地塊
【問(wèn)題探究】
小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問(wèn)題.
設(shè)AB 長(zhǎng)為x m,BC 長(zhǎng)為y m.由矩形地塊面積為 得到 ，滿足條件的(x，y)可看成是反比例函數(shù) 圖象上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長(zhǎng)為10 m，得到 ，滿足條件的(x，y)可看成一次函數(shù)y=-2x+10 圖象上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的(x，y)就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo).
如圖2，反比例函數(shù) 的圖象與直線 交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,8)和 ,因此,木欄總長(zhǎng)為 10 m時(shí),能圍出面積為8 的矩形地塊，分別為 BC=8m或AB= m,BC= m.
根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空.
【類比探究】
(2)若 ，能否圍出面積為 的矩形地塊 說(shuō)明理由并仿照小穎的方法，在圖3中畫(huà)出一次函數(shù)的圖象.
【問(wèn)題延伸】
當(dāng)木欄總長(zhǎng)為a m時(shí)，小穎建立了一次函數(shù) 發(fā)現(xiàn)直線 可以看成是通過(guò)直線 平移得到的，在平移過(guò)程中，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(2，4)時(shí)，直線 與反比例函數(shù) 的圖象有唯一交點(diǎn).
(3)請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出直線. 過(guò)點(diǎn)(2，4)時(shí)的圖象，并求出a 的值.
【拓展應(yīng)用】
小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問(wèn)題”可以轉(zhuǎn)化為‘ 的圖象與 的圖象在第一象限內(nèi)是否存在交點(diǎn)問(wèn)題”.
(4)若要圍出滿足條件的矩形地塊，且AB 和BC 的長(zhǎng)均不小于1m，請(qǐng)寫(xiě)出a的取值范圍.
3.已知拋物線 與x軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn)C.直線l由直線BC 平移得到，與y軸交于點(diǎn) E(0，n).四邊形 MNPQ 的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M
(2)若點(diǎn) M 位于第二象限，直線l與經(jīng)過(guò)點(diǎn) M 的雙曲線 有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求 的最大值.
(3)當(dāng)直線 l與四邊形MNPQ、拋物線 都有交點(diǎn)時(shí)，存在直線 l 與四邊形MNPQ 的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線 的交點(diǎn)的縱坐標(biāo).
①當(dāng) 時(shí)，寫(xiě)出n的取值范圍.
②求m 的取值范圍.

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